完全平方數(shù)性質(zhì)-小升初數(shù)學(xué)思維拓展數(shù)論問題專項訓(xùn)練

專題11-完全平方數(shù)性質(zhì)

小升初數(shù)學(xué)思維拓展數(shù)論問題專項訓(xùn)練

（知識梳理+典題精講+專項訓(xùn)練）

知的梳理

1、完全平方數(shù)定義：完全平方即用一個整數(shù)乘以自己例如1X1,2X2,3X3等等，依此類

推.若一個數(shù)能表示成某個自然數(shù)的平方的形式，則稱這個數(shù)為完全平方數(shù).

2、性質(zhì)。

性質(zhì)1:完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9.

性質(zhì)2：奇數(shù)的平方的個位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù).

性質(zhì)3：如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個位數(shù)字一定是6；反之，如果完全平

方數(shù)的個位數(shù)字是6,則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù).

性質(zhì)4：偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1.

性質(zhì)5:奇數(shù)的平方是8n+1型；偶數(shù)的平方為8n或8n+4型.

性質(zhì)6：平方數(shù)的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1.

性質(zhì)7：不能被5整除的數(shù)的平方為5k±1型，能被5整除的數(shù)的平方為5k型.

性質(zhì)8:平方數(shù)的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9.性質(zhì)9:完全平方

數(shù)的數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9.

].

典盛■雅餅

【典例一】：-一個整數(shù)a與1080的乘積是一個完全平方數(shù).則a的最小值是（）

A、30B、20C、120D、60

【分析】一個整數(shù)a與1080的乘積是一個完全平方數(shù)，所以將1080Xa的乘積分解質(zhì)因數(shù)

后，其質(zhì)數(shù)的指數(shù)一定全為偶數(shù)，據(jù)此分析解答即可.

【解答】解：因為1080Xa是一個完全平方數(shù)，所以乘積分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)一

定全是偶數(shù)；

而1080=23X33X5的質(zhì)因數(shù)分解中各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是奇數(shù)，

所以，a必含質(zhì)因數(shù)2、3、5,因此a最小為2X3X5=30.

故選：A.

【點評】明確完全平方的數(shù)的質(zhì)因數(shù)的指數(shù)為一定全為偶數(shù)是完成本題的關(guān)鍵.

【典例二】。、，均為正整數(shù)，a^b,且(90a+102b)正好是一個完全平方數(shù)，那么，

(a+6)的最小值為多少？

【分析】因為(90a+102b)是完全平方數(shù)，且有因數(shù)3,所以必有因數(shù)3?,由

90a+1026=32x(10a+34xg),推知b是3的倍數(shù)；由此可知：(10a+34x：)也是一個完全

平方數(shù)，然后假設(shè)方=3,推出a的值，進(jìn)而得出結(jié)論.

【解答】解：(90a+1026)是完全平方數(shù)，且有因數(shù)3,所以有因數(shù)3?

90o+102/)=32x(10a+34x1),推知6是3的倍數(shù)；

由此可知：(10a+34x勺也是一個完全平方數(shù)，

當(dāng)b=3,a=H時,(10a+34x1)=144=122,即(a+6)的最小值為：11+3=14；

答：(a+6)的最小值為14.

【點評】結(jié)合題意，把原式進(jìn)行提取，變形，得出：(10a+34xg)也是一個完全平方數(shù)，是

解答此題的關(guān)鍵.

【典例三】有這樣的兩位數(shù)，交換該數(shù)數(shù)碼所得到的兩位數(shù)與原數(shù)的和是一個完全平方

數(shù).例如，29就是這樣的兩位數(shù)，因為29+92=121=1f，請你找出所有這樣的兩位數(shù).

【分析】設(shè)原來的兩位數(shù)是10a+6,交換之后是106+a,它們之和為

10a+6+16+a=llx(a+6)=121;只需要a+b等于11就可以了，據(jù)此可以列舉出來.

【解答】解：設(shè)原來的兩位數(shù)是10a+6,交換之后是106+a,

它們之和為:10a+6+106+a=llx(a+Z?)=121;

所以。+6=121+11=11,

因為a+b=2+9=3+8=4+7=5+6,所以：

29+92=121=1/,

38+83=121=1/,

47+74=121=1/，

56+65=121=112,

答：這樣的兩位數(shù)是56,47,38,29,65,74,92,83.

【點評】解答此題緊緊抓住完全平方數(shù)的性質(zhì)，即1產(chǎn)=121,把兩個數(shù)的和寫成

llx（a+b）=121的形式，推出a+6的和為11即可.

I專項制秣

選擇題（共5小題）

1.下面的數(shù)中，（）是完全平方數(shù).

A.8B.9C.6

2.有一堆草莓，比40個多，比50個少，分的份數(shù)與每份的個數(shù)同樣多，這堆草莓有（）

個.

A.42B.45C.49

3.6的因數(shù)有1、2、3、6,這幾個因數(shù)之間的關(guān)系是：1+2+3=6.像這樣的數(shù)叫完全

數(shù).下面的數(shù)中，（）是完全數(shù).

A.8B,180.28

4.一個數(shù)與它自身的乘積稱為這個數(shù)的平方，各位數(shù)字互不相同且各位數(shù)字的平方和等于49

的四位數(shù)共有（）個.

A.15B.180.20D.21

5.假如有一個數(shù)，唯一能整除它的平方數(shù)是1,則我們稱此數(shù)為“無平方”數(shù).例如，6是

個‘‘無平方''數(shù)而12則不是.請問在從90到100（包括90和100）共有（）個“無平方”

數(shù).

A.4B.5C.6D.7

E.8

二.填空題（共11小題）

6.某校2001年的學(xué)生人數(shù)是個完全平方數(shù)，2002年的學(xué)生人數(shù)比上一年多101人，這個

數(shù)字也是一個完全平方數(shù).該校2002年的學(xué)生人數(shù)是.

7.自然數(shù)a乘294,正好是另一個自然數(shù)的平方，則a的最小值是.

8.若一--=工",則a、b的最小值分別是°=,b=.

bxb45

9.1、4、9完全平方數(shù)，18、27完全立方數(shù)，2、3、5、6、7、10、11、12…非平方也非

立方數(shù)列，數(shù)列中第99個是.

10.6的因數(shù)有1,2,3,6,這幾個因數(shù)的關(guān)系是：1+2+3=6,像6這樣的數(shù)，叫作完

全數(shù)（也叫作完美數(shù)）。你知道的完全數(shù)還有和O

11.連續(xù)1999個自然數(shù)之和恰是一個完全平方數(shù).則這1999個連續(xù)自然數(shù)中最大的那個數(shù)

的最小值是.

12.某煤礦要將一批煤炭運(yùn)往某發(fā)電廠，如果每天運(yùn)400噸，那么11天運(yùn)不完，12天時間

又有富余；如果每天運(yùn)420噸，那么10天運(yùn)不完，11天時間又有富余；如果每天運(yùn)/噸,

恰好/天運(yùn)完（N為自然數(shù)），則/=.

13.一個兩位數(shù)N具有性質(zhì)：N與顛倒N的數(shù)字后的數(shù)之和為完全平方數(shù)，則這樣的N有.

個.

14.五位數(shù)2x9/是某個自然數(shù)的平方,貝U4x+7y=.

15.小明準(zhǔn)備利用假期去讀一本書，如果每天讀80頁，那么4天讀不完，5天又有余；如

果每天讀90頁，那么3天讀不完，4天又有余；如果每天讀N頁，恰好N（N是自然數(shù)）天

讀完，這本書是頁。

16.從1、2、3…10這十個數(shù)中選出9個數(shù)，使得選出的9個數(shù)之和為完全平方數(shù)（完全平

方數(shù)是指可以表示為一個整數(shù)的平方的數(shù)，比如9=32,所以9就是完全平方數(shù)），則沒有

被選出的數(shù)是.

三.解答題

17.是否存在自然數(shù)左，使得12左2+5左-2與18左2_5左-1的和是完全平方數(shù)？

18.是否存在自然數(shù)"，使得23〃+3與13”+5的差為完全平方數(shù)？

19.試求一個四位數(shù)，它是一個完全平方數(shù)，并且它的前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字也相

同.

20.甲乙兩人合養(yǎng)了〃頭羊，而每頭羊的賣價又恰為〃元，全部賣完后，兩人分錢方法如下:

先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去.為了平

均分配，甲應(yīng)該補(bǔ)給乙多少元？

21.試證不論.、6是什么整數(shù)，35a-45Z7+2都不可能是完全平方數(shù).

22.有一個自然數(shù)，它與152的和等于某個數(shù)的平方，它與100的和等于另一個數(shù)的平

方.求這個自然數(shù).

23.9=3。，16=4?,121-112,像9、16和121這些數(shù)叫做完全平方數(shù)。在1?1999這些

數(shù)中有多少個完全平方數(shù)？

24.排一排，算一算：

(1)能否將1至15排成一行，使得任意相鄰兩數(shù)之和都為平方數(shù)？

(2)能否將1至15排成一行，使得任意相鄰兩數(shù)之和都為質(zhì)數(shù)？

25.已知38?=1444,像1444這樣能表示為某個自然數(shù)的平方，并且末3位數(shù)字為不等于0

的相同數(shù)字，我們就定義為“好數(shù)”.

(1)請再找出一個“好數(shù)”.

(2)討論所有“好數(shù)”的個位數(shù)字可能是多少？

(3)如果有一個好數(shù)的末4位數(shù)字都相等，我們就稱之為“超好數(shù)”，請找出一個“超好

數(shù)”，或者證明不存在“超好數(shù)”.

26.求具有下列性質(zhì)的最大的平方數(shù)：在抹去它的個位數(shù)字和十位數(shù)字后仍為完全平方數(shù)

(被抹去的兩位數(shù)不全為0).

27.03年101中學(xué)招生人數(shù)是一個平方數(shù)，04年由于信息發(fā)布及時，04年的招生人數(shù)比03

年多了101人，也是一個平方數(shù)，問04年的招生人數(shù)？

28.1口口7,口口65,37D1,匚］口60這四個數(shù)中，其中有一個四位數(shù)恰好是某個數(shù)的平方

數(shù).你能找出這個數(shù)嗎？

參考答案

一.選擇題（共5小題）

1.【分析】一個數(shù)如果是另一個整數(shù)的完全平方，那么我們就稱這個數(shù)為完全平方數(shù)，也

叫做平方數(shù)，由此逐項判斷即可選擇.

【解答】解：A,8不能寫成一個數(shù)的平方的形式，所以8不是完全平方數(shù)；

B,9可以寫成32,所以9是完全平方數(shù)；

C,6不能寫成一個數(shù)的平方的形式，所以6不是完全平方數(shù)；

故選：B.

【點評】此題考查利用完全平方數(shù)的定義，判斷一個數(shù)是不是完全平方數(shù)的方法.

2.【分析】根據(jù)乘法口訣可知，七七四十九，由于這堆草莓，比40個多，比50個少，分

的份數(shù)和每一份的個數(shù)同樣多，只有49合適，所以這堆草莓有49個.

【解答】解：由分析可知，比40個多，比50個少，

分的份數(shù)和每一份的個數(shù)同樣多，

這堆草莓有49個.

故選：C.

【點評】此題考查了乘法口訣在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用.

3.【分析】分別寫出8、18、28的因數(shù)然后依題意判斷即可.

【解答】解：8的因數(shù)有：1、2、4、8,1+2+4=7,8不是完全數(shù)；

18的因數(shù)有：1、2、3、6、9、18,1+2+3+6+9=21,18不是完全數(shù)；

28的因數(shù)有：1、2、4、7、14、28,1+2+4+7+14=28,28是完全數(shù)；

故選：C.

【點評】本題可采用排除法注意判斷作答.

4.【答案】B

【分析】分別列出四個數(shù)的平方和為49的幾種情況，然后選出各位數(shù)字互不相同的情況，

最后算出組成的四位數(shù)個數(shù).

【解答】解：根據(jù)分析，四個數(shù)的平方和為49,

則有以下幾種情況：72+02+。2+（）2；62+32+22+02;52+42+22+22,;

42+42+42+12.

其中只有6,3,2,0滿足各位數(shù)字互不相同，

而由6,3,2,0組成的四位數(shù)有3x3x2x1=18個；

所以滿足題意的四位數(shù)共有18個，

故選：B□

【點評】本題的解題關(guān)鍵是列出四個數(shù)的平方和為49的幾種情況.

5.【分析】根據(jù)題意，“無平方”數(shù)是無平方數(shù)的因數(shù)，故質(zhì)數(shù)必然是無平方數(shù)，對于其

余數(shù)分解因數(shù)即可.

【解答】解：97是質(zhì)數(shù)，故97是無平方數(shù).

90=32X1091=7X1392=22X2393=3x3194=2x47

95=5x1996=3x2x4之

98=2x7299=32xll100=102

故選：B.

【點評】本題難度不大，最主要的要理解“無平方”數(shù)的意義.

二.填空題（共11小題）

6.【分析】由于這兩年的學(xué)生人數(shù)都為完全平方數(shù)，可設(shè)2001年、2002年的學(xué)生人數(shù)分

別為丁,而,又2002年的學(xué)生人數(shù)比上一年多101人，由此可得/一"=ioi,然后根據(jù)

公式=伍+6）伍-6）進(jìn)行分析即可.

【解答】解：設(shè)2001年、2002年的學(xué)生人數(shù)分別為“2,小，

則m2—n2=101,

即（m+n）（m—n）=101,

由于101=1x101,

所以，（加+〃）（〃？-〃）=101x1.

則m+〃=101,m—n=\,

所以，加=51,〃=50.

則2002年的學(xué)生人數(shù)為512=2601人.

故答案為:2601.

【點評】由題意列出等式，并根據(jù)公式/一/二5+3必一切進(jìn)行分析是完成本題的關(guān)鍵.

7.【分析】此題可先把294分解質(zhì)因數(shù)，然后找出。的最小值.因為

294=2x3x7x7=6x7,,已知6x7?xa是一個自然數(shù)的平方，因此a的最小值是6.

【解答】解：294=2x3x7x7=6x7?,

又6x7?x°是一個自然數(shù)的平方，所以a為6就可變成一個自然數(shù)的平方.

答：a的最小值是6.

故答案為：6.

【點評】本題考查了一個數(shù)的完全平方，此題難度不大.

8.

【分析】因為化簡前分?jǐn)?shù)的分母為6x6=/,即其分母為一個完全平方數(shù)，又45=5x3x3,

所以這個完全平方數(shù)最小為3x3x5x5=15x15=225,即6=15,貝Ua=2x5=10.

【解答】解：因為45=5x3x3,

所以分母最小為：

3x3x5x5=15x15=225,

即6=15,則。=2x5=10.

即。.=1°=—■

bxb15x1545"

故答案為：10,15.

【點評】完成本題的關(guān)鍵通過將45分解質(zhì)因數(shù)推出這個完全平方數(shù)最小為多少.

9.

【分析】首先考慮1-99的完全平方數(shù)有10個1、4、9、25、36、49、64、81,且立方數(shù)有

4個分別為1、8、27、64,去掉重復(fù)的還有99-9-4+2=88個數(shù)，進(jìn)一步考慮下一個完全

平方數(shù)是121,完全立方數(shù)是125,所以從100開始，再數(shù)出12個數(shù)就可以得出答案為

111.

【解答】解：1-99的完全平方數(shù)有9個1、4、9、25、36、49、64、81,

完全立方數(shù)有4個分別為1、8、27、64,

去掉兩種數(shù)剩下99-9-4+2=88個，

下一個完全平方數(shù)是121,完全立方數(shù)是125,

88+11=99,

所以既沒有完全平方數(shù)，又沒有完全立方數(shù)，那么，這樣的數(shù)的第99個數(shù)是111.

答：數(shù)列中第99個是111.

故答案為：111.

【點評】解決此題的關(guān)鍵，是理解題意，找出在一定范圍內(nèi)完全平方數(shù)以及完全立方數(shù)的個

數(shù).

10.【答案】28,496(答案不唯一)。

【分析】牢記48個完美數(shù)中的三個，據(jù)此填空即可。

【解答】解：28的因數(shù)有：1,2,4,7,14,28;

1+2+4+7+14=28,所以28是完美數(shù)。

又知道：496的因數(shù)有：1,2,4,8,16,31,62,124,248,496；

1+2+8+16+31+62+124+248=496,所以496是完美數(shù)。

故答案為：28,496(答案不唯一)。

【點評】在課下學(xué)習(xí)中48個完美數(shù)要了解。

11.【分析】設(shè)連續(xù)1999個正整數(shù)中最小的數(shù)是加，則

m+(m+l)+...+(m+l998)=(2m+1998)x1999+2=1999m+1999x999，根據(jù)這1999個正整

數(shù)的和是一個完全平方數(shù)，則存在正整數(shù)"，使1999m+1999x999=/,由上式左邊能被1999

整除，故“2也必能被1999整除，故〃也必能被1999整除，

1999m+1999x999=(m+999)x1999,設(shè)“=1999左，貝"根+999=1999,機(jī)=1000,從而得

出最大值.

【解答】解：設(shè)連續(xù)1999個正整數(shù)中最小的數(shù)是7〃，則

m+(m+1)+...+(m+1998)=(2m+1998)x1999+2=1999m+1999x999

如果這1999個正整數(shù)的和是一個完全平方數(shù)，則存在正整數(shù)〃有1999加+1999x999="2

由于上式左邊能被1999整除，故/也必能被1999整除，

所以機(jī)+999=1999

所以旭=1000,

w+1998=2998.

故答案為：2998.

【點評】本題考查了完全平方數(shù)的應(yīng)用，是重點內(nèi)容，要熟練掌握.

12.【分析】根據(jù)如果每天運(yùn)400噸，那么11天運(yùn)不完，12天時間又有富余；如果每天運(yùn)

420噸，那么10天運(yùn)不完，11天時間又有富余；可求煤的重量的范圍，再根據(jù)完全平方數(shù)

性質(zhì)求解.

【解答】解：設(shè)共有x噸煤，則

400x1l<x<400x12_EL420xl0<x<420xll,

解得4400<x<4620,

A2=x,

在區(qū)間內(nèi)的完全平方數(shù)只有4489=672,

所以4=67.

故答案為：67.

【點評】考查了完全平方數(shù)性質(zhì)，本題關(guān)鍵是得到煤的重量的范圍，在煤的重量的范圍之間

找到完全平方數(shù).

13.【分析】設(shè)N=10a+6,顛倒N的數(shù)字后的數(shù)是106+a,所以

10a+6+106+a=11x(0+6),要使llx(a+6)為完全平方數(shù)，貝|a+b=ll;然后據(jù)此即可

列出.

【解答】解：設(shè)N=10a+b,則有10a+b+106+a=llx(a+6),

要使1lx(a+b)為完全平方數(shù)，貝Ua+6=11,

因此a、6可取2、9,3、8,5、6,4、7,9、2,8、3,6、5,7、4.

這樣的N有：29,38,56,47,92,83,65,74,共8個.

故答案為：8.

【點評】考查了學(xué)生完全平方數(shù)的性質(zhì)，此題用字母設(shè)出這個兩位數(shù)，由llx(a+6)為完全

平方數(shù)，進(jìn)而推出a+8=ll,是解答此題的關(guān)鍵.

14.

【分析】根據(jù)平方的知識分析這個自然數(shù)的可能取值，然后求(4x+7y)的值.

【解答】解：5位數(shù)名即是某個自然數(shù)的平方，

則它開平方一定是三位數(shù)，三位數(shù)的平方的末位是1,

那三位數(shù)的末位是1或9,

因為三位數(shù)的平方是五位數(shù)且首位是2,

則三位數(shù)的首位是1,

所以這個三位數(shù)是161,平方則是25921,

所以：x=5,y=2.

4x+7y=4x5+7x2=34.

答案為:34.

【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根的定義，比較難，未知數(shù)的值沒有直接給出，而是隱含

在題中，解題的關(guān)鍵主要是根據(jù)平方的知識分析這個自然數(shù)的可能取值.

15.【答案】3240

【分析】根據(jù)題干中的三句話求出N的取值范圍，再根據(jù)完全平方數(shù)的特征解答即可。

【解答】解：設(shè)總頁數(shù)為M

根據(jù)如果每天讀80頁，4天讀不完，5天又有余，可得：320<Af<400;

根據(jù)如果每天讀90頁，那么3天讀不完，4天又有余，可得：270<M<360;

再根據(jù)如果每天讀N頁，恰好用了N（N是自然數(shù)）天讀完，可得：320<N2<360;

在320?360之間，只有18?=324符合要求，所以N=18,即總頁數(shù)是324。

故答案為：324?

【點評】本題考查了有余數(shù)除法和完全平方數(shù)的性質(zhì)的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是求出總頁數(shù)的取值

范圍。

16.【分析】要使“從1、2、3…10這十個數(shù)中選出9個數(shù)，使得選出的9個數(shù)之和為完全

平方數(shù)”，則實現(xiàn)把這10個數(shù)相加，得到55,比55小的最大的完全平方數(shù)是49,49是7

的平方，55-49=6,所以沒有被選出的數(shù)是6;據(jù)此得解.

【解答】解:因為1+2+3+4++10=55

55-6=49=72

所以沒有被選出的數(shù)是6.

故答案為：6.

【點評】求出10個數(shù)字的和，以及最大的完全平方數(shù)是解決此題的關(guān)鍵.

三.解答題

17.【分析】求出12左？+54-2與18左2_5左-1的和，然后根據(jù)完全平方數(shù)的個位數(shù)的特征

判斷即可.

【解答】解：（12左2+5左一2）+（18左2-5左一1）=30后2-3

30左2個位數(shù)字一定是0,然后減去3,得到的差的個位數(shù)字一定是7,

這與完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9相矛盾，

所以，不存在自然數(shù)左，使得12尸+5左-2與18左2_5左-1的和是完全平方數(shù).

【點評】本題考查了完全平方數(shù)的特征的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是

0,1,4,5,6,9這一特征.

18.

【分析】求出23〃+3與13”+5的差，然后討論是否存在〃使得差為完全平方數(shù)即可.

【解答】解：23?+3-(13//+5)=10?7-2

10〃-2的個位數(shù)一定是8,而完全平方數(shù)個位數(shù)不可能是8,所以不存在這樣的自然數(shù)〃。

【點評】解答本題關(guān)鍵是明確全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,90

19.

【分析】根據(jù)題意，這個四位數(shù)可以表示成：axl000+axl00+bxl0+6=llx(axl00+6),

因為axlOO+6必須被11整除，所以a+b=\\,代入上式得：

Hx(axl00+/j)=llxllx(9a+l).

只要9a+l是完全平方數(shù)就行了，由0=1、2、3、4、5、6、7、8、9驗證，得a=7一個解,

則6=4.進(jìn)而求出這個四位數(shù).

【解答】解：四位數(shù)可以表示成：

axl000+axl00+Z>xl0+Z),

=0x1100+6x11,

=llx(ax100+6);

因為axlOO+6必須被11整除，所以a+6=ll,代入上式得：

四位數(shù)=llx[ax100+(11-a)],

=11x(ax99+11),

=llxllx(9a+1);

只要9a+1是完全平方數(shù)就行了.

由。=1、2、3、4、5、6、7、8、9驗證得，

9。+1=10、19、28、37、46、55、64、73、82.

所以只有a=7一個解，則6=4.

因此四位數(shù)是7744=1/x82=88x88.

答：這個四位數(shù)是7744.

【點評】此題先設(shè)出這個四位數(shù)為axl000+axl00+6xl0+6,然后根據(jù)其特征，求出a的

值，進(jìn)而推出6的值，也就求出了這個四位數(shù)，解決問題.

20.【分析】〃頭羊的總價為1元，因為先由甲拿，到最后甲拿走10元，乙不足10元，

因此/元中含有奇數(shù)個10元，即完全平方數(shù)/的十位數(shù)字是奇數(shù).如果完全平方數(shù)的十位

數(shù)字是奇數(shù)，則它的個位數(shù)字一定是6.所以，“2的末位數(shù)字為6,即乙最后拿的是6元,

從而為平均分配，甲應(yīng)補(bǔ)給乙2元.

【解答】解：〃頭羊的總價為=元，由題意知"2元中含有奇數(shù)個10元，即完全平方

數(shù)/的十位數(shù)字是奇數(shù).如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個位數(shù)字一定是6.所

以，/的末位數(shù)字為6,即乙最后拿的是6元，從而為平均分配，甲應(yīng)補(bǔ)給乙：

（10+6）4-2-6=2（元）.

答：為了平均分配，甲應(yīng)該補(bǔ)給乙2元.

【點評】此題也可這樣解答：

解：設(shè)甲、乙兩人合養(yǎng)了〃頭羊，兩人先分了無次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10

元，乙拿了2y（0<2y<10,2y是整數(shù)）元，

當(dāng)甲找給乙錢后，甲乙都得到了（5+y）元，甲給了乙10-（5+y）=5-y元，

所以有/=20x+10+2y,

因為（20x+10）個位為0,2y是完全平方數(shù)的個位數(shù)，2y=1,4,5,6,9,

若2y是奇數(shù)，貝12y=1,5,或9,

所以20x+10+2y=20x+ll,20x+15或20x+19,

因為20x+ll、20x+15.20x+19除以4的余數(shù)都是3,它們不是完全平方數(shù)，

所以2y是彳禺?dāng)?shù)，2〉=4或6,y=2或3.

若y=2,H2=20x+14=2（10x+7）,右邊不是完全平方數(shù)

所以y=3,

所以甲應(yīng)該找給乙5-3=2（元）.

21.【分析】因為35。一456+2=5*（7。-96）+2,而5x（7a-9b）是5的倍數(shù)，所以

35a-45b+2被5除余2,而平方數(shù)被5除只能余0,1,4,所以35a-458+2不可能是完全

平方數(shù).

【解答】解：35a-45b+2被5除余2,但平方數(shù)被5除只能余0,1,4,

所以除以5余2的數(shù)不可能是完全平方數(shù)，

所以不論a、&是什么整數(shù)，35.-456+2都不是完全平方數(shù).

【點評】此題根據(jù)一個數(shù)的完全平方數(shù)被5除的余數(shù)進(jìn)行判斷.

22.【分析】可以設(shè)這個自然數(shù)為x,根據(jù)題意得x+152=m2?,x+100=/②，①-②得

m2-n2=(w-?)x(m+〃)=52,然后根據(jù)m-n^m+n的奇偶性來分析判斷出m和"的值,

進(jìn)一步求出這個自然數(shù).

【解答】解：設(shè)這個自然數(shù)為x,它與152的和是m的平方.與100的和是〃的平方，所以

有：

x+l52=m2,x+100=n2,

m1-n2=(m-?)x(m+“)=52,

因為〃和加+〃奇偶性相同，52是偶數(shù)，所以加-〃和加+〃都是偶數(shù)，且52分解為兩個

偶數(shù)的乘積只有52=2x26,所以：(26+2)+2=14

所以x+152=142,x=44.

這個自然數(shù)是44.

【點評】此題解答有一定難度，通過設(shè)未知數(shù)，以及對數(shù)的奇偶性性質(zhì)的分析，得出問題的

答案.

23.【答案】在1?1999中完全平方數(shù)共有44個。

【分析】『=],1?1999中最小的完全平方數(shù)是1。

【解答】解：最小的完全平方數(shù)當(dāng)然是1;

由于45?=2025,可知最大的完全平方數(shù)為1936(1936=442)。

由此可知，在1?1999中完全平方數(shù)共有44個。

【點評】本題是一道有關(guān)完全平方數(shù)特征的題目。

24.

【分析】(1)1至15排成一行，最小相鄰兩數(shù)之和為：1+2=3,最大兩數(shù)之和為

14+15=29,而3和29之間的平方數(shù)有：4、9、16、25.當(dāng)平方數(shù)為4時，有1+3;當(dāng)平

方數(shù)為9時，有1+8、2+7、3+6、4+5;當(dāng)平方數(shù)為16時，有1+15、2+14、3+13、

4+12、5+11、6+10、7+9;當(dāng)平方數(shù)為25時，有10+15、11+14、12+13.觀察以上

加數(shù)，8和9各出現(xiàn)一次，1和3各出現(xiàn)三次，其余數(shù)字各出現(xiàn)二次，將1到15排成一行時,

8和9放在兩頭，其余數(shù)字相鄰兩數(shù)之和為4或9或16或25就行。(2)同(1)3和29之

間的質(zhì)數(shù)有：3、5、7、11、13、17、19、23、29,1至15排成一行時，其中有8個奇數(shù)，

7個偶數(shù)，將奇數(shù)排在兩頭，再使相鄰兩數(shù)之和為質(zhì)數(shù)就是行.排列順序不唯一.

【解答】解：(1)1+2=3、14+15=29

3和29之間的平方數(shù)有：4、9、16、25

當(dāng)平方數(shù)為4時有：1+3

當(dāng)平方數(shù)為9時有：1+8、2+7、3+6、4+5

當(dāng)平方數(shù)為16時有：1+15、2+14、3+13、4+12、5+11、6+10、7+9

當(dāng)平方數(shù)為25時有：10+15、11+14、12+13

8和9各出現(xiàn)一次，1和3各出現(xiàn)三次，其余數(shù)字各出現(xiàn)二次，將1到15排成一行時，8和

9放在兩頭，其余數(shù)字相鄰兩數(shù)之和為4或9或16或25就行，如下排成：

8、1、15、10、6、3、13、12、4、5、11、14、2、7、9.

(2)1+2=3、14+15=29

3和29之間的質(zhì)數(shù)有：3、5、7、11、13、17、19、23、29

1至15排成一行，其中有8個奇數(shù)，7個偶數(shù)

將奇數(shù)排在兩頭，再使相鄰兩數(shù)之和為質(zhì)數(shù)就行，如下排列：

11、12、7、6、1、2、5、14、15、4、3、8、9、10、13.

【點評】解答此題的關(guān)鍵一是弄清題意；二是弄清1至15之間兩數(shù)之和和有哪些平方數(shù)，

有哪些質(zhì)數(shù).

25.

【分析】(1)因為38?=1444,所以10382=1077444;則100382,一。(^外…等都可以是

“好數(shù)”.

(2)據(jù)完全平方數(shù)的性質(zhì)可知，平方末尾數(shù)字只可能是1,4,9,6,5和0,0不考慮.因

此可從平方末位數(shù)是1,4,9,6,5幾種情況進(jìn)行討論驗證所有“好數(shù)”的個位數(shù)字可能

是多少.

3)假設(shè)存在超好數(shù)設(shè)為1000"+38;則有

(1000M+38)2=lOOOOOOn2+76000M+1444=lOOOx(1000?2+76n+1)+444(1000M2+76n+1)

不可能被4整除；也就是不可能得到倒數(shù)第四位為4；故假設(shè)不成立.即：不存在超好數(shù).

【解答】解：(1)因為382=1444,所以10382=1077444；貝打0038、1000382…等都可以

是“好數(shù)”.

(2)根據(jù)完全平方數(shù)的性質(zhì)可知，完全平方末尾數(shù)字只可能是1,4,9,6,5和0,0不考

慮.

末尾數(shù)是5的平方尾數(shù)一定是25,故不可能是5;

對于1,設(shè)(10。+1)的平方滿足X111;而(10。+1)的平方=20ax(5a+l)+l;倒數(shù)第二位一

定是偶數(shù)，不符合題意；

對于9,設(shè)(10。+3)的平方滿足》999;而(10。+3)平方=20ax(5a+l)+9,倒數(shù)第二位一

定是偶數(shù)，不符合題意；

又設(shè)(10°+7)平方滿足》999;而(10a+7)的平方=20ax(5a+7)+l;倒數(shù)第二位一定是偶

數(shù)，不符合題意；

對于6,設(shè)(100+4)平方滿足丫666;而(100+4)的平方=(100。平方+80。+10)+6,倒數(shù)第

二位一