江西省新八校2024屆高三上學(xué)期期末第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省新八校2024屆高三上學(xué)期期末第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，則,．故選：A．2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于第一象限，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，，，，，，則，，又，故，，所以，故．故選：C．3.設(shè)，向量，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時，由，可得，解得，當(dāng)時，由，可得，解得，因此“”是“”的必要不充分條件，故選：B4.已知角的終邊上有一點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，故，故選：B5.根據(jù)圓的性質(zhì)我們知道，過圓外的一點可以作圓的兩條切線，切點為與，我們把四邊形稱為圓的“切點四邊形”.現(xiàn)已知圓：，圓外有一點，則圓的“切點四邊形”的外接圓周長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意點到原點的距離，由于,所以切點四邊形的外接圓的直徑為,故該四邊形的外接圓的直徑為，所以半徑為，所以外接圓的周長為．故選：C．6.為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨、知史愛國的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史、育文化的黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的為（）A.的值為0.005 B.估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75分C.估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為85分 D.估計成績低于60分的有250人【答案】C【解析】根據(jù)頻率分布直方圖可知：，即，故A正確；由圖易得在區(qū)間,的人最多，故可估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75，故B正確；，故成績低于60（分）的有250人，即D正確；由圖中前四組面積之和為：，圖中前五組面積之和為：，故這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)在第五組數(shù)據(jù)中，設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為，則有，故，即估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86分，故C錯誤．故選：C．7.2023年11月16日，據(jù)央視新聞報道，中國空間站近日完成了一項重要的科學(xué)實驗——空間輻射生物學(xué)暴露實驗裝置的首批樣品已經(jīng)返回地面.這項實驗旨在研究在太空中長時間存在的輻射對人體和微生物的影響.已知某項實驗要在中國空間站進行，實驗開始時，某物質(zhì)的含量為，每經(jīng)過1小時，該物質(zhì)的含量都會減少，若該物質(zhì)的含量不超過，則實驗進入第二階段，那么實驗進入第二階段至少需要（）小時？（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）A.12 B.8 C.10 D.11【答案】D【解析】設(shè)實驗進入第二階段至少需要小時，由題意可得，，即，所以，所以，所以，即實驗進入第二階段至少需要11小時．故選：D．8.現(xiàn)將《西游記》、《紅樓夢》、《水滸傳》、《三國演義》、《史記》、《資治通鑒》6本不同的書籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游記》分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是（）A.180 B.150 C.120 D.210【答案】A【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①將6本不同的書籍分為3組，每組至少1本，若分為4、1、1的三組，有種分組方法，若分為3，2，1的三組，有種分組方法，若分為2，2，2的三組，有種分組方法，共有種分組方法，②將《西游記》所在的組分發(fā)給了甲，剩下2組任意分配，有2種情況，則有種分發(fā)方式．故選：A．二.選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.與的終邊相同B.在中，若，則C.函數(shù)是偶函數(shù)D.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱.【答案】ABC【解析】因為，即與的終邊相同，A正確；中，，B正確；為偶函數(shù)，C正確；令，，則，故對稱軸方程有D錯誤．故選：ABC．10.在棱長為2正方體中，點，，分別是線段，線段，線段上的動點，且.則下列說法正確的有（）A.B.直線與所成的最大角為C.三棱錐的體積為定值D.當(dāng)四棱錐體積最大時，該四棱錐的外接球表面積為【答案】BCD【解析】對于A，由，可得，因為，所以與不垂直，因此A不正確；對于B，因為，所以，因此直線與所成的角就是直線與所成的角，當(dāng)為中點時，此時,直線與所成的角最大為，因此B正確：對于C，由于平面平面,平面,所以為定值，C正確：對于D，,由于為上的點，故到平面的距離為定值，所以到平面的距離為定值，要使最大，只需要最大，故當(dāng)為點時，四棱錐體積最大，該四棱錐的外接球即正方體的外接球，直徑為，所以，故其表面積為，因此D正確．故選：BCD．11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若函數(shù)，都為偶函數(shù)，令，則下列結(jié)論正確的有（）A.的圖象關(guān)于對稱 B.的圖象關(guān)于點對稱C. D.【答案】AC【解析】根據(jù)題意為偶函數(shù)可得，即可知，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，即A正確；由是偶函數(shù)可得為奇函數(shù)，所以滿足，即，因此的圖象關(guān)于點成中心對稱，所以B錯誤；由可知，所以；即，所以的圖象關(guān)于點成中心對稱，因此，故C正確；易知，，由可得，聯(lián)立可得，所以，即，，所以是以為首項，公差的等差數(shù)列，所以，故D錯誤.故選：AC.12.已知為坐標(biāo)原點，，分別為雙曲線：（，）的左、右焦點，點為雙曲線右支上一點，設(shè)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，，則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.為定值C.若當(dāng)時恰好為等邊三角形，則雙曲線的離心率為D.當(dāng)時若直線與圓相切，則雙曲線的離心率為【答案】ABD【解析】對于A，因為是雙曲線C的右焦點，點M為雙曲線右支上一點，所以由雙曲線性質(zhì)知線段長度的最小值為，故A正確；對于B，設(shè)，兩漸近線方程分別為，，所以，又因為滿足，可得，所以為定值，故B正確；對于C，因為，所以，而（為坐標(biāo)原點）恰好為等邊三角形，因此由知，，所以由雙曲線的定義知：，即，即雙曲線的離心率，故C錯誤；對于D，如圖，設(shè)直線與圓相切于點A，連接OA，則，且，作于點B，則，又因為，所以，，因此在中，，又點在雙曲線右支上，所以，整理得，即，因此雙曲線的離心率，故D正確.故選：ABD三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.在的展開式中，的系數(shù)是________．（用數(shù)字作答）【答案】40【解析】的展開式的通項公式為：，令，解得：，的系數(shù)是．故答案為：4014.如果等邊圓柱（即底面直徑與母線相等的圓柱）的體積是，那么它的側(cè)面積等于________.【答案】【解析】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，則高為，故，解得，所以圓柱的側(cè)面積為.故答案為：.15.定義：有限集合，則稱為集合的“元素和”，記為.若集合，集合的所有非空子集分別為，，…，，則________.【答案】【解析】由題意知集合中的元素分別為，，，，，設(shè)①，則②，①②，得，所以．由于集合中每一個元素在子集中出現(xiàn)的次數(shù)為，所以．故答案為：．16.若正實數(shù)滿足不等式，則________.【答案】【解析】記，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，記，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，由題意，又因為，所以，故，所以.故答案為：.四.解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的首項，公比為，的項和為且，，成等差數(shù)列.（1）求的通項：（2）若，，求的前項和.解：（1）由題意，若，由首項，可知，，此時，不符合題意，故，則由，可得化簡整理，得，解得（舍去），或，，．（2）由（1），可得，故數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列，．18.已知的內(nèi)角、、的對邊分別為，，.（1）求的最大值；（2）若且，.求面積.解：（1）因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值為；（2）根據(jù)題意，得，因為，所以，即，得，又，所以，所以，所以，由，由正弦定理得，又，由余弦定理可得，解得，所以.19.如圖，在三棱錐中，是正三角形，，，，是的中點.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的正弦值．證明：（1）取的中點，連接，，因為是正三角形，所以，又因為，是的中點，所以，因為，且，，平面平面,所以平面，又因為平面，所以；解：（2）由（1）知，，以，所在直線分別為軸、軸，過作軸平面，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則,0,，,0,，,1,，,0,，,2,，記，,則,,，根據(jù)，解得，則,,，設(shè)平面的法向量為,,，又,2,，,,，則，即，令，則平面的一個法向量為，設(shè)平面法向量為，又，，則，即，令，則平面的一個法向量為，記平面與平面所成角為，那么，所以，所以平面與平面夾角正弦值為．20.甲乙兩人進行乒乓球比賽，經(jīng)過以往的比賽分析，甲乙對陣時，若甲發(fā)球，則甲得分的概率為，若乙發(fā)球，則甲得分的概率為.該局比賽甲乙依次輪換發(fā)球權(quán)（甲先發(fā)球），每人發(fā)兩球后輪到對方進行發(fā)球.（1）求在前4球中，甲領(lǐng)先的概率；（2）16球過后，雙方戰(zhàn)平（），已知繼續(xù)對戰(zhàn)數(shù)球后，甲率先取得11分并獲得勝利（獲勝要求凈勝2分及以上）.設(shè)凈勝分為（甲，乙的得分之差），求的分布列.解：（1）甲與乙的比分是的概率為，比分是的概率為，故前4球中，甲領(lǐng)先的概率；（2）依題意，接下來由甲先發(fā)球．繼續(xù)對戰(zhàn)數(shù)球后，甲獲得11分勝利，即甲或獲勝，即在接下來的比賽中，甲乙的比分為或，且最后一球均為甲獲勝，記比分為為事件，則，記比分為為事件，即在接下來的4場比賽中，前3場比賽中，甲獲勝兩場，期間甲發(fā)球兩次，乙發(fā)球兩次，，故甲依題意獲勝的概率為，的所有可能取值為3，2，由條件概率有，故的分布列為：2321.已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，直線與橢圓C交于A，B兩點，且．(1)求橢圓C的方程．(2)不經(jīng)過點的直線被圓截得的弦長與橢圓C的長軸長相等，且直線與橢圓C交于D，E兩點，試判斷的周長是否為定值?若是，求出定值；若不是，請說明理由．解：（1）因為，所以，則即，所以橢圓C的方程可化為，由得不妨令易知則因為，所以,即，又，所以所以橢圓C的方程為（2）由（1）知橢圓C的長軸長為，因為直線被圓截得的弦長與橢圓C的長軸長相等，所以圓的圓心O（O為坐標(biāo)原點）到直線l的距離，所以，即設(shè)，聯(lián)立方程，得整理得所以，又，所以又所以，所以的周長是.所以的周長為定值，為.得解.22.