滬科版八年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)清單 專題05 軸對稱圖形與等腰三角形（5個(gè)考點(diǎn)清單+8種題型解讀）

專題05軸對稱圖形與等腰三角形（5個(gè)考點(diǎn)清單+8種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)題型一】軸對稱圖形的識別 4【考點(diǎn)題型二】根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行判斷或求解 6【考點(diǎn)題型三】坐標(biāo)與圖形變化--軸對稱 10【考點(diǎn)題型四】利用垂直平分線的性質(zhì)求解 13【考點(diǎn)題型五】利用等腰（等邊）三角形的性質(zhì)求解 18【考點(diǎn)題型六】含30°的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用 22【考點(diǎn)題型七】利用角平分線的性質(zhì)求解 25【考點(diǎn)題型八】垂直平分線于角平分線的綜合問題 34【知識點(diǎn)01】軸對稱圖形1．軸對稱圖形（1）定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸．這時(shí)，我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．（2）判斷一個(gè)圖形是不是軸對稱圖形，可利用軸對稱圖形的定義，將圖形對折，看是否能夠完全重合，若能夠完全重合，則這個(gè)圖形是軸對稱圖形，否則這個(gè)圖形不是軸對稱圖形．【注意】（1）對稱軸是一條直線，而不是射線或線段．（2）一個(gè)軸對稱圖形的對稱軸可以有1條，也可以有多條，還可以有無數(shù)條．（3）軸對稱圖形是對于一個(gè)圖形而言的，它表示具有一定特性（軸對稱性）的某一類圖形．2．軸對稱把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)．軸對稱和軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系名稱關(guān)系軸對稱軸對稱圖形區(qū)別意義不同兩個(gè)圖形之間的特殊位置關(guān)系一個(gè)形狀特殊的圖形圖形個(gè)數(shù)兩個(gè)圖形一個(gè)圖形對稱軸的位置不同可能在兩個(gè)圖形的外部，也可能經(jīng)過兩個(gè)圖形的內(nèi)部或它們的公共邊（點(diǎn)）一定經(jīng)過這個(gè)圖形對稱軸的數(shù)量只有一條有一條或多條聯(lián)系（1）如果把成軸對稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對稱圖形（2）如果把一個(gè)軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形成軸對稱3．軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì)（1）兩個(gè)圖形成軸對稱的性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．（2）軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．（3）軸對稱圖形（或關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形）的對應(yīng)線段（對折后重合的線段）相等，對應(yīng)角（對折后重合的角）相等．（4）成軸對稱的兩個(gè)圖形全等；軸對稱圖形被對稱軸分成的兩部分也全等，但全等的兩個(gè)圖形不一定是軸對稱圖形．4．軸對稱變換一個(gè)圖形與其關(guān)于直線l對稱后的圖形之間的關(guān)系同．（2）新圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)．（3）連接任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線段被對稱軸垂直平分．【注意】的．（2）一個(gè)軸對稱圖形也可以看成是以它的一部分為基礎(chǔ)經(jīng)過軸對稱變換而得到的．5．畫軸對稱圖形幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，對于某些圖形，我們只要畫出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，連接這些對稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對稱圖形．畫軸對稱圖形的方法：（1）找——在原圖形上找特殊點(diǎn)（如線段的端點(diǎn)）；（2）畫——畫各個(gè)特殊點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)；（3）連——依次連接各對稱點(diǎn)．6．用坐標(biāo)表示軸對稱關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：（1）點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-y）；（2）點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，y）．已知兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，則點(diǎn)P1，P2關(guān)于x軸對稱；若x1+x2=0，y1=y2，則點(diǎn)P1，P2關(guān)于y軸對稱．反之也成立．在坐標(biāo)系中畫軸對稱圖形的方法：（1）計(jì)算——計(jì)算對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）描點(diǎn)——根據(jù)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)描點(diǎn)；（3）連接——依次連接所描各點(diǎn)得到成軸對稱的圖形．【知識點(diǎn)02】線段垂直平分線1．線段垂直平分線的定義及其性質(zhì)（1）線段垂直平分線的定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．（2）性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．書寫格式：如圖所示，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，則PA=PB．（3）判定：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．書寫格式：如圖所示，若PA=PB，則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．【知識點(diǎn)03】等腰三角形1．等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）．等腰三角形的其他性質(zhì)：（1）等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等．（2）等腰三角形兩底角的平分線相等．（3）等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高．（4）當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時(shí)，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個(gè)銳角都是45°．2．等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．?dāng)?shù)學(xué)語言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．【注意】（1）“等角對等邊”不能敘述為：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)底角相等，那么它的兩腰也相等．因?yàn)樵跊]有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”這些名詞，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．（2）“等角對等邊”與“等邊對等角”的區(qū)別：由兩邊相等得出它們所對的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三角形有兩角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等邊三角形及其性質(zhì)等邊三角形的概念：三邊都相等的三角形是等邊三角形．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60° ．【注意】（1）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì)．4．等邊三角形的判定定等邊三角形的方法：（1）定義法：三邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．5．含30°角的直角三角形的性質(zhì)一在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．【注意】（1）該性質(zhì)是含30°角的特殊直角三角形的性質(zhì)，一般的直角三角形或非直角三角形沒有這個(gè)性質(zhì)，更不能應(yīng)用．（2）這個(gè)性質(zhì)主要應(yīng)用于計(jì)算或證明線段的倍分關(guān)系．（3）該性質(zhì)的證明出自于等邊三角形，所以它與等邊三角形聯(lián)系密切．（4）在有些題目中，若給出的角是15°時(shí)，往往運(yùn)用一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和將15°的角轉(zhuǎn)化后，再利用這個(gè)性質(zhì)解決問題．【知識點(diǎn)04】角的平分線的性質(zhì)1．作已知角的平分線用尺規(guī)作已知角的平分線．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分線．作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N．（2）分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于1/2MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C．（3）畫射線OC．射線OC即為所求．如圖所示：★作圖依據(jù)：構(gòu)造△OMC≌△ONC（SSS）．2．角的平分線的性質(zhì)內(nèi)容：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．【提示】（1）這里的距離指的是點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；（2）該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，不需要再用全等三角形；（3）使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線、有垂直；（4）運(yùn)用角的平分線時(shí)常添加的輔助線：由角的平分線上的已知點(diǎn)向兩邊作垂線段，利用其相等來推導(dǎo)其他結(jié)論．3．角的平分線的判定（1）內(nèi)容：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．（2）角的平分線的判定的前提條件是指在角的內(nèi)部的點(diǎn)到角兩邊的距離相等時(shí)，它才是在角的平分線上，角的外部的點(diǎn)不會在角的平分線上．【知識點(diǎn)05】最短路問題（1）求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的和最小的問題，只要連接這兩點(diǎn)，所得線段與直線的交點(diǎn)即為所求的位置．（2）求直線同側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的和最小的問題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，所得線段與該直線的交點(diǎn)即為所求的位置．【考點(diǎn)題型一】軸對稱圖形的識別【例1】（24-25八年級上·云南曲靖·期末）下列圖形中為軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（24-25八年級上·全國·期末）下列圖案中，不是軸對稱圖形的是（

）A．B．C．D．【變式1-2】（24-25七年級上·全國·期末）青花瓷是我國四大名瓷之首，又稱白地青花瓷，簡稱青花，代表著中國人純粹、淡泊、通透、富有水墨意味的東方審美．下圖中是四個(gè)青花瓷圖案，其中不是軸對稱圖形的是（

）A．B． C． D．【變式1-3】（23-24八年級上·黑龍江齊齊哈爾·期末）王老師給全班同學(xué)留了一個(gè)特色寒假作業(yè)，畫一張有關(guān)兔子的圖畫，以下四個(gè)圖形是開學(xué)后收上來的圖畫中的一部分，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型二】根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行判斷或求解【例2】（24-25七年級上·全國·期末）如圖，與關(guān)于直線對稱，P為上任一點(diǎn)（P不與共線），下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．是等腰三角形 B．垂直平分C．與的面積相等 D．直線的交點(diǎn)不一定在上【變式2-1】（23-24八年級上·四川南充·期末）如圖，與關(guān)于直線l對稱，連接，，，其中分別交，于點(diǎn)D，，下列結(jié)論：①；②；③直線l垂直平分；④直線與的交點(diǎn)不一定在直線l上．其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【變式2-2】（23-24七年級下·山西晉中·期末）如圖是一款運(yùn)輸機(jī)的平面示意圖，它是一個(gè)軸對稱圖形，直線是其對稱軸．下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．平分 D．垂直平分【變式2-3】（23-24七年級下·四川樂山·期末）如圖，是內(nèi)部一點(diǎn)，關(guān)于，的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)，點(diǎn)，連結(jié)分別與，交于點(diǎn)，點(diǎn)，連結(jié)，，下列結(jié)論：①是等邊三角形；

②；③的周長等于線段的長；

④；正確的個(gè)數(shù)為：A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)題型三】坐標(biāo)與圖形變化--軸對稱【例3】（24-25八年級上·甘肅定西·期末）點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【變式3-1】（24-25八年級上·全國·期末）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【變式3-2】（24-25八年級上·全國·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則．【變式3-3】（23-24八年級上·福建廈門·期末）若點(diǎn)與關(guān)于x軸對稱，則代數(shù)式的值為．【變式3-4】（23-24八年級上·遼寧大連·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．(1)畫出關(guān)于y軸對稱的；(2)直接寫出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_______；(3)在x軸上找到一點(diǎn)P，使的和最?。?biāo)出點(diǎn)P即可，不用求點(diǎn)P的坐標(biāo)）【考點(diǎn)題型四】利用垂直平分線的性質(zhì)求解【例4】（23-24八年級下·甘肅張掖·期末）如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，連接，垂直平分，垂足為，交于點(diǎn)．連接．(1)若的周長為，的周長為，求的長；(2)若，，求的度數(shù)．【變式4-1】（23-24八年級上·湖南郴州·期末）如圖所示：線段的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．(1)若，的周長是18，求的長；(2)若的周長為18，，，求的長．【變式4-2】（22-23八年級上·廣西貴港·期末）如圖，在中，，分別垂直平分邊和邊，交邊于、兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．(1)若，求的周長．(2)若，求的度數(shù)．【變式4-3】（23-24七年級下·四川成都·期末）如圖，在中，，于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足，連接交于點(diǎn)O．

(1)請判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求證：；(3)若，，求的長．【考點(diǎn)題型五】利用等腰（等邊）三角形的性質(zhì)求解【例5】（23-24八年級上·四川眉山·期末）如圖，在中，，，，分別是邊，，AB上的點(diǎn)，且，．若，則的度數(shù)為°．【變式5-1】（24-25八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)D，若，，則的長為．【變式5-2】（24-25八年級上·全國·期末）如圖，在四邊形中，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，則．【變式5-3】（23-24八年級上·遼寧大連·期末）如圖，是等邊三角形，是中線，延長至點(diǎn)E，使．(1)求證：；(2)過點(diǎn)D作垂直于，垂足為F，若，求的周長．【考點(diǎn)題型六】含30°的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用【例6】（23-24八年級上·廣東廣州·期末）如圖，在中，，線段的垂直平分線分別交、于點(diǎn)D、E、連接、若，則的長為．【變式6-1】（23-24八年級下·貴州貴陽·期末）如圖，在中，垂直平分，交于點(diǎn)E，，則的值為cm．【變式6-2】（23-24八年級上·河南鄭州·期末）如圖，在中，垂直平分，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，則的長為．【變式6-3】（24-25八年級上·甘肅定西·期末）在中，，，，為的中點(diǎn)，為上一動點(diǎn)，連接，，則的最小值是．【考點(diǎn)題型七】利用角平分線的性質(zhì)求解【例7】（23-24八年級上·內(nèi)蒙古興安盟·期末）如圖，在中，，，按如圖所示的方式作射線交于點(diǎn)，若，則．【變式7-1】（23-24七年級下·陜西榆林·期末）如圖，在中，平分，于點(diǎn)，連接，若，，則的面積是．【變式7-2】（23-24八年級上·全國·期末）如圖，平分，點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，，垂足為，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，已知，，則的面積為．【變式7-3】（23-24七年級下·山東威?！て谀┤鐖D，在四邊形中，平分，且．(1)求證：；(2)如圖2，其余條件不變，若______．(3)如圖3，其余條件不變，若，判斷的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式7-4】（23-24七年級下·甘肅蘭州·期末）已知：點(diǎn)是平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，作，交直線于點(diǎn)，作于點(diǎn)．(1)觀察猜想：如圖，當(dāng)時(shí)，寫出和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)探究證明：如圖，當(dāng)時(shí)，寫出，和之間的等量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展延伸：如圖，當(dāng)，點(diǎn)在射線的反向延長線上時(shí)，請直接寫出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系．【考點(diǎn)題型八】垂直平分線于角平分線的綜合問題【例8】（23-24八年級上·山東濱州·期末）在中，AD是的平分線，DE是線段AB的垂直平分線．(1)求的大?。?2)求證：．【變式8-1】（23-24八年級上·江蘇鹽城·期中）已知：如圖，角平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)D，，，垂足分別為E、F．(1)求證：；(2)若，，求的長．【變式8-2】（23-24八年級下·四川巴中·期末）如圖，的外角的平分線交邊的垂直平分線于P點(diǎn)，于D，于E．(1)求證：；(2)若，，求的長．【變式8-3】（23-24八年級上·江西贛州·期末）如圖，在中，是高，，是角平分線，交于點(diǎn)，，．

(1)______°；(2)若，，求的面積；(3)作圖：在線段上求作一點(diǎn)，使得最?。ūＡ糇鲌D痕跡）．【變式8-4】（23-24七年級下·陜西榆林·期末）如圖，在中，是邊上的高，為的角平分線，且，是的中線，延長到點(diǎn)，使得，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)試說明：；(2)若，試說明：．

專題05軸對稱圖形與等腰三角形（5個(gè)考點(diǎn)清單+8種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)題型一】軸對稱圖形的識別 4【考點(diǎn)題型二】根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行判斷或求解 6【考點(diǎn)題型三】坐標(biāo)與圖形變化--軸對稱 10【考點(diǎn)題型四】利用垂直平分線的性質(zhì)求解 13【考點(diǎn)題型五】利用等腰（等邊）三角形的性質(zhì)求解 18【考點(diǎn)題型六】含30°的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用 22【考點(diǎn)題型七】利用角平分線的性質(zhì)求解 25【考點(diǎn)題型八】垂直平分線于角平分線的綜合問題 34【知識點(diǎn)01】軸對稱圖形1．軸對稱圖形（1）定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸．這時(shí)，我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．（2）判斷一個(gè)圖形是不是軸對稱圖形，可利用軸對稱圖形的定義，將圖形對折，看是否能夠完全重合，若能夠完全重合，則這個(gè)圖形是軸對稱圖形，否則這個(gè)圖形不是軸對稱圖形．【注意】（1）對稱軸是一條直線，而不是射線或線段．（2）一個(gè)軸對稱圖形的對稱軸可以有1條，也可以有多條，還可以有無數(shù)條．（3）軸對稱圖形是對于一個(gè)圖形而言的，它表示具有一定特性（軸對稱性）的某一類圖形．2．軸對稱把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)．軸對稱和軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系名稱關(guān)系軸對稱軸對稱圖形區(qū)別意義不同兩個(gè)圖形之間的特殊位置關(guān)系一個(gè)形狀特殊的圖形圖形個(gè)數(shù)兩個(gè)圖形一個(gè)圖形對稱軸的位置不同可能在兩個(gè)圖形的外部，也可能經(jīng)過兩個(gè)圖形的內(nèi)部或它們的公共邊（點(diǎn)）一定經(jīng)過這個(gè)圖形對稱軸的數(shù)量只有一條有一條或多條聯(lián)系（1）如果把成軸對稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對稱圖形（2）如果把一個(gè)軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形成軸對稱3．軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì)（1）兩個(gè)圖形成軸對稱的性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．（2）軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．（3）軸對稱圖形（或關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形）的對應(yīng)線段（對折后重合的線段）相等，對應(yīng)角（對折后重合的角）相等．（4）成軸對稱的兩個(gè)圖形全等；軸對稱圖形被對稱軸分成的兩部分也全等，但全等的兩個(gè)圖形不一定是軸對稱圖形．4．軸對稱變換一個(gè)圖形與其關(guān)于直線l對稱后的圖形之間的關(guān)系同．（2）新圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)．（3）連接任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線段被對稱軸垂直平分．【注意】的．（2）一個(gè)軸對稱圖形也可以看成是以它的一部分為基礎(chǔ)經(jīng)過軸對稱變換而得到的．5．畫軸對稱圖形幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，對于某些圖形，我們只要畫出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，連接這些對稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對稱圖形．畫軸對稱圖形的方法：（1）找——在原圖形上找特殊點(diǎn)（如線段的端點(diǎn)）；（2）畫——畫各個(gè)特殊點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)；（3）連——依次連接各對稱點(diǎn)．6．用坐標(biāo)表示軸對稱關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：（1）點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-y）；（2）點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，y）．已知兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，則點(diǎn)P1，P2關(guān)于x軸對稱；若x1+x2=0，y1=y2，則點(diǎn)P1，P2關(guān)于y軸對稱．反之也成立．在坐標(biāo)系中畫軸對稱圖形的方法：（1）計(jì)算——計(jì)算對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）描點(diǎn)——根據(jù)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)描點(diǎn)；（3）連接——依次連接所描各點(diǎn)得到成軸對稱的圖形．【知識點(diǎn)02】線段垂直平分線1．線段垂直平分線的定義及其性質(zhì)（1）線段垂直平分線的定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．（2）性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．書寫格式：如圖所示，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，則PA=PB．（3）判定：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．書寫格式：如圖所示，若PA=PB，則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．【知識點(diǎn)03】等腰三角形1．等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）．等腰三角形的其他性質(zhì)：（1）等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等．（2）等腰三角形兩底角的平分線相等．（3）等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高．（4）當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時(shí)，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個(gè)銳角都是45°．2．等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．?dāng)?shù)學(xué)語言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．【注意】（1）“等角對等邊”不能敘述為：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)底角相等，那么它的兩腰也相等．因?yàn)樵跊]有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”這些名詞，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．（2）“等角對等邊”與“等邊對等角”的區(qū)別：由兩邊相等得出它們所對的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三角形有兩角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等邊三角形及其性質(zhì)等邊三角形的概念：三邊都相等的三角形是等邊三角形．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60° ．【注意】（1）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì)．4．等邊三角形的判定定等邊三角形的方法：（1）定義法：三邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．5．含30°角的直角三角形的性質(zhì)一在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．【注意】（1）該性質(zhì)是含30°角的特殊直角三角形的性質(zhì)，一般的直角三角形或非直角三角形沒有這個(gè)性質(zhì)，更不能應(yīng)用．（2）這個(gè)性質(zhì)主要應(yīng)用于計(jì)算或證明線段的倍分關(guān)系．（3）該性質(zhì)的證明出自于等邊三角形，所以它與等邊三角形聯(lián)系密切．（4）在有些題目中，若給出的角是15°時(shí)，往往運(yùn)用一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和將15°的角轉(zhuǎn)化后，再利用這個(gè)性質(zhì)解決問題．【知識點(diǎn)04】角的平分線的性質(zhì)1．作已知角的平分線用尺規(guī)作已知角的平分線．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分線．作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N．（2）分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于1/2MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C．（3）畫射線OC．射線OC即為所求．如圖所示：★作圖依據(jù)：構(gòu)造△OMC≌△ONC（SSS）．2．角的平分線的性質(zhì)內(nèi)容：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．【提示】（1）這里的距離指的是點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；（2）該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，不需要再用全等三角形；（3）使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線、有垂直；（4）運(yùn)用角的平分線時(shí)常添加的輔助線：由角的平分線上的已知點(diǎn)向兩邊作垂線段，利用其相等來推導(dǎo)其他結(jié)論．3．角的平分線的判定（1）內(nèi)容：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．（2）角的平分線的判定的前提條件是指在角的內(nèi)部的點(diǎn)到角兩邊的距離相等時(shí)，它才是在角的平分線上，角的外部的點(diǎn)不會在角的平分線上．【知識點(diǎn)05】最短路問題（1）求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的和最小的問題，只要連接這兩點(diǎn)，所得線段與直線的交點(diǎn)即為所求的位置．（2）求直線同側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的和最小的問題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，所得線段與該直線的交點(diǎn)即為所求的位置．【考點(diǎn)題型一】軸對稱圖形的識別【例1】（24-25八年級上·云南曲靖·期末）下列圖形中為軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】軸對稱圖形的識別【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，根據(jù)軸對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就叫做對稱軸．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式1-1】（24-25八年級上·全國·期末）下列圖案中，不是軸對稱圖形的是（

）A．B．C．D．【答案】B【知識點(diǎn)】軸對稱圖形的識別【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義，根據(jù)軸對稱圖形的定義逐項(xiàng)分析即可，一個(gè)圖形的一部分，沿著一條直線對折后兩部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．【詳解】解：選項(xiàng)A、C、D均能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以是軸對稱圖形，選項(xiàng)B不能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以不是軸對稱圖形．故選B．【變式1-2】（24-25七年級上·全國·期末）青花瓷是我國四大名瓷之首，又稱白地青花瓷，簡稱青花，代表著中國人純粹、淡泊、通透、富有水墨意味的東方審美．下圖中是四個(gè)青花瓷圖案，其中不是軸對稱圖形的是（

）A．B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】軸對稱圖形的識別【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的相關(guān)知識，掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個(gè)圖形是軸對稱圖形．【詳解】解：A．是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；D．是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【變式1-3】（23-24八年級上·黑龍江齊齊哈爾·期末）王老師給全班同學(xué)留了一個(gè)特色寒假作業(yè)，畫一張有關(guān)兔子的圖畫，以下四個(gè)圖形是開學(xué)后收上來的圖畫中的一部分，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】軸對稱圖形的識別【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義，理解定義：“將圖形沿某一條直線對折，直線兩邊的圖形能完全重合的圖形是軸對稱圖形．”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、不符合軸對稱圖形定義，故此項(xiàng)不符合題意；B、不符合軸對稱圖形定義，故此項(xiàng)不符合題意；C、符合軸對稱圖形定義，故此項(xiàng)符合題意；D、不符合軸對稱圖形定義，故此項(xiàng)不符合題意；故選：C．【考點(diǎn)題型二】根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行判斷或求解【例2】（24-25七年級上·全國·期末）如圖，與關(guān)于直線對稱，P為上任一點(diǎn)（P不與共線），下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．是等腰三角形 B．垂直平分C．與的面積相等 D．直線的交點(diǎn)不一定在上【答案】D【知識點(diǎn)】根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行判斷【分析】該題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解答即可；【詳解】解：∵與關(guān)于直線對稱，P為上任意一點(diǎn)，∴是等腰三角形，垂直平分，這兩個(gè)三角形的面積相等，A、B、C選項(xiàng)正確；直線關(guān)于直線對稱，因此交點(diǎn)一定在上．D錯(cuò)誤；故選：D．【變式2-1】（23-24八年級上·四川南充·期末）如圖，與關(guān)于直線l對稱，連接，，，其中分別交，于點(diǎn)D，，下列結(jié)論：①；②；③直線l垂直平分；④直線與的交點(diǎn)不一定在直線l上．其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【知識點(diǎn)】根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行判斷、根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行求解【分析】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)對各結(jié)論進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：和關(guān)于直線對稱，∴，故①正確，和關(guān)于直線對稱，點(diǎn)D與點(diǎn)關(guān)于直線對稱的對稱點(diǎn)，∴，故②正確；和關(guān)于直線對稱，線段、、被直線垂直平分，直線垂直平分，故③正確；和關(guān)于直線對稱，線段、所在直線的交點(diǎn)一定在直線上，故④錯(cuò)誤，∴正確的有①②③，故選：A．【變式2-2】（23-24七年級下·山西晉中·期末）如圖是一款運(yùn)輸機(jī)的平面示意圖，它是一個(gè)軸對稱圖形，直線是其對稱軸．下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．平分 D．垂直平分【答案】D【知識點(diǎn)】根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行判斷【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形是全等形；②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或?qū)?yīng)線段的延長線相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上．據(jù)此分析即可．【詳解】解：如圖是一個(gè)軸對稱圖形，直線是其對稱軸，A．∵與是一組對應(yīng)邊，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；B．∵與是一組對應(yīng)角，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；C．∵與是一組對應(yīng)角，∴平分，故此選項(xiàng)不符合題意；D．∵直線是對稱軸，∴垂直平分，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【變式2-3】（23-24七年級下·四川樂山·期末）如圖，是內(nèi)部一點(diǎn)，關(guān)于，的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)，點(diǎn)，連結(jié)分別與，交于點(diǎn)，點(diǎn)，連結(jié)，，下列結(jié)論：①是等邊三角形；

②；③的周長等于線段的長；

④；正確的個(gè)數(shù)為：A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行求解、三角形的外角的定義及性質(zhì)、等邊對等角【分析】此題考查了軸對稱的性質(zhì)，以及線段垂直平分線的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握線段垂直平分線性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．由題意得從而得出可判斷②，由且的大小沒有確定，可得出的大小沒有確定，可判斷①，由對稱性可得為線段的垂直平分線，為線段的垂直平分線，從而得出從而得出的周長，可判斷③，由題意得，可得，從而得出，即得出所以，再求解即可判斷④．【詳解】解：關(guān)于，的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)，點(diǎn)，故②正確，，的大小沒有確定，的大小沒有確定，不一定是等邊三角形，故①錯(cuò)誤，關(guān)于，的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)，點(diǎn)，為線段的垂直平分線，為線段的垂直平分線，的周長，故③正確，如圖，設(shè)與交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F，由題意得，，，，，，，故④正確，故選：C．【考點(diǎn)題型三】坐標(biāo)與圖形變化--軸對稱【例3】（24-25八年級上·甘肅定西·期末）點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化——軸對稱【分析】本題考查了關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．利用平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱時(shí)：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，進(jìn)行求解．【詳解】解：點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：A．【變式3-1】（24-25八年級上·全國·期末）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化——軸對稱【分析】本題考查關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)P關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選：B．【變式3-2】（24-25八年級上·全國·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則．【答案】【知識點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化——軸對稱【分析】本題考查了關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，根據(jù)“關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”求解，解題的關(guān)鍵是熟記，關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，∴，，∴，故答案為：．【變式3-3】（23-24八年級上·福建廈門·期末）若點(diǎn)與關(guān)于x軸對稱，則代數(shù)式的值為．【答案】【知識點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化——軸對稱【分析】本題考查坐標(biāo)與軸對稱，根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，求出的值，進(jìn)而求出代數(shù)式的值即可．【詳解】解：∵點(diǎn)與關(guān)于x軸對稱，∴，∴；故答案為：．【變式3-4】（23-24八年級上·遼寧大連·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．(1)畫出關(guān)于y軸對稱的；(2)直接寫出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_______；(3)在x軸上找到一點(diǎn)P，使的和最?。?biāo)出點(diǎn)P即可，不用求點(diǎn)P的坐標(biāo)）【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【知識點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化——軸對稱、最短路徑問題【分析】本題考查了圖形的軸對稱變換等知識，得出變換后對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)位置及是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得出各對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，順次連接即可；（2）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求解即可；（3）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得出點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，連接，交x軸于點(diǎn)P，即可得答案．【詳解】（1）解：如圖，即為所求，；（2）解：點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：；（3）解：如圖，點(diǎn)P即為所求，．【考點(diǎn)題型四】利用垂直平分線的性質(zhì)求解【例4】（23-24八年級下·甘肅張掖·期末）如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，連接，垂直平分，垂足為，交于點(diǎn)．連接．(1)若的周長為，的周長為，求的長；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】全等三角形綜合問題、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、三角形的外角的定義及性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)和判定是解本題的關(guān)鍵．（1）先證明，，結(jié)合的周長為，的周長為，可得，從而可得答案；（2）先求解，證明，再利用三角形全等的性質(zhì)可得答案；【詳解】（1）解：是線段的垂直平分線，，，的周長為，的周長為，，，，；（2），，，在和中，，，，．【變式4-1】（23-24八年級上·湖南郴州·期末）如圖所示：線段的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．(1)若，的周長是18，求的長；(2)若的周長為18，，，求的長．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】此題考查了垂直平分線的性質(zhì)，（1）首先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，然后結(jié)合題意得到，求出，進(jìn)而求解即可；（2）根據(jù)的周長為18，得到，然后由垂直平分求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）∵垂直平分∴∵的周長是18，∴∵∴∴∵∴∴；（2）∵的周長為18，∴∵，∴，即∵垂直平分∴∴∴∵垂直平分∴．【變式4-2】（22-23八年級上·廣西貴港·期末）如圖，在中，，分別垂直平分邊和邊，交邊于、兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．(1)若，求的周長．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，進(jìn)而求出，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【詳解】（1）解：、分別垂直平分和，，，的周長，故的周長為；（2），，，，，，，，，，，故的度數(shù)為．【變式4-3】（23-24七年級下·四川成都·期末）如圖，在中，，于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足，連接交于點(diǎn)O．

(1)請判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求證：；(3)若，，求的長．【答案】(1)，理由見解析(2)見解析(3)10【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）、線段垂直平分線的性質(zhì)、同位角相等兩直線平行、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題是四邊形的綜合題，考查了平行線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，角平分線的性質(zhì)，正確地識別圖形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得到，根據(jù)平行線的判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的判定定理得到；（3）由（2）知，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CG⊥BE，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：，理由：∵，∴，∴，∵，∴；（2）證明：∵，∴，∵平分，∴，在與中，，∴，∴；（3）解：由（2）知，，∴，∴，∵，∴，即的長為10．【考點(diǎn)題型五】利用等腰（等邊）三角形的性質(zhì)求解【例5】（23-24八年級上·四川眉山·期末）如圖，在中，，，，分別是邊，，AB上的點(diǎn)，且，．若，則的度數(shù)為°．【答案】【知識點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等邊對等角【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)．利用等腰三角形的兩個(gè)底角相等的性質(zhì)、已知條件“，”，根據(jù)全等三角形的判定定理推知；由三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求得；然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等得、三角形的外角性質(zhì)、等量代換求得．【詳解】解：，，在與中，，．．，．，．故答案為：．【變式5-1】（24-25八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)D，若，，則的長為．【答案】8【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的外角的定義及性質(zhì)【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)垂直平分，得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，證明，得出，即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，如圖所示：∵點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，，∴垂直平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：8．【變式5-2】（24-25八年級上·全國·期末）如圖，在四邊形中，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，則．【答案】/45度【知識點(diǎn)】直角三角形的兩個(gè)銳角互余、兩直線平行同位角相等、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練運(yùn)用相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，即為等腰三角形，然后計(jì)算的值即可．【詳解】解：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【變式5-3】（23-24八年級上·遼寧大連·期末）如圖，是等邊三角形，是中線，延長至點(diǎn)E，使．(1)求證：；(2)過點(diǎn)D作垂直于，垂足為F，若，求的周長．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形【分析】（1）等邊三角形三線合一，得到，等邊對等角結(jié)合三角形的外角，推出，進(jìn)而得到，即可；（2）易得是含30度角的直角三角形，進(jìn)而得到，中線得到，求出的長，即可．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，是中線，∴，．∵，∴．又∵，∴．∴．∴．（2）解：∵，∴∴在中，．∴．∵，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角，含30度角的直角三角形．熟練掌握三線合一，等邊對等角，等角對等邊，以及30度的角所對的直角邊是斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型六】含30°的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用【例6】（23-24八年級上·廣東廣州·期末）如圖，在中，，線段的垂直平分線分別交、于點(diǎn)D、E、連接、若，則的長為．【答案】4【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從推出的長．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，∵在中，，∴，∴．故答案為：4．【變式6-1】（23-24八年級下·貴州貴陽·期末）如圖，在中，垂直平分，交于點(diǎn)E，，則的值為cm．【答案】3【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，求出，由此得到，利用直角三角形的性質(zhì)求出的值【詳解】解：∵垂直平分，∴，∴∴∵，∴故答案為3【變式6-2】（23-24八年級上·河南鄭州·期末）如圖，在中，垂直平分，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，則的長為．【答案】【知識點(diǎn)】等邊對等角、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、含30度角的直角三角形、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，由，可得，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得，即得，最后根據(jù)角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求解，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【變式6-3】（24-25八年級上·甘肅定西·期末）在中，，，，為的中點(diǎn)，為上一動點(diǎn)，連接，，則的最小值是．【答案】【知識點(diǎn)】垂線段最短、軸對稱中的光線反射問題、三線合一、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】本題主要考查了軸對稱中的光線反射問題（最短路線問題），直角三角形的兩個(gè)銳角互余，含度角的直角三角形，軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三線合一，三角形的面積公式，等式的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，垂線段最短等知識點(diǎn)，熟練掌握用做對稱的方法解決最短路線問題是解題的關(guān)鍵．作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，，由，可得，，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，是的垂直平分線，進(jìn)而可得，于是證得是等邊三角形，則，由三線合一可得，進(jìn)而利用三角形的面積公式可得，由垂直平分線的性質(zhì)可得，于是可得，根據(jù)垂線段最短可知，于是可得答案．【詳解】解：如圖，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，，，，，，是關(guān)于的對稱點(diǎn)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，，是的垂直平分線，，，是等邊三角形，，為的中點(diǎn)，，，且，，是的垂直平分線，，，垂線段最短，，即：，的最小值是，故答案為：．【考點(diǎn)題型七】利用角平分線的性質(zhì)求解【例7】（23-24八年級上·內(nèi)蒙古興安盟·期末）如圖，在中，，，按如圖所示的方式作射線交于點(diǎn)，若，則．【答案】9【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、作角平分線(尺規(guī)作圖)、角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題考查角平分線的尺規(guī)作圖和角平分線定理，先根據(jù)畫圖得到為的角平分線，再證明，再證明是等腰三角形，從而得到，即可求得答案．【詳解】解：如下圖所示，過點(diǎn)M作，垂足為D，由題意得，為的角平分線，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：9．【變式7-1】（23-24七年級下·陜西榆林·期末）如圖，在中，平分，于點(diǎn)，連接，若，，則的面積是．【答案】【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)平分，，得到，根據(jù)面積公式求出三角形的面積，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵平分，，∴，∴的面積，故答案為：．【變式7-2】（23-24八年級上·全國·期末）如圖，平分，點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，，垂足為，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，已知，，則的面積為．【答案】9【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并分別求出、的長是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得，然后根據(jù)三角形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于，平分，，垂足為，，是線段的垂直平分線，，的面積．故答案為：9．【變式7-3】（23-24七年級下·山東威?！て谀┤鐖D，在四邊形中，平分，且．(1)求證：；(2)如圖2，其余條件不變，若______．(3)如圖3，其余條件不變，若，判斷的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)60(3)，見解析【知識點(diǎn)】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形綜合問題【分析】（1）過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，交延長線于點(diǎn)F，角平分線的性質(zhì)，得到，證明，即可得證；（2）延長交于點(diǎn)E，證明，得到，證明，進(jìn)而求出，即可得出結(jié)果；（3）過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，先證明，得到，再證明，得到，根據(jù)線段的和差關(guān)系，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，交延長線于點(diǎn)F，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：如圖，延長交于點(diǎn)E，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：60；（3）解：，理由如下：如圖，過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和全等三角形，是解題的關(guān)鍵．【變式7-4】（23-24七年級下·甘肅蘭州·期末）已知：點(diǎn)是平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，作，交直線于點(diǎn)，作于點(diǎn)．(1)觀察猜想：如圖，當(dāng)時(shí)，寫出和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)探究證明：如圖，當(dāng)時(shí)，寫出，和之間的等量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展延伸：如圖，當(dāng)，點(diǎn)在射線的反向延長線上時(shí)，請直接寫出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)，理由見解析【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）、垂線的定義理解、角