湖南省邵陽(yáng)市武岡市2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省邵陽(yáng)市武岡市2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，解得，所以，所以?故選：D.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故選：B.3.已知?jiǎng)t（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，由，得，則，，所以.故選：D4.若向量滿足，則（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄浚瑵M足，，，所以，即，所以，則．故選：A．5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C6.已知在四邊形中，，，，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，由，且，可得，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以．故選：D.7.已知函數(shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，且，則，由題意可得：，解得，又因?yàn)橹本€為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，則，解得，可知，即，所以.故選：C.8.已知四面體的各個(gè)面均為全等的等腰三角形，且.設(shè)為空間內(nèi)一點(diǎn)，且五點(diǎn)在同一個(gè)球面上，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將四面體放入長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為，，，依題意，可知，，則，，，解得，，由于，即異面直線和的距離為，由于長(zhǎng)方體的左右側(cè)面為正方形，所以，取中點(diǎn)，連接，則左側(cè)面，在左側(cè)面，所以，又平面，故平面，四面體外接球半徑為，球心為，由，知點(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓，設(shè)軌跡圓的半徑為，圓心為，過(guò)作球的一個(gè)軸截面，所以，且，，且，解得，所以的軌跡長(zhǎng)度為．故選：D．二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9若，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)A、B：∵，則，∴，即，，A、B正確；對(duì)C∵，例如，則，顯然不滿足，C錯(cuò)誤；對(duì)D：∵，則，∴，D正確.故選：ABD.10.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1C1，C1D1的中點(diǎn)，P是正方形A1B1C1D1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若DP∥平面CEF，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為B.若AP=，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C.若AP=，則直線AP與平面CEF所成角的正弦值的最小值是D.若Р是棱A1B1的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積是【答案】ACD【解析】分別取棱，的中點(diǎn)M，N，連接，易證，，平面，平面，所以平面，且平面，平面，所以平面，又平面，則平面平面，因?yàn)槠矫?，且P是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)Р的軌跡是線段.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故A正確.因?yàn)?，所以點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，1為半徑的個(gè)圓，則點(diǎn)Р的軌跡長(zhǎng)度為，則B錯(cuò)誤.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系.由題中數(shù)據(jù)可知?jiǎng)t，，.設(shè)平面CEF的法向量為，則，得.設(shè)直線AР與平面CEF所成的角為，則.因?yàn)?，所以，所以，所以，則，故C正確.Р是棱的中點(diǎn)，則外接圓的圓心為正方形的中心，半徑為2.如圖2，設(shè)，則三棱錐的外接球的半徑滿足，解得，從而三棱錐P-CEF的外接球的表面積是，故D正確.故選：ACD11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，則（）A.是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等差數(shù)列 D.是等差數(shù)列【答案】ABD【解析】因?yàn)閿?shù)列前項(xiàng)和為，且，對(duì)于A中，由，且，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以A正確；對(duì)于B中，由，且，所以數(shù)列是以，公比為的等比數(shù)列，所以B正確；對(duì)于C中，由，可得，即時(shí)，，又由，，所以的奇數(shù)項(xiàng)均為0，偶數(shù)項(xiàng)均為．所以的奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，即，所以是每項(xiàng)均為的常數(shù)列，也是等差數(shù)列，所以D正確．故選：ABD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分)12.已知點(diǎn)為平面內(nèi)不同的四點(diǎn)，若，且，則______【答案】【解析】由得：，即，又因?yàn)?，所?故答案為：.13.在中，角A，，所對(duì)的邊分別為，，，．且，則______．【答案】【解析】由得，，由余弦定理得，故，所以，，故，所以，即，由正弦定理得，因?yàn)椋?，故，即，由和得，故故，故?14.對(duì)任意，不等式恒成立，則的取值范圍是______.【答案】【解析】不等式等價(jià)于，記，則原不等式等價(jià)于.所以，不等式恒成立等價(jià)于不等式恒成立.而，且圖像如下圖所示：若，則不等式恒成立；若，可以看作是f(x)向左或向右平移個(gè)單位，不等式恒成立可以看作是的圖像在f(x)的上方或函數(shù)值相等.所以要使的圖像在f(x)的上方或函數(shù)值相等只能把f(x)的圖像向左平移至少1個(gè)單位得到，如下圖所示：所以：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知橢圓C：（）的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）直線l：與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若面積為，求直線方程.解：（1）由焦點(diǎn)為得，又離心率，得到，所以，所以橢圓C的方程為.（2）設(shè)Ax1,聯(lián)立，消y得，，得到，由韋達(dá)定理得，，，又因?yàn)?，又原點(diǎn)到直線的距離為，所以，所以，所以，即，滿足，所以直線l的方程為.16.“九子游戲”是一種傳統(tǒng)的兒童游戲，它包括打彈子、滾圈子、踢毽子、頂核子、造房子、拉扯鈴子、刮片子、摜結(jié)子、抽陀子九種不同的游戲項(xiàng)目，某小學(xué)為豐富同學(xué)們的課外活動(dòng)，舉辦了“九子游戲”比賽，所有的比賽項(xiàng)目均采用局勝的單敗淘汰制，即先贏下局比賽者獲勝.造房子游戲是同學(xué)們喜愛(ài)的項(xiàng)目之一，經(jīng)過(guò)多輪淘汰后，甲、乙二人進(jìn)入造房子游戲的決賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為.（1）若，設(shè)比賽結(jié)束時(shí)比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）現(xiàn)有兩種賽制：賽制一：采用3局2勝制，賽制二：采用5局3勝制，乙選手要想獲勝概率大，應(yīng)選哪種賽制？并說(shuō)明理由.解：（1）因?yàn)?，所以比賽采?局2勝制，的所有可能取值為2，3，，，的分布列為23所以.（2）應(yīng)選擇方案一3局2勝制，理由如下：若選賽制一3局2勝制時(shí)，記乙獲勝為事件A，則，若選賽制二5局3勝制時(shí)，記乙獲勝為事件B，則因?yàn)?，所以選方案一3局2勝制.17.如圖，已知四棱臺(tái)中，，，，，，，且，為線段中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）若四棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：如圖所示：分別延長(zhǎng)線段，，，交于點(diǎn)，將四棱臺(tái)補(bǔ)成四棱錐.∵，∴，∴，取的中點(diǎn)，連接，，∵，且，∴四邊形為平行四邊形.∴，又平面，平面，∴平面；（2）解：由于，所以，又梯形面積為，設(shè)到平面距離為，則，得.而，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)C到平面的距離與點(diǎn)D到平面的距離相等，而，所以平面.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線為x軸，以直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易得為等邊三角形，所以A0,0,0，，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，得，，不妨取，又平面的一個(gè)法向量為n=0,1,0則，平面與平面夾角的余弦值為.18.設(shè)是坐標(biāo)平面上的一點(diǎn)，曲線是函數(shù)的圖象．若過(guò)點(diǎn)恰能作曲線的條切線，則稱是函數(shù)的“度點(diǎn)”．（1）判斷點(diǎn)與點(diǎn)是否為函數(shù)的1度點(diǎn)，不需要說(shuō)明理由；（2）已知，．證明：點(diǎn)是的0度點(diǎn)；（3）求函數(shù)的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合．解：（1）設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．則該切線過(guò)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，即．故原點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)1度點(diǎn)，該切線過(guò)點(diǎn)，故，令，則，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在x=1處取得極小值，也時(shí)最小值，且，故無(wú)解，點(diǎn)不是函數(shù)的一個(gè)1度點(diǎn)（2）設(shè)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．則該切線過(guò)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)（*）．設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上嚴(yán)格增．因此當(dāng)時(shí)，，（*）恒不成立，即點(diǎn)是y=gx的一個(gè)0度點(diǎn)．（3），對(duì)任意，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．故點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．設(shè)．則點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)不同的零點(diǎn)．若，則在R上嚴(yán)格增，只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，不合要求．若，因?yàn)?，由或時(shí)得嚴(yán)格增；而當(dāng)時(shí)，得嚴(yán)格減．故在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值．又因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，由零點(diǎn)存在定理，在、、上各有一個(gè)零點(diǎn)，不合要求；當(dāng)時(shí)，僅上有一個(gè)零點(diǎn)，不合要求；當(dāng)時(shí)，僅上有一個(gè)零點(diǎn)，也不合要求．故兩個(gè)不同的零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)或．若，同理可得兩個(gè)不同的零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)或．綜上，的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合為或．19.已知無(wú)窮數(shù)列中，，記，，．（1）若為2，0，2，4，2，0，2，4，