（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測(cè)+課后練習(xí) 第09講 導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及其幾何意義（教師版）

第頁第09講導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及其幾何意義考點(diǎn)01:導(dǎo)數(shù)的定義【例1】設(shè)函數(shù)可導(dǎo)且在處的導(dǎo)數(shù)值為1，則______.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算作答.【詳解】依題意，，所以.故答案為：.【例2】已知是的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象只可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，原函數(shù)先增長“迅速”，后增長“緩慢”.【詳解】由題中的圖象可以看出，在內(nèi)，，且在內(nèi)，單調(diào)遞增，在內(nèi)，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，且其圖象在內(nèi)越來越陡峭，在內(nèi)越來越平緩．故選：D．考點(diǎn)02:導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)【例3】求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：(1)；(2).【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用函數(shù)求導(dǎo)的除法法則運(yùn)算即可；（2）利用函數(shù)求導(dǎo)的乘法法則運(yùn)算即可；【詳解】（1），（2）【例4】求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則求解；（2）設(shè)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求解；（3）化簡函數(shù)解析式，設(shè)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）函數(shù)可看做函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得，（3）可化為，函數(shù)可看做函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得，【變式1】已知下列四個(gè)命題，其中正確的個(gè)數(shù)有（

）①，

②，③，④.A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式及運(yùn)算律，簡單復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)驗(yàn)證即可【詳解】因?yàn)?所以①錯(cuò),因?yàn)?所以②錯(cuò),因?yàn)?所以③錯(cuò).因?yàn)?所以④錯(cuò),故選：A.考點(diǎn)03:“在”點(diǎn)處的切線問題【例5】已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線為l，若l與函數(shù)的圖像也相切，切點(diǎn)為，則___________.【答案】9【分析】先求出，求出切線方程，進(jìn)而求得，即可求解.【詳解】由題意得，則，所以切線l的方程為，即.所以，則，.故答案為：9.【例6】已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，將代入求出的值即可.【詳解】由題設(shè)，則，故，故在點(diǎn)處的切線斜率為.故選：A【變式1】已知函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則它在點(diǎn)處的切線方程為_________．【答案】【分析】根據(jù)在處的切線方程為可得，且，根據(jù)的解析式和導(dǎo)數(shù)可求和，從而可求得結(jié)果．【詳解】∵在點(diǎn)處的切線方程為，∴，且，又，∴，且，∴點(diǎn)為，在處切線斜率為，∴所求切線方程為，即．故答案為：．考點(diǎn)04:“過”點(diǎn)的切線問題【例7】過點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_______________，這條切線在x軸上的截距為_______________．【答案】【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率為，再由兩點(diǎn)間斜率公式可得，解得，即可求得切線方程，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，即，解得，所以切線方程為，可知該切線在x軸上的截距為．故答案為：，【例8】（多選）過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程為，再利用條件得到方程，從而求出，進(jìn)而可求出切線方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，故切線方程為，又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，即，當(dāng)，切線方程為，即.故選：BC.【變式1】若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是______.【答案】【分析】由題可將曲線有兩條過的切線轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn).后利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，畫出大致圖象，即可得答案.【詳解】設(shè)切線切點(diǎn)為，因，則切線方程為：.因過，則，由題函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn).，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，，.據(jù)此可得大致圖象如下.則由圖可得，當(dāng)時(shí)，曲線有兩條過的切線.故答案為：考點(diǎn)05:已知切線（斜率）求參數(shù)【例9】若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為2，則t的值為（

）A．–1 B． C．0 D．1【答案】C【分析】求導(dǎo)解方程即得解.【詳解】由題得，所以.故選：C【例10】已知函數(shù)，其中，若曲線在處的切線斜率為1，則的最小值為______．【答案】/【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，再結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，由題意可得：，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.【例11】已知，為正實(shí)數(shù)，函數(shù)在處的切線斜率為，則的最小值為______．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，再根據(jù)基本不等式，求最值.【詳解】函數(shù)，所以因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在處的切線斜率為，所以，因?yàn)?，為正?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．故答案為：．【變式1】若直線與曲線相切，則_________.【答案】2【分析】設(shè)切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，令，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，從而可解得.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，則，解得.令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，所以方程的根為.故答案為：2考點(diǎn)06:兩切線的平行、垂直問題【例12】函數(shù)在處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，利用直線的平行得到斜率相等，即為關(guān)于的方程，可求出的值.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)在處的切線的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率為，且切線與直線平行，則有，可得.故選：B【例13】已知函數(shù).若存在，，使得曲線在，處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.【答案】【分析】將化為分段函數(shù)并求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，即，再由推出，代入可求出結(jié)果.【詳解】，，因?yàn)椋?，所?，所以，，所以，所以，又，得，所以，即.故答案為：考點(diǎn)07:公切線問題【例14】已知曲線和曲線有唯一公共點(diǎn)，且這兩條曲線在該公共點(diǎn)處有相同的切線l，則l的方程為________．【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，即可求得，繼而求出切點(diǎn)坐標(biāo)以及切線斜率，即得答案.【詳解】設(shè)曲線和曲線在公共點(diǎn)處的切線相同，則，由題意知，即，解得，故切點(diǎn)為，切線斜率為，所以切線方程為，即，故答案為：【例15】已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線相同，則（

）A．－1 B．－2 C．1 D．2【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知：，，則兩函數(shù)在點(diǎn)和處的切線分別為：，化簡得由題意可得：，化簡得.故選：B【例16】若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得.將切點(diǎn)代入兩條曲線，聯(lián)立方程可分別求得,代入其中一條曲線即可求得的值，由此可求.【詳解】直線是曲線的切線,也是曲線的切線,則兩個(gè)切點(diǎn)都在直線上,設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為則兩個(gè)曲線的導(dǎo)數(shù)分別為,，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,則且切點(diǎn)在各自曲線上,所以則將代入可得可得由可得代入中可知所以，所以.故選：D.考點(diǎn)08:與切線有關(guān)的最值（范圍）問題【例17】已知為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角的最小值為（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線的斜率即為的范圍，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)?，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，所以傾斜角，即傾斜角的最小值為.故選：A.【例18】若曲線有兩條過的切線，則的范圍是____________．【答案】【分析】由題可將曲線有兩條過的切線轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，畫出大致圖象，即可得答案．【詳解】設(shè)切線切點(diǎn)為,，又，所以切線斜率為因?yàn)?，所以切線方程為：．又切線過，則，即則由題可知函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，由得，由得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，又，，，．據(jù)此可得大致圖象如下．

則由圖可得，當(dāng)時(shí)，曲線有兩條過的切線．故答案為：.導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及其幾何意義課后練習(xí)1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，所?2.直線是曲線在處的切線方程，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)，利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率，進(jìn)而把切點(diǎn)代入切線方程可求解.【詳解】由得，所以，當(dāng)時(shí)，，故切點(diǎn)為，由于切點(diǎn)在上，所以，故，故選：B3.若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義及導(dǎo)數(shù)公式求得切線的斜率，結(jié)合兩直線垂直進(jìn)而求得a的值.【詳解】由題設(shè)，知處的切線的斜率為，又因?yàn)椋?，解?故選：A.4.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，求兩個(gè)曲線公切線的斜率即可.【詳解】設(shè)，，依題意只需求公切線斜率即可.，，設(shè)切點(diǎn)分別為，，則切線方程為，即.，即.則，由①得，代入②得：，則，故公切線斜率為或，如圖，.故選：C.5.已知函數(shù)圖像在點(diǎn)和點(diǎn)處的兩條切線互相垂直，若，則實(shí)數(shù)a的范圍是________．【答案】【分析】假設(shè)兩切點(diǎn)坐標(biāo)，得出對(duì)應(yīng)的切線的斜率，分析題意可得，即可解得a的范圍.【詳解】解：由題意，則不妨設(shè)，點(diǎn)和點(diǎn)，兩切線的斜率分別為，∴，∴，∴等價(jià)于，等價(jià)于或解得，或．故a的范圍是．故答案為：.6.已知函數(shù)，若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為__________．【答案】/0.5【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用斜率等于切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，和切線相同即可判斷.【詳解】，假設(shè)兩曲線在同一點(diǎn)處相切，則，可得，即，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，且時(shí)，所以，則，此時(shí)兩曲線在處相切，根據(jù)曲線的變化趨勢(shì)，若繼續(xù)增大，則兩曲線相交于兩點(diǎn)，不存在公切線，所以的最大值為.故答案為：.7．求過且與曲線相切的直線方程．【答案】或.【分析】設(shè)切點(diǎn)是，由求導(dǎo)可得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式可得，解得或，進(jìn)而可求切線斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】點(diǎn)不在曲線上，點(diǎn)不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)是，由，可得，，即，解得或，切線的斜率或，切線的方程是或，即或.導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及其幾何意義隨堂檢測(cè)1.若，則函數(shù)在處可導(dǎo)是函數(shù)在可導(dǎo)的（

）．A．充要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．既非充分又非必要條件【答案】C【分析】利用定義法直接判斷.【詳解】充分性：函數(shù)在處可導(dǎo)不能推出函數(shù)在可導(dǎo).故充分性不滿足；必要性：因?yàn)楹瘮?shù)在可導(dǎo)，，所以函數(shù)在可導(dǎo).必要性滿足.故函數(shù)在處可導(dǎo)是函數(shù)在可導(dǎo)的必要非充分條件.故選：C2.（多選）下列求導(dǎo)正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，可得：對(duì)于A中，由，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以B正確；對(duì)于C中，由，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，所以D正確.故選：BD.3．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解，由兩直線平行斜率相等即可求解.【詳解】由得，故，由于點(diǎn)處的切線與直線平行，且直線的斜率為，所以，故選：C4．已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，若，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是_________．【答案】【分析】求導(dǎo)后根據(jù)求得，再求得切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，從而可求解.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，即為，解得，即，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為3，切點(diǎn)為，所以切線的方程為，即為.故答案為：.5．曲線在點(diǎn)處的切線方程為______．【答案】【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)幾何意義和直線方程的點(diǎn)斜式求法即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．故答案為：.6．若直線為曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)的值是__________．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式以及切線方程的求法求解.【詳解】由，可得，設(shè)切點(diǎn)為，則，故切線方程為，即，又因?yàn)榍芯€為，所以，解得，所以，故答案為：.7．已知函數(shù)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則a，b的值分別為________．【答案】1，1【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出相應(yīng)方程組，即可求得答案.【詳解】由題意可得,由于直線的斜率為，且過點(diǎn)，故，即，解得，故答案為：1，18．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則曲線過點(diǎn)的切線方程為______．【答案】或【分析】設(shè)切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，且代入可得，故可由點(diǎn)斜式得到切線方程，將代入即可求得或，即可求得切線方程【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由，得，∴，得，∴，，∴切點(diǎn)為，，∴曲線在點(diǎn)M處的切線方程為①，又∵