江蘇省南通市啟東、通州聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期11月期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市啟東、通州聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期11月期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由，，得，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.2.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，解得，即，則.故選：B.3.已知向量，滿足，，，則（）A.2 B. C.4 D.16【答案】C【解析】由，得，而，因此，所以.故選：C.4.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，，因?yàn)楹瘮?shù)的奇函數(shù)，所以，則，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，得.故選：A.5.從5名男生和3名女生中選出4人參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么不同的選法種數(shù)為（）A.15 B.40 C.55 D.70【答案】C【解析】從8名學(xué)生中任選4名有種，沒(méi)有甲乙的選法有種，所以甲乙至少1人參加的不同的選法種數(shù)為.故選：C.6.一個(gè)正四棱臺(tái)油槽可以裝汽油190L（1L=1000cm3），若它的上、下底面邊長(zhǎng)分別為60cm和40cm，則它的深度為（）A.25cm B.75cm C.100cm D.150cm【答案】B【解析】設(shè)四棱臺(tái)的高為，上底面的面積為，下底面的面積為，所以，解得：故選：B.7.當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在內(nèi)的圖象如圖，它們有2個(gè)交點(diǎn)，A不是；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在內(nèi)的圖象如圖，它們有4個(gè)交點(diǎn)，B是；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在內(nèi)的圖象如圖，它們有6個(gè)交點(diǎn)，C不是；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在內(nèi)的圖象如圖，它們有8個(gè)交點(diǎn)，D不是.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，則（）A.-7 B.25 C.57 D.102【答案】C【解析】，，.所以，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是（）A.的系數(shù)為10 B.第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為10C.沒(méi)有常數(shù)項(xiàng) D.各項(xiàng)系數(shù)的和為32【答案】BC【解析】展開(kāi)式第項(xiàng)，，對(duì)A，令，即時(shí)，，的系數(shù)為，A錯(cuò)；對(duì)B，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，B對(duì)；對(duì)C，因?yàn)椋瑒t展開(kāi)式無(wú)常數(shù)項(xiàng)，C對(duì)；對(duì)D，時(shí)，各項(xiàng)系數(shù)和不是，則D錯(cuò)，故選：BC.10.在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)P是底面上的一點(diǎn)，且平面，則（）A. B.平面C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，故，A正確；B選項(xiàng)，，所以與不垂直，則平面不成立，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=x,y,z則，令得，，所以，因?yàn)槠矫?，所以與垂直，即，故，，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，C正確；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)，，即點(diǎn)在直線上，由勾股定理得，故四邊形為正方形，將矩形和等腰直角沿著折到同一平面內(nèi)，如圖，連接，與的交點(diǎn)即為使得最小的點(diǎn)，的最小值為，過(guò)點(diǎn)作⊥，交于點(diǎn)，故，由勾股定理得，D正確.故選：ACD.11.如圖，函數(shù)的部分圖象，則（）A.B.將圖象向右平移后得到函數(shù)的圖象C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上的最大值與最小值之差的取值范圍為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，觀察圖象，，的最小正周期，解得，由，得，而，則，所以，A正確；對(duì)于B，將圖象向右平移后得到函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確.對(duì)于D，函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為，當(dāng)與關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，的最大值與最小值的差最小，此時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，而，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，而，最大值與最小值的差為1；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)，最大值與最小值的差最大，，當(dāng)或時(shí)均可取到等號(hào)，所以最大值與最小值之差的取值范圍為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如果隨機(jī)變量，且，那么________.【答案】【解析】由對(duì)稱性可知，正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸為5，所以，所以.13.如圖，在半徑為2、圓心角為的扇形的弧上任取一點(diǎn)A，作扇形的內(nèi)接平行四邊形，使點(diǎn)B在上，點(diǎn)C在上，則該平行四邊形面積的最大值為_(kāi)_______.【答案】【解析】過(guò)點(diǎn)分別作分別垂直于點(diǎn)，則，，又，所以，所以，所以平行四邊形的面積和長(zhǎng)方形的面積相等，設(shè)，，則，，，所以，所以四邊形的面積，所以，因?yàn)椋?，故?dāng)即時(shí)，面積取得最大值為.14.已知函數(shù)，若，，則正整數(shù)a的最小值為_(kāi)_____.【答案】5【解析】依題意，，當(dāng)從大于0的方向趨近于0時(shí)，函數(shù)的值趨近于負(fù)無(wú)窮大，而當(dāng)時(shí)，，則必有在上恒成立，于是且，則，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，若，即時(shí)，，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，恒成立，則，令，，由恒成立，得，則，又，因此正整數(shù)，又當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，符合題意，所以正整數(shù)a的最小值為5.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，由，可得，得，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，有極大值為；當(dāng)時(shí)，有極小值為.（2）由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得，，整理得，又，于是，則，解得，所以.16.在中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求B；（2）若四邊形內(nèi)接于圓O，，，求面積的最大值.解：（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谥?，所以，所以，所以，所以，?因?yàn)?，所?（2）法一：在中，，，所以，設(shè)，則.所以，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以?dāng)，即時(shí)面積的最大值為.法二：在中，已知，所以，所以，所以，所以，（等號(hào)當(dāng)時(shí)取得）所以面積的最大值為.法三：在四邊形的外接圓內(nèi)考慮，因?yàn)?，，則，則的外接圓直徑為，是圓上動(dòng)點(diǎn)，所以面積取最大值時(shí)高最大，即點(diǎn)到距離最大，此時(shí)最大距離為圓心到距離加半徑2，在直角三角形中可知，圓心到距離為，所以高的最大值為，所以面積的最大值為.17.銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.小明是一位數(shù)學(xué)愛(ài)好者，記得自己隨機(jī)用了的前6個(gè)數(shù)字（1，1，3，4，5，9）設(shè)置個(gè)人銀行儲(chǔ)蓄卡密碼.（1）求密碼中兩個(gè)1不相鄰的概率；（2）若密碼的前三位出現(xiàn)1的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）依題意，的前6個(gè)數(shù)字的不同排列有種，兩個(gè)1相鄰的有種，所以密碼中兩個(gè)1不相鄰的概率.（2）依題意，的可能取值為0，1，2，，，，所以的分布為：012數(shù)學(xué)期望18.在四棱錐中，底面是梯形，，，平面平面，，.（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值；（3）若線段上存在一點(diǎn)E，使得截面將四棱錐分成體積之比為的上下兩部分，求點(diǎn)P到截面的距離.（1）證明：取的中點(diǎn)，連，，由，，得四邊形為平行四邊形，由，得平行四邊形為矩形，則，由平面平面，平面平面，平面，得平面.又平面，則，由，，得，由，，得，則，即，而，平面，因此平面，而平面，所以.（2）解：由，，，平面，得平面，平面，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)與平面所成角為，，即與平面所成角的正弦值為.（3）解：設(shè)截面交于，由，面，面，得平面，又平面，平面平面，則，依題意，，則，設(shè)，則，，，，到的距離，截面的面積為，設(shè)平面的法向量m=x,y,z則，取，得，則到平面的距離，于是，解得，所以點(diǎn)到截面的距離為.19.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)f'x的定義域都為R，設(shè)直線：是曲線的任意一條切線，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，若，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立，則稱函數(shù)滿足“性質(zhì)”.（1）判斷是否滿足“性質(zhì)”，并說(shuō)明理由；（2）若f'x是單調(diào)增函數(shù)，證明：滿足“性質(zhì)”；（3）若函數(shù)滿足“性質(zhì)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）滿足“性質(zhì)”，理由如下：因?yàn)椋O(shè)曲線的一條切線切點(diǎn)為，則直線的方程為：，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立，由的任意性可知，滿足“性質(zhì)”.（2）設(shè)直線是曲線的任意一條切線，切點(diǎn)為，則直線的方程為：，設(shè)，則，因?yàn)槭菃握{(diào)增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，遞減，；當(dāng)時(shí)，，遞增，；即對(duì)任意，都有.由的任意性可知，函數(shù)滿足“性質(zhì)”.（3）①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，設(shè)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，由（2）可知，函數(shù)滿足“性質(zhì)”.②下證當(dāng)時(shí)，函數(shù)不滿足“性質(zhì)”.方法一：設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，則直線的方程為：，設(shè)，根據(jù)“性質(zhì)”的定義，要證不滿足“性質(zhì)”，只要證存在.因?yàn)?，設(shè)