材料力學(xué)（第2版）課件：簡單超靜定問題

簡單超靜定問題StaticallyIndeterminateProblem簡單超靜定問題1StaticallyIndeterminateProblem11.1超靜定問題的概念11.2拉壓超靜定和扭轉(zhuǎn)超靜定問題11.3裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力11.4簡單超靜定梁11.5用力法求解超靜定問題*11.1超靜定的概念11.1超靜定的概念結(jié)構(gòu)按靜力學(xué)特性可以分成靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)/靜不定結(jié)構(gòu)兩類。如圖所示，求固定端的約束反力平面任意力系，通過靜力學(xué)平衡方程可以解出全部的三個約束反力。若在C處增加一個約束則無法僅通過靜力學(xué)平衡方程求出全部的四個未知力。11.1超靜定的概念

若結(jié)構(gòu)的全部約束反力和內(nèi)力都可由靜力平衡方程求得，稱為靜定結(jié)構(gòu)。

若結(jié)構(gòu)的約束反力與內(nèi)力不能僅僅根據(jù)靜力平衡方程求出，稱為超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu)。11.1超靜定的概念

比較上下兩圖，下面的圖中是在上面的圖中增加了一個約束。在靜定結(jié)構(gòu)上增加的約束，稱為多余約束。相應(yīng)的反力稱為多余約束力。多余約束并不“多余”，通過增加多余約束，可提高安全度，減少變形。11.1超靜定的概念超靜定結(jié)構(gòu)的類型外力超靜定結(jié)構(gòu)

僅在結(jié)構(gòu)外部存在多余約束，即支座反力不能全由靜力平衡方程求出。11.1超靜定的概念超靜定結(jié)構(gòu)的類型內(nèi)力超靜定結(jié)構(gòu)

僅在結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在多余約束，即結(jié)構(gòu)內(nèi)力不能全由靜力平衡方程求出。11.1超靜定的概念超靜定結(jié)構(gòu)的類型混合超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)、外超靜定兼而有之的結(jié)構(gòu)。11.1超靜定的概念超靜定結(jié)構(gòu)的類型內(nèi)力超靜定結(jié)構(gòu)外部有多余約束混合超靜定結(jié)構(gòu)11.1超靜定的概念超靜定結(jié)構(gòu)的類型11.1超靜定的概念超靜定次數(shù)把超靜定結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)所需要解除的約束數(shù)目----多余約束數(shù)或超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)＝未知力數(shù)目－平衡方程數(shù)11.1超靜定的概念超靜定次數(shù)1次超靜定2次超靜定11.1超靜定的概念超靜定次數(shù)3次超靜定11.1超靜定的概念超靜定次數(shù)3次超靜定11.1超靜定的概念靜定基和相當(dāng)系統(tǒng)基本靜定系（靜定基）

解除超靜定結(jié)構(gòu)的某些約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)，稱為原超靜定結(jié)構(gòu)的基本靜定系（簡稱靜定基）相當(dāng)系統(tǒng)

在靜定基上加上外載荷以及多余約束力的系統(tǒng)稱為超靜定問題的相當(dāng)系統(tǒng)。11.1超靜定的概念靜定基和相當(dāng)系統(tǒng)靜定基相當(dāng)系統(tǒng)11.1超靜定的概念靜定基和相當(dāng)系統(tǒng)靜定基相當(dāng)系統(tǒng)原系統(tǒng)靜定基相當(dāng)系統(tǒng)靜定基的選擇可根據(jù)方便來選取，同一問題可以有不同的靜定基，也有相應(yīng)不同的相當(dāng)系統(tǒng)。11.2拉壓超靜定和扭轉(zhuǎn)超靜定11.2拉壓超靜定和扭轉(zhuǎn)超靜定

求解超靜定問題，除了要利用平衡方程，還需要根據(jù)多余約束對位移或變形的協(xié)調(diào)限制，建立各部分位移或變形之間的幾何關(guān)系。幾何方程

變形協(xié)調(diào)方程

同時還需要建立力與位移或變形之間的物理關(guān)系。物理方程

本構(gòu)方程

上述兩類方程聯(lián)立得到求解超靜定問題所需要的補(bǔ)充方程。11.2拉壓超靜定和扭轉(zhuǎn)超靜定如圖所示，求三桿的軸力若對點A分析，可知三桿的軸力與外力F構(gòu)成平面匯交力系。平面匯交力系的獨立平衡方程數(shù)是:2未知力個數(shù)是3因此這個結(jié)構(gòu)是次超靜定。111.2拉壓超靜定和扭轉(zhuǎn)超靜定得到結(jié)果是如果有若干根桿，結(jié)構(gòu)是n次超靜定,則總可以找到n個補(bǔ)充條件，相應(yīng)建立n個補(bǔ)充方程(變形協(xié)調(diào)方程)。11.2拉壓超靜定和扭轉(zhuǎn)超靜定EA：抗拉剛度思考：超靜定結(jié)構(gòu)中，抗拉剛度大的構(gòu)件承受載荷是大還是??？老子《道德經(jīng)》“過剛者易折,善柔者不敗”另一種理解：能力越強(qiáng)，責(zé)任越大11.2拉壓超靜定和扭轉(zhuǎn)超靜定例題11.1

如圖所示結(jié)構(gòu)，設(shè)橫梁AB的變形可以省略，1、2桿的橫截面面積相同，材料相同，求1、2桿的內(nèi)力。11.2拉壓超靜定和扭轉(zhuǎn)超靜定(1)建立靜力平衡方程(2)建立變形協(xié)調(diào)方程11.2拉壓超靜定和扭轉(zhuǎn)超靜定(3)物理方程代入幾何方程聯(lián)立靜力學(xué)方程，求得：11.2拉壓超靜定和扭轉(zhuǎn)超靜定一般拉壓超靜定問題的基本步驟1、根據(jù)靜力學(xué)原理列出獨立的平衡方程；2、根據(jù)變形與約束應(yīng)互相協(xié)調(diào)的要求列出變形幾何方程；3、列出物理關(guān)系，這通常是胡克定律；4、從2、3兩項得到補(bǔ)充方程；5、聯(lián)立求解平衡方程和補(bǔ)充方程，即得到問題的解答。11.2拉壓超靜定和扭轉(zhuǎn)超靜定例題11.2

如圖所示等截面圓軸AB，兩端固定，在截面C和D處承受外力偶矩Me的作用，試?yán)L出該軸的扭矩圖。11.2拉壓超靜定和扭轉(zhuǎn)超靜定一次超靜定問題(1)建立靜力平衡方程設(shè)AC、CD、DB各段的扭矩分別為T1

、T2

、T311.2拉壓超靜定和扭轉(zhuǎn)超靜定(3)建立物理方程及補(bǔ)充方程(2)建立幾何方程11.2拉壓超靜定和扭轉(zhuǎn)超靜定(5)畫出扭矩圖(4)聯(lián)立靜力學(xué)方程求解變形協(xié)調(diào)關(guān)系11.3裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力11.3溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力1預(yù)應(yīng)力

超靜定桿或桿系中，如果某些桿的長度存在微小加工誤差，則必須采用某種強(qiáng)制方法才能進(jìn)行裝配

在未加外力時桿內(nèi)部已經(jīng)存在應(yīng)力，稱為預(yù)應(yīng)力或初應(yīng)力

在工程實際中，常利用預(yù)應(yīng)力進(jìn)行某些工件的裝配，稱為裝配應(yīng)力。11.3溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力2溫度應(yīng)力

溫度的變化將引起物體的膨脹或收縮。靜定結(jié)構(gòu)可以自由變形，當(dāng)溫度均勻變化時，并不會引起構(gòu)件的內(nèi)力。但是超靜定結(jié)構(gòu)的變形受到部分或全部約束，當(dāng)溫度變化時，往往會引起內(nèi)力。

靜定情況11.3溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力

超靜定情況F力隨著溫度的升高逐漸變大11.3溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力

由于超靜定約束的作用，產(chǎn)生內(nèi)力。內(nèi)力引起桿件內(nèi)的應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為熱應(yīng)力或溫度應(yīng)力。

如下圖所示的蒸汽鍋爐和原動機(jī)之間的管道，與鍋爐和原動機(jī)相比，管道剛度很小，故可把A、B兩端簡化為固定端。11.3溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力溫度的變化造成兩個固定端水平反力由對稱性很容易得出以下關(guān)系:拆除右端約束，假設(shè)允許桿件自由變形：al是材料的線膨脹系數(shù)。然后在右端作用FRB,桿件由于該力縮短。實際上由于兩端固定，桿件長度不能變化，必須有11.3溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力碳鋼的al=12.5×10-6℃-1，E=200GPa

可見，溫度變化較大時，溫度應(yīng)力的數(shù)值便非?？捎^。為了避免過高的溫度應(yīng)力，在管道中有時增加伸縮節(jié)，在鋼軌各段之間留有伸縮縫，這樣就可以削弱對膨脹的約束，降低溫度應(yīng)力11.3溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力例題11.3

吊橋鏈條的一節(jié)由三根長l的鋼桿組成，簡化為如圖所示的超靜定結(jié)構(gòu)，若三桿的橫截面積相等，材料相同，中間鋼桿略短于名義長度，且加工誤差為d=l/2000,求各桿的裝配應(yīng)力。11.3溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力當(dāng)把較短的中間桿與兩側(cè)桿一同固定于兩端的剛體時，中間桿將受到拉伸，兩端桿將受到壓縮，最后在紅色虛線所示位置，兩桿的變形相互協(xié)調(diào)。設(shè)兩側(cè)桿的軸向壓力FN1,中間桿的軸向拉力為FN2靜力平衡方程有11.3溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力由圖中可知上式聯(lián)立靜力平衡方程可求得:11.4簡單超靜定梁11.4

簡單超靜定梁

工程中有許多約束反力數(shù)目多于靜力平衡方程數(shù)目的梁，這種梁稱為超靜定梁。求解超靜定梁的方法:1、在靜定基上加上外載荷以及多余約束力，得到受力和變形與超靜定梁完全相同的靜定系統(tǒng)；2、求解相當(dāng)系統(tǒng)在多于約束處的變形，并將相當(dāng)系統(tǒng)與超靜定梁相比較，找到多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件，列出求解超靜定梁所需的補(bǔ)充方程；3、聯(lián)立求解靜力平衡方程和補(bǔ)充方程得到超靜定梁的約束反力；4、進(jìn)行內(nèi)力、強(qiáng)度、剛度分析。11.4

簡單超靜定梁例題11.4

如圖所示雙跨簡支梁受集中力F作用，求約束反力，并畫出剪力圖和彎矩圖。11.4

簡單超靜定梁1、以支座B為多余約束。解除約束B，代之以多余未知力FB，得到相應(yīng)的靜定基和相當(dāng)系統(tǒng)。靜定基相當(dāng)系統(tǒng)2、在F單獨作用下，查表得到截面B的撓度為3、在FB單獨作用下，查表得到截面B的撓度為4、根據(jù)B點的實際撓度為011.4

簡單超靜定梁5、由靜力學(xué)平衡方程6、作剪力圖和彎矩圖11.4

簡單超靜定梁課堂思考與練習(xí)

求下面的超靜定梁固定端的約束反力。（利用結(jié)構(gòu)的對稱關(guān)系）提示：

1、固定端反力包括力和力偶。

2、為了求固定端的反力偶，可先求跨中點位置的彎矩，彎矩可利用跨中點的轉(zhuǎn)角為0的條件建立變形協(xié)調(diào)方程求解。11.5用力法求解超靜定問題*11.5用力法求解超靜定問題

在求拉壓、扭轉(zhuǎn)超靜定問題和梁的超靜定問題的方法有一個共同特點：

以多余約束力為基本未知量，將變形或位移表示為未知力的函數(shù)，通過變形協(xié)調(diào)條件作為補(bǔ)充方程求解未知約束力?？梢园堰@些方法總結(jié)歸納成為統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)形式。11.5用力法求解超靜定問題如圖所示的圓形曲桿:解除B端的約束，加上多余約束支座反力X1以及外載荷得到相當(dāng)系統(tǒng)F單獨作用下，B端在X1方向上的位移D1FX1單獨作用下，B端在X1方向上的位移D1X1B端實際在X1方向上的位移為011.5用力法求解超靜定問題在計算D1X1時,可在靜定基上沿X1方向作用一個單位力，設(shè)B點沿X1方向由單位力引起的位移記為d11在線彈性范圍內(nèi)有聯(lián)