2024-2025學年廣西南寧桂鼎學校高三（上）質檢數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣西南寧桂鼎學校高三（上）質檢數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z滿足z=1?i，則|z|=(

)A.?1 B.1 C.2 D.2.下列命題中真命題的個數(shù)是(

)

①?x∈R，x2≤0；

②至少有一個整數(shù)，它既不是合數(shù)，也不是素數(shù)；

③?x∈{x|x是無理數(shù)}，xA.0 B.1 C.2 D.33.已知向量a，b滿足|a|=2|b|=2，且b⊥(A.1 B.2 C.2 D.4.某試驗田種植甲、乙兩種水稻，面積相等的兩塊稻田(種植環(huán)境相同)連續(xù)5次的產量如下：甲/kg260250210250280乙/kg220260230250290則下列說法錯誤的是(

)A.甲種水稻產量的眾數(shù)為250

B.乙種水稻產量的極差為70

C.甲種水稻產量的平均數(shù)等于乙種水稻產量的平均數(shù)

D.甲種水稻產量的方差大于乙種水稻產量的方差5.如圖，在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足．當點P在圓上運動時，線段PD的中點MA.x24+y2=1

B.x6.已知函數(shù)f(x)=2cosx+1，x∈[π6,2π]的圖象與直線y=t有兩個交點，則t的最大值為A.1 B.2 C.32+17.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB⊥AC，AA1=BC=5.M是A.12 B.2 C.13 8.若a+b+c=4，3a+2b?c=0，則ab的最大值為(

)A.16 B.36 C.1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=3sin(2x?π4)+1，下列結論中正確的是A.函數(shù)f(x)的周期是π B.函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=π8對稱

C.函數(shù)f(x)的最小值是?2 D.函數(shù)f(x)的圖象關于點10.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，C上一點P到F和到y(tǒng)軸的距離分別為12和10，且點P位于第一象限，以線段PF為直徑的圓記為Ω，則下列說法正確的是(

)A.p=4

B.C的準線方程為y=?2

C.圓Ω的標準方程為(x?6)2+(y?25)2=36

D.若過點(0,25)，且與直線OP(O為坐標原點11.已知函數(shù)f(x)=x3?3xA.f(x)的極小值為2

B.f(x)有三個零點

C.點(1,2)是曲線y=f(x)的對稱中心

D.直線y=?3x+5是曲線y=f(x)的切線三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a5+a913.某商場在過道上設有兩排座位(每排4座)供顧客休息，小明、小紅等四位同學去商場購物后坐在座位上休息，已知該時段座位上空無一人，則不同的坐法有______種；若小明和小紅坐在同一排，且每排都要有人坐，則不同的坐法有______種.(用數(shù)字作答)14.已知角α終邊上一點P(?4,3)，求sin(π?α)cos(3π+α)tanα四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知a，b，c分別為銳角△ABC三個內角A，B，C的對邊，且2b=c+2acosC．

(1)求A；

(2)若a=3，求△ABC16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x?aex，a∈R．

(Ⅰ)若f′(0)=4，求a的值；

(Ⅱ)當a=0時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(Ⅲ)若f(x)在x=2時取得極值，求17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，△PCD是邊長為2的正三角形，∠BCD=60°．

(1)求證：PB⊥CD；

(2)若平面PCD⊥平面ABCD，求二面角A?PD?C的余弦值．18.(本小題17分)

某食品生產廠生產某種市場需求量很大的食品，這種食品有A、B兩類關鍵元素含量指標需要檢測，設兩元素含量指標達標與否互不影響.若A元素指標達標的概率為34，B元素指標達標的概率為89，按質量檢驗規(guī)定：兩元素含量指標都達標的食品才為合格品．

(1)一個食品經過檢測，求AB兩類元素至少一類元素含量指標達標的概率；

(2)任意依次抽取該種食品4個，設ξ表示其中合格品的個數(shù)，求ξ分布列及E(ξ)．19.(本小題17分)

已知在正項數(shù)列{an}中，a1=2，點An(an,an+1)在雙曲線y2?x2=1上.在數(shù)列{bn}中，點(bn,參考答案1.C

2.D

3.D

4.D

5.A

6.D

7.B

8.C

9.AC

10.ACD

11.CD

12.16

13.1680

672

14.?315.解：(1)∵2b=c+2acosC．

∴由正弦定理可得：2sinB=sinC+2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC，

∴可得：sinC=2cosAsinC，

∵C為三角形內角，sinC≠0，解得cosA=12，A∈(0,π)，

∴A=π3．

(2)因為A=π3，a=3，

利用正弦定理得：?asinA=csinC=bsinB=332=2，

所以c=2sinC，b=2sinB

所以a+b+c=16.解：(Ⅰ)f(x)=x?aex，定義域為(?∞,+∞)，

f′(x)=ex?(x?a)ex(ex)2=1?x+aex．

∵f′(0)=4，∴1+a=4．

解得a=3．

(Ⅱ)當a=0時，f(x)=xex，f(0)=0，

∴f′(x)=1?xex．

∴f′(0)=1．

因此曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=x．

(Ⅲ)∵f(x)在x=2時取得極值，

∴f′(2)=0，即1?2+a=0，

解得a=1．

當a=1時，f′(x)=2?xex．

令f′(x)>0，即2?x>0，解得x<217.解：(1)證明：如圖，取CD中點O，連接BD，OB，OP，

∵底面ABCD為菱形，∠BCD=60°，

∴△BCD是等邊三角形，AB/?/CD，

又點O為CD中點，∴OB⊥CD，

∵△PCD是等邊三角形，∴OP⊥CD，

又OP∩OB=O，∴CD⊥平面POB，又PB?平面POB，

∴PB⊥CD；

(2)∵△PCD是邊長為2的正三角形，點O為CD中點，∴OP⊥CD，

∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，∴OP⊥底面ABCD，

∴以O為坐標原點，OB，OD，OP所在直線分別為x，y，z軸，建系如圖，

則：A(3,2,0)，D(0,1,0)，P(0,0,3)，

∴DA=(3,1,0)DP=(0,?1,3)，

易知平面PCD的一個法向量為n=(1,0,0)，

設平面PAD的法向量為m=(x,y,z)，

則DA?m=3x+y=0DP?m=?y+318.解：(1)令M為一個食品經過檢測至少一類元素含量指標達標的事件，則M?是A，B都不達標的事件，

因此P(M)=1?P(M?)=1?14×19=3536，

所以一個食品經過檢測至少一類元素含量指標達標的概率為3536；

(2)依題意，A，B兩類元素含量指標都達標的概率為34×89=23，

ξ的所有可能取值為0，1，2，3，