巧解圓錐曲線的離心率問題-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)26巧解圓錐曲線的離心率問題【八大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1利用圓錐曲線的定義求離心率或其范圍】................................................2

【題型2利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率或其范圍】................................................4

【題型3利用等量關(guān)系或不等關(guān)系求離心率或其范圍】............................................7

【題型4利用正、余弦定理求離心率或其范圍】.................................................10

【題型5利用基本不等式求離心率的范圍】.....................................................13

【題型6橢圓與雙曲線綜合的離心率問題】.....................................................16

【題型7函數(shù)法求離心率或其范圍】............................................................18

【題型8坐標(biāo)法求離心率或其范圍】...........................................................21

?命題規(guī)律

1、巧解圓錐曲線的離心率問題

從近幾年的高考情況來看，圓錐曲線的離心率或其取值范圍問題是高考的熱點(diǎn)題型，主要以選擇題或

填空題的形式考查，難度不大；對(duì)圓錐曲線中已知特征關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵，相關(guān)平面幾何

關(guān)系的挖掘應(yīng)用也可使問題求解更簡(jiǎn)潔.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1圓錐曲線的離心率】

1.橢圓的離心率

⑴離心率的定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比反稱為橢圓的離心率用e表示，即e=￡.

aa

(2)離心率的范圍：0<e<l.

(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.

當(dāng)e越接近于1時(shí)，c越接近于0,從而b=7金一c1越小,因此橢圓越扁；當(dāng)e越接近于0時(shí)，c越接

近于0,從而釬不越接近于。，因此橢圓越接近于圓；當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)，c=0,這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，

圖形變?yōu)閳A，它的方程為/+*=

2.求橢圓離心率或其取值范圍的方法

解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下：

(1)直接求出a,c,利用離心率公式e=;求解.

(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e=—與求解.

(3)構(gòu)造a,c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a,c的具體值，而是得出。與。的關(guān)系，從而求得

e.

3.雙曲線的離心率

(1)定義：雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>l.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因?yàn)樗詄越大，，越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=，5.

4.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法

(1)直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.

(2)列出含有凡4c的齊次方程(或不等式)，借助于〃=>一消去從轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)

求解.

5.拋物線的離心率

拋物線的離心率e=l.

【知識(shí)點(diǎn)2離心率的范圍問題的求解方法】

1.不等式法求離心率的范圍

(1)利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍：利用圓錐曲線的定義建立不等關(guān)系，結(jié)合離心率公式求解.

(2)利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率的范圍：利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：橢圓的最大角、雙曲線漸近線的

斜率、通徑、三角形中的邊角關(guān)系、曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的范圍等，建立不等式(不等式組)求解.

(3)利用題目條件中的不等關(guān)系，建立不等式(不等式組)求解.

(4)利用基本不等式求離心率的范圍：把離心率的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為能利用基本不等式的形式，利用基本不

等式建立不等關(guān)系進(jìn)行求解.

2.函數(shù)法求離心率的范圍

(1)根據(jù)題干條件，如圓錐曲線的定義、性質(zhì)、其他等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)

關(guān)系式；

(2)結(jié)合圓錐曲線的離心率的范圍，來確定所得函數(shù)的定義域；

(3)利用函數(shù)的性質(zhì)求最值或值域，進(jìn)而求解離心率的最值或取值范圍.

3.坐標(biāo)法求離心率的范圍

根據(jù)所給條件，設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程，結(jié)合相關(guān)知識(shí)，進(jìn)行求解即可.

?舉一反三

【題型1利用圓錐曲線的定義求離心率或其范圍】

【例1】(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(4,0),(-4,0),點(diǎn)(4,—6)在該雙

曲線上，則該雙曲線的離心率為()

A.V3B.3C.2D.V2

【解題思路】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得焦距2c,結(jié)合雙曲線定義計(jì)算可得2a,即可得離心率.

【解答過程】由題意，設(shè)%(—4,。)、F2(4,0)、P(4,—6),

則=2c=8,|P%|=「62+(4+4尸=io,ip&l=J62+(4-4尸=6,

則2a=|P%|—\PF2\=10—6=4,貝ije=y-=^=2.

故選：C.

【變式1-1](2024?廣西貴港?模擬預(yù)測(cè))已知正方形/BCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，且橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分

別為邊AD和8C的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為()

A.包B.3二C.旦D.漁

2222

【解題思路】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,邊/。和5C的中點(diǎn)分別為E,F,則2c=EF,2a=DE+DF,從而可

求出離心率.

【解答過程】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,邊/。和3c的中點(diǎn)分別為E,F,橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為。(a>0),半焦

距為c(c>0),

連接EF,DF,貝I]2c=EF=2,2a=DE+DF=1+Vl23+22=1+V5,

所以離心率2=(=熹=與i.

22

【變式1-2](23-24高二下?山西晉城?階段練習(xí))已知尸2是橢圓C彳+與=l(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),

河為。的頂點(diǎn)，若△MF1F2的內(nèi)心和重心重合，則C的離心率為()

A.—B.—C.-D.-

3223

【解題思路】根據(jù)△MF14的內(nèi)心和重心重合，判斷為等邊三角形，得a=2c即可.

【解答過程】如圖所示，M為橢圓C：9+/=l(a>b>0)的頂點(diǎn)，

且aMF/2的內(nèi)心和重心重合，

所以△MF1&為等邊三角形，

又因?yàn)閨M%|=|M尸2I=a,|F/2l=2c,

所以。=2c,

即e=*

故選：c.

【變式1-3]（2024?陜西商洛?三模）已知雙曲線C：9一/=1缶>0,b>。）的左、右焦點(diǎn)分別為%,尸2,若C

上存在點(diǎn)P,使得|PFil=3|P&I，貝UC的離心率的取值范圍為（）

A.[V2,+oo）B.（1,V2]C.[2,+8）D.（1,2]

【解題思路】根據(jù)雙曲線定義和|PFil=3|PBI，得到|PF2l=a,結(jié)合|PF2l2c—a,得到不等式，又雙曲

線的離心率大于1,得到答案.

【解答過程】因?yàn)閨P%|=3|PF2l，|PFil-IPBI=2a,所以|PBl=a，又|PBl2c-a,

所以a2c-a,所以離心率e=￡w2,又雙曲線的離心率大于1,所以l<eW2.

a

故選：D.

【題型2利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率或其范圍】

【例2】（2024?浙江杭州?三模）已知雙曲線捺一r=l（a,6>0）上存在關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的兩點(diǎn)4B,以

及雙曲線上的另一點(diǎn)C,使得△ABC為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.（V2,+oo）B.（國,+8）C.（2,+oo）D.（竽,+8）

【解題思路】設(shè)點(diǎn)4（%,y）,則可取C（-百y,Bx）,代入雙曲線方程整理可得/=黯/結(jié)合漸近線列式求

解即可.

【解答過程】由題意可知：雙曲線的漸近線方程為、=±3居

設(shè)點(diǎn)ZCr,y）,則可取C（-V^y,遍%）,

則［馬一『2=1，整理得馬二支（與，

I3yz3xz_（daz+3bzaL

S一鏟=i

解得挾>。2,即c2-q2>a2,可得%>2,則e=亍=

所以該雙曲線離心率的取值范圍是（魚,+8）.

故選：A.

【變式2-1］（23-24高二下?山西運(yùn)城?期中）已知%,尸2分別是橢圓C:馬+苔=1（。>0）的左、右焦點(diǎn)，過

ao

點(diǎn)%的直線交C于A,B兩點(diǎn)，若|力+出尸21的最大值為8,則C的離心率為（）.

A.—B.—C.—D.-

3232

【解題思路】橢圓定義有|4B|+\AF2\+\BF2\=4a,結(jié)合已知確定|2B|的最小值,即可求解.

【解答過程】由橢圓的定義，可知|48|+\AF2\+\BF2\=\AF］\+\AF2\+\BFX\+\BF2\=4a,

所以當(dāng)|4B|最小時(shí)，\AF2\+IBF2I最大，

由橢圓的性質(zhì)得，過橢圓焦點(diǎn)的弦中垂直于長(zhǎng)軸的弦最短,

當(dāng)直線N3垂直于x軸時(shí)，|力用取得最小值竺=工，此時(shí)|力產(chǎn)21+田p21=4（1-工=8,

aaa

由a>0解得a=3,此時(shí)C的離心率e=-='"一"=~6=與

aa33

故選：A.

【變式2-2](2024?四川?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線噌一，=l(a>0,b>0),￡力分別為E的右焦點(diǎn)和左頂點(diǎn),

點(diǎn)M(—2,3)是雙曲線E上的點(diǎn)，若△4MF的面積為?，則雙曲線E的離心率為()

A.V3B.2C.yD.V6

【解題思路】根據(jù)S3F=?、點(diǎn)”(-2,3)在E上，求出a,c可得答案.

【解答過程】由題設(shè)知，\AF\^a+c,貝5/MF=]MI陽=|/嬉=右

所以Q+C=3,且C>Q,易知0<a<5，

又因?yàn)辄c(diǎn)M(—2,3)在E上，所以*—W=l,所以4b2—9a2=a2b2,

因?yàn)閷?〃=落所以4(c2—a2)—9a2=a2(c2—a2),

則a4—13a2=c2(a2—4)=(3—a)2x(a2—4),化簡(jiǎn)得

/—3a2—4a+6=(a—1)(/—2a—6)—0,

解得Q=1或a=1土夕(舍去).所以a=l,c=2,

故E的離心率為￡=2.

a

22

【變式2-3](2024?陜西銅川?模擬預(yù)測(cè))已知％,尸2是橢圓￡a+與=Ma>人>0)的左、右焦點(diǎn)，若E上

存在不同的兩點(diǎn)48,使得不=V^劉，貝UE的離心率的取值范圍為()

A.(0,V2-l)B.(0,V2-1]C.(3-2V2,1)D.[3-242,1)

【解題思路】利用向量關(guān)系結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，

找到當(dāng)分別位于E的左、右頂點(diǎn)時(shí)，霜有最大值，求出離心率的取值范圍.

【解答過程】如圖，延長(zhǎng)AFi交橢圓于公,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，得取=a瓦，用=囚瓦，

當(dāng)41，力分別位于E的左、右頂點(diǎn)時(shí)，黑有最大值，

I4J11

又因?yàn)?B不重合，所以讓〉企，即盧〉企,

a—c1—e

解得e>3-2V2,

所以E的離心率的取值范圍為（3-2Vl1）.

故選：C.

【題型3利用等量關(guān)系或不等關(guān)系求離心率或其范圍】

【例3X2024?廣東深圳?二模）尸是橢圓C-+^=Ua>b>0）上一點(diǎn),是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，西?恒=

0,點(diǎn)Q在NF1PF2的平分線上，。為原點(diǎn)，OQIIP%，且|OQ|=b.則C的離心率為（）

A.-B.—C.—D.—

2332

【解題思路】設(shè)|PFil=m,\PF2\^n,由題意得出△AQP是等腰直角三角形，列方程組得到含a,c的齊次

方程求解離心率即可.

【解答過程】如圖，設(shè)出Fil=zn,\PF2\=n,延長(zhǎng)OQ交PF?于H

由題意知。QIIP%,。為F#2的中點(diǎn)，故4為中點(diǎn)，

又由NQP4=%則△4QP是等腰直角三角形，

m+n=2a

/+/靖，化簡(jiǎn)得產(chǎn)”=廿，即產(chǎn)=a+g,

b-mi/n+n=2a^n=a—b

(+-2n2=

代入?7^2+九2=4c2得(a+b)2+(a_b)2_4c2,

即4+扶=2c2,由扶=a2—所以2a2=3c2,

所以e2=I，e=y.

故選：C.

【變式3-1]（2024?江西南昌?三模）已知雙曲線C:5—，=l（a>0,匕>0）的左、右焦點(diǎn)分別為％,6?過尸2

作直線/與雙曲線C的右支交于力，B兩點(diǎn)，若△F〃B的周長(zhǎng)為106,則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

A.[y,V5]B.[y,V3]C.[|,2]D.[2,+8）

【解題思路】由雙曲線的定義可得△F14B的周長(zhǎng)為4a+2MBi=106,求得|4B|,再由過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)的最

小值，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求解.

【解答過程】由雙曲線的定義可得|4%|—=2a,|BF1|-|BF2|=2a,

兩式相加可得+\BFr\=4a+\AB\,

則△尸p48的周長(zhǎng)為+\AB\=4a+2\AB\=10b,即|4B|=5b-2a,

再由,，可得5ab—2a222b2,解得

由e=；=/+（?建停，詞.

故選：A.

【變式3-2]（2024?河北邯鄲?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：1-^=l（a>0,b>0）,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)[、F2

分別為C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且PF2軸，M在々BP%外角平分線上，且布?兩=0.若I。/2I=

|尸2M則雙曲線的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.竽

【解題思路】根據(jù)題意，由條件可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再結(jié)合條件可得PM垂直平分NF?，從而可得OM〃FiN,

再結(jié)合△OF2M?△%七%可得2M~/^F2PN,從而得到a,b,c的關(guān)系，由雙曲線離心率的計(jì)算公式即可

得到結(jié)果.

【解答過程】如圖所示，不妨設(shè)P在第一象限，延長(zhǎng)尸小與F2M交于點(diǎn)N,

因?yàn)镻%，％軸，產(chǎn)2（。,0）,將久=。代入雙曲線中，可得I一方=1，

解得y=±9,且P在第一象限，則P（a，f），

因?yàn)镸在N&P%的外角平分線上，且布?麗=0，

貝ijF2M1PM,NF2PM=乙NPM,

故PM垂直平分NF2,△PNB為等腰三角形,

2

所以IPF2I=|PN|=寧h，M為NF2中點(diǎn)，

因?yàn)?,M分別為F1F2,N&的中點(diǎn)，

則。M為的中位線，故。M〃尸iN,

111

\0M\=l\F±N\=*|%P|+|PN|)=*|%P|+\PF2\),

h2

由雙曲線的定義可得|FiP|-IPF2I=2a,貝“FiP|=2a+\PF2\=2a+，

所以|0M|="|%P|+|P尸2I)=[(2a+f+,)=a+J，

又因?yàn)镺M〃/iM則△OF2M?△Fi&M

因?yàn)镮O&I=尸2“1，所以△。尸2"，△Fi&N都是等腰三角形，

貝！=NNF1F2=ZOMF2=4F1NF2,

故△。/2M?△&「可，則器?=需

四2l叱21

又因?yàn)镮NF2I=2\MF2\=2\OF2\=2c,

2

b4

則，=于，整理可得2c2=/+*,

VCa

2222

因?yàn)樘?c—af則2c2=c—a+U),

ar

【變式3-3］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓。++左=l（a>b>。），直線I:y=］（久+a）與橢圓C

交于4B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在4點(diǎn)上方），。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。為圓心，|OB|為半徑的圓在點(diǎn)B處的切線與x軸交于點(diǎn)0,

若貝！|C的離心率的最大值為（）

A.-B.-C.—D.—

3222

【解題思路】首先得到A（—a,O）,由NBD4>NBA。得到一kBD>kBA,即只要一kBD>聯(lián)立直線與橢圓方

程，求出B點(diǎn)坐標(biāo)，由BD_L。8,即可表示出BD的斜率，再由一心。2［及a、b、c的關(guān)系求出離心率的取值

范圍，即可得解.

2"I

【解答過程】橢圓。京v+與=l（a>b>0）的左頂點(diǎn)為（一見0）,直線Z：y=*%+a）過點(diǎn)（一見0）,

且直線上y=*%+a）與橢圓C交于兩點(diǎn)（B點(diǎn)在4點(diǎn)上方），所以4（一見0）,

因?yàn)閆_B￡M>Z.BAD9只要一^BD—冊(cè)4，即只要一^BD-

得按/+1a2（%+a）2=a2fa2,即（4+4b2）x2+2a?x+a4-4a2b2=0（*）

a4-4a2b2

注意到/=-。為方程（*）的一個(gè)根，故%2=三二=喘黑，

11322

則mil丫2=53c+ia）\=式/-a?+4叱ab+a\）=西4ab行，

32222

r-rKIJ--nf-a+4ab4ab\力4日？4ab4b

所以點(diǎn)B（a2+4廬，再獷），可侍MB=_a3+4ab2=_川+4*

由于。故MD~一彳：產(chǎn),

令一kBDN得一。4：7>|=>2b2>a2=>2（a2-c2）>a2=>e2<

即0<eW'，所以離心率的取值范圍是（0,耳，則C的離心率的最大值為日.

故選：C.

【題型4利用正、余弦定理求離心率或其范圍】

【例4】（2024?廣西桂林?模擬預(yù)測(cè)）已知%、尸2是雙曲線C：?-9=1的左、右焦點(diǎn)，過尸2作雙曲線一條

漸近線的垂線，垂足為P,且IPF/2+由尸2『=8爐，則雙曲線C的離心率為（）

A.5Bc2V3D.V15

3-1c—3

【解題思路】先根據(jù)點(diǎn)到直線得距離公式求出IPF2I=6,在APOFz和△P。％中，求出cos乙POF2，COSNPOFI，

利用余弦相反構(gòu)造a,6,c的齊次式，即可得解.

【解答過程】尸2。0），點(diǎn)尸2到漸近線反一ay=0的距離為卷7=b,即|P&I=4

因?yàn)镮PF/2+IP尸2|2=8爐,所以|P%|=?b,\P0\=a,

在△P。4中，由余弦定理得：COSNP。尸2=巴￡；?

2

在△P。％中，由余弦定理得：COSNPOF1="+；：：廬

7

因?yàn)橐沂?2+4POF1=71,所以COSZ-POF2=—cos/POFi，

所以原+—力2=—（4+_7b2）,又廿=c2—a2,所以3c2=5a2,

所以e=J=孚

【變式4-1］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)4B分別為橢圓C:胃+/=1（。>6>0）的左、右頂點(diǎn)，M是C

上一點(diǎn)，且I"川=3:5:7,貝UC的離心率為（）

3n3V15c7V286

AA.-B.-C.—D.----

5711143

【解題思路】由題意，根據(jù)余弦定理和同角的商數(shù)關(guān)系可得tan^MAB=耳=kMA,tan^MBA=等=-kMB,

設(shè)貝!）左"4,KB=—當(dāng)，得4=結(jié)合后心率的概念即可求解.

ClCL143

［解答過程】在a中，由cos^MAB=此匕亙=11,

2x3x714

2

得sinZ-MAB=V1—cosZ.MAB=—,所以tanZ_MZB=色色=kMA,

1411

由cos/LMBA=52+72-32=—,得sin^MBA="-cos24MB4=—,

2x5x71414

所以t^nZ-MBA==—AMB,

設(shè)M（%o，y（））,則心力.=藝］詈^=3^7，

KB%0十a(chǎn)x（）—ax（）—a

又矍+患=1，；?7o=一今（焉一。2）,二kMA-kMB=-%

2

T7k卜_5V3/3V3\_45.h_45

乂化M4/MB—石X（石J——曲，??/一而，

._Il_^L—7^^

_一qa2_143.

故選：D.

【變式4-2](2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))設(shè)點(diǎn)Fi，B分別為雙曲線C：5一(=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),

點(diǎn)4,2分別在雙曲線C的左，右支上.若取=6取，AF21BF2,且I祈I>I兩I，則雙曲線的離心率為

()

【解題思路】由題意畫出圖形，設(shè)|用|=向五了|=6小，貝小南|=5m,由雙曲線的定義解得m=a

或m=ga,然后分類討論，并借助余弦定理和c2=。2+扶即可得解.

【解答過程】???用=6不，.,?/、B、%三點(diǎn)共線，

設(shè)|帝|=6|五同=6m,由雙曲線定義得由9=6爪一2a,\AF2\^2a+m,

222

所以|4B|=6根一巾=5巾，'：AF21BF2,A\AB\=\BF2\+\AF2\,

即(5m)2=(6m—2a)2+(2a+m)2,解得m=g或m=a,

由M&l>忸^，則2a+m>6m—2a,得zn<*所以Jn=g,

（4a）2+（2a）2-4c2解得e=等

COSN力B?2=需=3=COS/.F1BF2

2x4ax2a

故選：D.

一

【變式4-3]（23-24高二上?浙江杭州?期中）雙曲線C5一3=1（。>0">0）的左，右焦點(diǎn)分別為％,92,

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過％作。的一條漸近線的垂線，垂足為。，且|。尸21=夕1。/，則C的離心率為（）

A.V2B.2C.V5D.3

【解題思路】利用點(diǎn)到直線的距離公式求出利用勾股定理求出|。。|,由銳角三角函數(shù)得出

coszDOFi=p在△DOF2利用余弦定理可得出。、6、c的齊次方程，可解出雙曲線C離心率e的值.

【解答過程】如下圖所示，雙曲線C的左焦點(diǎn)Fi（-c,0）,漸近線％的方程為"一ay=0,

由點(diǎn)到直線的距離公式可得IDF/=r-^-—=-=b,

由勾股定理得|。。|=J|叫|2_g|2=相=P=a,

在中，可知COSNDO%=耦=￡,

在△。。尸2中，貝i」|OD|=a,|DF2|=V7a,|。&1=c,

可得COSZ.DOF2=cos(IT-NDOFi)=—cosZ.DOF1=—

由余弦定理得藍(lán)需了“=/F=-7

整理得=4a2,即c=2a,

所以雙曲線C的離心率為e=￡=2.

a

故選：B.

【題型5利用基本不等式求離心率的范圍】

【例5】（23-24高二上?安徽黃山?期末）已知點(diǎn)Fi是橢圓5+，=1（。>6>0）的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線Z

交橢圓于4、B兩點(diǎn)，M、N分別是力Fi、BFi的中點(diǎn)，若NM0N=90。，則橢圓離心率的最小值為（）

A-B.五c-D.V2

?44-22

【解題思路】令橢圓右焦點(diǎn)為尸2,根據(jù)給定條件，判斷四邊形4%8尸2為矩形，再利用橢圓定義結(jié)合均值不

等式求解作答.

【解答過程】令橢圓右焦點(diǎn)為尸2,半焦距為C,連接4尸2,8尸2,因?yàn)镸、N分別是4%、8%的中點(diǎn)，。為F/2

的中點(diǎn)，

貝|JOM〃4F2,ON〃BF2，而AMON=90。，則有乙4F2B=90。，又點(diǎn)2關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，

即四邊形”/尸2為平行四邊形，且是矩形，于是NFI”2=90°,有|”I|2+MF2E=舊尸2巴\AFr\+

\AF2\=2a,

因止匕(M%|+\AF2\y=/1尸2『+2\AFX\■\AF2\＜|F14|2+2(空等型尸，當(dāng)且僅當(dāng)|4F]|=\AF2\=a時(shí)

取等號(hào)，

即有4a2W4c2+2a2,則離心率e有e?2：,而0<e<l,解得?We<l,

a4222

所以橢圓離心率的最小值為日.

故選：D.

【變式5-1](23-24高三上?云南曲靖?階段練習(xí))已知尸0尸2，分別為雙曲線真一，=1(。＞°，。＞。)

的左、右焦點(diǎn)，M為雙曲線左支上任意一點(diǎn)，若黑的最小值為8a,則雙曲線離心率e的取值范圍是()

|MF1|

A.(I,1]B.(2,4]

C.(1,3]D.(3,5]

【解題思路】由雙曲線定義黑=寫產(chǎn)，變形后由基本不等式得最小值，從而得|M%|=2a,再利用

雙曲線中的范圍有＞c-a,由此結(jié)合可得離心率的范圍.

【解答過程】Fi，/2是左、右焦點(diǎn)，M為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，

貝1JIMF2I-IMFJ=2a,BP|MF2|=\MFr\+2a,

代入^^^得^=呻什*=1\MFi11|+蘭+4a>121l1\MFr\x-^-+4a=8a,

|MFi||MFi|IMF/|MFi|\\MFr\

當(dāng)且僅當(dāng)IMF/=2a時(shí)取等號(hào)，即|M%|=2a,

又點(diǎn)M是雙曲線左支上任意一點(diǎn)，所以|MF/Nc-a,即2aNc-a,解得eW3,

所以雙曲線離心率e的取值范圍是（L3].

故選：C.

【變式5-2]（23-24高二?全國?課后作業(yè)）已知Fi，4分別為雙曲線總一/=1（。>。">。）的左、右焦點(diǎn)，

尸為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，若黑的最小值為8a,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（）

A.（1,2）B.（1,3）C.（1,3]D.（2,4）

【解題思路】設(shè)伊F21=小，則niNc—a,根據(jù)雙曲線的定義〔PF/=m+2a,再利用基本不等式求出蹙

四21

的最小值，從而得到m=2a>c-a,即可求出離心率的取值范圍.

【解答過程】解：設(shè)|尸尸21=血，則血Nc—a,由雙曲線的定義知|PFi|—|P4l=2a,

/.\PF\=m+2a,廠”=—+2a）_血+絲_+4a之2Im?—+4a=8a,當(dāng)且僅當(dāng)m,即m=2a時(shí)，

r\PF2\mm\mm

等號(hào)成立，

當(dāng)^^的最小值為8a時(shí)，1PF/=4a,IPF2I=2a,此時(shí)zn=2aNc-a,解得e=￡W3,又e>1,，ee

(13].

故選：C.

【變式5-3]（2024?河南，二模）從橢圓。9+/=1（￡1>6>0）外一點(diǎn)。（久0，%）向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分

別為48,則直線A8稱作點(diǎn)P關(guān)于橢圓C的極線，其方程為簧+竿=1.現(xiàn)有如圖所示的兩個(gè)橢圓的,。2,離

心率分別為ei，e2，C2內(nèi)含于的，橢圓Q上的任意一點(diǎn)M關(guān)于C2的極線為/,若原點(diǎn)。到直線/的距離為1,則謚-

c-D-i

23?5

【解題思路】根據(jù)定義寫出極線的方程，由距離公式列出一個(gè)方程，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓的上找到ei，02的關(guān)系

再進(jìn)行求解.

【解答過程】設(shè)次配,即），橢圓的方程：3+看=1，橢圓。2方程：1+^=1,則有藉+藉=1①

由極線的定義得直線/的方程為箋+等=1,

原點(diǎn)。到直線/的距離d=*==l,化簡(jiǎn)得4+理=1②，

“與b2

甘可

對(duì)比①②式得出式=或足=峙,則有比=1_一勖（1+勃=啾2_名），

所以好一/=匿（1一y）<（弋電）=Q）2=*

當(dāng)且僅當(dāng)歐=1-腎，即62=日時(shí)取等，此時(shí)61=當(dāng)

故選：D.

【題型6橢圓與雙曲線綜合的離心率問題】

【例6】（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的：5+y2=1（7n>1）與雙曲線。2：捻―儼二武九〉。）的

焦點(diǎn)重合，61，02分別為的，。2的離心率，則（）

A.>2B.G+?2>2

C.0<e1e2<2D.0Ve1+3<2

【解題思路】由題意可得由離心率的定義結(jié)合上式化簡(jiǎn)可然+.2,再由基本不等式

可得B正確；D錯(cuò)誤；再舉反例可得AC錯(cuò)誤.

【解答過程】由已知得加一1=層+1，尹廣金+忌=岳+*=>=2.

m2n2

由荔+荔〉~得。送2>1，又+%>2'?送2>2,

>1/V3V6n.3V2、

。2=5時(shí)，ere2=-<2,

當(dāng)黑，％=2迎時(shí)，？送2=^^>2.

故選：B.

【變式6-1］（2024?山東荷澤?二模）已知ei，e2分別為橢圓9+l（a>6>0）和雙曲線=1的離心

率，雙曲線漸近線的斜率不超過孚，則名的最大值是（）

561

A.2B.3C.4D.5

【解題思路】根據(jù)橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，求出也=噫,令k=L結(jié)合管，即可求解.

ei\好一Maa5

【解答過程】由橢圓會(huì)+方=1(。＞b＞0)的離心率Ci=1=J1

雙曲線的離心率02="乒，可得獰唇=，窯，

令k=2,因?yàn)殡p曲線的漸近線的斜率不超過竺，即第，

a5a5

則0＜上24(，此時(shí)(件)2=；工=-1+iZ'e(L9],即te(l,3],

則也的最大值是3.

ei

故選：B.

【變式6-2](2024?全國?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓的:《+《=1(機(jī)＞踐＞0)與雙曲線牡:捺―，=l(a＞0"＞0)

有共同的焦點(diǎn)Fi，尸2，點(diǎn)P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且NF1PF2=60°,橢圓的離心率為ei，雙曲線的離心率

為02，那么謚+為最小為()

A2+V3c2+V3八3+2V2c3+2V2

A.-----B.-----C.-------D.-------

4242

【解題思路】分別在橢圓和雙曲線中，利用焦點(diǎn)三角形中的余弦定理建立等量關(guān)系，再構(gòu)造4+鄉(xiāng)=4,利

用基本不等式，即可求解.

2

【解答過程】設(shè)兩曲線的半焦距為c,由余弦定理得舊4[2=IPF/2+\PF2\-2IPF1I?|PF21cos60°.

2

在橢圓中，|尸同2=(|P%|+|PF2|)-2\PF1\-\PF2\(1+cos60。),

得|PFil?\PF2\=2儲(chǔ)。=3n2.

2

在雙曲線中，|尸抵|2=(|PF1|-|PF2|)+21PBi?|PF2I(1-COS60。)，

得|PF1HP尸2I=12'=4b2.從而?=4匕2,得九2=3/,

則/二九2+=3b2+c2,a2=c2—b2,即―+3a2-4c2,彳+[=4,

CLCL

即2W=4.

所以M+e”9?+嘮(5+J)=：(4+1|+詈)N9x(4+2b)=等，

當(dāng)且僅當(dāng)歐=再,=平時(shí)等號(hào)成立.

故選：B.

【變式6-3]（23-24高二上?湖北荊州?期末）已知心,尸2是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共

點(diǎn)，且|PFj>|PF2l，線段PFi的垂直平分線過尸2,若橢圓的離心率為er雙曲線的離心率為e2，則2+:

的最小值為（）

A.8B.6C.4D.2

【解題思路】由于線段PFi的垂直平分線過尸2,所以有=1^2b再根據(jù)雙曲線和橢圓的定義，求出2c

的表達(dá)式，然后利用基本不等式來求得最小值.

【解答過程】設(shè)橢圓對(duì)應(yīng)的參數(shù)為由,瓦,c,雙曲線對(duì)應(yīng)的參數(shù)為。2/2，的

由于線段P%的垂直平分線過尸2，所以有|尸1尸21=由921=2c.

根據(jù)雙曲線和橢圓的定義有僅%卡）=打，

-2c=2a2

兩式相減得到4c=2（的-02），即一。2=2c,

a2>0,c>0,

所以巳+也=也+工=4+也+工>4+2陛?上=6,

ei2c2a2c2a2yc2a2

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?點(diǎn)即c=2a2等號(hào)成立，即最小值為6.

故選：B.

【題型7函數(shù)法求離心率或其范圍】

22

【例7】（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓「展+方=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為?口吃，點(diǎn)P在橢圓1

上，且耐?耐=0.若削e[1,3],則橢圓「的離心率的取值范圍是（）

A?肉1）B.憐用C.盟D.[p4-2V3]

【解題思路】設(shè)|PFil=IPF2I=n，由已知及橢圓概念，可得nrn=2/和瓶+幾=2a,則■可由b、c

表示，再由晶e[1,3],可通過換元及函數(shù)單調(diào)性得到離心率的取值范圍.

P^21

【解答過程】因?yàn)槟?蟲=0,所以P%_LPF2.設(shè)|P尸11二私|尸&1=九，則血+九=2。，

222222222

在Rt△F1PF2中，m+n=4c,所以2nm=（m+n）—（m+n）=4a—4c=4b,

即mn=2板.則"+乙=江=與，

nmmnD

令;=3由■^卷€[1,3],得則力+；=今,

由于函數(shù)y=t+:在[1,3]上單調(diào)遞增，

則看=t+}<2,斗所以］e［詞,

即:―1=亨=/［1卦所以舐區(qū)|〕,”，引,

故離心率e="J―。e怪用?

故選：B.

【變式7-1］(2024?河北邯鄲?二模)已知直線1：abx-(4a-l)y+m=0(a>1)與雙曲線會(huì)一方=

l(a>0,b>0)的兩條漸近線交于42兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△0/3為直角三角形，則雙曲線的離心率

e的最大值為()

A.V2B.V3C.2D.V5

【解題思路】當(dāng)N40B=］時(shí)，e=V2；當(dāng)N04B=］或N0B4=］時(shí)，求出e2=-5+：+l,

再利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出函數(shù)的最大值即得解.

【解答過程】解：當(dāng)N40B=］時(shí)，雙曲線是等軸雙曲線時(shí)，e=V2；

當(dāng)或4。84=弱寸，雙曲線不是等軸雙曲線時(shí)，直線/與漸近線中的一條垂直，

所以日Xj，

4a—1a

h2=4a—1,

r-r-9c2a^+b21,4,,,1

所以，=/=『=_/+展+l=_q_2)+5<5,

當(dāng)。=斷寸，取得最大值；

??e<V5.

所以雙曲線的離心率e的最大值為遙.

故選：D.

【變式7-2］(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知Q是橢圓”:?+，=1(0<b<3)上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)P(2,0)

的距離|PQ|的最小值為1,則橢圓M的離心率的取值范圍是()

A.［泊B.(0,第C.憐1)D.(0,當(dāng)

【解題思路】設(shè)Q(3cos0,bsin。)，整理可得|PQ『=(9一/^cos??！?2cos9+4+川，根據(jù)題意結(jié)合二次函

數(shù)分析可得34抉<%進(jìn)而可求離心率.

【解答過程】由題意可設(shè)：Q(3cos6,bsin。)，

則|PQ|2-(3cos0—2)2+h2sin20=(3cos0—2)2+b2(l—cos20)

=(9—b2)cos20-12cos0+4+%

令t=cos0G[—1,1],則|PQ，=(9—b2)t2—12t+4+按,

注意到0VbV3,則9一/>0,

可知AX)=(9-b2)t2-12C+4+/的圖象開口向上，對(duì)稱軸為t=白>0,

當(dāng)事<1,即0<按<3