蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：正多邊形與圓、弧長(zhǎng)與扇形面積、圓錐的側(cè)面積【考題猜想34題9種題型】（原卷版+解析）

06正多邊形與圓、弧長(zhǎng)與扇形面積、圓錐的側(cè)面積（34題9種題型）

一、正多邊形與圓有關(guān)的計(jì)算（共7小題）

1.（2022秋?江蘇徐州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖M、N分別是。。的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正

五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDEFG…的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM=CN,連接OM、ON

（1）求圖1中NMON的度數(shù)

（2）圖2中/MON的度數(shù)是,圖3中NMON的度數(shù)是

（3）試探究/MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系是一

2.（2022秋?湖南長(zhǎng)沙.九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形ABCDE產(chǎn)的中心為原點(diǎn)。，頂點(diǎn)A,。在無(wú)軸上，

半徑為2cm.求其各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

3.（2022秋.江蘇?九年級(jí)期中）如圖，六邊形A8CDE尸是。。的內(nèi)接正六邊形.

（1）求證：在六邊形ABCDEF中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條對(duì)角線四等分

（2）設(shè)O。的面積為S/,六邊形A8CDEP的面積為求”的值（結(jié)果保留n）.

4.（2022秋.江蘇徐州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,點(diǎn)。、A

都在格點(diǎn)上，以。為圓心，為半徑做圓，只用無(wú)刻度的直尺完成以下畫(huà)圖.

⑴在圖①中國(guó)：。的一■個(gè)內(nèi)接正四邊形ABCZ）,$正四邊形ABCD=；

⑵在圖②中畫(huà)o的一個(gè)內(nèi)接正六邊形ABCDEF,S正六邊彩ABCDEF=.

5.（2022秋?寧夏吳忠?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD是半徑為R的圓。內(nèi)接四邊形，若R=6,求

正方形ABCD的邊長(zhǎng)與邊心距.

Q

6.（2022秋?江西南昌?九年級(jí)南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考期末）圓周率萬(wàn)的故事

我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽通過(guò)“割圓術(shù)”來(lái)估計(jì)圓周率萬(wàn)的值——“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可

割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”，可以理解為當(dāng)正多邊形的邊數(shù)越來(lái)越多時(shí)，該正多邊形與它的外接圓越來(lái)

越“接近”，這樣就可以用正多邊形的周長(zhǎng)替代它的外接圓的周長(zhǎng)，從而估算出圓周率萬(wàn)的值.

（1）對(duì)于邊長(zhǎng)為。的正方形，其外接圓半徑為，根據(jù)故事中的方法，用該正方形的周長(zhǎng)4a替代

C

它的外接圓周長(zhǎng)，利用公式C=2乃r，可以估算萬(wàn)===_________.

2r

（2）類(lèi)比（1）,當(dāng)正多邊形為正六邊形時(shí)，估計(jì)萬(wàn)的值.

7.（2023春?浙江臺(tái)州?九年級(jí)?？计谥校├罾蠋煄ьI(lǐng)班級(jí)同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過(guò)此次探索讓同學(xué)們更深刻

的了解打的意義.

⑴［定義］我們將正"邊形的周長(zhǎng)L與正多邊形對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)C的比值，稱(chēng)作這個(gè)正“邊形的"正圓

度”h.如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,求得其內(nèi)切圓的半徑為巫，因此自=;

6

（2）［探索］分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”勺、k6；

（3）［總結(jié)］隨著"的增大，心具有怎樣的規(guī)律，試通過(guò)計(jì)算，結(jié)合圓周率的誕生，簡(jiǎn)要概括.

二、計(jì)算扇形的弧長(zhǎng)（共3小題）

8.（2023秋?江蘇南通?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，CE是。的直徑，半徑Q4L弦BC,垂足為點(diǎn)。，連

AB,AC,AE.

9.（2022秋?江蘇宿遷?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，,ABC內(nèi)接于。。，AD〃5c交。。于點(diǎn)。，DFAB交BC

于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)P,連接A尸,CT.

⑴求證：AC=AF；

(2)若。。的半徑為3,ZC4F=30°,求AC的長(zhǎng)(結(jié)果保留無(wú)).

10.(2022秋?江蘇蘇州?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)4(0,4),8(4,4),C(6,2),

(1)該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為.

⑵求弧ABC的長(zhǎng).

三、求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度(共3小題)

11.(2023秋?江蘇淮安?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，A03的三個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，網(wǎng)格中的每個(gè)小正

方形的邊長(zhǎng)均為一個(gè)長(zhǎng)度單位，以點(diǎn)。建立平面直角坐標(biāo)系，若,AO3繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，得到瓦

(A和A是對(duì)應(yīng)點(diǎn))

(1)畫(huà)出△AQ4；

(2)點(diǎn)A坐標(biāo)為,點(diǎn)與坐標(biāo)為；

(3)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為.

12.(2023秋?江蘇南通?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，45,1),5(1,4),將線段繞原點(diǎn)

。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到4月.

⑴求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

⑵求點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

13.（2022秋.江蘇.九年級(jí)期末）如圖，A8為。。的直徑，且40=4,點(diǎn)C在半圓上，0C_LA2,垂足為點(diǎn)。,

P為半圓上任意一點(diǎn)過(guò)尸點(diǎn)作PELOC于點(diǎn)E,設(shè)的內(nèi)心為M,連接OM

（1）求NOMP的度數(shù)；

（2）隨著點(diǎn)尸在半圓上位置的改變，NCM。的大小是否改變，說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)尸在半圓上從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，直接寫(xiě)出內(nèi)心M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

四、求扇形面積（共4小題）

14.（2023秋?江蘇南京?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1,是?O的弦，AB=2,ZAOB=60°,尸是優(yōu)弧48上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A和點(diǎn)2重合），組成了一個(gè)新圖形（記為“圖形尸一A3”），設(shè)點(diǎn)尸到直線AB

的距離為x,圖形尸一A8的面積為工

⑴求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

⑵記扇形Q43的面積為S扇形.AB，當(dāng)＞=S扇形0AB時(shí).

①在圖2中，作出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)P；（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

②在第①題所作圖中，連接PARS,再畫(huà)一條線，將圖形尸一A8分成面積相等的兩部分.（畫(huà)圖工具不限,

寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明.）

15.（2022秋?江蘇鹽城?九年級(jí)統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給

出計(jì)算弧田面積的公式為：弧田面積=；（弦X矢+矢2）.如圖，弧田由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”

指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.按照上述公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之

間存在誤差.現(xiàn)有圓心角/A03為120。，弦長(zhǎng)A8=2鬲的弧田.

（1）計(jì)算弧田的實(shí)際面積.

(2)按照《九章算術(shù)》中弧田面積的公式計(jì)算所得結(jié)果與(1)中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差多少平方米？(取

萬(wàn)近似值為3,百近似值為1.7)

16.(2022秋?江蘇南京?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，弓形是由AB和弦所圍成的圖形，弓形的高是

的中點(diǎn)到A3的距離，點(diǎn)。是A8所在圓的圓心，AB=24cm,弓形48的高為6cm.

o

(1)求.。的半徑；

⑵經(jīng)測(cè)量NA03的度數(shù)約為106。，則弓形AB的面積為cm2.

17.(2022秋?江蘇鹽城?九年級(jí)統(tǒng)考期中)已知：如圖,AB為O的直徑，點(diǎn)C、。在i。上，且8c=8,AC=6,

ZABD^45°.

B-----

⑴求80的長(zhǎng)；

(2)求圖中陰影部分的面積.

五、求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過(guò)的面積(共3小題)

18.(2022春?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)校聯(lián)考期中)如圖所示，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，

△ABC的頂點(diǎn)A,B,C在小正方形的頂點(diǎn)上.將△ABC向下平移2個(gè)單位得到然后將△4B/G

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△A2&G.

(1)在網(wǎng)格中畫(huà)出G和△A2&G；

⑵計(jì)算線段4G在變換到A2G的過(guò)程中掃過(guò)區(qū)域的面積.

19.(2022秋.江蘇淮安.九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點(diǎn)均在格

點(diǎn)上，其中點(diǎn)A(5,4),B(1,3),將△AOB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到△404.

(1)畫(huà)出△408/；

（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為；

（3）求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段A3、8。掃過(guò)的圖形的面積之和.

20.（2022秋.江蘇宿遷?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在10x10的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1個(gè)

（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出ABC的外接圓的圓心P的位置，并填寫(xiě)：

①圓心P的坐標(biāo)：尸（,）；

②：P的半徑為.

⑵將AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到VADE,畫(huà)出圖形，并求線段8c掃過(guò)的圖形的面積.

六、求不規(guī)則圖形面積（共5小題）

21.（2022秋?江蘇宿遷?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB^AC,以AB為直徑的。。分別與BC,AC

交于點(diǎn)。，E,過(guò)點(diǎn)。作。。的切線。尸，交AC于點(diǎn)E

（1）求證：DFLAC-,

（2）若。。的半徑為4,ZCDF=22.5°,求陰影部分的面積.

22.（2022秋?江蘇鹽城?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在AABC中，ZC=90°,/BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,

點(diǎn)。在AB上，以點(diǎn)。為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,分別交AC,AB于點(diǎn)E,F.

(1)試判斷直線BC與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若BD=26,BF=2,求陰影部分的面積(結(jié)果保留無(wú)).

23.(2022秋?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，直線/經(jīng)過(guò)。O上一點(diǎn)C,點(diǎn)A、8在直線/上，且。A=

OB,CA=CB.

(1)直線/與。。相切嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)若OC=AC,。/的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.

24.(2022秋?江蘇?九年級(jí)期中)如圖，PA,P8分別與。。相切于A,B兩點(diǎn),ZACB=6Q°.

(1)求NP的度數(shù)；

(2)若。。的半徑長(zhǎng)為4cm,求圖中陰影部分的面積.

25.(2022秋?江蘇泰州?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖1,已知扇形紙片AOB,ZAOB^60°,半徑。4=3.

(1)求扇形的面積S及圖中陰影部分的面積S網(wǎng)；

⑵如圖2,在扇形AOB的內(nèi)部，Q。1與。4，都相切,且與AB只有一個(gè)交點(diǎn)C,此時(shí)我們稱(chēng)Ox為扇形AOB

的內(nèi)切圓，試求，。1的面積'；

（3）如圖3,在扇形紙片A03中，剪出一個(gè)扇形DOE,若用剪得的扇形紙片DOE圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，能

否從剪下的余料中，再剪出一個(gè)圓作為這個(gè)圓錐的底面，并使得這個(gè)圓錐的表面積最大，若能，請(qǐng)求出這

個(gè)圓錐的表面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

七、求圓錐的側(cè)面積（共3小題）

26.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)校聯(lián)考期中）實(shí)踐操作

如圖，AABC是直角三角形，ZACB=90°,利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中表明相應(yīng)的字母.（保

留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

B

（1）①作的平分線，交2C于點(diǎn)0；②以。為圓心，0c為半徑作圓.

綜合運(yùn)用

在你所作的圖中，

（2）A3與。。的位置關(guān)系是；（直接寫(xiě)出答案）

（3）若AC=5,BC=U,求。。的半徑.

（4）在（3）的條件下，求以2C為軸把AABC旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的側(cè)面積.

27.（2022秋?江蘇蘇州?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2）,制作

這種外包裝需要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中AB=AC,將扇形E4F圍成圓錐時(shí)，AE、

"恰好重合，已知這種加工材料的頂角ZBAC=90.

⑴求圖2中圓錐底面圓直徑即與母線長(zhǎng)的比值；

（2）若圓錐底面圓的直徑瓦＞為5cm,求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積.（結(jié)果保留兀）

28.（2021秋?江蘇蘇州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）某種規(guī)格小紙杯的側(cè)面是由一半徑為18c加、圓心角是60的扇形

3s剪去一半徑12cm的同心圓扇形OCD所圍成的（不計(jì)接縫）（如圖1）.

A，BB

（1）求紙杯的底面半徑和側(cè)面積（結(jié)果保留萬(wàn)）；

（2）要制作這樣的紙杯側(cè)面，如果按照?qǐng)D2所示的方式剪裁（不允許有拼接），至少要用多大的矩形紙片？

（3）如圖3,若在一張半徑為的圓形紙片上剪裁這樣的紙杯側(cè)面（不允許有拼接），最多能裁出多少

個(gè)？

八、求圓錐的底面半徑（共3小題）

29.（2023秋?江蘇宿遷?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)

A、B、C,請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中進(jìn)行下列操作：

（1）利用網(wǎng)格確定該圓弧所在圓的圓心。點(diǎn)的位置，則D點(diǎn)坐標(biāo)為二

（2）連接A。、CD,則。。的半徑為一（結(jié)果保留根號(hào)），/AOC的度數(shù)為二

（3）若扇形ZMC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，求該圓錐底面半徑.（結(jié)果保留根號(hào)）.

30.（2022秋?江蘇鎮(zhèn)江?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在一張四邊形A3CO的紙片中，ABDC,

AD=AB=BC=2y/2,/。=45。，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓分別與AS、仞交于點(diǎn)區(qū)

⑴求證：DC與A相切；

（2）過(guò)點(diǎn)B作CA的切線；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（3）若用剪下的扇形AEF圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，能否從剪下的兩塊余料中選取一塊，剪出一個(gè)圓作為這個(gè)圓

錐的底面？

31.（2022秋?江蘇蘇州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）在半徑為名的圓形紙片中，剪出一個(gè)圓心角為60。的扇形（圖中

的陰影部分）.

（1）求這個(gè)扇形的半徑；

（2）若用剪得的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求所圍成圓錐的底面圓半徑.

九、圓錐側(cè)面積的最短路徑問(wèn)題（共3小題）

32.（2018秋?甘肅定西?九年級(jí)校聯(lián)考期末）圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為6,一只螞蟻要從底面圓周上一點(diǎn)

B出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一圈再回到點(diǎn)B,問(wèn)它爬行的最短路線是多少？

33.（2021秋?云南玉溪?九年級(jí)?？计谀┤鐖D1,圓錐底面圓半徑為1,母線長(zhǎng)為4,圖2為其側(cè)面展開(kāi)圖.

（1）求陰影部分面積（?？勺鳛樽詈蠼Y(jié)果）；

（2）母線SC是一條蜜糖線，一只螞蟻從A沿著圓錐表面最少需要爬多遠(yuǎn)才能吃到蜜糖？

34.（2011秋?廣東汕頭?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，已知圓錐底面半徑r=10cm,母線長(zhǎng)為40cm.

（1）求它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角和表面積.

（2）若一甲出從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓錐側(cè)面行到母線SA的中點(diǎn)8,請(qǐng)你動(dòng)腦筋想一想它所走的最短路線是多

少？為什么？

S

B

06正多邊形與圓、弧長(zhǎng)與扇形面積、圓錐的側(cè)面積（34題9種題型）

一、正多邊形與圓有關(guān)的計(jì)算（共7小題）

1.（2022秋?江蘇徐州.九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖M、N分別是。。的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正

五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDEFG…的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM=CN,連接OM、ON

（1）求圖1中NMON的度數(shù)

（2）圖2中/MON的度數(shù)是,圖3中NMON的度數(shù)是.

（3）試探究/MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系是—

360°

【答案】（1）120°；（2）90°,72°；（3）AMON=——.

n

【分析】（1）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)圓內(nèi)接正三角形的性質(zhì)可得？BOC黃=120?,再根據(jù)圓內(nèi)接正三角

形的性質(zhì)可得NOBM=/OCV=30。，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得=最后

根據(jù)角的和差、等量代換即可得；

360°

（2）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)可得/8OC=一1=90。，再根據(jù)（1）同樣的方法可得

4

360°

NMON=NBOC=90°；先根據(jù)圓內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)可得中心角NBOC=有一=72。，再根據(jù)（1）同樣的

方法可得AMON=ZBOC=72°；

（3）根據(jù)（1）、（2）歸納類(lèi)推出一般規(guī)律即可得.

【詳解】（1）如圖，連接OB、OC,則=

加（^是（。內(nèi)接正三角形，

.?.中心角？BOC々一=120?,

:點(diǎn)。是。內(nèi)接正三角形ABC的內(nèi)心，

/.ZOBM=-ZABC=30°,ZOCN=-ZACB=30°,

22

ZOBM^ZOCN,

BM=CN

在△OMB和，ONC中，■ZOBM=ZOCN,

OB=OC

:.」OMB=_ONC(SAS),

ZBOM=/CON,

ZMON=NBON+ZBOM=ZBON+ACON=NBOC=120°,

故答案為：120。；

（2）如圖1,連接OB、OC,

四邊形ABCD是。。內(nèi)接正方形，

360°

中心角ZBOC=——=90°,

4

同（1）的方法可證：ZMON=ZBOC=90°；

如圖2,連接OB、OC,

五邊形ABCDE是一O內(nèi)接正五邊形，

360°

中心角ZBOC==72°,

同（1）的方法可證：ZMON=ZBOC^12°,

故答案為：90°,72°；

360°

（3）由上可知，NMON的度數(shù)與正三角形邊數(shù)的關(guān)系是NMON

360°

4MON的度數(shù)與正方形邊數(shù)的關(guān)系是ZMON=——,

4

360°

ZMON的度數(shù)與正五邊形邊數(shù)的關(guān)系是ZMON=-y-,

360°

歸納類(lèi)推得：ZMON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系是ZMON=—,

n

360°

故答案為：NMON=——.

n

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的中心角、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握正多邊形中心

角的求法是解題關(guān)鍵.

2.(2022秋?湖南長(zhǎng)沙?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，正六邊形ABCD瓦的中心為原點(diǎn)O,頂點(diǎn)A,。在無(wú)軸上，

半徑為2cm.求其各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】A(一2,0),B(-1,一石)，C(1)一出),D(2,0),E(1,6),F(-1,6)

【分析】過(guò)點(diǎn)￡作EGLx軸，垂足為G,連接。E,得出AOEO是正三角形，再利用RtAOEG中，OG=^OE,

EG=doE。-OG°,得出結(jié)論.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EGLx軸，垂足為G,連接OE,

360°

VOE=OD,NEOD=——=60°,

6

???△0即是正三角形，ZEOG=60°,NOEG=3。。,

VOE=2cm,NOGE=90。，

，OG=gO￡=lcm,EG=yloE2-OG2=V22-I2=cm,

點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,下,),

又由題意知點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,0),

由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知A(—2,0),B(—1,—73),C(1,一6),F(―1,73).

故這個(gè)正六邊形ABCDEP各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(—2,0),B(-1,一粗),C(1,一上),D(2,0),

E(1,上)，F(xiàn)(-1,6).

【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的對(duì)稱(chēng)性，直角三角形30。的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些性質(zhì).

3.(2022秋.江蘇?九年級(jí)期中)如圖，六邊形ABC。斯是。。的內(nèi)接正六邊形.

⑴求證：在六邊形A3C。跖中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條對(duì)角線四等分NBA尺

S.

⑵設(shè)。。的面積為S/,六邊形A8CZJEF的面積為求U的值(結(jié)果保留n).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

C、2石萬(wàn)

【分析】(1)如圖，連接AE,AD,AC,根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到EF=ED=CD=BC,求得EF=ED=CD=BC，

于是得到/耐E=ZEAD=ZDAC=ZCAB,即可得到結(jié)論；

(2)如圖，過(guò)。作。GLOE于G,連接OE,設(shè)O。的半徑為r,推出△0￡>E是等邊三角形，得到DE=

OD=r,NOED=60。，根據(jù)勾股定理得至l|OG=JoE?—EG?=也r,根據(jù)三角形和圓的面積公式即可得到

2

結(jié)論.

【詳解】(1)證明：如圖，連接AE,AD,AC,

???六邊形A8COE/是。。的內(nèi)接正六邊形，

；?EF=ED=CD=BC,

EF=ED=CD=BC，

：.ZFAE=ZEAD=ZDAC=ZCAB,

???過(guò)頂點(diǎn)A的三條對(duì)角線四等分NA4R

(2)解：如圖，過(guò)。作OGLOE于G,連接OE,

設(shè)。。的半徑為r,

C

9：ZDOE=^~=60°,OD=OE=r,

6

???△ODE是等邊三角形,

：.DE=OD=r,NOE0=6O°,

：.ZEOG=30°,

：?EG=-r,

2

/.OG=y/OE2-EG2=—r,

2

/.正六邊形ABCDEF的面積=6xLrx迫廠=述/

222

QO的面積=113,

1

S]_Tir_2yB兀

才否二丁

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?江蘇徐州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,點(diǎn)。、A

都在格點(diǎn)上，以。為圓心，為半徑做圓，只用無(wú)刻度的直尺完成以下畫(huà)圖.

⑴在圖①中畫(huà)：。的一個(gè)內(nèi)接正四邊形ABCD,S正四邊形.°=；

⑵在圖②中畫(huà)：。的一個(gè)內(nèi)接正六邊形ABCDEF,S正六邊形ABCDEF=.

【答案】（1）圖見(jiàn)解析，32

（2）圖見(jiàn)解析，24g

【分析】（1）只需要作直徑AC、BC,并使得AC13D即可；

（2）如圖所示，取格點(diǎn)8,C,D,E,F,然后順次連接A、B、C、D、E、廠得到正六邊形，再求出求面

積.

【詳解】（1）解：如圖所示，正四邊形ABCD即為所求；

S正四邊形旗8=；408￡>=；、8*8=32，

故答案為32；

B

①

（2）解：如圖所示，正六邊形ABCDE尸即為所求;

過(guò)點(diǎn)。作于",

:正六邊形ABCD5F,

360°

，ZBOC=——=60°,

6

又,；OB=OC,

：.△O3C是等邊三角形,

OB=2BH=4,

22

OH=yJOB-BH=2A/3,

,?9正六邊形ABCOEF=6s&OBC=6x—x4x273=24』.

故答案為：24G.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟知正多邊形和圓的相關(guān)知識(shí)是解題

的關(guān)鍵.

5.（2022秋?寧夏吳忠?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD是半徑為R的圓。內(nèi)接四邊形，若R=6,求

正方形ABCD的邊長(zhǎng)與邊心距.

【答案】正方形ABC。的邊長(zhǎng)為60,邊心距為3拒.

【分析】過(guò)點(diǎn)。作垂足為E,利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出ZBOC=90。，ZOBC=45°,然后在

RtO3E中，根據(jù)勾股定理求出BE、OE即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作OEL3C,垂足為E,

?.?正方形ABC。是半徑為R的。。內(nèi)接四邊形，R=6,

360°

:.ZBOC=^-=90°,ZOBC=45°,OB=OC=6,

4

BE—OE.

在RtOBE中,/BEO=90。,

由勾股定理可得

OE2+BE2=OB-,

.-.OE1+BE1=36,

:.OE=BE=3值,

:.BC=2BE=642,

即半徑為6的圓內(nèi)接正方形ABCD的邊長(zhǎng)為60,邊心距為3行.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及勾股定理，正多邊形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，

正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角，正”邊形每個(gè)中心角都等于3型60°-.

n

6.（2022秋?江西南昌?九年級(jí)南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考期末）圓周率萬(wàn)的故事

我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽通過(guò)“割圓術(shù)”來(lái)估計(jì)圓周率訂的值一“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可

割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”，可以理解為當(dāng)正多邊形的邊數(shù)越來(lái)越多時(shí)，該正多邊形與它的外接圓越來(lái)

越“接近”，這樣就可以用正多邊形的周長(zhǎng)替代它的外接圓的周長(zhǎng)，從而估算出圓周率"的值.

（1）對(duì)于邊長(zhǎng)為。的正方形，其外接圓半徑為，根據(jù)故事中的方法，用該正方形的周長(zhǎng)4a替代

它的外接圓周長(zhǎng)，利用公式C=2療，可以估算萬(wàn)C===_________.

2r

（2）類(lèi)比（1）,當(dāng)正多邊形為正六邊形時(shí)，估計(jì)"的值.

【答案】（1）—a,20;（2）3

2

【分析】（1）由正方形的邊長(zhǎng)AB=a,用勾股定理得求AC="7,由直徑等于正方形對(duì)角線長(zhǎng)可得r=冬，

由正方形的周長(zhǎng)4“等于它的外接圓周長(zhǎng)4。=2打，可求得萬(wàn)號(hào)=美=2夜即可；

（2）設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)AB=m,可知正六邊形的周長(zhǎng)為6如其外接圓半徑為根.由C=6帆=2］尸，可得

"=￡=3即可.

2r

【詳解】（1）正方形的邊長(zhǎng)AB=a,

在RtZkABC中，由勾股定理得,

AC2=AB2+BC2=2a2,

***AC=yflci，

???正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為缶，

2r=y/2a,

y/2a

r=---，

2

???用該正方形的周長(zhǎng)4〃替代它的外接圓周長(zhǎng),

C=4a=271r,

4a4〃4=2后

2x--a

2

故答案為冬；2小

(2)解：設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)AB二處

則該正六邊形的周長(zhǎng)為6處其外接圓半徑為“

C=6m=271r,

.C6m

.,71=----=------=3,

2r2m

所以估算乃值為3.

【點(diǎn)睛】本題考查估算出圓周率萬(wàn)的值問(wèn)題，掌握用正多邊形的周長(zhǎng)替代它的外接圓的周長(zhǎng)，從而估算出

圓周率1的值是解題關(guān)鍵.

7.(2023春?浙江臺(tái)州?九年級(jí)?？计谥?李老師帶領(lǐng)班級(jí)同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過(guò)此次探索讓同學(xué)們更深刻

的了解萬(wàn)的意義.

(1)［定義］我們將正n邊形的周長(zhǎng)L與正多邊形對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)C的比值，稱(chēng)作這個(gè)正n邊形的“正圓

度”3.如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,求得其內(nèi)切圓的半徑為巫，因此&=

6

(2)［探索］分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”總、k6；

(3)［總結(jié)］隨著”的增大，勺具有怎樣的規(guī)律，試通過(guò)計(jì)算，結(jié)合圓周率的誕生，簡(jiǎn)要概括.

【答案】⑴也

71

(2)1,空

nTC

(3)隨著〃的增大，K越來(lái)越接近于1,見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)“正圓度”的定義進(jìn)行求解即可;

(2)設(shè)正方形邊長(zhǎng)和正六邊形的邊長(zhǎng)都為1,求出此情形下對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓半徑，再根據(jù)“正圓度”的定義進(jìn)

行求解即可;

(3)根據(jù)(1)(2)所求可知隨著”的增大，幻越來(lái)越接近于1,再由張衡和祖沖之對(duì)圓周率的研究即可得

到答案.

1x33>/3

【詳解】(1)解：由題意得，3=J3=~

2兀二一

6

故答案為：—;

71

(2)解：假設(shè)正方形邊長(zhǎng)1,

此時(shí)正方形的內(nèi)切圓半徑為g,

,1x44

k.=----=—

設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1,內(nèi)切圓圓心為O,則402=嚶360°=60。,

6

又：OA=OB,

’A03是等邊三角形，

/.OA=OB=1,AC=~,

2

OC=Vox2-AC-=—,

2

（3）解：&wl.65,勺。1.27,4wLl。，隨著”的增大，心越來(lái)越接近于1.由張衡、祖沖之的研究，精

進(jìn)萬(wàn)的取值的方法可知：正多邊形，邊長(zhǎng)數(shù)越多，越接近于圓，因此當(dāng)邊長(zhǎng)增多時(shí)，其周長(zhǎng)工也與對(duì)應(yīng)的

內(nèi)切圓周長(zhǎng)更接近，其比值更接近于L

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

二、計(jì)算扇形的弧長(zhǎng)（共3小題）

8.（2023秋?江蘇南通?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，CE是O的直徑，半徑Q4L弦BC,垂足為點(diǎn)。，連

AB,AC,AE.

（1）求證：ZACB=ZE；

⑵若NACB=30。，AC=3,求AC的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵乃

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到，則根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等即可證明結(jié)論；

（2）先利用（1）的結(jié)論得到NE=30。，再根據(jù)圓周角定理得到NAOC=60。，則可判斷為等邊三角

形，所以。4=AC=3,然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】（1）證明：：半徑Q4J_弦BC,

:.ZACB=ZE.

(2)解：VZE=ZACB=30°,

：.ZAOC=60°,

'：OA^OC,

，，OAC為等邊三角形,

OA=AC=3,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，

靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵.

9.（2022秋?江蘇宿遷?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，,ABC內(nèi)接于0。，A￡）〃3c交。。于點(diǎn)。，DFAB交BC

于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)R連接AfC尸.

⑵若。。的半徑為3,ZCAF=30°,求AC的長(zhǎng)（結(jié)果保留兀）.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

⑵1

【分析】（1）根據(jù)已知條件可證明四邊形ABED是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得=等量

代換可得NAFC=NACF,即可得出答案；

（2）連接AO,CO,由（1）中結(jié)論可計(jì)算出NA產(chǎn)C的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可計(jì)算出/AOC的度數(shù)，再

根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算即可得出答案.

【詳解】（1）證明：：AD〃BC,DFAB,

四邊形A5E。為平行四邊形，

ZB=ZD,

,:ZAFC=/B,ZACF=ND,

：.ZAFC^ZACF,

：.AC^AF.

(2)解:連接AO,CO,如圖,

F

由（1）得/4FC=/ACF,

/AFC=180。-30。=75o

ZAOC=2ZAFC=150°,

150義九義35TT

AC的長(zhǎng)/=

180~2,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)與弧長(zhǎng)公式，考

查化歸與轉(zhuǎn)化思想，推理能力，幾何直觀等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

10.(2022秋?江蘇蘇州?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)4(0,4),8(4,4),C(6,2).

(i)該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為.

⑵求弧ABC的長(zhǎng).

【答案】(1)(2,0)

⑵后

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理結(jié)合網(wǎng)格的性質(zhì)可得答案；

(2)借助網(wǎng)格求出圓心角度數(shù)和半徑，再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：由垂徑定理可知，圓心是A8、BC中垂線的交點(diǎn)，

由網(wǎng)格可得該點(diǎn)尸(2,0),

故答案為:(2,0)；

y

(2)解:連接AC,

根據(jù)網(wǎng)格可得，。尸=CQ=2,OA=PQ=4,

ZAOP=ZPQC=90°,

由勾股定理得，

AP=dop。+32=,2〉+4?=2后尸C,

?.,AP2=22+42=20,CP2=22+42=20,AC2=22+62=40,

：.AP2+CP2^AC2,

：.ZAPC=90°,

：.弧ABC的長(zhǎng)為？0萬(wàn)挖6=亞兀,

180

答：弧ABC的長(zhǎng)為有兀.

【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算、垂徑定理，勾股定理及其逆定理等知識(shí)，掌握垂徑定理以及網(wǎng)格特征是確

定圓心坐標(biāo)的關(guān)鍵，求出弧所在圓的半徑和相應(yīng)圓心角度數(shù)是求弧長(zhǎng)的前提.

三、求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度（共3小題）

11.（2023秋?江蘇淮安?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A08的三個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，網(wǎng)格中的每個(gè)小正

方形的邊長(zhǎng)均為一個(gè)長(zhǎng)度單位，以點(diǎn)。建立平面直角坐標(biāo)系，若oAOB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，得到△4。四

（A和A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)）

（1）畫(huà)出"。耳；

(2)點(diǎn)A坐標(biāo)為,點(diǎn)B［坐標(biāo)為；

(3)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)(-44),(-3,3)

(3)71

2

【分析】(1)分別作出點(diǎn)A、2繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4、4，順次連接點(diǎn)。、4、4即可

得到504；

(2)根據(jù)(1)中的圖形寫(xiě)出點(diǎn)4、耳的坐標(biāo)即可；

(3)根據(jù)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)。為圓心，Q4長(zhǎng)為半徑，圓心角為90。的弧長(zhǎng)，勾股定理求出Q4,利用

弧長(zhǎng)公式求出點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，△A?？杉礊樗螅?/p>

(2)由圖可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(TJ),耳的坐標(biāo)為(-3,3),

故答案為：(-41)，(-3,3)

(3)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)。為圓心，長(zhǎng)為半徑，圓心角為90。的弧長(zhǎng)，

Q4=Vl2+42=A/17,

點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為膽巫=叵兀.

1802

故答案為：^^-71

2

【點(diǎn)睛】此題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)的作圖、弧長(zhǎng)公式、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的作圖和弧長(zhǎng)公式是

解題的關(guān)鍵.

12.(2023秋?江蘇南通?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，45,1),8(1,4),將線段A8繞原點(diǎn)

。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到44.

⑴求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

⑵求點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

【答案】⑴(一1,5)

⑵

【分析】(1)連接。4、。4,作軸于點(diǎn)E,AC，x軸于點(diǎn)C,可證明△AOE2"OC,得OE=OC=5,

A,E=AC=I,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,5)；

(2)由旋轉(zhuǎn)得。耳=02,ZBOB1=90°,以點(diǎn)。為圓心，。8的長(zhǎng)為半徑作2月，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出2月的

長(zhǎng)，就是點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

【詳解】⑴解：連接。4、。4，作軸于點(diǎn)E,ACLt軸于點(diǎn)C,則4EO=ZACO=90。，

將線段A3繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到44，

OA}=OA,NAOA=ZCOE=90°,

幺OE=ZAOC=90°-ZAOE,

在，AQE和3Aoe中，

4EO=NACO

<ZA^OE=ZAOC,

O\=OA

：.A4QE當(dāng)AAOC(AAS),

A(5,l),

:.OE=OC=5,AiE=AC=l,

「點(diǎn)A在第二象限，

.??點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,5).

(2)由旋轉(zhuǎn)得。耳=。3,ZBOB,=90°,

以點(diǎn)。為圓心，。8的長(zhǎng)為半徑作84，則點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為3月的長(zhǎng)，

作軸于點(diǎn)。，

8(1,4),

:.BD=1,OD=4,

OB=yjBD2+OD2=712+42=厲，

.,90x"xg歷兀

期1802

二點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是叵.

2

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查圖形與坐標(biāo)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、弧長(zhǎng)公式等知識(shí),

正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

13.(2022秋?江蘇.九年級(jí)期末)如圖，為。。的直徑，且49=4,點(diǎn)C在半圓上，OC±AB,垂足為點(diǎn)。,

P為半圓上任意一點(diǎn)過(guò)尸點(diǎn)作PELOC于點(diǎn)E,設(shè)△OPE的內(nèi)心為M,連接0M

(1)求NOMP的度數(shù)；

(2)隨著點(diǎn)尸在半圓上位置的改變，NCM。的大小是否改變，說(shuō)明理由；

⑶當(dāng)點(diǎn)尸在半圓上從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，直接寫(xiě)出內(nèi)心M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

【答案】(1)135。

⑵不改變，理由見(jiàn)解析

⑶岳

【分析】(1)由內(nèi)心的定義可知NMPO=NMPE=；NEPO,求出NMOP與/

MPO的和為45。，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出/OMP的度數(shù)；

(2)連接CM,證△COMgZXPOM,即得出/。0。=/。河尸=135。，可知NCM。的大小不改變，為135。；

(3)連接AC,證明△AC。為分別為等腰直角三角形，求出。。=2后，ZCQO=9Q°,分析得出當(dāng)點(diǎn)。在半

徑OC的右側(cè)的半圓上時(shí)，點(diǎn)M的軌跡在以AC為直徑的圓弧上，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求出M所經(jīng)過(guò)的路徑

長(zhǎng).

【詳解】(1)解：；OC_LAB,

ZOEP=90°,

：.ZEOP+ZEPO=90°,

為△OPE的內(nèi)心,

/.NMOP=NMOC=；ZEOP,NMPO=NMPE=gZEPO,

：.ZMOP+ZMPO=^(NEOP+/EPO)=45°,

AZOMP=180°-CZMOP+ZMPO)=135°；

(2)/CM。的大小不改變，理由如下：

如圖2,連接CM,

圖2

在△(%>〃和△POM中，

CO=PO

<ZCOM=ZPOM,

OM=OM

：./\COM^/\POM(SAS),

ZCMO=ZOMP=135°,

.?./CMO的大小不改變，為135。；

(3)如圖3,連接AC,CM,

003

,：CO±AB,

：.OA=OC,

???AACO為等腰直角三角形,

:.AC=及AO=4應(yīng),

取AC中點(diǎn)°,連接。。

則NCQO=90。，

:.CQ=[AC=2枝,

當(dāng)點(diǎn)尸在半徑0C的右側(cè)的半圓上時(shí)，點(diǎn)M的軌跡在以AC為直徑的圓弧上，所對(duì)圓心角為90。，

.90萬(wàn)x2-^2_[―

??---------=\2兀，

180

內(nèi)心M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為?r.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心的定義，全等三角形的判定，弧長(zhǎng)公式等，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意判斷

出當(dāng)點(diǎn)尸在半徑OC的右側(cè)的半圓上時(shí)，點(diǎn)M的軌跡在以AC為直徑的圓弧上.

四、求扇形面積（共4小題）

14.（2023秋?江蘇南京?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1,是?。的弦，AB=2,ZAOB=^）°,尸是優(yōu)弧AB上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A和點(diǎn)B重合），尸4尸民48組成了一個(gè)新圖形（記為“圖形尸一48”），設(shè)點(diǎn)尸到直線A3

的距離為x,圖形尸-A3的面積為H

⑴求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

（2）記扇形OAB的面積為S扇形，當(dāng)y=S扇形時(shí).

①在圖2中，作出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)P；（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

②在第①題所作圖中，連接尸4P8,再畫(huà)一條線，將圖形A3分成面積相等的兩部分.（畫(huà)圖工具不限,

寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明.）

【答案】（l）y=x+g乃一6.自變量x的取值范圍是0<xV2+若.

（2）①圖見(jiàn)詳解②見(jiàn)詳解.

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理做輔助線，分別求出SQB、S扇形3八SPAB,然后由面積的和差關(guān)系建立等式

即可；

（2）①扇形OAB的面積為S扇形.AB，當(dāng)y=S扇形.AB時(shí)，那么根據(jù)同底等高即可；②扇形QW的面積為S扇形，

當(dāng)y=S扇形OAB時(shí)，也就是畫(huà)一條線把y=S扇形OAB平分，利用同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半即可作圖.

【詳解】（1）解：：在o中，AB是，o的弦，

...OA=OB.

?；ZAOB=60°,AB=2,

。45是等邊三角形，Q4=O3=AS=2.

如圖1,過(guò)點(diǎn)。作OC_LAB,垂足為C.

則AC」A8」x2=l.

22

在昭△OAC中，ZOCA=90°,OA=2,AC=1.

根據(jù)勾股定理，得oc=麻=運(yùn)=亞7了=6?

~AB,OC=—x2x6=G.

Z_AL//iD22

又：ZAOB=60。，OAB是等邊三角形且邊長(zhǎng)是2,

S扇形O4B=X%X2?=：%.

又：點(diǎn)尸到直線AB的距離為X,AB=2,

??SAPAB=-^ABX=^X2-X=X.

.,.圖中的陰影部分的面積y=SAPAB+Slii)fi0AB-S^0AB=x+—7t-\[3.

自變量x的取值范圍是0<XW2+VL

（2）解：①如圖2所示，點(diǎn)々（或巴）即為所求（只要求作出一種情形即可）;

②以點(diǎn)<的情況為例，

過(guò)點(diǎn)。作OCLAB,垂足為C,延長(zhǎng)0C交于點(diǎn)D

連接《C、CD,則折線［-C-O即為所求.

弧線的畫(huà)法：

以點(diǎn)片的情況為例,

以《為圓心，4A長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)?則A尸即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查圓章節(jié)的垂直定理性質(zhì)以及三角形扇形面積公式等知識(shí)內(nèi)容，掌握面積等量代換是解題

作圖的關(guān)鍵.

15.（2022秋?江蘇鹽城?九年級(jí)統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給

出計(jì)算弧田面積的公式為：弧田面積=；（弦X矢+矢2）.如圖，弧田由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”

指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.按照上述公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之

間存在誤差.現(xiàn)有圓心角/A03為120。，弦長(zhǎng)AB=2后m的弧田.

（1）計(jì)算弧田的實(shí)際面積.

（2）按照《九章算術(shù)》中弧田面積的公式計(jì)算所得結(jié)果與（1）中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差多少平方米？（取

萬(wàn)近似值為3,6近似值為1.7）

【答案】（1）弧田的實(shí)際面積為-退jm?；（2）按照《九章算術(shù)》中弧田面積的公式計(jì)算所得結(jié)果與

（1）中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差O.ln?.

【分析】（1）先利用勾股定理及含30。的直角三角形的性質(zhì)求解A。與A2的長(zhǎng)度，接著算出AAQB的面積，

再通過(guò)扇形面積公式求解扇形AOB的面積，最后利用割補(bǔ)法求解弧田面積.

（2）利用題中的公