雙星、三星問題-2024-2025學(xué)年人教版高一物理專項復(fù)習(xí)（含答案）

專題7.6雙星、三星問題-2024-2025學(xué)年高一物理舉一反三

系列（人教版2019必修第二冊）（含答案）專題7.6雙星、

三星問題

【人教版】

【題型1雙星中的對比問題】....................................................................

【題型2雙星中的定量運算問題】................................................................

【題型3三星問題】.............................................................................

【題型4四星、綜合問題】......................................................................

【題型5聯(lián)系實際問題】.........................................................................

尸）￡二

【題型1雙星中的對比問題】

【例1】如圖所示，某雙星系統(tǒng)的兩星A和8各自繞其連線上的O點做勻速圓周運動，已

知A星和B星的質(zhì)量分別為mi和m2,相距為d.下列說法正確的是（）

,/,—、、\

/1\\

ART-一方一”!

\\o/?

\、、一J/

、、、—J,

A.A星的軌道半徑為一”d

B.A星和8星的線速度之比為如：機2

C.若在。點放一個質(zhì)點，它受到的合力一定為零

D.若A星所受8星的引力可等效為位于。點處質(zhì)量為機'的星體對它的引力，貝心/=

mJ

（相1+%2）2

【變式1-1］（多選）天文學(xué)家通過觀測兩個黑洞并合的事件，間接驗證了引力波的存在。該

事件中甲、乙兩個黑洞的質(zhì)量分別為太陽質(zhì)量的36倍和29倍，假設(shè)這兩個黑洞繞它們連線

上的某點做圓周運動，且兩個黑洞的間距緩慢減小。若該雙星系統(tǒng)在運動過程中，各自質(zhì)量

不變且不受其他星系的影響，則關(guān)于這兩個黑洞的運動，下列說法正確的是（）

A.甲、乙兩個黑洞運行的線速度大小之比為36：29

B.甲、乙兩個黑洞運行的角速度大小始終相等

C.隨著甲、乙兩個黑洞的間距緩慢減小，它們運行的周期也在減小

D.甲、乙兩個黑洞做圓周運動的向心加速度大小始終相等

【變式1-2］（多選）根據(jù)科學(xué)家們的推測，雙星的運動是產(chǎn)生引力波的來源之一。假設(shè)宇宙

中有一由a、b兩顆星組成的雙星系統(tǒng)，這兩顆星繞它們連線上的某一點在萬有引力作用下

做勻速圓周運動，測得a星的周期為T,a、b兩星間的距離為/,軌道半徑之差為Ar,已知

a星的軌道半徑大于b星的軌道半徑，貝!］（）

/—AF

A.b星的周期為百不T

B.b星的線速度大小為或產(chǎn)

C.a、b兩星的軌道半徑之比為廠「

/—Ar

一I—AF

D.a、b兩星的質(zhì)量之比為“人

【變式1-3】引力波的發(fā)現(xiàn)證實了愛因斯坦100年前所做的預(yù)測。1974年一、

/\

發(fā)現(xiàn)了脈沖雙星間的距離在減小就已間接地證明了引力波的存在。如果將:廠\

該雙星系統(tǒng)簡化為理想的圓周運動模型，如圖所示，兩星球在相互的萬有A7'：■

引力作用下，繞O點做勻速圓周運動。由于雙星間的距離減小，貝!］（）

A.兩星的運動周期均逐漸減小

B.兩星的運動角速度均逐漸減小

C.兩星的向心加速度均逐漸減小

D.兩星的運動線速度均逐漸減小

【題型2雙星中的定量運算問題】

【例2】（多選）2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波.根據(jù)科學(xué)家們

復(fù)原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400km,繞二者連線上的某點每

秒轉(zhuǎn)動12圈.將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并

利用牛頓力學(xué)知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星（）

A.質(zhì)量之積B.質(zhì)量之和

C.速率之和D.各自的自轉(zhuǎn)角速度

【變式2-1］（多選）如圖所示，雙星系統(tǒng)由質(zhì)量不相等的兩顆恒星P、。組成，P、。質(zhì)量分

別為M、它們圍繞共同的圓心。做勻速圓周運動。從地球上A點看過去，雙星運

動的平面與垂直，距離恒為小觀測發(fā)現(xiàn)質(zhì)量較大的恒星P做圓周運動的周期為T,

運動范圍的最大張角為單位是弧度）。已知引力常量為G,N6很小，可認(rèn)為sinA6=tanA0

=A仇忽略其他星體對雙星系統(tǒng)的作用力。則（）

D.兩顆恒星的質(zhì)量相和M滿足的關(guān)系式為正/5=尤蜻舞

【變式2-2】銀河系的恒星中大約四分之一是雙星，某雙星由質(zhì)量不等的星體N和S2構(gòu)成,

兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動.由天文觀察

測得其運動周期為T,Si到C點的距離為n,Si和S的距離為r,已知引力常量為G由此

可求出S2的質(zhì)量為（）

4兀2戶（廠一廠］）4M3

A:GT1B.GT2

「4無2戶4—為

L.GJ2D-GT1

【變式2-3】雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的

某一點做周期相同的勻速圓周運動.研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離

和周期均可能發(fā)生變化.若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T,經(jīng)過一段時間演化后，

兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為

（）

【題型3三星問題】

【例3】（多選）宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中一種三星系統(tǒng)如圖所示.三

顆質(zhì)量均為機的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為R.忽略其他星體對它們的

引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心。做勻速圓周運動，引力常量為G,貝1（）

B.每顆星做圓周運動的角速度為7下-

C.每顆星做圓周運動的周期為

D.每顆星做圓周運動的加速度與三星的質(zhì)量無關(guān)

【變式3-1］宇宙空間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示,

三顆質(zhì)量均為根的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為心忽略其他星體對它們

的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心。做勻速圓周運動，引力常量為G。下列說

法正確的是（）

/\

/0\

7no-------------bm

A.每顆星做圓周運動的線速度為

B.每顆星做圓周運動的加速度與三星的質(zhì)量無關(guān)

C.若距離L和每顆星的質(zhì)量比都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍

D.若距離L和每顆星的質(zhì)量機都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度變?yōu)樵瓉淼?倍

【變式3-2】宇宙空間有一種由三顆星A、2、C組成的三星體系，它們分別位于等邊三角形

A8C的三個頂點上，繞一個固定且共同的圓心。做勻速圓周運動，軌道如圖中實線所示，

其軌道半徑?<監(jiān)<小忽略其他星體對它們的作用，可知這三顆星體（）

A.線速度大小關(guān)系是0A>0B>0C

B.加速度大小關(guān)系是

C.質(zhì)量大小關(guān)系是

D.所受萬有引力合力的大小關(guān)系是入=邑=/。

【變式3-3】由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運動形式，

三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的

圓心。在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運動（圖為A、B,C三顆星體質(zhì)量不相同

時的一般情況）.若A星體質(zhì)量為2,小B、C兩星體的質(zhì)量均為相，三角形的邊長為“，求:

(1)A星體所受合力大小FA-,

(2)B星體所受合力大小FB;

(3)C星體的軌道半徑Rc；

(4)三星體做圓周運動的周期T.

【題型4四星、綜合問題】

【例4】宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略

其他星體對它們的引力作用。設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為優(yōu)，半徑均為R,四顆星穩(wěn)

定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上。已知引力常量為G。關(guān)于宇宙四星系統(tǒng)，下列說

法錯誤的是()

A.四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動

B.四顆星的軌道半徑均為3

C.四顆星表面的重力加速度均為器

D.四顆星的周期均為2儂+孤

【變式4-1](多選)如圖為一種四顆星體組成的穩(wěn)定系統(tǒng)，四顆質(zhì)量均為根的星體位于邊長

為L的正方形四個頂點，四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點做勻速圓周運動，忽略其他星

體對它們的作用，引力常量為G.下列說法中正確的是()

A.星體做勻速圓周運動的圓心不一定是正方形的中心

B.每個星體做勻速圓周運動的角速度均為、/包驟3

C.若邊長工和星體質(zhì)量根均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的兩

倍

D.若邊長乙和星體質(zhì)量機均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的線速度大小不變

【變式4-2]宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通?？?/p>

忽略其他星體對它們的引力作用.設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為相，半徑均為R,四顆

星穩(wěn)定分布在邊長為。的正方形的四個頂點上.已知引力常量為G.關(guān)于四星系統(tǒng)，下列說

法正確的是（）

A.四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動

B.四顆星的軌道半徑均為彳

C.四顆星表面的重力加速度均為窄

D.四顆星的周期均為2R/西篇菰

【變式4-3］（多選）太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系

統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用.已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成

形式（如圖）：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上

運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌

道運行.設(shè)這三顆星的質(zhì)量均為M,并且兩種系統(tǒng)的運動周期相同，則（）

甲匚下一_三——［丙L/\L

M\RM：M/'、

'、、//\

'、一_J——-.M

M：——-L

A.直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度相同

B.直線三星系統(tǒng)的運動周期7=4也禹

C.三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離L=\停？

D.三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為

【題型5聯(lián)系實際問題】

【例5】經(jīng)過用天文望遠(yuǎn)鏡長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們

的研究，使我們對宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識，雙星系統(tǒng)由兩個星

體組成，其中每個星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離,一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn),

可以當(dāng)成孤立系統(tǒng)來處理.現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)

量都是兩者相距L,它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動.

（1）計算出該雙星系統(tǒng)的運動周期T；

（2）若該實驗中觀測到的運動周期為T觀測，且TMI：T=1：限N>1）.為了理解T觀測與T的

不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測不到的暗物質(zhì).作為

一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布這種暗物質(zhì).若不考

慮其他暗物質(zhì)的影響，根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度.

【變式5-1】2012年7月，一個國際研究小組借助于智利的甚大望遠(yuǎn)鏡，觀測到了一組雙星

系統(tǒng)，它們繞兩者連線上的某點。做勻速圓周運動，如圖2所示.此雙星系統(tǒng)中體積較小

成員能“吸食”另一顆體積較大星體表面物質(zhì)，達(dá)到質(zhì)量轉(zhuǎn)移的目的.假設(shè)在演變的過程中

兩者球心之間的距離保持不變，則在最初演變的過程中（）

A.它們做圓周運動的萬有引力保持不變

B.它們做圓周運動的角速度不斷變大

C.體積較大星體圓周運動軌跡半徑變大，線速度也變大

D.體積較大星體圓周運動軌跡半徑變大，線速度變小

【變式5-2］雙星系統(tǒng)中兩個星球A、B的質(zhì)量都是m,相距L,它們正圍繞兩者連線上某

一點做勻速圓周運動。實際觀測該系統(tǒng)的周期T要小于按照力學(xué)理論計算出的周期理論值

T0,且怖=網(wǎng)左＜1）,于是有人猜測這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的星球C的影響，并認(rèn)為C

位于A、8的連線正中間，相對A、8靜止，則A、8組成的雙星系統(tǒng)周期理論值公及C的

質(zhì)量分別為（）

nri十-nr1一出

A-2兀荻?4k"1B'2兀\j2Gm'4km

「cf2G^i1+—rcnri一—

Cm,m

-~兀\L3'4kD'2兀'\l2Gm

【變式5-3】科學(xué)家測得天琴座中有一個密近雙星系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)的兩顆恒星A、B相距較近，

巨大的引力作用使原本較重的4星上的物質(zhì)不斷流向B星，若演變過程中4B兩星間距保

持不變，4B兩星組成的系統(tǒng)看成孤立系統(tǒng)，則下列判斷正確的是（）

A.雙星系統(tǒng)的周期變大B.雙星間的萬有引力保持不變

C.B星的線速度不斷減小D.B星的加速度不斷增大

參考答案

【題型1雙星中的對比問題】

【例1】如圖所示，某雙星系統(tǒng)的兩星A和B各自繞其連線上的。點做勻速圓周運動，己

知A星和8星的質(zhì)量分別為"21和m2,相距為d下列說法正確的是（）

—

/、

/'-、\

/1\\

ART-一方一”!

\\O/?

A.A星的軌道半徑為一?d

根1十根2

B.A星和B星的線速度之比為mi:m2

C.若在。點放一個質(zhì)點，它受到的合力一定為零

D.若A星所受8星的引力可等效為位于。點處質(zhì)量為機'的星體對它的引力，則相'=

mJ

（租1+機2）2

答案D

解析雙星系統(tǒng)中，兩顆星球?qū)儆谕S轉(zhuǎn)動模型，角速度相等，周期相等，根據(jù)萬有引力提

m2dmid

供向心力可得=如①2以="2G2物又有4=以十/小解得以=mi+m2，Tbmi+m2,故

A錯誤；由0=5得A星和3星線速度之比言=卷=籌，故B錯誤；在。點放一個質(zhì)點，

設(shè)質(zhì)量為也受到B的萬有引力9莽,受到A的萬有引力月4=°”\因為詈

可得FAWFB,故質(zhì)點受到的合力不為零，故C錯誤；A星所受8星的引力可等效為位于。

點處質(zhì)量為一的星體對它的引力，由萬有引力定律可得寫也=卓詈一,解得一=竽恤

3

=7ZL\2,故D正確.

【變式1-1］（多選）天文學(xué)家通過觀測兩個黑洞并合的事件，間接驗證了引力波的存在。該

事件中甲、乙兩個黑洞的質(zhì)量分別為太陽質(zhì)量的36倍和29倍，假設(shè)這兩個黑洞繞它們連線

上的某點做圓周運動，且兩個黑洞的間距緩慢減小。若該雙星系統(tǒng)在運動過程中，各自質(zhì)量

不變且不受其他星系的影響，則關(guān)于這兩個黑洞的運動，下列說法正確的是（）

A.甲、乙兩個黑洞運行的線速度大小之比為36：29

B.甲、乙兩個黑洞運行的角速度大小始終相等

C.隨著甲、乙兩個黑洞的間距緩慢減小，它們運行的周期也在減小

D.甲、乙兩個黑洞做圓周運動的向心加速度大小始終相等

［解析］由牛頓第三定律知，兩個黑洞做圓周運動的向心力大小相等，它們的角速度口相等，

由居=加幻2r可知，甲、乙兩個黑洞做圓周運動的半徑與質(zhì)量成反比，由/知，線速度

之比為29：36,A錯誤，B正確；設(shè)甲、乙兩個黑洞質(zhì)量分別為陽和根2,軌道半徑分別為

/tGrmmzGm\m27^（n+r）30，■加

"和⑦有布商二加⑺八,而兩=儂1叩-2,聯(lián)工可行標(biāo)=G（mi+2儂）'。正確；

P

甲、乙兩個黑洞做圓周運動的向心力大小相等，由牛頓第二定律0=而可知，甲、乙兩個黑

洞的向心加速度大小6：42=29：36,D錯誤。

［答案］BC

【變式1-2］（多選）根據(jù)科學(xué)家們的推測，雙星的運動是產(chǎn)生引力波的來源之一。假設(shè)宇宙

中有一由a、b兩顆星組成的雙星系統(tǒng)，這兩顆星繞它們連線上的某一點在萬有引力作用下

做勻速圓周運動，測得。星的周期為T,a、b兩星間的距離為/,軌道半徑之差為Ar,己知

。星的軌道半徑大于b星的軌道半徑，則（）

/—Ar

A.b星的周期為而7

B.6星的線速度大小為地產(chǎn)

C.a、b兩星的軌道半徑之比為廠4-

/—Ar

7—Ar

D.a、b兩星的質(zhì)量之比為不-

/十△廠

解析：選BD兩顆星繞它們連線上的某一點在萬有引力作用下做勻速圓周運動，所以兩顆

星的周期相等，則7^=乙=7,A錯誤。a、6兩星間的距離為/,軌道半徑之差為Ar,已知

l~\~\rI—Ar

4星的軌道半徑大于/?星的軌道半徑，貝可心+0=/、ra—rb=^r,所以心=——、=—2一°

a、6兩星的軌道半徑之比學(xué)，b星的線速度大小勿=第=%”，B正確，C錯

rb/—Ar11

誤。兩顆星繞它們連線上的某一點在萬有引力作用下做勻速圓周運動，則4*=加”（引

2=相”/（爺〉所以〃、。兩星的質(zhì)量之比如=當(dāng)=今當(dāng)，D正確。

7Jmbra/+Ar

【變式1-3】引力波的發(fā)現(xiàn)證實了愛因斯坦100年前所做的預(yù)測。1974年---一、、

/....\

發(fā)現(xiàn)了脈沖雙星間的距離在減小就已間接地證明了引力波的存在。如果將/「_\

該雙星系統(tǒng)簡化為理想的圓周運動模型，如圖所示，兩星球在相互的萬有''''、、°J］

引力作用下，繞。點做勻速圓周運動。由于雙星間的距離減小，則（）

A.兩星的運動周期均逐漸減小

B.兩星的運動角速度均逐漸減小

C.兩星的向心加速度均逐漸減小

D.兩星的運動線速度均逐漸減小

解析：選A雙星做勻速圓周運動具有相同的角速度，靠相互間的萬有引力提供向心力。根

據(jù)=miria>2=m2r20）2,知如八=〃72r2,知軌道半徑比等于質(zhì)量之反比，雙星間的距離

減小，則雙星的軌道半徑都變小，根據(jù)萬有引力提供向心力，知角速度變大，周期變小，故

A正確，B錯誤；根據(jù)8羅=電。1=他。2知，L變小，則兩星的向心加速度均增大，故C

錯誤；根據(jù)6"詈=相停,解得0]=y°器",由于工平方的減小比n的減小量大，則線

速度增大，故D錯誤。

【題型2雙星中的定量運算問題】

【例2】（多選）2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波.根據(jù)科學(xué)家們

復(fù)原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400km,繞二者連線上的某點每

秒轉(zhuǎn)動12圈.將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并

利用牛頓力學(xué)知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星（）

A.質(zhì)量之積B.質(zhì)量之和

C.速率之和D.各自的自轉(zhuǎn)角速度

答案BC

解析兩顆中子星運動到某位置的示意圖如圖所示

bIH

o2

力|門廠2

每秒轉(zhuǎn)動12圈，角速度已知

中子星運動時，由萬有引力提供向心力得

Gm\mi2g

一不—=加1口什1（1；

Gm177122G

/2一根2口廠2②

/=n+廠2③

由①②③式得駟產(chǎn)=。%所以如+加產(chǎn)管，

質(zhì)量之和可以估算.

由線速度與角速度的關(guān)系。=①尸得

V\=cori@

02=52⑤

由③④⑤式得01+。2=幻（門+「2）=4，速率之和可以估算.質(zhì)量之積和各自的自轉(zhuǎn)角速度無

法求解.故選B、C.

【變式2-1](多選)如圖所示，雙星系統(tǒng)由質(zhì)量不相等的兩顆恒星尸、Q組成，P、。質(zhì)量分

別為M、皿〃＞加)，它們圍繞共同的圓心。做勻速圓周運動。從地球上A點看過去，雙星運

動的平面與AO垂直，A。距離恒為心觀測發(fā)現(xiàn)質(zhì)量較大的恒星尸做圓周運動的周期為T,

運動范圍的最大張角為公。(單位是弧度)。已知引力常量為G,N6很小，可認(rèn)為sinA6?=tanNO

=△仇忽略其他星體對雙星系統(tǒng)的作用力。貝!]()

f

地球

A.恒星。的角速度為半

B.恒星。的軌道半徑為空祟

C.恒星。的線速度為型解

D.兩顆恒星的質(zhì)量m和M滿足的關(guān)系式為而壬存=尤蜻維

27r

解析：選BCD恒星尸與。具有相同的角速度，則角速度①=不，A錯誤；恒星尸的軌道

半徑R=Ltan對雙星系統(tǒng)，有mco2r=Ma)2R,解得恒星。的軌道半徑為廠=

MLMcs10czA、土/L12兀MLMTIMLM〃十以q,曰w八

,B正確；恒星。的線速度大小。1=公/=下?’=廠，C正確；對雙星系統(tǒng),

乙，ri---------------------------------------L,乙，ri-----f11/J.

22222

由萬有引力提供向心力有G^R+r^mcor^McoR,解得GM^co^r+R),Gm^coR(r+R),

相加得G(A/+附=tt?(R+r)3,又由加(y2r=M02R,聯(lián)立可得(,〃+初2=一左72人,D正確。

【變式2-2】銀河系的恒星中大約四分之一是雙星，某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成,

兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動.由天文觀察

測得其運動周期為T,S1到C點的距離為n，S1和S2的距離為r,已知引力常量為G由此

可求出$2的質(zhì)量為()

4n2r(r—n)4口一

A,GT5GT2

D3

c-GT1

答案D

解析取Si為研究對象，S1做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得：G%詈=如(半)2打，得：

4兀2，廠］

加2=Gp，故D正確.

【變式2-3】雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的

某一點做周期相同的勻速圓周運動.研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離

和周期均可能發(fā)生變化.若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T,經(jīng)過一段時間演化后,

兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為

()

答案B

解析設(shè)原來雙星間的距離為質(zhì)量分別為圓周運動的圓心距質(zhì)量為根的恒星距

離為r,雙星間的萬有引力提供向心力，對質(zhì)量為優(yōu)的恒星：G華^=制筆產(chǎn)廠，對質(zhì)量為M

的恒星：M庠力,得G=誓"即72=萬/七彳；則當(dāng)總質(zhì)量為

m),間距為Z/=〃乙時，T'選項B正確.

【題型3三星問題】

【例3】(多選)宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中一種三星系統(tǒng)如圖所示.三

顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為R.忽略其他星體對它們的

引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心。做勻速圓周運動，引力常量為G,貝1()

z0'\加

/z1?\X

/;\R

d::----------0

mm

A.每顆星做圓周運動的線速度大小為‘管

B.每顆星做圓周運動的角速度為雄露

C.每顆星做圓周運動的周期為

D.每顆星做圓周運動的加速度與三星的質(zhì)量無關(guān)

答案ABC

2■,軌道半徑為廠=坐我，由向心力公式

解析每顆星受到的合力為F=2G^sin60。=4G,

廊13Gm、/R3

F=ma=T7T^=mcD2r=rfr^~r,解得〃v=

、R,0一弋R3,丁一2、3Gm，

顯然加速度a與%有關(guān)，故A、B、C正確，D錯誤.

【變式3-1】宇宙空間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示,

三顆質(zhì)量均為力的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為L忽略其他星體對它們

的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心。做勻速圓周運動，引力常量為G。下列說

法正確的是（）

A

/方\

m（y---------

A.每顆星做圓周運動的線速度為千等

B.每顆星做圓周運動的加速度與三星的質(zhì)量無關(guān)

C.若距離L和每顆星的質(zhì)量比都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍

D.若距離L和每顆星的質(zhì)量優(yōu)都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度變?yōu)樵瓉淼?倍

［解析］任意兩顆星之間的萬有引力B=G管，每一顆星受到的合力為品=小尸，由幾何關(guān)

系知：它們的軌道半徑為r=-^-L,合力提供它們的向心力=47,聯(lián)立解得

故A錯誤；根據(jù)-=ma,得a=@?m,故加速度與它們的質(zhì)量有關(guān)，故B錯誤；根據(jù)

小3m=rrr^~,解得若距離乙和每顆星的質(zhì)量機都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周

期變?yōu)樵瓉淼?倍，故C正確；根據(jù)可知，若距離乙和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)?/p>

原來的2倍，則線速度不變，故D錯誤。

［答案］C

【變式3-2】宇宙空間有一種由三顆星A、B、C組成的三星體系，它們分別位于等邊三角形

A8C的三個頂點上，繞一個固定且共同的圓心。做勻速圓周運動，軌道如圖中實線所示，

其軌道半徑以<的<々.忽略其他星體對它們的作用，可知這三顆星體（）

A.線速度大小關(guān)系是IU>0B>0C

B.加速度大小關(guān)系是aA>aB>ac

C.質(zhì)量大小關(guān)系是mA>mB>mc

D.所受萬有引力合力的大小關(guān)系是心=&=&

答案c

解析三星體系中三顆星的角速度0相同，軌道半徑以＜r8＜々，由0=廠。可知

由可知領(lǐng)＜g＜念，故A、B錯誤；設(shè)等邊三角形ABC的邊長為"由題意可知三顆

星受到萬有引力的合力指向圓心。，以C為研究對象，有愣詈＞囪詈,得mA＞mB,同

理可知7"B＞機C,所以機故C正確；由于結(jié)合萬有引力定律，可知A

與8之間的引力大于A與C之間的引力，又大于8與C之間的引力，又知A、B、C受到

的兩個萬有引力之間的夾角都是相等的，根據(jù)兩個分力的角度一定時，兩個力越大，合力越

大，可知0＞/戶丘，故D錯誤.

【變式3-3】由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運動形式，

三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的

圓心。在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運動(圖為A、8、C三顆星體質(zhì)量不相同

時的一般情況).若A星體質(zhì)量為2機、B、C兩星體的質(zhì)量均為加，三角形的邊長為°,求:

(1)A星體所受合力大小FA;

(2)8星體所受合力大小FB；

(3)C星體的軌道半徑Rc；

(4)三星體做圓周運動的周期T.

答案(1)2小啥⑵市G%⑶*a⑷7

解析(1)由萬有引力定律，A星體所受3、C星體引力大小為FBA=G%'=G~^~=FCA

方向如圖所示

則合力大小為FA=FBA-COS30°+FCA-COS30。=2小G當(dāng)

（2）同上，3星體所受A、C星體引力大小分別為

中AB—G春—<^2

2

「jncmB「加

FCB=G--=G1"

方向如圖

由余弦定理得合力FB=

_________________________2

7隊B+FiB-2FAB?FcB?CGS120。=市G%

（3）由于辦4=2根，mB=mc=m

通過分析可知，圓心。在3C的中垂線A。的中點

則&=情%2+甸2=%

（4）三星體運動周期相同，對C星體，由Fc=FB=^G^r=m嚀）2RC,可得片7r，粉

【題型4四星、綜合問題】

【例4】宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略

其他星體對它們的引力作用。設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為小，半徑均為R,四顆星穩(wěn)

定分布在邊長為。的正方形的四個頂點上。已知引力常量為G。關(guān)于宇宙四星系統(tǒng)，下列說

法錯誤的是（）

A.四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動

B.四顆星的軌道半徑均為搭

C.四顆星表面的重力加速度均為贊

D.四顆星的周期均為2m\1/左的

［解析］四星系統(tǒng)中任一顆星體均在其他三顆星體的萬有引力作用下，合力方向指向?qū)蔷€

的交點，圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由幾何知識可得軌道半徑均為坐。，故

mm'Gm

A正確，B錯誤；在星體表面，根據(jù)萬有引力等于重力，可得G—/一=，/g,解得g=產(chǎn),

Gn?

故C正確；由萬有引力定律和向心力公式得，解得T=2jia

（也〃）2〃2

l（4+%）G加故。正確。

［答案］B

【變式4-1］（多選）如圖為一種四顆星體組成的穩(wěn)定系統(tǒng)，四顆質(zhì)量均為根的星體位于邊長

為L的正方形四個頂點，四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點做勻速圓周運動，忽略其他星

體對它們的作用，引力常量為G.下列說法中正確的是（）

A.星體做勻速圓周運動的圓心不一定是正方形的中心

B.每個星體做勻速圓周運動的角速度均為、/娃士塞包

C.若邊長乙和星體質(zhì)量機均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的兩

倍

D.若邊長乙和星體質(zhì)量機均是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的線速度大小不變

答案BD

解析四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一\點、做勻速圓周運動，所以星體做勻速圓周運動的圓心

一定是正方形的中心，故A錯誤；由陋方=加82.乎入，可知①=

A/"[9'故B正確；由g+立）G至■=加4可知，若邊長L和星體質(zhì)量相均為原來的

兩倍，星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的3，故C錯誤；由（；+6）6有=4^-可

知星體做勻速圓周運動的線速度大小為v=yl（4+字叫所以若邊長L和星體質(zhì)量根均

是原來的兩倍，星體做勻速圓周運動的線速度大小不變，故D正確.

【變式4-2]宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通?？?/p>

忽略其他星體對它們的引力作用.設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為加，半徑均為R,四顆

星穩(wěn)定分布在邊長為。的正方形的四個頂點上.已知引力常量為G關(guān)于四星系統(tǒng)，下列說

法正確的是（）

A.四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動

B.四顆星的軌道半徑均為?

C.四顆星表面的重力加速度均為器

D.四顆星的周期均為2必J言高

答案ACD

解析其中一顆星體在其他三顆星體的萬有引力作用下，合力方向指向?qū)蔷€的交點，圍繞

正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由幾何知識可得軌道半徑均為爭，故A正確，B錯

rnrn'Gm

誤；在星體表面，根據(jù)萬有引力等于重力，可得G氏2=m'g,解得g=玉丁，故C正確；

由萬有引力定律和向心力公式得甯隼4=席?華，T=2n叭匚之二,故D

Z2a）~a1z.（4+-\l2）Gm

正確.

【變式4-3］（多選）太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系

統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用.已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成

形式（如圖）：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上

運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌

道運行.設(shè)這三顆星的質(zhì)量均為并且兩種系統(tǒng)的運動周期相同，則（）

A.直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度相同

B.直線三星系統(tǒng)的運動周期7=4兀外屋行

C.三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離L='母

D.三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為

答案BC

解析直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度大小相等，方向相反，選項A錯誤；直線三星

系統(tǒng)中，對甲星有端解得7=4兀46^,選項B正確；對三角形三

星系統(tǒng)中任一顆星，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得2筆cos3（r=M整而，又

Lt1NCOSDU

由題知兩種系統(tǒng)的運動周期相同，即7=4兀苔說聯(lián)立解得選項C正確；

\ijvjiviYJ

三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為。=翠='寫型'=乎個停選項D錯誤.

【題型5聯(lián)系實際問題】

【例5】經(jīng)過用天文望遠(yuǎn)鏡長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們

的研究，使我們對宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識，雙星系統(tǒng)由兩個星

體組成,其中每個星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離,一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn),

可以當(dāng)成孤立系統(tǒng)來處理.現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)

量都是兩者相距L,它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動.

(1)計算出該雙星系統(tǒng)的運動周期T；

(2)若該實驗中觀測到的運動周期為T觀測，且7砌：7=1：麗N>1).為了理解7醐與T的

不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測不到的暗物質(zhì).作為

一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布這種暗物質(zhì).若不考

慮其他暗物質(zhì)的影響，根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度.

經(jīng)安小?臣.3(NT)M

解析(1)雙星均繞它們連線的中點做圓周運動，萬有引力提供向心力，則

解得/=叭噫?

(2)N>1,根據(jù)觀測結(jié)果，星體的運動周期為丁現(xiàn)網(wǎng)=卡5這是由于雙星系統(tǒng)內(nèi)(類似一個

球體)均勻分布的暗物質(zhì)引起的，均勻分布在雙星系統(tǒng)內(nèi)的暗物質(zhì)對雙星系統(tǒng)的作用與一個

質(zhì)點(質(zhì)點的質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量且位于中點。處)的作用等效，考慮暗物質(zhì)作

用后雙星系統(tǒng)的運動周期，即

【變式5-1】2012年7月，一個國際研究小組借助于智利的甚大望遠(yuǎn)鏡，觀測到了一組雙星

系統(tǒng)，它們繞兩者連線上的某點。做勻速圓周運動，如圖2所示.此雙星系統(tǒng)中體積較小

成員能“吸食”另一顆體積較大星體表面物質(zhì)，達(dá)到質(zhì)量轉(zhuǎn)移的目的.假設(shè)在演變的過程中

兩者球心之間的距離保持不變，則在最初演變的過程中()

A.它們做圓周運動的萬有引力保持不變

B.它們做圓周運動的角速度不斷變大

C.體積較大星體圓周運動軌跡半徑變大，線速度也變大

D.體積較大星體圓周運動軌跡半徑變大，線速度變小

答案C

解析對雙星Mi、Mi,設(shè)距離為L,圓周運動半徑分別為n、ri,它們做圓周運動的萬有

A//,

引力為尸=%嚴(yán)，距離L不變，Ml與的和不變，其乘積大小變化，則它們的萬有引力

發(fā)生變化，A錯；依題意雙星系統(tǒng)繞兩者連線上某點。做勻速圓周運動，周期和角速度相

同，由萬有引力定律及牛頓第二定律有：Cr^^2=Mioj2r\,=M2coir?,n+「2="可

解得：Min=A/2F2,由此可知co不變，質(zhì)量比等于圓周運動半徑的反比，

故體積較大的星體因質(zhì)量減小，其軌道半徑將增大，線速度將增大，B、D錯，C對.

【變式5-2］雙星系統(tǒng)中兩個星球A、B的質(zhì)量都是m,相距L,它們正圍繞兩者連線上某

一點做勻速圓周運動。實際觀測該系統(tǒng)的周期T要小于按照力學(xué)理論計算出的周期理論值

7b，且看=網(wǎng)左＜1）,于是有人猜測這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的星球C的影響，并認(rèn)為C

位于A、B的連線正中間，相對A、B靜止，則A、8組成的雙星系統(tǒng)周期理論值7b及C的

質(zhì)量分別為（）

nr1+^ccnri一—

A-271\2G^'4kmB-271\2G^'4km

__12Gm1+—r^~]—記

C-2兀弋爐‘4kmD'271荻?4lcm

Gm2

解析：選D由題意知，A、B的運動周期相同，設(shè)軌道半徑分別為n、也,對A有，4-=

m（jr）2ri,對8有，爺~=%管下？，且八+廠2=乙，解得7b=2n［含^

有C存在時，設(shè)

LcGm1、GMm(2兀\,,Gm2,GMm

C的質(zhì)量為與C之間的距離4=/2=2,則尸+『=’小引％，下+—

TI-1—F

=從羿4，解得T=2n

2G（：LM），元=方=%,得知=*"'。故D正

確。

【變式5-31科學(xué)家測得天琴座中有一個密近雙星系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)的兩顆恒星4B相距較近,

巨大的引力作用使原本較重的4星上的物質(zhì)不斷流向B星，若演變過程中4B兩星間距保

持不變，A、B兩星組成的系統(tǒng)看成孤立系統(tǒng)，則下列判斷正確的是（）

A.雙星系統(tǒng)的周期變大B.雙星間的萬有引力保持不變

C.B星的線速度不斷減小D.B星的加速度不斷增大

答案：C

解析：根據(jù)萬有引力提供向心力G如答二網(wǎng)^療二也^療rA+rB=La）=—

JLJJ.

解得7=2?！?--------

\G(%+%)

由于總質(zhì)量不交，兩星間距保持不變，則周期不變，故A錯誤;

雙星間的萬有引力

(%0&〃)(％0+&72)

F=G

L2

由此可知，當(dāng)△根變化，F(xiàn)變化，故B錯誤;

由mArA^mBrB

可知，冽B變大，則%變小，由=癡由于周期不變，則角速度不變，則B星的加速

度不斷減小，故D錯誤;

B星的線速度大小為vB=rBa)可知8星的線速度不斷減小，故C正確。

故選C。

專題7.6雙星、三星問題

【人教版】

【題型1