同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式（5題型分類(lèi)）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）

專(zhuān)題17同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式5題型分類(lèi)

彩題如工總

題型1：同角求值

題型5：三角恒等式的證明

題型2：誘導(dǎo)求值與變形

專(zhuān)題17同角三角函數(shù)的基本

題型4：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式關(guān)系和誘導(dǎo)公式5題型分類(lèi)

的綜合應(yīng)用

題型3：三角函數(shù)式化簡(jiǎn)求值

彩先渡寶庫(kù)

一、同角三角函數(shù)基本關(guān)系

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2+cos2a=l.

(2)商數(shù)關(guān)系：----=tana(。。一十左》)；

COS<72

二、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

公式一二三四五六

7171

角2左萬(wàn)+a(kGZ)7i-\-a-an-a——a---F0L

22

正弦sina—sina—sinasinacos。COS6Z

余弦COS6Z-cosacosa-cos。sina-sina

正切tanatuner-tana-taner

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號(hào)看象限，說(shuō)明：(1)先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫(xiě)作〃?]±a；(2)無(wú)

論有多大，一律視為銳角，判斷小]土。所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；(3)當(dāng)〃為奇

數(shù)是，“奇變〃，正變余，余變正；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，〃偶不變〃函數(shù)名保持不變即可.

注：1、利用siYc+cos2a=1可以實(shí)現(xiàn)角a的正弦、余弦的互化，利用堊巴=tana可以實(shí)現(xiàn)角a的弦切互

cosa

化.

2、sina+cosa,sinacosa,sine—cosa"方程思想知一求二.

(sina+cosa)*2=sin2a+cos2a+2sinCKCOSor=1+sin2a(sina-coser)2=sin2a+cos2cr-2sin6zcosa=l-sin2a

(sina+coser)2+(sina-cosa)2=2

彩他題祕(mì)籍

（一）

同角求值

（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號(hào)，再利用三角形三角函數(shù)定義求未知三角函數(shù)值.

（2）若無(wú)象限條件，一般〃弦化切〃.

題型1：同角求值

1-1.（2024高一上?廣東江門(mén)?期末）已知tan0=--,求sin。，cos。的值.

2

1-2.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知cosa=-得，貝U13sina+5tana=.

1-3.（2024高三?全國(guó)?對(duì)口高考）已知sinx+cosx=￡[-聲，近]W±1）,求值：

（l）sinxcosx；

（2）sin3x+cos3x;

（3）tanx.

1-4.（2024高三上嘿龍江哈爾濱?階段練習(xí)）已知sina,cosa是關(guān)于犬的一元二次方程2爐+%_2祖=0的

兩根.

⑴求用的值；

（2）若Ova〈冗,求sina—cosa的值.

1-5.（2024高三?山西運(yùn)城?學(xué)業(yè)考試）已知tana=2,求下列各式的值：

,、3sina-5cosa

（1）---------——；

coscr+2sincr

(2)2sin2tz-3cos2a?

彩偏題海籍

（二）

誘導(dǎo)求值與變形

（1）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與W整數(shù)倍角的和差問(wèn)題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任意角的

2

三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù).

TT

（2）通過(guò)±2萬(wàn),±7T,±y等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù).

7T

（3）々±月=±2凡±乃,±|■等可利用誘導(dǎo)公式把的三角函數(shù)化

題型2:誘導(dǎo)求值與變形

2-1.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）sin613+cos1063+tan（-30）的值為

sin（2兀-?r）cos（it+a）cosf—+a]cos[-a]

2-2.（2024高一下?甘肅天水?期末）化簡(jiǎn)-------------------惚―乙焉—

cos（71-er）sin（3K-a）sin（一兀一a）sin[爹+aJ

2-3.（2024高三上?福建莆田?期中）已知cos（（-a）=g，則cos（1+a）=.

2-4.（2024高三?江蘇?對(duì)口高考）已知cos,+|^=2，且則tan（。-91）的值是.

25（2024高三上?山東泰安?期中）己知a是第四象限角，且sin"￡|=。，則tan]T）=.

2-6.（2024高一上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）若sin。、cos。是關(guān)于x的方程V一依=。的兩個(gè)根，則

cos[o~-+sinf—+e]=___.

I2JU）一

2-7.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）tan，t]=（）

A.--B,—C.-石D.不

33

彩偏甄秘籍,=）

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式

進(jìn)行變形.

（2）注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響.

題型3:三角函數(shù)式化簡(jiǎn)求值

3-1.（2024高三上,江蘇淮安?階段練習(xí)）已知。為第二象限角，且滿足+cos%Q吧

V1+cosaV1+sincr5

則cos-2“=___

3-2.（2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）己知xe（0,兀），若厘匚=6,則“儂口______.

1-cosxsinx

/、sin（—。）+2cos（兀一

3-3.（2024高一上?天津和平?期末）已知角。的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,-3）,則—J（）

3sin（—兀一，）+4cos（3兀+0）

11

A.—B.—C.—1D.1

55

1cos（4+6）

34（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知sin（3%+。）=屋則期平協(xié)（萬(wàn)-0）-1]

cos（6-2萬(wàn)）

sin（g-：>os（g-7r）-sin[；+g]-------'

3-5.（2024高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）已知tana=；jo<a<g],則，l+sin2a+Jl-sin2°

21?）sina+cosa

4

D.

3

題型4:同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

4-1.（2024高一上?江蘇淮安?期末）已知5皿（今+￡卜05e-金=",且0<a<：.

（1）求cosa+sina的值;

,、1一tana,,仔

⑵求------的值.

1+tana

4-2.（2024高一下?山東東營(yíng)?期中）已知角a滿足sina-cosa=-6

’5

⑴若角。是第三象限角，求tana的值;

sin（a-7i）tan（5%+a）cos（乃+a）

tan（2.-?）cos（-1-?），求/⑷的值.

sin|；+0+3sin（兀+a）

4-3.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知tana=3,求---c------------------的值.

cos1-?-COS（5K+6Z）

4

4-4.（2024IWJ—^上,廣東深圳,期末）已知tani=-1

⑴求sin2a-2cos2a的值.

彩儺甄祕(mì)籍

—（四）

三角恒等式的證明

三角恒等式的證明中涉及到同角三角函數(shù)基本關(guān)系，和角公式，差角公式，二角公式，輔助角

公式等基本知識(shí)點(diǎn)，理解和掌握這些基本知識(shí)點(diǎn)是解答該類(lèi)問(wèn)題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵

題型5:三角恒等式的證明

5-1.（2024高一?全國(guó)?課后作業(yè)）求證：當(dāng)左二2或3時(shí)，cos(2E-a)sin[(2左+1)兀+0一次a'

37rTT

2sin(0-cos(0+-)-1tan(9;r+8)+1

5-2.（2024高一?全國(guó)?課前預(yù)習(xí)）求證：

tan(乃+8)-1*

l-2sin*2(3^+^)

5-3.（2024高一?全國(guó)?課后作業(yè)）求證：

/、l-2sinxcosx1—tanx

⑴cos2x-sin2x=l+tanx；

（2）tan2a—sin2a=tan2asin2a；

（3）（cos；0-l）2+sin2/7=2-2cos/?；

（4）sin4x+cos4x=1—2sin2%cos2x.

5-4.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）（1）求證：tan2asin2a=tan2a-sin2a；

（2）已知tan2a=2tan2,+1,求證：2sin2a=sin2夕+1.

煉習(xí)與梭升

一、單選題

1.（2024?全國(guó)，模擬預(yù)測(cè)）已知taiw=3^±,則cos2x=（）

sinx+5

2.（2024?四川巴中?模擬預(yù)測(cè)）勾股定理，在我國(guó)又稱(chēng)為“商高定理"，最早的證明是由東漢末期數(shù)學(xué)家趙爽

在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，他利用了勾股圓方圖，此圖被稱(chēng)為〃趙爽弦圖〃.〃趙爽弦圖〃是由四個(gè)全等的

直角三角形和中間的一個(gè)小正方形組成的大正方形圖案（如圖所示），若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)落

,則"趙爽弦圖"里的直角三角形中最小角的正弦值為（）

V342D.叵

C.

17341717

2兀219K0+c°s鳴

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知cos0則2sin

5310

2

A.-2B.2C.D2

3,3

已知a為銳角，且cos[a+E71）=#

4.（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）,貝Utan)

6

A拒D.叵

B.-0c.V2

22

5.（2024高三上?安徽合肥?階段練習(xí)）已知角a為鈍角,且角0{0<0<2無(wú)）終邊上有一點(diǎn)P（-sin?,cosa）,

則角。=（）

3兀

A.Tt+acB.—兀HCCC.2jt-aD.-----a

22

sin3(兀+a)+cos3(it-a)

6.（2024高三上?寧夏銀川?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中,在「。,3）在角a終邊上，則71

sin3(-6z)-cos3-

的值為（）

13141414

A.—B.—c.--D.—

27272713

7.（2024高三上?四川成都?期中）已知角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，若角a的終

sin（〃+a）~cos（2%-a）

邊與名9角的終邊相同，則高聲二二

3smy-+a）)

A.73+1B.V3-1C.-A/3+1D.-73-1

8.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知直線/：2尤+3y-l=0的傾斜角為凡則sin（6-兀）小也5-。=（）

6622

A.B.——C.1D.

131355

則sin[2a+]卜

9.（2024?陜西寶雞?一模）)

334

A.——B.C.

445

10.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知tanacos)

1

A.BB.受C.

222

IL（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知圓。：（九-1）2+（y—1）2=1,過(guò)點(diǎn)尸（3,2）,作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A&

則tanNAC5=()

443

A.—B.-C.D.

33~24

(371

12.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）已知tan9=2,則sinOsin萬(wàn)()

31_2

A.—B.-C.D.

52-2

13.（2024?陜西西安?二模）已知cos/-則sin[a-—K(

ioj)

551212

A.-----B.—C.D.

1313~1313

14.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）已知sinj^+a卜g,則cos(,+a）的值為（

33_44

A.--B.—C.D.

55I

15.（2024高三上?陜西西安?階段練習(xí)）若sinA：=：,則sin（6%-A）的值為（）

112后2行

A.—B.—C.D.

33

16.（2024高三上?陜西西安?階段練習(xí)）若sin（/r+a）=-；,則cosa的值為（）

+3

A.±—B.1C.D.

22122

17.（2024?貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知sin。-sin（(+”=應(yīng),

貝！Jtan0=()

A.一應(yīng)B.-1C.,1D.3

18.（2024高一下?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）已知sini+cosi=（,

且a?0㈤，sinacos。=()

,77-7_49

A.土一B.—C.D.

551725

19.（2024高三下?重慶渝中?階段練習(xí)）已知8是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且滿足sin。-cos。=好，貝"tan*（）

5

A.2B.1C.3D.2-

20.（2024高三上?北京?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角。與角夕均以Qx為始邊，它們的終邊關(guān)于

4

直線y=x對(duì)稱(chēng)，若sin?=M，貝i]cos/=()

4433

A.——B.一C.D.-

5555

TF

（2024?遼寧撫順?模擬預(yù)測(cè)）已知。，方￡（0,l）,則“tanetan力=1"是"a+"的()

A.充要條件B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件D.必要不充分條件

717兀1er22兀兀

22.（2024?陜西榆林,二模）已知cosaH----+cosaH--------,貝！]cos[2tz+可)

12123

A23232424

A.--DC.——D.——

25252525

3

23.（2024高三上?北京海淀?階段練習(xí)）已知a為第二象限的角，且cosa=-5,貝"足（兀-0的值為（）

4433

A.-B.——C.--D.-

555

（2024高一上,山西太原?階段練習(xí)）己知0＜々＜7搟1，且sin|a-；

24.()

2

岳1「V15

A.B.——L.-----D.

4444

3*53

（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知tan1+。g，則sin^+2cos0

25.)

sin(7i+e)

3553

A.-B.一C.——D.

5665

26.（2024高三上?云南昆明?階段練習(xí)）若a+尸=],>/2sina+sinp=y/3,貝!|tantz=(

A插B.C.1D.73

2

27.（2024高三上?四川成都?階段練習(xí)）已知角。的終邊過(guò)點(diǎn)。，3）,則?05（0-兀）+85（5+0）的值是（）

Vio

2M3Mr

A.B.D,巫

51055

28.（2024高三上?安徽?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)角以的頂點(diǎn)與原點(diǎn)0重合，始邊與工軸的

3兀

非負(fù)半軸重合，若角。的終邊過(guò)點(diǎn)尸（4,-3）,則sin|—+2a|+cos(7i-2a)=()

2

141417r17

A.B.—C.——D.——

25252525

29.（2024高三上?安徽?期中）己知尸（sin。,cos。）是角的終邊上一點(diǎn)，貝han〃=（）

A.-73B.C.BD.73

33

30.（2024高三上?安徽?期中）已知角6的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-2,4），

貝Ucos15-eJ-2cos（?+e）=（）

A4石R3y/5D*

55

cos（—+a）=—,貝”cos（2—a）—sin（2+a）=

（2024高一上?江蘇常州?階段練習(xí)）

6363

AoR21+2收1-2A/2

ub.—c.----------D.

33

（2024高三上?重慶永川?期中）已知840,外，tan,+：

32.

13

A.——B.--C.3

25

33.（2024高一下?山東濰坊?階段練習(xí)）下列化簡(jiǎn)正確的是（）

sin（-cr）

A.tan（兀+l）=-tanlB.-7-----------r=

tan（360-aj

sin（兀一a）cos（兀-6Z）tan（一兀一a）［

C.——）------々=tano

cos（兀+a）sin（2兀-a）

二、多選題

=:,則（

34.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)。為第一象限角,cos）

35.（江蘇省宜興中學(xué)、泰興中學(xué)、泰州中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷）質(zhì)點(diǎn)

尸和。在以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，半徑為1的圓。上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā).P的角速度大小為

JT

2rad/s,起點(diǎn)為圓。與了軸正半軸的交點(diǎn)，。的角速度大小為5rad/s,起點(diǎn)為角的終邊與圓。的交點(diǎn),

則當(dāng)。與尸重合時(shí)，。的坐標(biāo)可以為（）

2TI.2K71.71

A.cos——,sin——B.cos—,-sin—

9999

5兀,5兀71.71

C.-cos——,-sin——D.-cos—,sin—

9999

36.（2024高一下?河南焦作?階段練習(xí)）已知角A5,C是銳角三角形A3。的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立

的有（）

A+BC

A.sin（B+C）=sinAB.sin=cos—

22

C.cos（A+B）<cosCD.sinA<cosB

37.（2024高一下?河北滄州?階段練習(xí)）在△A8C中，下列關(guān)系式恒成立的有（）

A+B,C

A.sin（A+B）=sinCB.cos=sin—

22

C.sin（2A+2B）+sin2C=0D.cos（2A+2B）+cos2C=0

38.（2024高一上?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的有（）

7171[5TI，2%）

A.sin—Fa=cos~~aB.cosI—+6NJ+sin1——6J=0

63

C.sin2（15-<7）+cos3（75+a）=lD.sin2（15—a）+sin2（75+a）=l

39.（2024高一上?黑龍江齊齊哈爾?期末）已知下列等式的左右兩邊都有意義，則下列等式恒成立的是（）

cosx1一sinx-l+sin2xl+2tan2x

A.------；—=----------B.------------=---------------

1+sinxcosxsinxcos%tanx

C.sin（53-x）=cos（37+x）D.sin（60-x）=cos（480+%）

三、填空題

40.（2024?全國(guó)）若=g,貝ljsin6-cos9=.

7Tcin（y

41.（2024高一上?福建莆田?階段練習(xí)）已知tana=-20，那么-------=_____.

2cosa+1

42.（2024高三?全國(guó)?對(duì)口高考）若smx-cos》：？,求sinxcosx的值為.

sin%+cos%

43.（2024高三上?江西南昌?階段練習(xí)）若tan*，則,嗎-嗎=.

44.（2024?上海浦東新?模擬預(yù)測(cè)）已知sina、cosa是關(guān)于x的方程3元2-2x+a=0的兩根，則"=.

45.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）己知sintz-cosa=（,則sit?c-cos^a=.

9m—3m4-1

46.（2024高三上?安徽合肥?階段練習(xí)）已知sina=-cosa=——且。為第二象限角，貝U

m+2m+2

sin(。+2024兀)+cos(a+2023兀)

20217iA

cosa+

47.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若〃x）=1-cosL-y+石+cos尤,則的最大值為

“X）的最小值為.

48.（2024,四川綿陽(yáng)?三模）已知。?（萬(wàn),兀],sin（7r+=~~~,貝!1316=.

49.（2024?山西陽(yáng)泉三模）已知sin[￡+a）=g,且則sin]-“=

50.（2024?浙江溫州?二模）已知tanx=J§\貝！!Bsin?%-2sinxcosx=.

51.（2024?黑龍江哈爾濱?二模）已知tan6=2,則一夕的值是________-

si.n2J,+cos2，

7

52.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知sina+cosa=R（0<。<兀），則tana=.

53.（2024高三上,湖南衡陽(yáng)?期中）已知sina-cosa=,則sin2a=.

3

54.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知sin/-]〉；，則cos]-4=.

55.（2024高三上?內(nèi)蒙古包頭?階段練習(xí)）若tan/+3=曰，則tan/-￡|=.

56.（2024高一下?黑龍江佳木斯?開(kāi)學(xué)考試）已知sin（53。-&）=（,>-2700<a<-90°,則

sin(37°+a)=

57.（2024高一上,新疆烏魯木齊,期末）已知角a的終邊與單位圓彳2+9=1交于點(diǎn)則

3兀

58.（2024高一?全國(guó)?課后作業(yè)）若角。的終邊落在直線丁二%上，則sincrl+cosl-^-+cr

2

四、解答題

59.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知角。的終邊落在直線丁=2%上.求

4sin二一2cos。

⑴的值;

5sina+3cosa

(2)5sin20+3sinacosa-2的值.

60.（2024高一下?安徽?期中）已知角8的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。，始邊為犬軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓相交

于點(diǎn)P（%y）,若點(diǎn)尸位于x軸上方且x+y=*

(1)求sin6-cos。的值；

(2)求sin,6+cos'0的值.

61.（2024高一上?廣東東莞?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。，中,為單位圓上一點(diǎn)，射線

繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)夕后交單位圓于點(diǎn)B,點(diǎn)、B的橫坐標(biāo)為

⑴求/（。）的表達(dá)式，并求/[]+/2兀

⑵若,。-#W171兀

，求tan<9的值.

3252

62.(2024高一?全國(guó)?課后作業(yè))求證:2(l-sina)(l+cosa)=(l-sin2+coscz)2.

(2024高二?全國(guó)?課后作業(yè))證明：sina(l+tana)+cosafl+—1―11

63.------+-