貴州省黔東南州2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省黔東南州2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊第四章.1.已知等比數(shù)列的前兩項分別為1，－2，則該數(shù)列的第4項為（）A.4 B.－4 C.8 D.－8【答案】D【解析】依題意可得該等比數(shù)列的公比為，首項為1，所以該數(shù)列的第4項為．故選：D2.橢圓的焦距為（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】因為，所以．故選：B3.在空間直角坐標系中，已知向量是平面的一個法向量，且，則直線與平面所成角的正弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線與平面所成角的正弦值等于.故選：B4.若數(shù)列滿足，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】因為，令，可得，則；令，可得，則.故選：D.5.已知橢圓的焦點為，為上一點，且點不在直線上，則“”是“的周長大于”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為，所以，又，所以的周長為．若，則．若，則．所以“”是“的周長大于”的必要不充分條件．故C正確.故選：C.6.如圖，在三棱錐中，點滿足，則（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】，所以，故．故選：C.7.已知，C是拋物線上的三個點，F(xiàn)為焦點，，點C到x軸的距離為d，則的最小值為（）A.10 B. C.11 D.【答案】B【解析】因為M的準線方程為，所以由拋物線焦半徑公式得，故，所以,當且僅當C，D，F(xiàn)三點共線且C在線段DF上時，等號成立，所以的最小值為．故選：B8.已知雙曲線的離心率為，當時，在數(shù)列中，滿足為有理數(shù)的的最大值為（）A.959 B.960 C.961 D.963【答案】A【解析】雙曲線的離心率．因，所以當時，為有理數(shù)，且，所以滿足條件的的最大值為959．故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若直線，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】設(shè)的斜率分別為，結(jié)合題意易得：，因為，所以因為且，所以.故選：BD.10.已知是空間的一個單位正交基底，則（）A. B.構(gòu)成空間的一個基底C. D.構(gòu)成空間的一個基底【答案】ACD【解析】因為是空間的一個單位正交基底，所以均為單位向量且兩兩垂直，所以，A正確．因為，所以不能構(gòu)成空間的一個基底，B錯誤．，C正確．因為不存在實數(shù)，使得，所以構(gòu)成空間的一個基底，D正確．故選：ACD11.已知公比為的正項等比數(shù)列的前項積為，則（）A.B.當時，C.D.當，且取得最小值時，只能等于6【答案】ABC【解析】由題意，，在正項等比數(shù)列中，，A項，，A正確；B項，當時，因為，所以，可得，B正確；C項，，C正確．D項，當時，因為，所以，則的最小值為或，D錯誤．故選：ABC.12.已知為坐標原點，是橢圓的右焦點，與交于兩點，分別為的中點，若，則的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由，消元得，結(jié)合示意圖，所以，又，分別是的中點，所以，又，所以，有，即，則，所以，即，則，即，有，由，解得，即橢圓離心率的取值范圍為.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.雙曲線的虛軸長為______．【答案】6【解析】因為，所以，所以該雙曲線的虛軸長為6．故答案為：614.拋物線的準線方程為______．【答案】【解析】因為，所以，所以拋物線的準線方程為．故答案為：15.某階梯大教室座位數(shù)從第二排開始，每排的座位比前一排多3個，已知第一排有5個座位，且該階梯大教室共有258個座位，則該階梯大教室最后一排的座位數(shù)為____________．【答案】38【解析】該階梯大教室的座位數(shù)按照從小到大的順序依次成等差數(shù)列，且首項為5，公差為3，所以，設(shè)該階梯大教室共有排，則，整理得，因為，所以，所以該階梯大教室最后一排的座位數(shù)為．故答案為：38.16.已知，直線為上的動點.過點作的切線，切點分別為，當最小時，點的坐標為________，直線的方程為__________.【答案】；【解析】的標準方程為，其圓心為，半徑為2.如圖，由題意可知，則，所以當最小時，最小，此時與直線垂直，所以直線的方程為，即.聯(lián)立，解得，所以點的坐標為，.在Rt中，，同理.以為圓心，為半徑作圓，如圖，則線段為與的公共弦，的方程為，即，兩圓方程相減得，即直線的方程為.故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓的圓心在直線上，且圓與軸相切于點．（1）求圓的標準方程；（2）若直線與圓相交于兩點，求．解：（1）設(shè)圓的方程為，則．因為圓與軸相切于點，所以，所以，故圓的標準方程為．（2）由（1）知，圓心為,半徑為4，因為圓心到直線的距離為，所以．18.在數(shù)列中，且成等比數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．解：（1）由，即，可知數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列．因為成等比數(shù)列，所以，所以，解得，所以，故數(shù)列的通項公式為.（2），則所以數(shù)列的前n項和.19.已知點，動點滿足，記點的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）若是上不同的兩點，且直線的斜率為5，線段的中點為，證明：點在直線上．解：（1）因為，所以根據(jù)雙曲線的定義可知點的軌跡為以為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支，由，得，所以的方程為．（2）設(shè)兩點的坐標分別為，則兩式相減并整理得，，設(shè)，依題意可得所以，即，所以，即，所以點在直線上．20.如圖，在直四棱柱中，．（1）證明：.（2）若，四邊形的面積為，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）連接，設(shè)與相交于點，因為，所以≌，所以，又，所以≌，所以，又，所以，即．因為平面平面，所以，因為平面，所以平面，因為平面，所以，因為，所以.（2）由題意知，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系,由題意可知，四邊形的面積為，解得，所以，由題意知為平面的一個法向量，設(shè)為平面的一個法向量，則，則，取，得，則，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.21.已知數(shù)列的前項和為，且為定值．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．解：（1）因為，且為定值，所以．當時，，又，所以，即，即，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故．（2）由（1）知，，則，所以，所以，即，故．22.已知點在拋物線上，點在第一象限，過點且與相切的直線與軸交