湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答；用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.拋物線的焦點坐標為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由可得拋物線標準方程為：，其焦點坐標為.故選：D.2.若等比數(shù)列的第2項和第6項分別為3和12，則的第4項為（）A.4 B. C.6 D.【答案】C【解析】由題意得，又，故.故選：C3.兩條平行直線與間的距離為（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】直線化為：，所以平行直線與間的距離為.故選：D4.假設，且A與B相互獨立，則（）A.0.3 B.0.4 C.0.7 D.0.58【答案】D【解析】由，，且A與B相互獨立，得，所以.故選：D5.已知空間向量，，則B點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，故在上的投影向量的模為，故B點到直線的距離為.故選：A6.過圓：內一點的2023條弦恰好可以構成一個公差為（）的等差數(shù)列，則公差的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因經過圓：內一點的最長的弦為圓的直徑，長度為10，最短弦長為以點為中點且與垂直的弦，其長度為.(理由如下)如圖，過點且與垂直，過點另作弦,過點作于點，在中，顯然,而,因，則得，即為過點的最短弦長.要使公差d最大，則這2023條弦構成的等差數(shù)列應以最短弦長為首項，以最長弦長為末項.即，解得：，故公差的最大值為.故選：B.7.已知橢圓C：，過右焦點F作直線與橢圓C交于兩點，以為直徑畫圓，則該圓與直線的位置關系為（）A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定【答案】C【解析】如圖，依題知，設過點的直線方程為，代入橢圓方程，整理得：，設線段的中點為，由韋達定理，則，即，，則圓的半徑為，此時，圓心到直線的距離為：，由可知直線與圓相離.當直線斜率為0時，圓的圓心在原點，半徑為，顯然該圓與直線相離.故選：C.8.如圖，在空間直角坐標系中，正四棱柱的底面邊長為4，高為2，O為上底面中心，E，F(xiàn)，G分別為棱、、的中點.若平面與平面的交線為l，則l的方向向量可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接，正四棱柱的對角面是矩形，則，而分別是中點，則，又O為上底面中心，則，因此四邊形是平面截正四棱柱所得截面，延長，由是的中點，得，連接，則四邊形是平面截正四棱柱所得截面，顯然與相交，令交點為，，四邊形是正方形，則，而，又，所以向量是直線的一個方向向量，A滿足，選項BCD中向量與不共線，即選項BCD不滿足.故選：A二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有錯選或不選得0分）9.若數(shù)列的前n項和為，則下列命題正確的是（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.數(shù)列為單調遞增數(shù)列C.數(shù)列為單調遞增數(shù)列 D.數(shù)列為等差數(shù)列【答案】BC【解析】當時，，當時，，當時，不滿足上式，所以，所以數(shù)列不是等差數(shù)列，A錯誤；因為，，且當時，為公差大于零的等差數(shù)列，所以為單調遞增數(shù)列，所以B正確；由于，而，數(shù)列為單調遞增數(shù)列，所以C正確；由，則且，顯然數(shù)列不可能是等差數(shù)列，D錯誤.故選：BC10.已知點和：，過P點的兩條直線分別與相切于A，B兩點.則以下命題正確的是（）A.B.C.P、A、Q、B均圓上D.A，B所在直線方程為【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，圓心，半徑為2，過P點的兩條直線分別與相切于A，B兩點，如圖，則，所以，，所以A正確，B錯誤；四邊形為正方形，中心為所以P、A、Q、B均在圓上，C正確；所在直線方程為，D正確.故選：ACD.11.在棱長為2的正方體中，點P滿足，、，則（）A.當時，點P到平面的距離為B.當時，點P到平面的距離為C.當時，存在點P，使得D.當時，存在點P，使得平面【答案】BD【解析】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設平面的法向量為，則，令，得，對于A，當時，，，，點P到平面的距離，A錯誤；對于B，當時，，，，點P到平面的距離，B正確；對于C，當時，，則，，當時，顯然，方程無實根，即與不垂直，C錯誤；對于D，當時，，則，，顯然，即，由，得，即當時，，而平面，因此平面，D正確.故選：BD12.已知雙曲線C：，（），的左、右焦點分別為，，雙曲線C上兩點A，B關于坐標原點對稱，點P為雙曲線右支上一動點，記直線，的斜率分別為，，若，則下列說法正確的是（）A.B.若，則的面積為C.若，則的內切圓半徑為D.以為直徑的圓與圓相切【答案】ACD【解析】A選項，設，，，，則，，兩式相減得，故，，所以，解得，點P為雙曲線右支上一動點，由雙曲線定義得，A正確；B選項，因為，，若，由余弦定理得，故，解得，故的面積為，B錯誤；C選項，因為，，若，由勾股定理得，解得，故的面積為，設的內切圓半徑為，故，即，解得，C正確；D選項，設，，，其中，設的中點為，則，，又，故，故以為直徑的圓與圓相切，D正確.故選：ACD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.甲、乙兩人下棋，已知甲獲勝的概率為0.39，乙獲勝的概率為0.51，則甲不輸?shù)母怕蕿開_________.【答案】0.49【解析】甲不輸分為甲獲勝和甲乙和棋，它是乙獲勝事件的對立事件，所以.故答案為：0.4914.已知（a，）是直線l的方向向量，是平面的法向量，如果，則__________.【答案】39【解析】因，依題意，必有，即存在唯一的實數(shù)，使，即：，則，解得：，故.故答案：39.15.已知圓，直線若圓上有兩個點到直線距離等于1，則實數(shù)b的取值范圍是_______.【答案】【解析】根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑為2，因為直線若圓上有兩個點到直線的距離等于1，則圓心到直線距離為：，，所以此時b的取值范圍是故答案為：16.在平面直角坐標系中,P為橢圓C:上的動點,Q為直線l：上的動點，且.則的最小值為__________.【答案】【解析】設三點坐標分別為.由可得.所以，，所以.，假設存在一點，則有.因為，所以，因此點在直線上，令為點到直線的距離，設點坐標為.顯然有，又.因此，即的最小值為.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.遞增等比數(shù)列中，，.（1）求；（2）若，求數(shù)列的前n項的和.解：（1）在遞增等比數(shù)列中，，解得，，設公比為q，則，又因為為遞增數(shù)列，故，所以，，所以.（2）由題，則且，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故.18.已知過、兩點，且圓心M在直線上.（1）求的標準方程；（2）若直線l：與圓交于E，F(xiàn)兩點，且（O為坐標原點），求直線l的方程.解：（1）設的方程為.因為.過、兩點，且圓心M在直線上.所以解得：，，，所以的標準方程為：.（2）設，，聯(lián)立立得，由題意得：，即，由根與系數(shù)關系得：，，所以，解得，又因為滿足，故所求直線l的方程為.19.甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為p（），乙每輪猜對的概率為.在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響.（1）當時，求“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率；（2）若“星隊”在兩輪活動中猜對2個成語的概率為，求p的值.解：（1）設，分別表示甲兩輪猜對1個，2個成語的事件，，分別表示乙兩輪猜對1個，2個成語的事件.根據(jù)獨立性假定，得，.，.設“兩輪活動‘星隊’猜對3個成語”，則，且與互斥，與，與分別相互獨立，所以,因此，“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率是.（2）由（1）知甲兩輪猜對0個，1個，2個成語的概率分別為，，，乙兩輪猜對0個，1個，2個成語的概率分別為，，，因為甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響，所以“星隊”在兩輪活動中猜對2個成語的概率為，整理得，又因為，所以.20.在四棱錐中，底面是正方形，若，，.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）中，，，，所以，所以.又，，平面，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）取的中點O，因為，所以，且因為，平面平面，平面平面，所以平面.在平面內作，以為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，，，，，設平面的法向量為，由，，得，令，得，，所以平面的一個法向量.設平面的法向量為，由，，得，令，得，，所以平面的一個法向量.所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.21.在如圖三角形數(shù)陣中，第n行有n個數(shù)，表示第i行第j個數(shù)，例如，表示第4行第3個數(shù).該數(shù)陣中每一行的第一個數(shù)從上到下構成以m為公差的等差數(shù)列，從第三行起每一行的數(shù)從左到右構成以m為公比的等比數(shù)列（其中），已知，，.（1）求m及；（2）記，求.解：（1）由題意，可知，，，∵，∴，化簡整理，得，解得（舍去），或，∴，∴.（2）由（1），可得，當時，，（*）又∵，，∴，均滿足（*）式，∴，，∴，，，兩式相減，可得∴.22.動點G到點的距離比到直線的距離小2.（1）求G的軌跡的方程；（2）設動點G的軌跡為曲線C,過點F作斜率為,的兩條直線分別交C于M，N兩點和P，Q兩點,其中.設線段和的中點分別為A，B,過點F作，垂足為D，試問：是否存在定點T，使得線段的長度為定值.若存在，求出點T