江蘇省泰州市靖江市2025屆高三上學期11月期中調研測試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省泰州市靖江市2025屆高三上學期11月期中調研測試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，即，故，故選：D2.在復平面內，復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，故，故選：B3.設，，，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據指數函數的單調性可得：，即，，即，由于，根據對數函數的單調性可得：，即，所以，故答案選B．4.函數的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意設，定義域為R，滿足，即為奇函數，則，故可判斷A錯誤；當時，，可判斷D錯誤；又，而，即，則可判斷B錯誤，由于，令，則，結合余弦函數的周期性可知有無數多個解，從而或的解集均為無數個區(qū)間的并集，即將有無數個單調增區(qū)間以及單調減區(qū)間，故只有C中圖象符合題意，故選：C5.若函數在區(qū)間上有最小值，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題

，

令解得；令解得

由此得函數在上是減函數，在上是增函數，

故函數在處取到極小值-2，判斷知此極小值必是區(qū)間（上的最小值解得又當時，，故有

綜上知

故選C6.設數列an的前項之積為，滿足（），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，即，所以，所以，顯然，所以，所以數列是首項為，公差為2的等差數列，所以，即，所以．故選：C．7.某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數量逐漸減少．已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量滿足函數模型（，），其中為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數量，為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量，n為改良工藝的次數．假設廢水中含有的污染物數量不超過時符合廢水排放標準，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數最少為（）（參考數據：，）A.12 B.13 C.14 D.15【答案】D【解析】由題意知，，當時，，故，解得，所以．由，得，即，得，又，所以，故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數最少要15次．故選：D8.已知某個三角形的三邊長為、及，其中.若，是函數的兩個零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由為函數的兩個零點，故有，即恒成立，故，，則，，由a，b，c為某三角形的三邊長，且，故，且，則，因為必然成立，所以，即，解得，所以，故的取值范圍是：.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，則下列說法正確的是（）A.若，則B.不存在實數，使得C.若向量，則或D.若向量在向量上的投影向量為，則的夾角為【答案】BCD【解析】A選項：，所以，所以，故A錯誤；B選項：若得，則，顯然不成立，故B正確；C選項：因為,若向量，則或，故C正確；D選項：設的夾角為，則向量在向量上的投影向量為所以，又因為向量在向量上的投影向量為，所以則的夾角為，故D正確.故選：BCD.10.對于函數，給出下列結論，其中正確的有（）A.函數的圖象關于點對稱B.函數在區(qū)間上的值域為C.將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象D.曲線在處的切線的斜率為1【答案】BD【解析】由題意知，對于A，，故函數的圖象不關于點對稱，A錯誤；對于B，因為，所以，則，B正確；對于C，將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，C錯誤；對于D，，則，故曲線在處的切線的斜率為1，D正確，故選：BD11.已知函數，及其導函數f'x，的定義域均為R，若的圖象關于直線對稱，，，且，則（）A.為偶函數 B.的圖象關于點對稱C. D.【答案】BCD【解析】由的圖象關于直線對稱，則，即，所以，即，則，即的圖象關于直線對稱，由，可得，又，所以，所以的圖象關于點對稱，即為奇函數，所以，即，即函數的周期為，由，可得，因為的周期為，所以，則，即，所以的圖象關于點對稱，故B正確；因為的圖象關于直線對稱，則，所以，所以，因為的周期為4，所以的周期也為4.由，可得，所以，故C正確；由，可得，所以，即，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數的單調遞增區(qū)間為________．【答案】【解析】由，解得或，所以的定義域為.函數在上單調遞增，的開口向上，對稱軸為，根據復合函數單調性同增異減可知的單調遞增區(qū)間是.13.已知是數列的前項和，是和的等差中項，則________．【答案】【解析】由于是和的等差中項，所以，當時，當時，，，兩式相減并化簡得，所以an是首項為，公比為的等比數列，所以，也符合，所以,所以.故答案為：14.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的最大值為________．【答案】【解析】由余弦定理得，兩式相減得，因為，所以，由正弦定理得，即，所以，則，因為在中，不同時為，，故，所以，又，所以，則，故，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，則的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，（1）當時，求；（2）在“充分條件”、“必要條件”這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答.是否存在正實數，使得“”是“”的______？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.解：（1）由，當時，，所以.（2）由題設，選充分條件時，則，即，所以實數的取值范圍是.選必要條件時，則，即，故，所以實數不存在.16.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設向量，，，且對任意，都有.（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）若，，求的面積.解：（1）由題意得，且，所以，因為，所以，所以，即，所以，令，解得，所以的單調遞增區(qū)間為.（2）在中，由正弦定理，得，所以①，由余弦定理得，得②，由①②解得，所以的面積為.17.已知函數，，.（1）求函數的單調區(qū)間；（2）若且恒成立，求的最小值.解：（1）（），當時，由于，所以f'x>0恒成立，從而在0,+∞當時，，f'x>0；，f'從而在上遞增，在遞減；綜上，當時，的單調遞增區(qū)間為，沒有單調遞減區(qū)間；當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.，由于，，所以恒成立，當時，h'x>0，當時，h所以，解得：，所以的最小值為.18.已知數列的前項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和；（3）記，是否存在實數使得對任意的，恒有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．解：（1）對任意，.當時，，即;當時，由可得，兩式作差得，即，所以，數列是首項為，公比為的等比數列，故；（2）由（1）得，可得，，兩式相減得，因此，；（3）存在．由（1）得．假設存在實數使得對任意的，恒有，即，則，即，即．當為正偶數時，，則，，由于數列單調遞減，所以，；當為奇數時，，，，由于數列單調遞增，則.綜上所述，.19.懸鏈線在建筑領域有很多應用．當懸鏈線自然下垂時，處于最穩(wěn)定的狀態(tài)，反之其倒置時也是一種穩(wěn)定狀態(tài)．鏈函數是一種特殊的懸鏈線函數，正鏈函數表達式為，相應的反鏈函數表達式為．（1）證明：曲線是軸對稱圖形；（2）若直線與函數和的圖象共有三個交點，設這三個交點的橫坐標分別為，，，證明：；（3）已知函數，其中，，．若對任意的恒成立，求的最大值．解：（1），令，則，所以為偶函數，故曲線是軸對稱圖形，且關于y軸對稱.（2）令，得，當時，；，所以在處取得極小值1，當x趨近正無窮時，趨近正無窮，當x趨近負無窮時，趨近負無窮,恒成立，所以