蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略：探究三角形全等的判定方法（壓軸題六種模型）原卷版+解析

專題02探究三角形全等的判定方法壓軸題六種模型全攻略

.【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】...................................................................................1

【考點(diǎn)一用SAS證明兩三角形全等】.........................................................1

【考點(diǎn)二用ASA證明兩三角形全等】........................................................2

【考點(diǎn)三用A4S證明兩三角形全等】........................................................3

【考點(diǎn)四用SSS證明兩三角形全等】........................................................4

【考點(diǎn)五用乩證明兩直角三角形全等】.....................................................5

【考點(diǎn)六添一個(gè)條件使兩三角形全等】.......................................................6

【過關(guān)檢測(cè)】...................................................................................7

尸

□I事【典型例題】

【考點(diǎn)一用SAS證明兩三角形全等】

例題：（2023春,全國(guó),七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)8,E,C,尸在一條直線上，AB=DE,BF=CE,

ZB=ZE.求證：△ABC/△DEF

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?陜西西安?校考三模）如圖，C,A,。三點(diǎn)在同一直線上，AB//CE,AB=CD,AC=CE.求

證：ABC會(huì)&CDE.

2.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在A3上，DE\BC,且=EB=BC,連接EC并延長(zhǎng),

交D3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R

⑴求證：AC=DB-,

⑵若NA=30。，/BED=40°,求NT的度數(shù).

【考點(diǎn)二用ASA證明兩三角形全等】

例題：（2023春?廣東惠州?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，3C〃EP,點(diǎn)C,點(diǎn)尸在AD上，AF=DC,ZA^ZD

?求證：ZXABC絲XDEF.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)A、D、B、E在同一條直線上，若AD=BE,ZA=ZEDF,ZE=ZABC.

求證：AC=DF.

c

DBt

2.（2023?浙江溫州?溫州市第八中學(xué)?？既＃┤鐖D，在.ABC和.ECD中，ZABC=ZEDC=90。，點(diǎn)B為

CE中點(diǎn)，BC=CD.

EBC

⑴求證：八ECD.

(2)若CD=2,求AC的長(zhǎng).

【考點(diǎn)三用44s證明兩三角形全等】

例題：（2023?廣東汕頭?廣東省汕頭市聿懷初級(jí)中學(xué)?？既＃┤鐖D，點(diǎn)E在-ABC邊AC上，AE=BC,

BC//AD,ZCED=ZBAD.求證：

△ABC義ADEA

A

EC

B

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模）如圖，AB=BD,DE〃AB,ZC=ZE.

（2）當(dāng)NA=8O。，/ABE=120。時(shí)，求NED3的度數(shù).

2.（2023秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)C是線段4B上一點(diǎn)，ZDCE=NA=NB,CD=CE.

⑴求證：AACD”ABEC；

⑵求證：AB=AD+BE.

【考點(diǎn)四用SSS證明兩三角形全等】

例題：（2023?云南玉溪?統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)BE,C,尸在一條直線上，AB=DF,AC=DE,BE=CF,求

證：AABC當(dāng)ADFC.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023,云南?統(tǒng)考中考真題）如圖，C是8。的中點(diǎn)，AB=ED,AC=EC.求證：△ABC絲△EDC.

AE

2.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知NE=NP=90。，點(diǎn)、B,C分別在AF1.,AB^AC,

BD=CD.

⑴求證：△ABZ）經(jīng)△ACD；

⑵求證：DE=DF.

【考點(diǎn)五用也證明兩直角三角形全等】

例題：（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在和中，BA_LC4于A,CD_LBD于。，AC=BD,

AC與30相交于點(diǎn)。.求證：AABCdDCB.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?廣東河源?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A,8,￡在同一直線上，AC=EF,AD=BE,4C=NF=90°.

⑴求證：ABC與EDF；

⑵/ABC=57。，求NAD尸的度數(shù).

2.（2023春?七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知AD相交于點(diǎn)。，AB=CD,于點(diǎn)M,DN1BC于

點(diǎn)N,BN=CM.

⑴求證：AABMdDCN；

⑵試猜想與。。的大小關(guān)系，并說明理由.

【考點(diǎn)六添一個(gè)條件使兩三角形全等】

例題：（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，。在A3上，E在AC上，且NB=NC,補(bǔ)充一個(gè)條件后,

可用"AAS"判斷^ABE^ACD.

AEC

【變式訓(xùn)練】

1.（2023,黑龍江雞西??？既＃┤鐖D，點(diǎn)&ECE在一條直線上，已知BF=CE,AC=DR,請(qǐng)你添加一

個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件使得ZVI5c當(dāng)ADEF.（要求不添加任何線段）

BE

F

n

2.（2023?北京大興?統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)B,E,C,尸在一條直線上，AC//DF,BE=CF,只需添加

一個(gè)條件即可證明AABC=這個(gè)條件可以是（寫出一個(gè)即可）.

3.（2023秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知NA=ZD=90。，要使用"HL"證明八鉆。也,應(yīng)添加條件:

；要使用"AAS”證明△ABCWaOCB,應(yīng)添加條件：.

【過關(guān)檢測(cè)】

一、選擇題

1.（2023?湖南永州?統(tǒng)考三模）判定三角形全等的方法有（）

①SAS；②ASA；③AAS；④HL；⑤SSA

A.①②③④B.①②③⑤C.①②④⑤D.①③④⑤

2.（2023春?廣東佛山?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，BE=CF,AE1.BC,DFYBC,要根據(jù)"HL"證明

RAABE咨Rt/XDCF,則還需添加一個(gè)條件是（）

cD

B.AE=DFC.AB=CDD.ZB=ZD

3.（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考三模）如圖，已知AB=AC,添加一個(gè)條件，不能使△⑷如四△ACE的是（）

A.AE=AFB.NB=NCC.ZAEC=ZAFBD.CE=BF

4.（2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)E在ABC外部，點(diǎn)。在..ABC的8C邊上，DE交AC于F,若

A.AABgAAFEB.AAFE^AADCC./\AFE^/\DFCD.AABC^AADE

5.（2023春?上海寶山?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知N1=N2,AC=AD,從①=@BC=ED,

③ZB=ZE,④NC=N。這四個(gè)條件中再選一個(gè)使/XABC名ZV1ED,符合條件的有（）

C.3個(gè)D4個(gè)

二、填空題

6.（2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，與CD相交于點(diǎn)O,且。是AB,CD的中點(diǎn)，貝UAOC與，BOD

全等的理由是

D

7.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A、D、C、尸在同一直線上，AB//DE,AD=CF,添加一個(gè)

條件，使△ABC絲△。砂，這個(gè)條件可以是.（只需寫一種情況）

8.（2023秋?浙江杭州?八年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，已知/1=/2,要說明，A3C名ABAD,

A

（1）若以"SAS"為依據(jù)，則需添加一個(gè)條件是；

（2）若以"ASA”為依據(jù)，則需添加一個(gè)條件是.

9.（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽的工具（卡

鉗）.在圖中，若測(cè)量得4"=20cm,則工件內(nèi)槽寬AB=cm.

10.（2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在一中，PA=PB,M,N,K分別是R4,PB,A2上的點(diǎn),

且=BN=AK,若NMKN=44。,則/P的度數(shù)為

三、解答題

11.（2023?浙江衢州?三模）已知：如圖，與VADE的頂點(diǎn)A重合，BC=DE/C=NE,NB=2D.求

證：Nl=N2.

c

12.（2023春?廣東茂名?七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，AB//CD,AB=CD,CF=BE.求證

(l)AABE^ADCF；

(2)AE//DF.

13.（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在ABC中，AB=AC,點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上.

⑴△AB。與工48全等嗎？說明你的理由;

⑵請(qǐng)說明3E=CE的理由.

14.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知：AB=AC,BD=CD,E為AD上一點(diǎn).

⑴求證：a4BD00ACD；

⑵若EIBED=50。，求EICED的度數(shù).

15.（2023,湖南長(zhǎng)沙??？既＃┤鐖D，點(diǎn)8、F、C、E在直線/上（/、C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A、D

在/異側(cè)，測(cè)得=AB//DE,ZA=ZD.

⑴求證：△ABC四△DEF；

⑵若3E=10m,BF=3m,求FC的長(zhǎng)度.

16.（2023?四川南充?四川省南充高級(jí)中學(xué)?？级＃┤鐖D，四邊形A3CD中，4=90。，連接對(duì)角線AC,

且AC=AD,點(diǎn)E在邊BC上，連接。E,過點(diǎn)A作A/_LDE,垂足為尸，若=

(1)求證：ADF^tACB；

(2)求證：DF=EF+CE.

專題02探究三角形全等的判定方法壓軸題六種模型全攻略

.【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】...................................................................................1

【考點(diǎn)一用SAS證明兩三角形全等】.........................................................1

【考點(diǎn)二用ASA證明兩三角形全等】........................................................2

【考點(diǎn)三用A4S證明兩三角形全等】........................................................3

【考點(diǎn)四用SSS證明兩三角形全等】........................................................4

【考點(diǎn)五用乩證明兩直角三角形全等】.....................................................5

【考點(diǎn)六添一個(gè)條件使兩三角形全等】.......................................................6

【過關(guān)檢測(cè)】...................................................................................7

尸

□I事【典型例題】

【考點(diǎn)一用SAS證明兩三角形全等】

例題：（2023春,全國(guó),七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)8,E,C,尸在一條直線上，AB=DE,BF=CE,

ZB=ZE.求證：△ABC/△DEF

【分析】用邊角邊定理進(jìn)行證明即可.

【詳解】解：^BF=CE

SBF+FC=CE+FC

即：BC=EF

在，ABC和DEF中

AB=DE

ZB=ZE

BC=EF

0ABC會(huì)DEF(SAS).

【點(diǎn)睛】本題考查邊角邊定理證明三角形全等，根據(jù)題意找到相應(yīng)的條件是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?陜西西安,校考三模)如圖，C,A,。三點(diǎn)在同一直線上，AB//CE,AB=CD,AC=CE.求

證：ABCQ」CDE.

【答案】見解析

【分析】由平行線的性質(zhì)得到NBAC=NDCE,由SAS即可證明回CDE(SAS).

【詳解】解：AB//CE,

:"BAC=/DCE,

在ABC和..CDE中，

AB=CD

<NBAC=NDCE,

AC=CE

:.^ABCooCD￡（SAS）.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法.

2.(2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，點(diǎn)E在A3上，DEBC,且=EB=BC,連接EC并延長(zhǎng),

交D3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)足

⑴求證：AC=DB；

⑵若/A=30。，/BED=40。,求一尸的度數(shù).

【答案】⑴見解析

⑵NT=40°

【分析】(1)由8c得到=證明一ABC*DEB即可；

(2)推導(dǎo)班=3C,即—3CE=N3￡C解題即可.

【詳解】(1)證明：^DEBC,

*ABC=/DEB,

在，ABC和一DEB中，

AB=DE

<ZABC=NDEB,

BC=DB

回ABC咨DEB(SAS),

團(tuán)CD=CE；

(2)解：ABCyDEB,

回/D=/A=30。，

國(guó)OElBC,

團(tuán)/F8C=，O=30。，

團(tuán)/CDE=40。

回/ESC=40。，

⑦BE=BC,

國(guó)NBCE=NBEC=7。。,

回一尸=400.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)二用ASA證明兩三角形全等】

例題：(2023春?廣東惠州?八年級(jí)?？计谥?如圖，3C〃EP,點(diǎn)C,點(diǎn)F在AD上，AF=DC,ZA=ZD

■求證：△ABC絲△￡>EF.

E

B

D

【答案】見解析

【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NACK=/DFE，利用等式的性質(zhì)可得AC=。W，然后再利用ASA判

定△ABCm公DEF即可.

【詳解】證明：^\BC//EF,

:.ZACB=ZDFE,

AF=DC,

:.AF+CF=DC+CF,

即AC=DF,

ZA=ZD

在，ABC和」）EF中，'AC=DF,

ZACB=ZDFE

EAABC沿ADEF(ASA).

【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)

相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)A、D、8、E在同一條直線上，若AD=BE,ZA=ZEDF,NE=ZABC.

求證：AC=DF.

A

【答案】見解析

【分析】由=知AB=ED,結(jié)合NA=NEDF,ZE=ZABC,依據(jù)"ASA”可判定4ABe團(tuán)_?！陸簦?/p>

據(jù)兩三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等可得AC=DF.

【詳解】證明：AD=BE,

:.AD+BD=BE+BD,即AB=ED,

在和DEF中,

ZABC=ZE

,AB=ED,

ZA=NEDF

△AB8ADEF(ASA),

.-.AC^DF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?浙江溫州溫州市第八中學(xué)?？既?如圖，在_ABC和一ECD中，ZABC=NEDC=90。，點(diǎn)、B為

CE中點(diǎn)，BC=CD.

⑴求證：AABC"八ECD.

⑵若8=2,求AC的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析

(2)4,見解析

【分析】(1)根據(jù)ASA判定即可；

(2)根據(jù)△ABC絲△￡■□)(ASA)和點(diǎn)B為CE中點(diǎn)即可求出.

【詳解】(1)證明：0ZABC=Z￡DC=90°,BC=CD,ZC=ZC,

0△ABC四△ECD(ASA)

(2)解：0CD=2,△ABC^AE'CD(ASA),

團(tuán)BC=CD=2,AC=CE,

回點(diǎn)B為CE中點(diǎn),

團(tuán)BE=BC=CD=2,

團(tuán)CE=4,

團(tuán)AC=4；

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定條件是解答本題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)三用4AS證明兩三角形全等】

例題：(2023?廣東汕頭?廣東省汕頭市聿懷初級(jí)中學(xué)?？既?如圖，點(diǎn)E在/ABC邊AC上，AE=BC,

BC//AD,NCED=NBAD.求證：

△ABCqZ\DEA

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到ZDAC=ZC,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得出“=ABAC,即可利用"AAS"

證明ABC—DEA.

【詳解】證明：QBC//AD,

.-.ZDAC=ZC,

ZCED=ZBAD,ZCED=ZD+ZDAC,ABAD=ADAC+ABAC,

:.ZD=ZBAC,

在和△DE4中，

ABAC=AD

<ZC=ZDAC,

BC=AE

ABC^ADE4(AAS).

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定

定理是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023,浙江溫州?統(tǒng)考二模)如圖，AB=BD,DE〃AB,NC=NE.

⑴求證：ABC=：BDE.

(2)當(dāng)NA=80。，ZABE=12O。時(shí)，求/的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)40°

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用三角形全等的判定定理即可證明；

(2)根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求解

【詳解】(1)解：回

SZBDE=ZABC,

XEZE=ZC,BD=AB,

SABC=.BDE.

(2)解：0ZA=8O°,一ABCmBDE,

0ZA=ZB￡)￡=8O°,

0ZAB￡'=120°,

0ZABD=4O°,

回

0Z￡DB=40°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)，利用好數(shù)形結(jié)合的思

想是解本題的關(guān)鍵.

2.(2023秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，已知點(diǎn)C是線段A3上一點(diǎn)，ZDCE=Z\=ZB,CD=CE.

⑴求證：AACDZABEC；

⑵求證：AB=AD+BE.

【答案】(1)見解析

⑵見解析

【分析】(1)由4>CE=NA得ND+NACE>=NACD+NBCE,即ND=/5CE,從而即可證得

△ACD%ABEC；

(2)由△ACD絲△3EC可得AD=BC,AC=BE,即可得到4C+BC=AD+BE,從而即可得證.

【詳解】(1)證明：：“CE=，A,

:.ZD+ZACD=ZACD+NBCE,

:.ZD=ZBCE,

在二ACD和BEC中，

ZA=NB

<ZD=NBCE,

CD=EC

AACD^ABEC(AAS)；

(2)解：AACE^ABEC,

AD=BC,AC=BE,

:.AC+BC=AD+BE,

:.AB=AD+BE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)四用SSS證明兩三角形全等】

例題：(2023?云南玉溪?統(tǒng)考三模)如圖，點(diǎn)BE,C,尸在一條直線上，AB=DF,AC=DE,BE=CF,求

證：￡\ABC沿ADFC.

D

【答案】見解析

【分析】根據(jù)題意，運(yùn)用"邊邊邊"的方法證明三角形全等.

【詳解】證明：S\BE=CF,

0BE+CE=CF+CE,即=跖，

在_ABC和ADFE中

AB=DF

<AC=DE

BC=FE

0AABC^A￡>FE（SSS）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?云南?統(tǒng)考中考真題）如圖，C是的中點(diǎn)，AB=ED,AC=EC.求證：AABC這4EDC.

【分析】根據(jù)C是瓦）的中點(diǎn)，得到3C=CD,再利用SSS證明兩個(gè)三角形全等.

【詳解】證明：C是3D的中點(diǎn)，

:.BC=CD,

在和△EDC中，

BC=CD

<AB=ED,

AC=EC

ABC空EDC（SSS）

【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)，三角形全等的判定，其中對(duì)三角形判定條件的確定是解決本題的關(guān)鍵.

2.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知NE=NP=90。，點(diǎn)、B,C分別在AP上，AB^AC,

BD=CD.

F

C

D

EBA

⑴求證：△ABD四△AC。；

(2)求證：DE=DF.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】(1)直接根據(jù)SSS證明即可.

(2)根據(jù)(1)得/放7=NE4D,然后證明.AEZ涇AFD即可.

【詳解】(1)解：證明：在△ABD和一ACD中，

AB=AC

<AD=AD

BD=CD

(2)解：由(1)知四△ACD(SSS),

團(tuán)乙%9=NFAD,

在△AED和△ATO中，

'ZE=ZF

<ZEAD=ZFAD

AD=AD

[?]AAEDAAFD(AAS),

國(guó)DE=DF.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記全等三角形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)五用HL證明兩直角三角形全等】

例題：(2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在ABC和△DC5中，BA_LC4于A,CDJ_6D于。，AC=BD.

AC與相交于點(diǎn)O.求證：LABCdDCB.

【答案】見解析

【分析】由HL即可證明RtABC^RLDCB.

【詳解】證明：EIS41G4,CD±BD,

團(tuán)NA=ND=90°,

在RtAAABC和RtAA￡>CB中,

jAC=DB

[BC=CB'

0RtAABC^RtADCB(HL).

【點(diǎn)睛】本題考查了全等二角形的判定，熟練掌握直角二角形全等的判定是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?廣東河源?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A,0,8,E在同一直線上，AC=EF,AD=BE,NC=ZF=90°.

⑴求證：ABC=EDF；

（2）ZABC=57°,求NADb的度數(shù).

【答案】⑴見解析

（2）123°

【分析】（1）先說明=再根據(jù)HL即可證明結(jié)論；

（2）由（1）可知NFDE=NABC=57。，再利用平角的性質(zhì)即可解答.

【詳解】（1）解：SAD=BE,

^AD+BD=BE+BD,

^AB=DE,

在RtzXABC和RtEDF中,

[AC=EF,

[AB^ED,

0ABC三EOF(HL).

(2)解：0ABC=EDF,

^ZFDE=ZABC=5T,

0ZADF=180°-ZFDE=180°-57°=123°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判斷與

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知AD、3c相交于點(diǎn)。，AB=CD,41八8。于點(diǎn)DNLBC于

點(diǎn)N,BN=CM.

⑴求證：△ABMdDCN；

⑵試猜想OA與0。的大小關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴見解析

⑵。4=0。，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)HL可證明經(jīng)△DOV;

(2)根據(jù)AAS證明AAMOHDNO可得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：0BN=CM,

0BN+MN=MN+CM,

即CN=BM,

0AM±BC,DN1BC,

0ZAMB=ZDNC=90°,

在Rt?ABM和RtADOV中，

jABCD

[BM=CN，

0RtZ\ABM^RtADGV(HL)；

(2)解：OA=OD,理由如下：

回△ABM2△DCN,

團(tuán)AM=DN，

ZAOM=ZDNO

在和一。NO中,<ZAMO=ZDNO,

AM=DN

0△AMO絲△QNO（AAS）,

^OA=OD.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)六添一個(gè)條件使兩三角形全等】

例題：（2023,浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，。在A3上，E在AC上，且N3=NC,補(bǔ)充一個(gè)條件后,

可用"AAS"判斷，ABEWACD.

【答案】BE=CD或AE=AD

【分析】由于兩個(gè)三角形已經(jīng)具備NB=NC，44=NA,故要找邊的條件，只要不是這兩對(duì)角的夾邊即可.

【詳解】解：0ZB=ZC,A=NA,

團(tuán)若用"AAS"判斷ABE冬ACD,可補(bǔ)充的條件是3E=C0或AE=AD；

故答案為：3E=CD或=

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?黑龍江雞西??？既＃┤鐖D，點(diǎn)&ECE在一條直線上，已知BF=CE,AC=DR,請(qǐng)你添加一

個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件使得AABC當(dāng)ADEF.（要求不添加任何線段）

BE

F

【答案】ZACB=ZDFE(答案不唯一)

【分析】由3F=CE可得3C=EF,再根據(jù)三角形全等的證明，可知可以添加條件為：兩邊及其夾角

(ZACB=ZDFE)、兩邊及一邊(AB=DE)即可解答.

【詳解】解：B1BF=CE,

團(tuán)BC=EF,

團(tuán)AC=DF,

國(guó)可添加條件為：ZACB=NZ)EE可證明ABCmOEF(SAS)或=可證明ABC三DEF(SSS).

故答案為：ZACB=ZDFE(答案不唯一).

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形全等判定，掌握證明全等三角形的方法有：SSS,SAS,AAS,ASA,特別是

SSA不能判定三角形全等是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?北京大興?統(tǒng)考二模)如圖，點(diǎn)、B,E,C,尸在一條直線上，AC//DF,BE=CF,只需添加

一個(gè)條件即可證明AABC這個(gè)條件可以是(寫出一個(gè)即可).

AD

BECF

【答案】/或NA=ND或NABC=NO￡尸或ABDE(答案不唯一).

【分析】根據(jù)S4S,A4S或ASA添加條件即可求解.

【詳解】解：回ACDF,

⑦ZACB=NDFE,

團(tuán)BE=CF,

?BE+EC=CF+EC,BPBC=EF,

則有邊角AS兩個(gè)條件，要添加一個(gè)條件分三種情況，

(1)根據(jù)"5AS”,則可添加：AC^DF,

(2)根據(jù)“A&4”,則可添加：ZABC=NDEF或ABDE,

(3)根據(jù)"A4S",則可添加：ZA=ZD,

故答案為：AC=DF^ZABC=ZDEFABDE或(答案不唯一).

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，解此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的幾種判斷方法.

3.(2023秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，已知NA=N￡>=90。，要使用"HL"證明人鉆。絲△DCS,應(yīng)添加條件：

:要使用“AAS”證明絲ADCB,應(yīng)添加條件：.

【答案】AB=DC(^AC=DB)ZACB=ZDBC(或ZABC=/Z)CB)

【分析】根據(jù)：斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，使AABC四△DCB,己知NA=NO=90。,

BC=BC,添加的條件是直角邊相等即可；要使用"AAS”,需要添加角相等即可.

【詳解】解：已知NA=ND=90。，BC=BC,

要使用"HL",添加的條件是直角邊相等，

故答案為：AB=DC(或AC=DB)；

要使用“AAS”,需要添加角相等，添加的條件為：

ZACB=ZDBC(或ZABC=N￡>C3).

故答案為：ZACB=ZDBC(或ZABC=NDCB).

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定.本題的關(guān)鍵是，全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，

取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必

須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)

應(yīng)鄰邊.

【過關(guān)檢測(cè)】

一、選擇題

1.(2023?湖南永州?統(tǒng)考三模)判定三角形全等的方法有()

①SAS；②ASA；③AAS；④HL；⑤SSA

A.①②③④B.①②③⑤C.①②④⑤D.①③④⑤

【答案】A

【分析】根據(jù)判定三角形全等的方法分析即可求解.

【詳解】解：判定三角形全等的方法有①SAS；②ASA；③AAS；④HL,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了判定三角形全等的方法，熟練掌握判定三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?廣東佛山?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，BE=CF,AE±BC,DF±BC,要根據(jù)"HL"證明

RtAABE^RtADCF,則還需添加一個(gè)條件是（）

B.AE=DFC.AB=CDD.ZB=ZD

【答案】C

【分析】根據(jù)利用"HL"證明RtZXABE0RtADCF,則需要有一直角邊對(duì)應(yīng)相等，斜邊對(duì)應(yīng)相等，結(jié)合已知

條件進(jìn)行分析即可

【詳解】解：添加條件A3CD,根據(jù)現(xiàn)有條件只有一條邊對(duì)應(yīng)相等，不能用"HL"證明,

故A不符合題意；

添加條件=尸，根據(jù)現(xiàn)有條件只有兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，不能用"HL"證明Rt"BEgRt^DCF,故B不符

合題意；

添加條件AB=CD,

理由是：DF±BC,

SZCFD=ZAEB=90°,

在RtAABE和Ri_DCF中,

AB=CD

BE=CF

0RtAABE^RtADCF(HL),故C符合題意;

添加條件/B=ND,根據(jù)現(xiàn)有條件只有一條邊對(duì)應(yīng)相等，不能用"HL"證明故A不符

合題意；

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，注意用"HL"證明兩直角三角形全等時(shí)，一定要有一直角邊對(duì)

應(yīng)相等，斜邊對(duì)應(yīng)相等.

3.（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考三模）如圖，已知AB=AC,添加一個(gè)條件，不能使AAB/絲△ACE的是（）

B.ZB=ZCC.ZAEC=ZAFBD.CE=BF

【答案】D

【分析】根據(jù)圖形可知證明AWC會(huì)八4￡?己經(jīng)具備了一個(gè)公共角和一對(duì)相等邊，因此可以利用ASA、SAS、

AAS證明兩三角形全等.

【詳解】解：ZA=ZA,AB=AC,

團(tuán)可以添加AE=AF,此時(shí)滿足SAS；

添加條件N3=NC,此時(shí)滿足ASA；

添加條件NAEC=NAF3,此時(shí)滿足AAS,

添加條件CE=時(shí)不能使AABF當(dāng)AACE；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，是一道開放題，解題的關(guān)鍵是牢記全等三角形的判定方法.

4.（2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)E在.ABC外部，點(diǎn)。在，ABC的3C邊上，DE交AC于R若

4=N2=N3,AE^AC,貝！I（）.

A.AABD^^AFEB.Z\AFE^Z\ADCC.△AFE^XDFCD.AABC^AADE

【答案】D

【分析】首先根據(jù)題意得到=NE=NC,然后根據(jù)ASA證明△ABC2△ADE.

【詳解】解：0Z1=Z2,

0Z1+ZZMC=Z2+ZZMC,

^\ZBAC=ZDAE,

回/2=N3,ZAFE=NDFC,

0ZE=ZC,

團(tuán)在和VADE中，

ABAC=ZDAE

<AC=AE,

NC=NE

0AABC^AADE(ASA),

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理.

5.（2023春?上海寶山?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知N1=N2,AC^AD,從①=②BC=ED,

③NB=NE,④/C=/D這四個(gè)條件中再選一個(gè)使△ABC名△AED,符合條件的有（）

A.1個(gè)8.2個(gè)C.3個(gè)D4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件知道一邊AC=M>,一角NC4B=/ZME,添加得條件后，只要不是邊邊角，即可

證明ABgAED.

【詳解】解：0Z1=Z2,

0Z1+ZE4B=Z2+ZE4B,

即ZCAB=ZDAE,

①回AC=AD,AB^AE,

0ABC^,AED(SAS),故①正確；

添加③NB=NE,貝IABC^.AED(AAS)

添加?ZC=ZD,則△ABC之△AED（ASA）

添加條件②3C=ED,不能證明AABC^AAED,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

、填空題

6.（2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AB與8相交于點(diǎn)。，且。是AB,C。的中點(diǎn)，則」AOC與，38

全等的理由是.

【答案】&1S/邊角邊

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理求解即可.

【詳解】解：回。是AB,CD的中點(diǎn)，

團(tuán)OA—OB,OC=OD,

在，49。和.005中,

OA=OB

<ZA0C=/BOD

OC=OD

0AOC絲OOB(SAS),

故答案為：SAS.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A、D、C、尸在同一直線上，AB//DE,AD=CF,添加一個(gè)

條件，使AABC沿ADEF,這個(gè)條件可以是.（只需寫一種情況）

BE

ADCT

【答案】BC〃EF或ZB=ZE或NBCA=NEFD或AB=DE(答案不唯一)

【分析】先證明/4=NEDF及AC=Db,然后利用全等三角形的判定定理分析即可得解.

【詳解】解回BC〃跖或NB=NE或=或=理由是團(tuán)

^AB//DE,

^ZA=ZEDF,

團(tuán)AD-CF,

團(tuán)AZ)+CD=CF+CD即AC=DF,

當(dāng)3C〃￡F時(shí)，有NBCA=NEFD,貝UABC^DEF(ASA1),

當(dāng)ZBCA=ZEFD時(shí),貝UABCqDEF(ASA),

當(dāng)NB=NE時(shí)，則ABC—DEF(AAS),

當(dāng)旗=DE時(shí)，貝kABCgDEF(SAS),

故答案為回3C〃EP或々=NE■或N3C4=NEFD或鉆=DE.

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)全等三角形的判定定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,

SSS是解題的關(guān)鍵.

8.(2023秋?浙江杭州?八年級(jí)?？奸_學(xué)考試)如圖，已知N1=N2,要說明,ABC絲，BAD,

(1)若以"SAS”為依據(jù)，則需添加一個(gè)條件是；

(2)若以"ASA”為依據(jù)，則需添加一個(gè)條件是.

【答案】BC=ADZBAC=ZABD

【分析】(1)根據(jù)SAS可添加一組角相等，故可判定全等；

(2)根據(jù)ASA可添加一組角相等，故可判定全等；

【詳解】解：(1)已知一組角相等和一個(gè)公共邊，以"SAS”為依據(jù)，則需添加一組角，即BC=AO故答案為:

BC=AD；

(2)已知一組角相等，和一個(gè)公共邊，以"ASA”為依據(jù)，則需添加一組角，即=

故答案為：ZBAC=ZABD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加時(shí)注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等.

9.（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽的工具（卡

鉗）.在圖中，若測(cè)量得A宣=20cm,則工件內(nèi)槽寬cm.

【分析】根據(jù)三角形全等的判定可知八46?四"'/'（SAS）,從而得到AB=AB'=20cm.

【詳解】解：由題意可知，△AOBZ"'O3'（SAS）,

AB=A!B'=20cm,

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的應(yīng)用，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

10.（2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在」PAB中，PA=PB,M,N,K分別是P4,PB,A3上的點(diǎn),

且=BN=AK,若NMKN=44°,則/尸的度數(shù)為.

【答案】92。/92度

【分析】由條件可證明，AMK^,BKN,再結(jié)合外角的性質(zhì)可求得/A=/MKN,再利用三角形內(nèi)角和可求

得NP.

【詳解】解：PA=PB,

:.ZA^ZB,

在△AA/K和ABKN中，

AM=BK

AK=BN

AAMK%4BKN(SAS),

:.ZAMK=ZBKN,

；NA+NAMK=NMKN+NBKN,

.-.ZA=ZMKN=44°,

.-.ZP=180°-ZA-ZB=180°-44°-44°=92°,

故答案為：92°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，利用條件證得AlAZK四△BKN（SAS）

是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

11.（2023?浙江衢州?三模）已知：如圖，.ABC與VADE的頂點(diǎn)A重合，BC=DE，NC=NE,NB=ND.求

證：Z1=Z2.

【答案】見解析

【分析】證明△A5C絲可以得到NC4^=NEW,即可得至!jNl=N2.

ZC=ZE

【詳解】證明：MC^DE,

NB=ND

團(tuán)ADE(ASA),

^\ZCAB=ZEAD,

團(tuán)N1++N2,

團(tuán)N1=N2.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的證明方法.

12.（2023春?廣東茂名?七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，AB//CD,AB=CD,CF=BE.求證

(l)AABE^ADCF；

（2）AE〃DF.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】（1）利用SAS證明三角形全等即可；

（2）利用全等三角形的性質(zhì)證明=尸C,再平行線的判定即可證明AE〃。下.

【詳解】（1）證明：B1AB//CD,

0ZB=ZC；

AB=CD

在與DC歹中，?NB=NC,

BE=CF

0Z\ABE^Z\DCF(SAS)；

(2)證明：由(1)可知，△ABEgADCF,

S\ZAEB=ZDFC,

^AE//DF.

【