上海市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級上冊期中考試數(shù)學(xué)試卷

上海市川沙中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.正四棱柱的底面邊長為2,高為3,則它的體積為

2.如圖，已知長方體4BCQ一4AG2的棱長/4=3cm,48=4cm，則點(diǎn)4到棱8c的距

離是cm

3.已知根〃［，"ua，則直線機(jī)、〃的位置關(guān)系為（填平行、相交、異面）

4.如圖，三棱柱48c中，若B==R西=3,則還=------（用瓦石忑表

示）

5.如圖，A0/2'是水平放置的△045的斜二測直觀圖，若OW=3,OB'=4,則△0/8

試卷第11頁，共33頁

6.已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的高為—

7.如圖，在三棱柱-44G中，尸為44中點(diǎn)，記三棱錐尸-ABC的體積為匕，三棱

柱/8C-44G的體積為匕，則匕=

8.如圖，在棱長為1的正方體/BCD一44C■中，點(diǎn)尸在截面卻必上，則線段"的最小

9.在正方體48co-4[gCQi各個表面的對角線所在直線中，與直線42異面的直線有"

條，貝L?=___

10.如圖為一幾何體的展開圖，其中/BCD是正方形，SD=PD,CR=CS，4Q=4P,點(diǎn)

S,D,A,Q及P,D,C,R共線，沿圖中虛線將它們折疊，使尸，Q,R,S四點(diǎn)重合于

試卷第21頁，共33頁

點(diǎn)M,在該幾何體的側(cè)面和底面中，與平面垂直的平面的個數(shù)為

C

Q

11.正四棱錐8co的底面邊長為分高為3,E是邊8c的中點(diǎn)，尸在正四棱錐的表面

上運(yùn)動，并且總保持產(chǎn)后工/c，則動點(diǎn)尸的軌跡的周長為

12.如圖是一座山的示意圖，山呈圓錐形，圓錐的底面半徑為5公里，側(cè)棱長為20公里，

2是“上一點(diǎn)，且/8=5公里，為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條最短的從力繞山一周到8的

觀光鐵路，這條鐵路從/出發(fā)后首先上坡，隨后下坡，則下坡段鐵路的長度為公里

二、單選題

13.下列命題是假命題的是（）

A.棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形

B.將矩形/8CD繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓柱;

C.正棱錐頂點(diǎn)在底面的投影是底面正多邊形的中心；

試卷第31頁，共33頁

D.將直角三角形/QB繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓錐.

14.設(shè)/，加/均為直線，其中加，"在平面a內(nèi)，“/1a”是“/1m且/

!〃”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

15.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且48//CZ），正方體的六個

面所在的平面與直線CE,即相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為加，"，則加+"的值為（）

A.7B.8C.9D.10

16.空間內(nèi)有三條直線，其中任意兩條都不共面但相互垂直，直線/與這三條直線所成角

均為。，則。的值為（）

Carcsin".V6

AB.arcsin—D.arcsin——

-7333

三、解答題

17.如圖，某公司制造一種海上用的“浮球”，它是由兩個半球和一個圓柱筒組成.其中

圓柱的高為4米，球的半徑一為1米.

試卷第41頁，共33頁

(2)假設(shè)該“浮球”的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為20

元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為30元.求該浮球的建造費(fèi)用(精確到1元).

18.如圖所示的幾何體，是將高為2、底面半徑為1的圓柱沿過旋轉(zhuǎn)軸的平面切開后，將

其中一半沿切面向右水平平移后形成的封閉體，Op02&分別為/8、的中點(diǎn),

尸為弧的中點(diǎn)，G為弧3c的中點(diǎn)，

(1)求直線GO'2與平面BCDE所成角的大小

(2)求異面直線AF與GO,2所成角的大小

19.如圖，三棱錐/BCD中，AB1^BCD,BC1CD.

(D求證：4C_LCD

⑵若三棱錐"一8co的體積為L'八⑦小，有一根彩帶經(jīng)過面,8C與面且彩

6

帶的兩個端點(diǎn)分別固定在點(diǎn)2和點(diǎn)。處，求彩帶長度的最小值.

20.一組空間向量記可二[+[+?；+???+】，如果存在

試卷第51頁，共33頁

。小{1,2,3,-?,"}),使得同2瓦一心，那么稱或是該向量組的“方向量”.

⑴已知吊=(0,5,4)，Z=(l,0,3)，Z=(5,f,0)，若Z是向量組鼠ZW的''“向量"，求實數(shù)f

的取值范圍；

(2)四面體PN8C內(nèi)接于以。為球心，1為半徑的球，且3.況+4?赤+5-反=6，

⑴記，=E，3=痂,[=反，向量組成高工中是否存在“〃向量”，若有，指出哪個

是“人向量”并證明；若沒有，請說明理由.

(ii)求四面體尸4gc體積的最大值.

21.如圖所示，已知三棱柱NBC-44cl的側(cè)棱與底面垂直，AAt=AB=AC=l>

/2_L/C,又是CG的中點(diǎn)，N是3c的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在直線上，且滿足乖=力4萬.

(1)指出直線與平面2G尸的位置關(guān)系(不需說明理由)

(2)設(shè)直線期與平面尸所成的角為0,求。的取值范圍

(3)設(shè)平面尸的與平面43C所成的銳二面角的大小為。，求cos。的最大值，并求相應(yīng)的;I

的值

試卷第61頁，共33頁

參考答案:

題號13141516

答案DADD

1.12

【分析】由棱柱體積公式直接計算可得.

【詳解】由題知，正四棱柱的底面面積為2x2=4'

所以，正四棱柱的體積為4x3=12，

故答案為：12

2.5

【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直性質(zhì)以及點(diǎn)線距離定義，可得答案.

【詳解】連結(jié)/田，如圖：

在長方體ABCD-中,由8CJ_平面ABBtAt>A,Bu平面ABB、4，

所以//J.8C，則點(diǎn)4到棱3C的距離是ZR，

222

在矩形4叫4中，AtB=^AB+AA^=A/3+4=5.

故答案為：5

3.平行或異面

【分析】利用線面平行的定義直接判斷即可.

【詳解】由〃7//￡，得直線加與平面a無公共點(diǎn)，而〃ua

答案第11頁，共22頁

因此直線加，“沒有公共點(diǎn)，所以直線加、〃的位置關(guān)系為平行或異面.

故答案為：平行或異面

4'11

b-a-c

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解.

【詳解】由題意福=萬一直=在一石一西=辦一〃一"，

故答案為：b'_'a_'c.

5.12

【分析】根據(jù)斜二測畫法，將直觀圖還原可知原三角形為直角三角形，求出兩直角邊的長

度，即可得出答案.

如圖，根據(jù)斜二測畫法，將直觀圖還原后，得到的v/03為直角三角形，

且兩條直角邊。8=。'8'=4，OA=20,A=6'

所以，△04,的面積為S='x4x6=12.

2

故答案為：12.

6.V3

【分析】由題意可知圓錐的母線長為2,根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的弧長為圓錐的底面圓的周

長，可求得底面圓的半徑，進(jìn)而求得圓錐的高.

答案第21頁，共22頁

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為/，高為〃，

有題意知/二2，2兀加，解得尸=1,

所以〃="^7=行

故答案為：

7.-

6

【分析】利用棱錐、棱柱的體積公式求匕、匕，即可得結(jié)果.

【詳解】令S"BC=S，棱柱的高為人

由題意匕=’x".S=M,V2=Sh,

326

所以匕=L

匕6

故答案為：-

6

8.@

3

【分析】由已知可得/￡_L平面，可得尸為NG與截面NQB的垂足時線段/尸最小,

然后利用等積法求解.

【詳解】如圖，

答案第31頁，共22頁

連接/C]交截面于P，由CC]_L底面，可得CC]_LAD，

又ACLBD,可得8DJ.平面ZCG，則ZCJ2。，

同理可得/GJL43，得到/C1_L平面4D8，此時線段/P最小，

由棱長為1,可得等邊三角形/QB的邊長為近，

°_]nV6_V3

SADB=-xV2x=—

：222

?.?〃一加二%4叫.?，/xixlxl=L"x/P，解得在="，

32323

故答案為1.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)、線、面間的距離的求法，利用了等積法求距離，屬于中檔題.

9.5

【分析】由異面直線的性質(zhì)結(jié)合圖形觀察可得.

【詳解】觀察可得，與直線/q異面的直線有823c，4G，4B,OG，共5條，

所以〃=5?

故答案為：5.

10.3

【分析】根據(jù)給定的側(cè)面展開圖及信息，還原該幾何體，再借助面面垂直的判定即可得解.

【詳解】依題意，直線4D_LCD,點(diǎn)S,0e直線4D,點(diǎn)尸,Re直線CD,

答案第41頁，共22頁

在幾何體48co中，D4,￡>C,DW■兩兩垂直，而NOcMO=u平面，

則CD_L平面M4ZT又CZ)u平面48ap因此平面48co1平面M4ZT

又CDu平面MCZT因此平面MCO_L平面腦1ZT

而AB//CD'則N8_L平面K4ZT又48u平面因此平面_L平面M4D，

令平面M4Dc平面由8C//N。，8ctz平面跖1ZT4Du平面M4。，

得3C//平面MID，而BCu平面M5C，于是///3C//4D，同理ND_L平面MCD，

貝U/_L平面MCD，Affl,MCu平面MCD，貝！1/_LMD,/_LMC,NCW是平面MID與平面

MBC的夾角,

而/CMD是銳角，因此平面M4D與平面MBC不垂直，

所以與平面垂直的平面?zhèn)€數(shù)為3.

故答案為：3

ILV17+2V2/2V2+V17

【分析】利用正四棱錐的特征及線面垂直的判定計算即可.

【詳解】

答案第51頁，共22頁

C

A

設(shè)s在底面的投影為O,由正四棱錐的特征知。亦為NC,8。的交點(diǎn),

取SC,CD的中點(diǎn)G，，

設(shè)由中位線的性質(zhì)可知￡尸//8￡），

顯然正方形A8CD中￡F_L/C，H為OC的中點(diǎn)，

所以G/7//SO，所以G，_L底面48czT

而NCu底面/3Cr>，所以G〃_L/C，

又EFCGH=H,EF、6〃<=平面￡尸6，

所以/C_L平面EFG，即動點(diǎn)尸在AEFG的三條邊上，

根據(jù)正四棱錐S一/88的底面邊長為分高為3，

可知G￡=GF=LS3=LXJS02+0B2=^，EF=^-BD=2y/2,

2222

所以P的軌跡的周長為小+2血.

故答案為：717+272

答案第61頁，共22頁

12.9

【分析】先展開圓錐的側(cè)面，確定觀光鐵路路線，再根據(jù)實際意義確定下坡段的鐵路路線,

最后解三角形得結(jié)果.

【詳解】沿母線”將圓錐的側(cè)面展開，如圖：

記尸為?8上的任意一點(diǎn)，作垂足為//，連接sp，

因為切的長為.所以等可

由兩點(diǎn)之間線段最短，知觀光鐵路為圖中的H8，

易知的=20-5=15，所以48=北記與7=亞港石手=25，

上坡即尸到山頂S的距離PS越來越小，下坡即尸到山頂s的距離PS越來越大，

...下坡段的鐵路，即圖中的A*,

,Rt^SA'B-Rt^HSBSB2152

因my為，所以/ffi=*_=V_=9.

A'B25

故答案為：9

13.D

【分析】由棱柱、圓柱、正棱錐、圓錐的定義逐一判斷可得選項.

【詳解】解：對于A：由棱柱的定義得棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，故A正確；

對于B：由圓柱的定義得將矩形N8CD繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓柱，故

答案第71頁，共22頁

B正確；

對于C：由正棱錐的定義得正棱錐頂點(diǎn)在底面的投影是底面正多邊形的中心，故C正確;

對于D：將直角三角形NOB繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體不是圓錐，故D不正確，

所以假命題的是D選項，

故選：D.

14.A

【詳解】設(shè)/，見〃均為直線，其中陽〃在平面a內(nèi)，“I1a”，則“/1m

且/1反之若“/1m且/1〃"，當(dāng)m//n時，推不出“/1a”，；.

“I1a”是“/_Lm且/_L””的充分不必要條件，選A.

15.D

【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系判斷.

【詳解】由正四面體性質(zhì)知CE與正方體的六個面都是不平行，因此加=6，

而正四面體中環(huán)與8垂直（證明如下），此

因此跖與正方體的左右兩個面平行，不相交，但與另外四個面都相交，n=4,

所以加+“=10'

故選：D.

下面證明斯1CD：

取CD中點(diǎn)G，連接EG,FG，因為EC=ED=FC=FD,

所以EG_LCD,FG_LCD，

又EGf]FG=G，EG,尸Gu平面EFG，所以CD平面EFG，

又因為EFu平面E尸G，所以CD_L￡7【

答案第81頁，共22頁

16.D

【分析】將題設(shè)三條直線置于正方體內(nèi)，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征確定直線/為體對角線,

進(jìn)而找到。的對應(yīng)角，即可求其大小.

【詳解】令空間中三條符合題設(shè)的直線分別為4用,BC，如下圖正方體所示,

又DDJICC\,A\BJIDC，故直線/與。2,2C夾角，即為與C。,DC,8c夾角，

根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，易知其中體對角線eq與CG，OC,8c的夾角相等,

若￡為8。的中點(diǎn)，連接EG與C4交于E，其中。一8?！隇檎忮F且尸為底面中心，

所以。/_1_面80。］,尸Gu面ADG，則CFJ■尸G，且與eq的夾角為ZFCC1或其補(bǔ)

角，

令正方體棱長為2,則BD=BG=DG=24i,可得bc=2x2亞x<!=亞，

1323

所以sin。=sinZFCCX='故。=arcsin^--

1

CCX33

答案第91頁，共22頁

故選：D

17.⑴17

m3

（2）880元

【分析】（1）根據(jù)圓柱、球的體積計算公式即可求出幾何體體積；

（2）根據(jù)圓柱、球的表面積計算公式即可求出整個幾何體表面積，從而得到建造費(fèi)用.

【詳解】（1）由題意得，“浮球”可看成是由一個圓柱體和一個球體組成，

圓柱體底面半徑為1,高為4,故體積為匕=兀1囪=4m3'

球體體積K=—7T7C3=—m,

33

所以“浮球”的體積%=匕+匕=等"1711?.

（2）由題意得，圓柱形部分表面積即為圓柱體的側(cè)面積，

Sx=2jirl=8K，故建造費(fèi)用為8兀x20=160兀兀，

球形部分表面積為=4兀4元=，

故建造費(fèi)用為47tx30=120兀元，

所以整個“浮球”的建造費(fèi)用為160兀+120兀=280兀。880元-

18.（1）arctan—

2

arccos-----

10

【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系，以及線面角的定義，作出線面角，即可求解；

（2）根據(jù)平行關(guān)系，轉(zhuǎn)化異面直線所成的角為相交直線所成的角，即可求解.

【詳解】（1）由條件可知，平面平面5GC，且平面BCZJEc平面BGC=8C，

答案第101頁，共22頁

因為點(diǎn)G是弧5c的中點(diǎn)，所以GOZLBC，

所以GO2，平面5cDE，

所以直線GO；與平面BCDE所成角為NGO；Q'

（2）連結(jié)GC，CO；，

因為點(diǎn)尸,G分別是弧的中點(diǎn),

所以N4FB=/GC8=45°，所以4FV/GC，

所以異面直線AF與GO'2所成角為GO；與GC所成角，即NO；GC或其補(bǔ)角，

2222

O'2G=&C=V2+l=5GC=Vl+1=V2'

所以cosNO；GC=§+尸Vio

2xV5xV2IT

所以異面直線AF與G0'2所成角為arccos巫?

10

19.（1）證明見解析.

（2）彩帶長度的最小值為

答案第111頁，共22頁

【分析】（1）先利用線面垂直的性質(zhì)定理證明‘co,然后利用線面垂直判定定理證

明CD_L平面4BC，最后利用線面垂直性質(zhì)定理證明/C_LCD即可，

（2）先利用三棱錐體積計算出/8=i，然后將兩個三角形放入同一平面，利用兩點(diǎn)間線段

最短得到彩帶最短時的情況，然后利用兩個三角形的圖像和余弦定理計算即可.

【詳解】（1）由題可知，平面BCZHCDu平面2c所以

因為BC_LCD,ABnBCuB'BCu平面A8C，/Bu平面ABC，

所以CD_L平面48C，顯然NCu平面NBC，

所以HC_LCD；

-x-x|5C|x|CZ)|xU5|=-,18cl=|CD|=1,

（2）由題可知，

326

所以|第=1，

如圖，將三角形/go與三角形/CD放在同一平面，

CD

47r

顯然48CD=—，

4

所以當(dāng)彩帶長度最小時為圖中RD，

DD

答案第121頁，共22頁

由余弦定理可知，\Bb\=|sc|2+|CD|2-2\BC^CD\cosy=2+V2,

所以此=12+廳

2°?⑴（一oo,一5也）U（5行,+oo）；

⑵⑴存在，［和工；

2

（ii）--

5

【分析】（1）根據(jù)題干信息求出及，再代入題干關(guān)系得到不等式，解得，的取值范圍；

（2）（i）由3.9+4.赤+5?反=0結(jié)合向量的運(yùn)算可得方,赤，且43,C,O在同一平

面內(nèi)，隨之將問題轉(zhuǎn)化為平面向量的問題，再依次分析,，二彳哪個滿足“人向量”的定義?

（ii）由（i）可知v/8c過球心0，且面積為定值，所以當(dāng)OP_L平面/Be時，四面體

PABC體積取得最大值.

【詳解】（1）由題意得,/=（6J+5,7”國-1=（1,5,7），

又因為［是向量組TZ,工的“〃向量”，

所以卜鄧3一的|,即正+白。正+52+72

Of2250，解得fV-5應(yīng)或出5及，

故/的取值范圍為（_00,一5五）U（5亞,+00）-

（2）（i）由題意得，因為四面體P48C內(nèi)接于球。，所以面上區(qū)目工口，

答案第131頁，共22頁

因為常+逋+5工=6,所以輻+德=-5工，

兩邊同時平方得9④2+16區(qū))2+2甌W=25④2，

因為④2=|.『，④2=區(qū),，④2=國2,

所以可得14=°'即I，％，04108'且4民。,。在同一平面內(nèi)?

如圖所示，

CII

以0為原點(diǎn)，0AoB分別為X,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則4(1,0)，8(0,1)，［=(1,0)，^=(0,1),

代入3%+4。2+5%=°得同=(-2,j)，

于是可得初=1漏小區(qū)+小?。-豈+(1-3=萼

—————I3~>2T722亞

\a21=1>|S3-a21=|?,+a31=^(l--)+(0--)=-

所以由“〃向量”的定義，--成都是叮向量

(ii)由(i)得，OA^OB^且48,C,O在同一平面內(nèi),

答案第141頁，共22頁

所以VN2C在過球心°的截面上，

又3?況+4.礪+5.反=6，3屈+5灰=-4礪，

-.-334

兩邊平方可得，OAOC=一一，BPcosZAOC=一一，sin//OC=—,

555

同理4O3+5.0C=-3CM,兩邊平方可得歷=—J

5

43

即cosN5OC=-一，sinZBOC=-,

55

于是S.4BC=S./(?+S“OC+SABOC

=||O4|-1OS|+|Ift4|.|0C|-sinZ^OC+|IOSHOC|-sinZJBOC=1.

所以當(dāng)OP_L平面48C時，四面體尸/a。體積取得最大值，

止匕時％Bc=；SMB"O門=；xgxl=|.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：

(1)找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；

(2)由已知條件，看所求的是什么問題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言;

(3)將已知條件代入新定義的要素中；

(4)結(jié)合數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答.

21.(1)JW與平面5G尸共面或小〃平面5Gp

(2)(0,arcsin

⑶如；-2

3

答案第151頁，共22頁

【分析】（1）利用中位線定理及線面平行的判定定理即可說明直線"N與平面的位

置關(guān)系；

（2）如圖，以A為原點(diǎn)，以所在直線為x軸，V軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由題意得平面48尸的法向量為/=（0,],0）,貝！1

sin。

,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，繼

而即可求出。的取值范圍；

（3）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出二面夾角的余弦值，利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)求

出最值即可.

【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)尸與81重合時，與平面2。1尸共面，

當(dāng)點(diǎn)P不與81重合時，

Ai

因為分別