第07講 拓展三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）

第07講拓展三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）一、知識(shí)點(diǎn)歸納1、函數(shù)的零點(diǎn)（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．（2）三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)有零點(diǎn)．2、函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理．注意：單調(diào)性+存在零點(diǎn)=唯一零點(diǎn)二、題型精講題型01判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)1．（2022上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)設(shè)，求在區(qū)間上的最值；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).2．（2022下·山東青島·高二山東省萊西市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).3．（2022下·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，在處切線的斜率為-2.（1）求的值及的極小值；（2）討論方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).4．（2023上·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知．(1)當(dāng)時(shí)，求在上的單調(diào)性；(2)若，令，討論方程的解的個(gè)數(shù)．5．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)．(1)若為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)已知僅有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)．題型02利用最值（極值）研究函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）問題1．（2023上·北京·高三北京四中校考期中）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；(3)若在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.2．（2023上·福建福州·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)（）.(1)求在上的最大值；(2)若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.3．（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若在上存2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.4．（2023上·重慶涪陵·高三重慶市涪陵高級(jí)中學(xué)校校考開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；(2)若函數(shù)的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．5．（2023下·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，，其中，若.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.6．（2023下·廣東東莞·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若是的極值點(diǎn)，且方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．題型03利用數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）問題1．（2023上·重慶涪陵·高三重慶市涪陵高級(jí)中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；(2)若函數(shù)的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．2．（2023上·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知．(1)當(dāng)時(shí)，求在上的單調(diào)性；(2)若，令，討論方程的解的個(gè)數(shù)．3．（2023下·湖南衡陽·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若方程有三個(gè)根，求的取值范圍．4．（2023上·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的極值：(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.5．（2023上·北京·高三北京二十中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)，(1)已知直線是曲線在點(diǎn)處的切線，且與曲線相切，求的值；(2)若方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.6．（2023·四川·校聯(lián)考一模）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)令（a為常數(shù)），若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.題型04構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）問題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性．(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．（2023上·湖南·高三邵陽市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，求證：.（注：是自