特殊角問(wèn)題-2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

特殊角問(wèn)題

一、知識(shí)導(dǎo)航

一、什么是特殊角？

說(shuō)到特殊角我們很快就能想到比如30。、45。、60。、90。等，事實(shí)上，之所以以上角能稱(chēng)為特殊角，關(guān)鍵在于

這些角的三角函數(shù)值特殊，比如同為整十，為什么我們會(huì)修60。稱(chēng)為特殊角，而50。便不是，原因彳艮簡(jiǎn)單，

cos60°=-,而我們并不知道50°的任一三甭函數(shù)值.

2

因此角度特殊不在于這個(gè)角是多少度，而在于其三角函數(shù)值是否有特殊值，所以除了常見(jiàn)的30。、45。、60°,

我們可以擴(kuò)充一下特殊角的范圍.

+

三邊之比為1：3：710

11

以及從最后一張圖中可得二倍角或者半角的三角函數(shù)構(gòu)造:

比如求tanl5°:

1

tan15°=----E=2-73

2+73

tan75°=2+73

tan22.5°:

tan22.5°=^^=&

1+72

一般半角三角函數(shù)值求法:

a

tana二一

b

aa

tan一二i

2b+^+b2

一般二倍角函數(shù)值求法:

勾股定理可求二倍角三角函數(shù)值

二、特殊角在坐標(biāo)系中的意義

當(dāng)我們初次接觸到平面直角坐標(biāo)系時(shí)，我們就認(rèn)識(shí)了一、三象限角平分線及二、四象限角平分線，即直線

>=%和直線>=-%,在一次函數(shù)中我們知道，若兩直線平行，則左相等.

綜合以上兩點(diǎn)，可得：對(duì)于直線y=x+根或直線尸-x+加，與x軸夾角為45。.

-F-y=-x+m

fv

并且我們還可通過(guò)畫(huà)圖與計(jì)算得知：

1上；73f/

即“y=fcv+6的H與“直線和無(wú)軸的夾角”存在某種固定的聯(lián)系.

關(guān)系就是：%|=tancz（c是直線與x軸的夾角）.

不裝了，我攤牌了~

k>0Ay=kx+b

乃）上空PM

一tana==

QMxrx2

k=tana

k<0

小N竺

PM月）2

1_悶汽2,/2）氣產(chǎn)一tana=---=------

QMxrx2

k=-tana

三、坐標(biāo)系中特殊角的處理

在坐標(biāo)系中構(gòu)造定角，從其三角函數(shù)值著手：

思路1:構(gòu)造三垂直相似（或全等）；

思路2:通過(guò)三甭函數(shù)值化"角度條件"為"直線

二、典例精析

引例1:如圖，在平面直線坐標(biāo)系中，直線48解析式為、=工無(wú)，點(diǎn)M（2,1）是直線48上一點(diǎn)，將直線

2

AB繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到直線C。，求CD解析式.

【分析】

思路1:構(gòu)造三垂直相似（全等）

在坐標(biāo)系中存在45。角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，構(gòu)造三垂直全等確定圖形.

在直線A8上取一點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作交于尸點(diǎn)，分別過(guò)/、P向x軸作垂線，垂足為E、F點(diǎn).

易證△OEM0

itPF=OE=2,OF=ME=1,故P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,2）,

結(jié)合尸、M坐標(biāo)可解直線C。解析式：y=--x+-.

33

構(gòu)造等腰直角的方式也不止這一種，也可過(guò)點(diǎn)。作C。的垂線,

但直角頂點(diǎn)未知的情況計(jì)算略難于直角頂點(diǎn)已知的情況，故雖可以做但并不推薦.

思路2:利用特殊角的三角函數(shù)值.

過(guò)M點(diǎn)作AfN//x軸，則tanNOAW=tana=；,tanZ.CMN=,

考慮到直線CD的增減性為y隨著x的增大而減小，故化°＜。，

所以直線CD:y=-1(x-2)+l,

d匕簡(jiǎn)得：V=--X+—.

33

引例2:如圖，在平面直線坐標(biāo)系中，直線A2解析式為、=3X，點(diǎn)M(2,1)是直線48上一點(diǎn)，將直線

3

A5繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到直線CD,且tana=‘，求直線解析式.

2

【分析】

在直線A3上再選取點(diǎn)。構(gòu)造三垂直相似，如下圖所示,

PO3

易證且相似比上=tanN尸加。=巳，

OM2

333

即0尸二一般=一，PF=—OE=3,

222

故P點(diǎn)坐標(biāo)為1之3),

415

結(jié)合P、/點(diǎn)坐標(biāo)可解直線C。解析式：＞=-一x+—.

-77

本題并不容易從三角函數(shù)值本身下手，原因在于角度并不屬于我們所討論的特殊角范圍之內(nèi)，簡(jiǎn)便的做法

只存在于特殊的角中.

認(rèn)識(shí)特殊角，了解特殊角，運(yùn)用特殊角，就能在復(fù)雜問(wèn)題中找到簡(jiǎn)便的求法.

三、中考真題演練

1.(2023?四川攀枝花?中考真題)如圖，拋物線>=依2+法+式。/0)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。，且頂點(diǎn)為A(2,-4).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)設(shè)拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)為8,點(diǎn)尸位于拋物線上且在x軸下方，連接。4、PB,若

ZAOB+ZPBO=90°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】⑴T-4X

17

⑵丐，北)

【分析】(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=O(x-2)2-4,將。(0,0)代入可得y=/-4x；

(2)過(guò)A作AT，》軸于T,過(guò)尸作PK_Lx軸于K,設(shè)P(m,療一4加)，求出8(4,0)；根據(jù)N4OB+ZAOT=90。,

24

ZAOB+ZPBO=90°,得ZAOT=ZPBO,故△AOTSAK,從而一----="-,即可解得答案.

PB-in+4m4-m

【詳解】(1)解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為>=心-2)2-4,

將。(0,0)代入得：4a—4=0,

解得<2=1,

y=(x-2)2-4=x2-4x；

(2)過(guò)A作AT_Ly軸于T,過(guò)P作軸于K,如圖：

設(shè)P(m,m2-4m),

在尸犬一4%中，令y=0得I=0或%=4,

???5(4,0)；

?「ZAOB+ZAOT=90°,ZAOB+ZPBO=90°,

.\ZAOT=ZPBO,

-.?ZATO=900=ZPKB,

:.MOTSAPBK,

,ATOT

???A(2T),

24

/.—.----=----,

-m+4m4-m

解得加=；或〃7=4(此時(shí)P與8重合，舍去),

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明

AAOTS“BK,用對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出機(jī)的值.

2.（2023?湖北黃石?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線了=以2+法+。與x軸交于兩點(diǎn)

A（-3,0）,3（4,0）,與y軸交于點(diǎn)。（0,4）.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)已知拋物線上有一點(diǎn)戶(五,幾)，其中為<0,若/。1O+N/LBP=90。，求吃的值；

【分析】(1)由待定系數(shù)法即可求解；

CO433

(2)在RQAOC中，tanZCAO=--=-貝UtanNAB尸=:，得到直線的表達(dá)式為：y=-(x-4)進(jìn)

AO3f44f

而求解；

【詳解】(1)解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a(x+3)(%-4)=?(x2-x-12),

即一12a=4,貝?。荨?一,，

3

故拋物線的表達(dá)式為：>=-$2+卜+4①；

CO4

(2)解：在Rt^AOC中，tanX.CAO=二—,

AO3

???NG4O+ZAB尸=90。，

3

則tanNA8P=一,

4

故設(shè)直線5尸的表達(dá)式為：y4)②，

4

113

聯(lián)立①②得：-=尤2+4=；(尤一4),

334

71

解得:尤=-7=%(不合題意的值已舍去)；

3.(2023?黑龍江大慶?中考真題)如圖，二次函數(shù)>=依2+法+。的圖象與x軸交于A,8兩點(diǎn)，且自變量x的

部分取值與對(duì)應(yīng)函數(shù)值，如下表：

XL-101234L

yL0-3-4-305L

備用圖

備用圖

⑴求二次函數(shù)y=,2+bx+c的表達(dá)式;

(2)若將線段A3向下平移，得到的線段與二次函數(shù)>=以2+法+。的圖象交于尸，。兩點(diǎn)(尸在。左邊)，R

為二次函數(shù)>=〃/+樂(lè)+。的圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為加，點(diǎn)火的橫坐標(biāo)為加+0時(shí)，求tan/HPQ

的值;

【詳解】(1)解：由表格可知，二次函數(shù)y=〃/+法+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(—1,0),(0,-3),(1,^),代入

y=ax2+bx+c得至lj

a-b+c=0

<c=-3

a+b+c=—4

a=l

解得卜二-2,

c=-3

???二次函數(shù)ynqf+bx+c的表達(dá)式為y=x2-2x-3；

(2)如圖，連接依，QR,過(guò)點(diǎn)H作交A2的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

:點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為機(jī)，

Q^m,m2—2m—3）,

*.*y=x2—2x—3=（x—l）2—4,

???拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,

??,點(diǎn)尸與點(diǎn)。關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)，

設(shè)點(diǎn)尸（鹿,病-2%-3）,

貝!jm-l=l-幾,解得〃=2—小，

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2-帆，川-2帆-3）,

當(dāng)尤+0時(shí)，y=%2—2%—3=（m+拒『一2（m+0）—3=機(jī)2+（2立一2）加一1-2a,

即H+0,川2+0血—2）加一1—2夜）,

則M（m+72,m2-2m-3）,

RM=AM2+（2^/^'-2）iTi—1—2,\/2—（加之—2m—3）=+2—2^/^,

PM=m+^2—（2—m）=2m+^2—2,

20加+2一2后夜（2及+拒—2）_￡

tanzw=Z

2m+\/2—22m+^2—2

即tan/RPQ的值為行;

4.(2023?山東泰安?中考真題)如圖1,二次函數(shù)產(chǎn)加+法+4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-4,0),B(-l,0).

圖1圖2

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(3)小明認(rèn)為，在第三象限拋物線上有一點(diǎn)。，使NZMB+NACB=90。；請(qǐng)判斷小明的說(shuō)法是否正確，如果

正確，請(qǐng)求出。的坐標(biāo)；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【詳解】(1)解:將A(yO),3(T,O)代入==癥+4+4得:

16〃一4。+4=06Z—1

,解得:

a-b+4=0b=5

:.拋物線解析式為：y=x2+5x+4；

(o20、

(3)解：正確，——I,理由如下:

如圖所示，連接AC,BC,設(shè)AC與對(duì)稱(chēng)軸交點(diǎn)為K,對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)為H,連接BK,延長(zhǎng)AD與對(duì)稱(chēng)

軸交于點(diǎn)M,

由(1)、(2)可得。4=OC=4,ZAOC^P,

/.ZC4<9=45°,AC=4V2.

根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，AK=BK,

：.ZKAB45°,ZAKB=90°,

"：AB=3,

AK=BK=晅

2

C-K注

「KS

在RMCKB中，tan/CBK==—,

BK3

NCBK+ZACB=90。且NDAB+NACB=90。，

:?/DAB=/CBK,

tanNDAB=tanZCBK=—,

3

即：在Rt^AHM中，---=一,

AH3

53

AH=——(-4)=-,

2v72

：.HM=-3x-5=5

232,

5_5

：.M

2，-2

設(shè)直線AM解析式為：y=sx+t,

5

s=——

3

將A（T,0）、代入解得：.

20

t=---

3

520

???直線AM解析式為:y=——x---

33

8

y=x2+5x+4x二——

;?；騲=-4&

聯(lián)立520，解得：,產(chǎn)。（不合題,舍去）

y=——x---

y二—

339

20

小明說(shuō)法正確，。的坐標(biāo)為。~9

5.（2023?遼寧營(yíng)口?中考真題）如圖,拋物線y=a^+bx-\{aw0）與％軸交于點(diǎn)A（1,O）和點(diǎn)6,與丁軸交于

點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)。（3,0）,過(guò)點(diǎn)5作直線龍軸，過(guò)點(diǎn)。作。石1CD,交直線/于點(diǎn)E.

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接CE和3P交于點(diǎn)Q,當(dāng)器時(shí).求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

【詳解】(1)解：：拋物線丁=加+法與》軸交于點(diǎn)AQO),拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)0(3,0),

則對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3,

a+b-l=0

.eJbo，

-=J

、2a

1

a=—

解得：?

b=s

[5

???拋物線解析式為、=-92+*1；

(2)解：由尸一夫+!1,當(dāng)y=0時(shí)，-1%2+|^-1=0,

解得：玉=1,%2=5,

???3(5,0),

當(dāng)％=0時(shí)，y=-l,貝

VDE1CD,ZCOD=ZEBD=ZCDE=90°

???ZCDO=90°-ZEDB=ZDEB,

tanNCDO—tan/DEB,

OCDB

即nn——=——，

ODBE

??馬一BE，

??.BE=6,則E(5,-6),

設(shè)直線石c的解析式為y=^—1,貝iJ-6=5左—1,解得：k=-\,

???直線EC的解析式為產(chǎn)-》-1,

如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作尸軸，交EC于點(diǎn)T,

△PTQ^^BEQ

..些=9

,PQ7

二強(qiáng)二/3則吟絲

PTPQ75

即尸「,一”?

設(shè)T&T-1),則-歹

將點(diǎn)尸—*代入'=_(尤2+與尤一］

47126,

即Hn-t-----=__r+-r-l

555

解得：，=-3或/=14(舍去)

當(dāng)/=—3時(shí)，T上47=—空32

，「卜3,一高；

6.(2023?遼寧營(yíng)口?中考真題)如圖，拋物線丫=加+桁-1("0)與x軸交于點(diǎn)4(1,0)和點(diǎn)B,與V軸交于

點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)0(3,0),過(guò)點(diǎn)8作直線/_Lx軸，過(guò)點(diǎn)。作。交直線/于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式;

(3)在(2)的條件下，連接AC,在直線階上是否存在點(diǎn)尸，使得“￡F=NACD+N3ED?若存在，請(qǐng)直

接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)A(1,O),對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3,待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(3)根據(jù)題意可得ZDEF=45。，以DE為對(duì)角線作正方形DMEN，則ZDEM=ADEN=45°,進(jìn)而求得M,N

的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求得的解析式，聯(lián)立3尸解析式，即可求解.

【詳解】(1)解：:?拋物線》=改2+樂(lè)-1(。/0)與工軸交于點(diǎn)4(1,0),拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)￡>(3,0),

則對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3,

a+b-l=0

/Jbo,

.2a

1

a=——

解得：?

I5

2

???拋物線解析式為y=-1x+|x-i;

(3)VA(l,0),C(0-1),

則。4=OC=1,AAOC是等腰直角三角形，

NO4c=45。，由(2)可得NBED=ZADC,

ZDEF=ZACD+ABED

：.ZDEF=AACD+AADC=ZOAC=45°,

由⑵可得21一3,-￡)

設(shè)直線BP的解析式為y^ex+f,則

5e+f=0

<32

-3e+/=-—

I5

'_4

解得：<5

-4

4

???直線5尸的解析式為y=丁-4

如圖所示，以。石為對(duì)角線作正方形0MEN,則=硒=45。,

;DB=2,BE=6,則￡)￡=2可，則0/=[?！?2君，￡(5,-6),

(m-3)2+M2=(2A/5)2

設(shè)則＜

(m-5)2+(M+6)2=(2指)

m=7

解得:

n=-2

則M(1,-4),N(7,-2),

設(shè)直線EM的解析式為y=sx+tf直線EN的解析式為y=邑%+%

5s+，=-65S]+%=-6

則

s+t=-47S]+4=—2

1

s=——

s=2

解得：;

t=-16

t=--

I2

17

設(shè)直線EM的解析式為y=--X--,直線EN的解析式為y=2x-16,

175

y=——x——x=一

2213則/48、

J解得:nJ

48，

y=—x-4y=—

513

,=216[尤=10

4,解得：)，則尸10,4,

y=-^-4[y=4

綜上所述，5或“10,4).

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

Q

7.(2023?內(nèi)蒙古通遼?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=++§x+c("0)與x軸交于點(diǎn)4(1,0)

和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C(O,-4).

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式;

(2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B,C重合)，作尸D_Lx軸，垂足為。，連接尸C.

①如圖，若點(diǎn)P在第三象限，且tan/CP￡>=2,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

o

【詳解】(1):拋物線>=依2+|》+。(〃片0)與X軸交于點(diǎn)A(l,o),與y軸交于點(diǎn)C(O,T),

O

???把A(1,O),C(0,-4)代入y=爾+9+c(aw0)得，

8八

ClH---FC=0

3

c=-4

4

a=-

解得，3,

c=-4

48

???拋物線的函數(shù)解析式為y=-x2+|x-4；

,過(guò)點(diǎn)C作CE_LPD于點(diǎn)E,如圖,

APEC=ZCED=90°,

,/C（O,T）,

???0C=4,

*/~D_Lx軸,

.??ZPDO=90°,

又NDOC=90。,

???四邊形。OCE是矩形,

DE=OC=4,DO=CE=—x,

.?.PE=PD-DE=-\-x2+-X-4\-4=--X2--X,

（33J33

CE

?：tanZCPD=—=2,

PE

__=2

48"?

——x2——x

33

13

?，?%=一~—,x=0（不合題意，舍去）

82

.48477

??一2XH-X-4=,

3316

???"-土口；

（816；,

8.（2023?湖北?中考真題）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線丁=女2+法-6（。工0）與工軸交于

點(diǎn)A（—2,0）,3（6,0）,與，軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為O,

圖1圖2

（1）拋物線的解析式為；（直接寫(xiě)出結(jié)果）

（2）在圖1中，連接AC并延長(zhǎng)交3。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求NCEB的度數(shù);

【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；

（2）待定系數(shù)法求得直線直線AC的解析式為：%C=-3X-6,直線次?的解析式為：yDB=2x-12.聯(lián)立

兩直線解析式，得出點(diǎn)E的坐標(biāo)為］方法1：由題意可得：OA=2,OB=OC=6,AB=8.過(guò)點(diǎn)E

ArAR

作跖，x軸于點(diǎn)足計(jì)算得出F=又NBAC=NE鉆，可得△ABCS&4E5,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

得出NCEB=45。；方法2：如圖2,延長(zhǎng)班與V軸交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)E作EFLx

軸于點(diǎn)尸.等面積法求得CH=S后，解RtZ\CEH即可求解.方法3：如圖2,過(guò)點(diǎn)。作CH_L況于點(diǎn)H.根

5

據(jù)sin/C3H=sin/ACO=^,得出NCSH=ZACO,進(jìn)而得出NCEB=NOCB=45。；

10

【詳解】（1）解：???拋物線丁=加+區(qū)-6（aw0）與x軸交于點(diǎn)A（-2,0）,3（6,0）,

.f4?-2Z?-6=0

??136〃+6。-6=0'

.1

a=——

解得：r2,

b=-2

拋物線解析式為y=g1-2x—6；

（2）?.?點(diǎn)A（—2,0）,點(diǎn)C（0,-6）,

設(shè)直線AC的解析式為：y=klx+bl.

.卜2匕+4=0

'L4=-6'

.卜1=-3

■,U=-6，

直線AC的解析式為：%c=-3x-6.

同上，由點(diǎn)￡＞（2,-8）,8（6,0）,可得直線的解析式為：yDB=2x-12.

令-3x-6=2x-12,得x=5.

，點(diǎn)E的坐標(biāo)為］：,一^）-

方法1：由題意可得：OA=2,OB^OC=6,AB=8.

AC=y/o^+OC2=722+62=2-x/lO?

如圖1,過(guò)點(diǎn)E作EFLx軸于點(diǎn)R

ACy/ioAB8_Vio

???瓦―丁市―16碗一丁.

5

.ACAB

**AB-AE'

又NBAC=/EAB,

"ABCs^AEB.

???ZABC=ZAEB.

?：OB=OC,ZCOB=90°9

：.ZABC=45°.

VZA￡B=45°,

即ZCEB=45°.

方法2：如圖2,延長(zhǎng)BE與丁軸交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作CH_L8E于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E作EF，x軸于點(diǎn)P.

yDB=2x-12,

.-.G（0,-12）.

BG=slOB2+OG2=762+122=675.

S=-CGOB=-BGCH.

ZAADBCr(Jr22

—x6x6=—x6非CH.

22

：.CH=還.

5

,?*AC=V<M2+OC2=A/22+62=2710，

?"=皿一2加=①

55

..CH丘

??sinACEH=--=——

CE2

方法3：如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CH_L助于點(diǎn)H.

*.*sinZCBH=sinZACO=—.

10

ZCBH=ZACO.

ZACB=ZCBH+/CEB,ZACB=ZACO+ZOCB,

???ZCEB=ZOCB=45°.

：.ZCEB=45°.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的平移，熟練掌

握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?四川?中考真題）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)＞=以2+法+4的圖象與％軸交于點(diǎn)

A（-2,0）,5（4,0）,與丁軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)已知E為拋物線上一點(diǎn)，P為拋物線對(duì)稱(chēng)軸/上一點(diǎn)，以8,E,尸為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,

且N3EE=90。，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo);

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解析式即可;

(2)先求得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,設(shè)/與x交于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作即，/于點(diǎn)￡),

證明ADFG絲AGB/，設(shè)尸則?！?1+〃?，DG=DF+FG=GB+FG=3+m,進(jìn)而得出E點(diǎn)的坐標(biāo),

代入拋物線解析式，求得加的值即可求出點(diǎn)廠的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)尸在無(wú)軸上方，且點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，利用等

腰直角三角形的性質(zhì)求出FG=gAB=3,即可求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；同理可求得當(dāng)點(diǎn)P在龍軸下方時(shí)的坐標(biāo)；

當(dāng)￡點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，求得另一個(gè)解，進(jìn)而即可求解；

4。一2Z?+4=0

【詳解】(1)解：將點(diǎn)A(—2,0),84,0),代入尸加+笈+4中得

16。+48+4=0'

解得：＜2,

b=\

???拋物線角窣析式為y=_；f+%+4；

(2)解：???點(diǎn)A(—2,0),5(4,0),

:?拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，設(shè)/與X交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)

???以5,E,尸為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且NB￡E=90。,

:.EF=BF,

■:ZDFE=90°-ZBFG=ZGBF,

???△OFE四△GAF(AAS),

GF=DE,GB=FD,

設(shè)廠貝！JQ￡=m，DG=DF+FG=GB+FG=3+m

E(l+m,3+m),

,/石點(diǎn)在拋物線y=-；/+工+4上

1\2/\

3+m=——(1+m)+(l+m)+4

解得：m=-3(舍去)或機(jī)=1,

??"(1,1);

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上方時(shí)，且點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)直線/與x軸交于G,

,/是等腰直角三角形，且/班石=90。,

：.FG=AG=BG=1AB=1[4-(-2)]=3,

.-.F(l,3);

???以5,E,尸為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且NBFE=90。,

EF=BF,

9：ZDFE=90°-ZBFG=Z.GBF,

???^DFE^AGBF,

：.GF=DE,GB=FD,

設(shè)廠貝！JQ￡=機(jī)，DG=DF+FG=GB+FG=3—m

1/E點(diǎn)在拋物線y=-；Y+x+4上

1、?？/、

/.m—3=——(1—m)+(1—m)+4

解得：m=3(舍去)或加=—5,

AF(1,-5),

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)尸在無(wú)軸上方，當(dāng)E點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí),

VAB=6,A4B/是等腰直角三角形，且NBFE=90。，

GF=-AB=3

2

AF(l,-3),

綜上所述，/(1,1)或尸(1,3)或網(wǎng)1,-5)或歹(1,-3)；

10.(2023?四川?中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=a/+fcc+4的圖象與x軸交于

點(diǎn)4(一2,0),5(4,0),與V軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

⑶如圖2,尸為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AP交y軸于點(diǎn)M,連接2尸并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N,在點(diǎn)p

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解析式即可；

(3)設(shè)P(s,。，直線"的解析式為丁=公+九3P的解析式為y=gx+/7,求得解析式，然后求得0MoN,

即可求解.

4〃一2Z?+4=0

【詳解】(1)解：將點(diǎn)A(-2,0),8(4,0),代入y=，+6x+4中得

16〃+48+4=0

解得：,2,

b=\

二拋物線解析式為y=-；必+x+4；

(3)解：設(shè)尸(sj),直線AP的解析式為>=公+/，3尸的解析式為>=gx+/z,

?.?點(diǎn)A（-2,0）,3（4,0）,P（s,t）,

,[-2d+f=04g+/z=0

[sd+f=tsg+h=t

t

d=------S=---7

s+2s-4

解得：

2t7今

n二----

s+24一5

t2tt4t

???直線小的解析式為尸壬X+壬,的的解析式為產(chǎn)------XH,

5-4----4-S

t2t,當(dāng)x=0時(shí)，y=2t,即Al（0,2t

對(duì)于y二------XH--------

s+2s+2s+2I5+2

t4t,當(dāng)x=o時(shí)，y=——y即N1O,

對(duì)于y=------x-\

s—4----4-54—sI

?/P(sJ)在拋物線上，貝卜=-：$2+S+4=-；(S-4)(S+2)

12t

OM+-ON=^-+-x^—=2

2s+224—s—s+2s+8

-6（5—4）（5+2）

=6

-(5-4)(5+2)

OM+^ON為定值6.

2一

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，一

次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并利用分類(lèi)討論的思

想求解是解題的關(guān)鍵.

11.(2023?湖南郴州?中考真題)已知拋物線丁=加+次+4與x軸相交于點(diǎn)A(l,0),5(4,0),與，軸相交于

點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(3)如圖2,取線段0C的中點(diǎn)。，在拋物線上是否存在點(diǎn)。，使tanN2ZM=g?若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(3)求出。點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),進(jìn)而得至IJtan/03O=；,得到=分點(diǎn)。在。點(diǎn)上方和下方，

兩種情況進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】(1)解：???拋物線y=++bx+4與x軸相交于點(diǎn)A(l,0),3(4,0),

[a+b+4=0fa=l

??I1(AJAc，解得：＜7＜，

[16G+40+4=0[b=—5

j=x2-5x+4；

(3)解：存在，

???。為OC的中點(diǎn)，

???D(0,2),

???OD=2,

???5(4,0),

??.05=4,

在RtABOD中，tan/OBD=-----=—,

OB2

*.*tan/QDB=g=tanZOBD,

：.ZQDB=ZOBD,

①當(dāng)Q點(diǎn)在。點(diǎn)上方時(shí)：

過(guò)點(diǎn)。作交拋物線與點(diǎn)Q,貝hNQDB=NOBD,此時(shí)。點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,

設(shè)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為f,

則：產(chǎn)f+4=2,

解得：:注叵，

2

■-Q---,2］或。一--,2；

I2）\27

②當(dāng)點(diǎn)Q在。點(diǎn)下方時(shí)：設(shè)。。與x軸交于點(diǎn)E,

設(shè)E（P，O）,

貝lj：DE2=OE2+OD2=p2+4,BE2=（4-p）2,

3

解得：P=-，

二嗚。，

設(shè)DE的解析式為:y=kx+q,

9=29=2

則：b%八，解得：，

［萬(wàn)+”。k7=—4，

3

y——x+2,

3

2

4。x=—

y——x+2x=33

聯(lián)立-3,解得:「2或'

10

y=x2-5x+4y二-

9

210

，Q（3,-2）或?；?/p>

智^,2］或Q士普，2］或。（3,-2）或。210

綜上：

Q3'V

7\2）

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論的思想進(jìn)

行求解，是解題的關(guān)鍵.本題的綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于中考?jí)狠S題.

12.（2023?湖南?中考真題）如圖，已知拋物線>=―-2依+3與x軸交于點(diǎn)A（-l,0）和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P,使/RBC+NACO=45。，若存在，請(qǐng)求出直線8尸的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可得出結(jié)果;

（3）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在直線3c下方時(shí)，與當(dāng)點(diǎn)P在直線上方時(shí).

【詳解】（1）解：拋物線丁=--2依+3與x軸交于點(diǎn)A（TO）,

得a+2a+3=0,

解得：a=-1；

（3）解：存在點(diǎn)P,理由如下:

當(dāng)點(diǎn)P在直線3c下方時(shí),

在，軸上取點(diǎn)”（0,1）,作直線交拋物線于（異于點(diǎn)8）點(diǎn)、P,

由(2)中結(jié)論，得NO3C=45。，

:.OH=OA=1,OB=OC,/BOH=ZCOA=90°f

.?.△區(qū)。&△COA(SAS),

.\ZOBH=ZACO,

ZPBC+ZACO=/PBC+NOBH=ZOBC=45°,

設(shè)直線5月的解析式為y=Z]X+4,代入點(diǎn)8(3,0),H(0,l),

3匕+4=0

得4=1，解得

4=1

故直線BP的解析式為y=-gx+l；

在x軸上取點(diǎn)/(LO),連接c/,過(guò)點(diǎn)B作3P〃a交拋物線于點(diǎn)p,

：.OI=OA=1,OC=OC,ZCOI=ZCOA=90°,

「.△CO//△COA(SAS),

/./OCI=ZACO,

ZPBC+ZACO=ZBCI+ZOCI=ZOCB=45°,

設(shè)直線C/的解析式為'=&%+%，代入點(diǎn)/(I，。)，C(0,3),

故設(shè)直線C7的解析式為y=-3x+3,

BP//CI,且過(guò)點(diǎn)仇3,0),

故設(shè)直線BP的解析式為y=-3x+n,

0=—3x3+〃，

解得〃=9,

???直線BP的解析式為＞=-3x+9.

綜上所述：直線6尸的解析式為，=-3彳+9或、=-；苫+1.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象、全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定

和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

13.(2023?湖南懷化?中考真題)如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=依2+灰-8與x軸交于

A(T,0)、5(2,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

Ft

圖一備用圖

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，作直線AC,連接24、PC,求△上4c面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；

3537

⑶設(shè)直線4：丫=依+左-亍交拋物線于點(diǎn)V、N,求證：無(wú)論左為何值，平行于X軸的直線4：＞=-不上總

存在一點(diǎn)E,使得NMEN為直角.

【答案】⑴y"+2x-8

⑵△上4c面積的最大值為8,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(-2,-8)

(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作尸D_Lx軸于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,得出直線AC的解析式為y=-2x-8,設(shè)

P^rn,m"+2/n—8),貝!]E(辦—2帆—8),得出尸E=—(%+2)~+4,當(dāng)尸E取得最大值時(shí)，△PAC面積取得最大

值，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(、[,，_35

(3)設(shè)N(%,%),肱V的中點(diǎn)坐標(biāo)為Q，聯(lián)立/一卡一]，消去兒整理

卜22>[y=x2+2x-8

33