陜西省安康市2024-2025學(xué)年高二年級上冊期中考試檢測數(shù)學(xué)試卷

陜西省安康市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試檢測數(shù)學(xué)

試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/=任|%2+苫-240},0="€2|尤|42}，則〃cQ=()

A.{0,1}B.{-2,-1,0,1}C.[-2,1]D.[0,1]

2.若復(fù)數(shù)z=5+3i，且iz=a+eA),則a+6=

A-2B--2C'-8D-8

3.已知直線4：》+2了+5=0與4：3尤+9+6=0平行,且1過點(-3,1),則巴=()

C

A._3B.3--2D.2

,什tana=2ncos2a,,..,

4.若，則.c,的值為()

sin2a+cosa

A.--B.0f|C.-D.-

452

5.直線y=2x+6被圓（x+2『+V=4截得的弦長為（)

A.回B.5/C.8石D.2業(yè)

35

6.如圖，在直三棱柱48c-48cl中，V4BC是等邊三角形，回=也,AB=2,則點C

到直線力用的距離為（）

試卷第11頁，共33頁

A.^6B.C.2^D.巫

3333

7.已知圓G：X2+/=1與圓G：（x_q『+（y_l）2=]6g>0）有4條公切線，則實數(shù)。的取

值范圍是（）

A.（。,2夜）B,（2板,+8）

C.（0,2灰）D.（2跖+8）

8.如圖，在棱長為2的正方體45。>_48￡2中，P為4口的中點，。為/向上任意一

點，￡,尸為CD上兩點，且斯的長為定值，則下面四個值中不是定值的是（）

A.點P到平面QE戶的距離

B.直線尸0與平面尸石尸所成的角

C.△QE尸的面積

試卷第21頁，共33頁

D.三棱錐尸-QEF的體積

二、多選題

9.已知直線y=2x與x+y+a=O交于點尸（1/），則（）

A.a=-3嗔

b=2

C.點尸到直線"+“+3=°的距離為名叵

13

D.點尸到直線^+勿+3=°的距離為迤

13

10.已知空間向量￡=（_3,-1,2）,5=（3,3,1），則下列說法正確的是（）

A.（3Q+2B）//QB.Q_L（5Q+7B）

C.|a|=V14D,1^1=719

11.直線y=2x+加與曲線"="73恰有兩個交點，則實數(shù)加的值可能是（

9

-AB.C4.D5

2-

三、填空題

12.過點（3,1）且在x軸、V軸上截距相等的直線方程為.

13.若正實數(shù)。，6滿足4°+6=M，則4“+6的最小值是一

試卷第31頁，共33頁

14.己知圓C：X2+/=4,從點E(-4,2)出發(fā)的光線經(jīng)過x軸反射后的反射光線要想不被

圓C擋住從而到達點廠(5,加)(當(dāng)光線與圓相切時也認(rèn)為光線沒被圓擋住)，則實數(shù)機的取

值范圍為—.

四、解答題

15.已知V4BC的頂點坐標(biāo)為一1,6),8(-3,-1),。(4,21

(1)若點。是4C邊上的中點，求直線go的方程；

(2)求邊上的高所在的直線方程.

AAnR

16.已知圓C過點4(0,1)，且圓心。在直線丫口工生B上.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點尸(-4,2)的直線/與圓C相切，求直線/的方程.

17.如圖，在直三棱柱-445中，48J_/C,/8=/C=/4，點E,尸分別為棱

48,44的中點?

(1)求證：4F//平面81C￡;

(2)求直線ClE與直線AF的夾角的余弦值.

18.已知x,，是實數(shù)，且(x7『+(y_2『=4-

試卷第41頁，共33頁

(1)求3x+4y的最值;

(2)求上的取值范圍;

X

⑶求產(chǎn)衣的最值?

19.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，四邊形48CL(為矩形，AB=242,BC^2,平面尸/C，

平面N3CLH且P/=PC，點￡,斤分別是棱PC的中點，

(1)求證平面尸/C；

(2)若直線PA與平面PBD所成的角的正弦值為亞.

3

①求.的長；

1

②求平面與平面FDR的夾角的余弦值.

rpUrE)jFrUD

試卷第51頁，共33頁

參考答案:

題號12345678910

答案AADBCCDBABDBCD

題號11

答案BC

1.A

【分析】分別求得集合.和N，根據(jù)交集的定義即可求解.

【詳解】由題可知，M={x\-2<x<l}^0={0,1,2}，

所以Mc0={O,l}，

故選：A.

2.A

【詳解】因為z=5+31，所以匕=一3+5]=。+n,/.4=一3,6=5,「.4+6=2,故選A.

3.D

【分析】根據(jù)兩直線平行的條件求出〃=6,將代入直線4求出b=3即可.

【詳解】因為直線4：x+2y+5=0與直線4:3%+@+6=0平行，

所以Ixq-2x3，解得a-6f

又直線，2過則-9+6+b=0，解得6=3,

經(jīng)驗證4與4不重合，所以3=2.

b

故選：D.

4.B

【分析】利用二倍角公式及正余弦齊次式法求值即得.

■、江左力..tana=2/曰cos2acos2a-sin2a1-tan2a1-223

【詳解】由，W---------^―=—：----------^―=--------=------=一一

sin2a+cosa2sin?cosa+cosa2tana+12x2+15

故選：B

答案第11頁，共22頁

5.C

【分析】先求圓心到直線的距離，結(jié)合垂徑定理求弦長.

【詳解】由題意可知：圓（》+2『+/=4的圓心為（-2,0），半徑廠=2,

圓心（一2，。）到直線"-了+6=0的距離為八艮!*=2，

所以直線被圓截得的弦長為26彳=述.

5

故選：C.

6.C

【分析】取NC的中點。，以03所在直線為X軸，OC所在直線為V軸，。與4G中點連

線所在直線為Z軸，建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

【詳解】解：取/C的中點0，

則8O_L/C,8O=5

以所在直線為x軸，oc所在直線為、軸，。與4G中點連線所在直線為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一孫Z，

所以/（0,-1,0）田（后0,后）,40,1,0）,

所以而在函上的投影的長度為回魴=二_=",

\AB}|V63

答案第21頁，共22頁

zA

CAB,

故點到直線的距離為1=MC「_使

3

故選：C.

7.D

【分析】根據(jù)公切線的條數(shù)可知兩圓外離得：馬。

【詳解】根據(jù)題意可知，圓eq外離，/小+，2，▽1>1+4?/>24,又

a>O,:.a>2A/6?

故選：D

8.B

【分析】對ACD,根據(jù)斯面積表達式確定其面積，結(jié)合平面QEF為確定的面判斷即

可；對B,根據(jù)尸所為確定面，進而分析直線尸。與平面尸防所成的角是否變化即可；

【詳解】對A,因為平面0E尸即平面4℃片為確定的面，且點尸為確定的點，故點尸到平

面0￡尸的距離為定值；

對B,易得平面尸為平面，且//DC，4耳也平面尸E尸，DCu平面PEF,故

44〃平面尸￡戶.因為,故。到平面PE戶的距離為定值，又尸0長度不為定值，故

答案第31頁，共22頁

P0與平面PEF所成的角的正弦不為定值，即尸。與平面PEF所成的角不確定;

對CD,因為。到斯的距離為定值，故尸為定值，由A可得點尸到平面以戶的距離

為定值，故三棱錐P-QE尸的體積為定值，故斯的面積與三棱錐尸的體積均為

定值；

故選：B.

9.ABD

【分析】聯(lián)立直線方程結(jié)合其交點坐標(biāo)求參數(shù)。、b,進而應(yīng)用點線距離公式求？到直線

亦+如+3=0的距離即可.

【詳解】由題意，得：P=2,解得"=-3,b=2,故人、B正確，

[1+6+Q=0

氧21-3無+2y+3=0|-3+4+3|_4713

???到直線的距離?=八_3)?+22=三一'故C錯誤，D正確.

故選：ABD.

10.BCD

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算，以及向量的共線和垂直的坐標(biāo)表示，準(zhǔn)確計算,

即可求解.

【詳解】因為向量3=(一3,-1,2),5=(3,3,1)，可得同2=1“工=-10，

對于A中,由3。+2彼=(一3,3,8)，設(shè)3公+2刃=蘇，gP(-3,3,8)=2(-3,-1,2)-

-3=-3A3a+1ba

可得3=4，此時方程組無解，所以與不平行，所以A錯誤；

8=24

對于B中，由小(53+7辦)=5a2+1a-b=5xl4+7x(-10)=0,

答案第41頁，共22頁

所以a，(53+7B),所以B正確；

對于c中，由同=1-3)2+(-1)2+22=舊,所以C正確；

對于D中，由］=j32+32+『=M,所以D正確.

故選：BCD.

11.BC

【分析】由曲線y=表示圓一+y=4在x軸的上半部分，利用直線與圓相切求出加

的值，結(jié)合圖形即可得答案.

【詳解】解：曲線尸”7/表示圓/+y=4在x軸的上半部分，

2

當(dāng)直線)=2》+加與圓x+/=4相切時，_H=2；解得旭=±2后，

所以由圖可知實數(shù)機的取值范圍為426，

故選：BC.

12.x+y_4=0或x_3y=0

【分析】由題意，截距相等包括截距都為0和截距相等且不為0兩種情況，分別用點斜式

與截距式求解方程即得.

答案第51頁，共22頁

【詳解】設(shè)直線在X軸、歹軸上的截距均為4，

①若"二°,即直線過原點，設(shè)直線方程為，=入，代入（3」），可得左=」，

3

故直線方程為y=；x,即“一3了=0；

②若"二°,則直線方程為'+2=1,代入（3/）可得之+1=1,

aaaa

解得〃=4，故直線方程為x+歹-4=0-

綜上所述：所求直線方程為x+y-4=0或x-3y=0.

故答案為：％+y-4=0或工-3>=0.

316

【分析】由基本不等式得到4AV（4。+6）2,將4。+°=岫代入，求出最小值.

4ab<-------

4

【詳解】因為由基本不等式得<A<（4。+6）2,

Aab<-------

4

即4（4?）V）2,解得小吐16,

當(dāng)且僅當(dāng)4a=6，即a=2,6=8時，等號成立.

故答案為：16

14.[10,+8）

【分析】令從點￡（-4,2）出發(fā)的光線射到x軸上的入射點為B,反射光線的反向延長線必過

答案第61頁，共22頁

點￡(-4,-2),設(shè)直線￡8的方程為〉=以彳+4)_2,(%＞0)，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出

人的取值范圍，再由機=9%-2求出心的范圍.

【詳解】令從點E(-4,2)出發(fā)的光線射到x軸上的入射點為B，反射光線的反向延長線必過

點E'(T,-2)，

設(shè)直線E'B的方程為了=依＞+4)-2,?。?)，

當(dāng)直線E5與圓c：/+/=4相交時，反射光線被圓C擋住不能到達點尸(5,以)，

則不被擋住時，平工解得后或(舍去)，

7F7T3

直線E'2與直線x=5的交點尸(5,加)，因此m=9左-2210，

所以實數(shù)旭的取值范圍為［10,+8).

15.(l)10x-9y+21=0

(2)2x+7y-22=0

【分析】(1)由中點坐標(biāo)公式得到。(g,4)，再由兩點求出斜率，最后有點斜式方程求出

答案第71頁，共22頁

即可;

AR9

(2)由兩直線垂直求出邊上的高所在的直線的斜率為-工，再由點斜式得到直線方程

7

即可；

【詳解】(1)因為點。是“°邊上的中點，則。(1，力，

_-1-410

所以須

-j—

2

所以直線助的方程為y+l=￡(x+3),

即10x—9歹+21=0;

-1-67

(2)因為

-3+1-5

所以“'邊上的高所在的直線的斜率為-2,

7

所以“'邊上的高所在的直線方程為了-2=-：(>4),即加+7y-22=0.

16.(1)(x+2)2+(y-1)2=4；(2)x=_4或3x_4y+20=0.

【解析】(1)圓C過點/(oj),5(-2,-1)-且圓心C在直線y目x處上，可用待定系數(shù)法

求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求圓的切線,分斜率存在和斜率不存在兩種情況討論.

【詳解】解：(1)直線N8的斜率為上上1=1,線段的中點坐標(biāo)為(T'°)

0-(-2)

直線AB的垂直平分線的方程為y=_(x+1),整理為y=-x-l

答案第81頁，共22頁

聯(lián)立方程?=x+3,解得「=一2

[y=_xT[y=i

由圓C的性質(zhì)可知，圓心c的坐標(biāo)為（-2,1）,可得圓c的半徑為|/c|=2

故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）2+（>>-1）2=4

（2）①當(dāng)直線/的斜率不存在時，直線丫=_4正好與圓。相切，

故此時直線/的方程為x=_4

②當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線I的方程為尸2=《（X+4），

整理為kx-y+Ak+2=0

由直線/與圓C相切，有口二+"+2]=2,解得左=3

可得直線I的方程為士x-y+5=0,

4

整理為3x-4.y+20=0

故直線/的方程為x=-4或3x-4y+20=0.

【點睛】求圓的切線方程的思路通常有兩種：

（1）幾何法:用圓心到直線的距離等于半徑；

（2）代數(shù)法:直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用A=0.

17.（1）答案見解析

⑵立

5

【分析】（1）先證口.即/，再由線線平行正線面平行即可；

（2）由題意建系，求出相關(guān)點和向量的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式計算即得.

答案第91頁，共22頁

【詳解】(1)因48C-431cl是直三棱柱，則48〃4穌48=44，

又因點￡,尸分別為棱AB,44的中點，P斤以4E〃BF，AE=BF，

則四邊形/Eq廠是平行四邊形，所以AF//B[E，

又因/尸(z平面B.CE,B、Eu平面B\CE，故AF11平面BXCE；

(2)

ZA

如圖，因直三棱柱/2C-/4cl中48/ZC，故可以A為原點，以/2,/C,44]

所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)44j=2，則G(0,2,2),￡(1,0,0),尸(1,0,2)，于是甲=(1,-2,-2),萬=(1,0,2)，

QEAFe___\C^E.AF\/7

設(shè)直線與直線的夾角為，則cosO=卜os〈GE,//〉卜j右定=彳,

故直線G“與直線”/的夾角的余弦值為啦.

5

18.(1)21

(2),oo,-gU[0,+oo)

(3)最小值為百一2,最大值為6+2

答案第101頁，共22頁

【分析】（1）首先設(shè)3x+4y=z，利用直線與圓有交點，列式求z的最值；

（2）首先設(shè)左=2,轉(zhuǎn)化為直線"用的與圓有交點，列不等式求％的取值范圍；

X

（3）根據(jù)不了的幾何意義，轉(zhuǎn)化為圓上的點與原點距離的最值.

【詳解】（1）設(shè)3x+4y=z，化為3x+4y-z=0，

可知直線3x+4y-z=0與圓（x_i）2+（y_2『=4有交點，圓心（1,2），半徑為2,

<I3+8_ZI<2>解得1"21,

5

可得3x+4y的最小值為1，最大值為21；

（2）設(shè)左=上，化為.用項，

X

可知直線Ax西^B0與圓+（,一2）2_4有父點，

有卜解得或《V/，

故上的取值范圍為1-00,-gU[0,+oo）;

（3）/T寧的幾何意義為坐標(biāo)原點到圓（x_]『+（y_2）2=4上任意一點的距離，

圓（x_iy+（j,_2）2=4的圓心到坐標(biāo)原點的距離為彳百=指，

故后k的最小值為行-2,最大值為火+2?

19.（1）答案見解析

⑵①2；②2庶

11

答案第111頁，共22頁

【分析】（1）利用二角函數(shù)先證/c,，記8Z）c/C=O，連接尸0，再證「o’平面

ABCD,得P0工DE,由線線垂直即可推得線面垂直；

（2）①通過建系，寫出相關(guān)點和向量坐標(biāo)，求得平面尸A3的法向量坐標(biāo)，利用空間向量

的夾角公式列方程，求解即得；②分別求出兩平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計

算即得.

【詳解】⑴在矩形4BCD中，AB：BC=y/2：l＞且E是A8的中點，

6..ZADE=ZCAB

tan/ADE=tan/CAB='故'

2

又/G45+Z714C=90°，則//DE+/D/C=90°，即NC_LOE，

如圖，記=連接P。，

因ABCZ）是矩形，故°是/c的中點，又PA=PC，所以PO_L/C，

又平面尸NC_L平面48cD,平面尸/CPI平面48co=/C,尸Ou平面尸/C,故尸。_L平面

ABCD,

又DEu平面/BCD，所以P0_LDE，

又NCCPO=O,/C,POu平面尸NC,所以。E_L平面上4C;

(2)

答案第121頁，共22頁

z,

C

?