蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中專項(xiàng)復(fù)習(xí)：直線與圓的位置關(guān)系【考題猜想壓軸26題6種題型】（原卷版+解析）

專題05直線與圓的位置關(guān)系（壓軸26題6種題型）

一、判斷直線與圓的位置關(guān)系（共4小題）

1.（2022秋?江蘇南通?九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若圖形M與圖形N有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則稱圖形M與圖

形N互為“雙聯(lián)圖形"，即圖形M是圖形N的“雙聯(lián)圖形”，圖形N是圖形M的“雙聯(lián)圖形”.

（1）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為2,下列函數(shù)圖象中與。?；椤半p聯(lián)圖形”的是

（只需填寫序號(hào)）；

①直線y=x+l；②雙曲線>=工③拋物線丁=—+2》+3.

X

⑵若直線>=-?》與拋物線y=f+l互為“雙聯(lián)圖形”，且直線y=-x+b不是雙曲線y=」的“雙聯(lián)圖形”，求

X

實(shí)數(shù)6的取值范圍；

⑶如圖2,已知A（-2,0）,B（4,0）,C（l,3）三點(diǎn).若二次函數(shù)y=a（x+l）2+3的圖象與AABC互為“雙聯(lián)圖

形”，直接寫出〃的取值范圍.

2.（2022秋?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1,平面直角坐標(biāo)系中，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（3,0）、

（5,0）、（0,4）.

八y

c

O4Bx

圖1圖2

⑴用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出過(guò)A、B、C三點(diǎn)的。P,求圓心尸的坐標(biāo)；

⑵如圖2,若過(guò)A、8兩點(diǎn)的。M恰好與直線/：y=r相切，請(qǐng)直接寫出圓心M的坐標(biāo)：

3.（2022秋?江蘇?九年級(jí)期中）（1）如圖①，AB是0O的直徑，C、D在0O上，且BC=BD,AD=CD.求

證：ZADC=2ZBDC.

(2)如圖②，AB是。。的直徑，點(diǎn)C在。0上.若平面內(nèi)的點(diǎn)D滿足AD=CD,且NADC=2NBDC.

①利用直尺和圓規(guī)在圖②中作出所有滿足條件的點(diǎn)D(保留作圖痕跡，不寫作法)；

②若AB=4,BC長(zhǎng)度為m(0<m<4),則平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)D的個(gè)數(shù)隨著m的值變化而變化，請(qǐng)直接

寫出滿足條件點(diǎn)D的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)m的取值范圍.

4.(2022秋?江蘇鹽城?九年級(jí)景山中學(xué)校考期中)【新知】

19世紀(jì)英國(guó)著名文學(xué)家和歷史學(xué)家卡萊爾給出了一元二次方程，+法+°=0的幾何解法：如圖1,在平面

直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0,l)、B(-b,c),以48為直徑作。尸.若。P交無(wú)軸于點(diǎn)M(加而、N(n,0),則儕“

為方程/+fox+c=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

⑴【探究】由勾股定理得，AM^V+m2,BM2=c2+(-b-m)2,=(l-c『+從，在&AAB”中，

AM2+BM2=AB2，所以12+機(jī)2+。2+(-6-m)2=(1-。)2+/.化簡(jiǎn)得：nr+bm+c=0,同理可得：.所

以加、"為方程尤2+"+C=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(2)【運(yùn)用】在圖2中的x軸上畫出以方程Y-3x-2=0兩根為橫坐標(biāo)的點(diǎn)M、N.

⑶己知點(diǎn)40,1)、8(6,9),以A3為直徑作。C.請(qǐng)運(yùn)用以上知識(shí)判斷。C與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(4)【拓展】在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(0,a)、B(Jj,c),若以AB為直徑的圓與交x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M、

N,則以點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為根的一元二次方程.

二、切線性質(zhì)與判定定理綜合(共6小題)

5.（2022秋?江蘇無(wú)錫.九年級(jí)無(wú)錫市東林中學(xué)校考期中）如圖，是。。的直徑，8是O。的弦，連接AC、

AD,OD,其中，DA平分/CDO,過(guò)點(diǎn)B作BELCD交8的延長(zhǎng)線于E.

⑴求證：BE是。。的切線；

⑵若CD=40，ZAOD:ZACD=6:5,求圖中陰影部分的面積.

6.（2022秋?江蘇鹽城?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知AABC中，AB=BC,以45為直徑的。。交AC于點(diǎn)

D,過(guò)。作。EL3C,垂足為E,連結(jié)OE,CD=2^,ZACB=^0°.

⑴求證：DE是。。的切線；

（2）若以A3、OE的長(zhǎng)為方程尤2+/+。=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求6的值;

⑶求圖中以線段CD、3C和弧所圍成圖形的面積.

7.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）問(wèn)題提出：

蘇科版九年級(jí)（上冊(cè)）教材在探究圓內(nèi)接四邊形對(duì)角的數(shù)量關(guān)系時(shí)提出了兩個(gè)問(wèn)題:

（1）小明發(fā)現(xiàn)問(wèn)題1中的/A與NC、NABC與4DC都滿足互補(bǔ)關(guān)系，請(qǐng)幫助他完善問(wèn)題1的證明:

,/BO是的直徑,

，ZA+ZC=180°,

:四邊形內(nèi)角和等于360。,

(2)請(qǐng)回答問(wèn)題2,并說(shuō)明理由.

深入探究：

如圖3,。。的內(nèi)接四邊形A3C。恰有一個(gè)內(nèi)切圓。/,切點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F、G、H,連接G",EF.

(1)直接寫出四邊形A5c。邊滿足的數(shù)量關(guān)系；

(2)探究所、GH滿足的位置關(guān)系；

(3)如圖4,若NC=90。，BC=3,CD=2,請(qǐng)直接寫出圖中陰影部分的面積.

8.(2022春?全國(guó)?九年級(jí)期末)如圖，。。是△ABC的外接圓，AB為直徑，弦平分乙BAC,過(guò)點(diǎn)。作

射線AC的垂線，垂足為〃，點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：是。。的切線；

⑵若NB=30。，AB=S,在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在,

說(shuō)明理由；

⑶若點(diǎn)E恰好運(yùn)動(dòng)到NACB的角平分線上，連接CE并延長(zhǎng)，交。。于點(diǎn)E交AD于點(diǎn)P,連接AB,CP

=3,EF=4,求AP的長(zhǎng).

9.(2022春.江西吉安.九年級(jí)?？计谥?如圖，在Rt&4BC中，ZACB^90°,。為A8邊上的一點(diǎn)，以

為直徑的。。交8C于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)片過(guò)點(diǎn)C作CGLAB于點(diǎn)G,交AE于點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)E的弦EP交

A8于點(diǎn)。(EP不是直徑)，點(diǎn)。為弦E尸的中點(diǎn)，連結(jié)BP,8P恰好為。。的切線.

(1)求證：BC是0。的切線；

(2)求證：AE平分/C4B；

(3)若&。=10,EQ=5,嘗=工，求四邊形CHQE的面積.

ACJ2

10.(2022秋?湖北鄂州?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,ADLCD,AC=AB,QO

為△ABC的外接圓.

圖1圖2

(D如圖1,求證：是。。的切線；

(2)如圖2,C。交。。于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作AGLBE,垂足為凡交BC于點(diǎn)G.

①求證：AG=BG；

②若AD=2,CD=3,求PG的長(zhǎng).

三、利用切線長(zhǎng)定理求解(共5小題)

H.(2022秋?江蘇宿遷?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，已知于點(diǎn)8,且A8=10cm,將線段4B繞點(diǎn)8按

逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角a(0%至360。)得到線段BC,過(guò)點(diǎn)C作。_LMN于點(diǎn)。，。。是△80的內(nèi)切圓，直線

A。、BC相交于點(diǎn)H.

⑴若a=60。，則CD—_cm.

(2)若A0_L2C

①點(diǎn)”與。。的位置關(guān)系是一

A.點(diǎn)H在。。外

B.點(diǎn)”在。。上

C.點(diǎn)”在0。內(nèi)

②求線段A。的長(zhǎng)度.

⑶線段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，求點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

12.（2022秋?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，平行四邊形ABC。中，

AB1AC,AB=6,3C=10,點(diǎn)P在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)尸不與點(diǎn)A重合），以P為圓心，F(xiàn)4為半徑

作。P.

⑴當(dāng)。尸與邊CO相切時(shí)，AP=.

⑵當(dāng)。尸與邊BC相切時(shí)，求AP的值.

（3）隨著AP的變化，。尸與平行四邊形A3C。的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也在變化.請(qǐng)根據(jù)AP的取值范圍探索。P

與平行四邊形A3CD四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

13.（2022秋?江蘇?九年級(jí)期中）探究問(wèn)題：（1）如圖1,PM、PN、跖分別切。。于點(diǎn)A、B、C,猜想△PEF

的周長(zhǎng)與切線長(zhǎng)融的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

變式遷移：（2）如果圖1的條件不變，且尸0=10厘米，APEF的周長(zhǎng)為16厘米，那么。O的半徑為_(kāi)厘米.

拓展提高：（3）如圖2,點(diǎn)E是NMPN的邊上的點(diǎn)，EFLPN于點(diǎn)、F,。。與邊跖及射線PM、射線

PN都相切.

①畫出符合條件的。。；

②若EF=3,尸尸=4,求。。的半徑.

14.（2022秋.北京豐臺(tái)?九年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形N,給出如下定義：若圖

形M和圖形N有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,則稱點(diǎn)尸是圖形M和圖形N的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)

己知點(diǎn)A（2,0）,B（0,2）,C（2,2）,白）.

⑴直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,08的半徑為2,在點(diǎn)A,C,。中，直線/和05的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是；

（2）G為線段OA中點(diǎn)，。為線段。G上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，G重合），若。。和△OLD有“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求。。半

徑r的取值范圍；

（3）eT的圓心為點(diǎn)T（0j）（f>0）,半徑為直線加過(guò)點(diǎn)A且不與x軸重合.若eT和直線相的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在直

線〉=》+》上，請(qǐng)直接寫出6的取值范圍.

15.（2022秋?山東臨沂?九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，AB是。。的直徑，42=16,點(diǎn)C在。。的半徑上運(yùn)動(dòng)，

PCLAB,垂足為C,PC=10,PT為。。的切線，切點(diǎn)為T.

（1）如圖（1）,當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)時(shí)，求PT的長(zhǎng)；

（2）如圖（2）,當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，連接P。、BT,求證：PO//BT；

（3）如圖（3）,設(shè)尸T=y,AC=x,求y與尤的解析式并求出y的最小值.

四、與三角形內(nèi)切圓有關(guān)的計(jì)算（共5小題）

16.（2022秋?江蘇鹽城?九年級(jí)景山中學(xué)?？计谥校┤鐖D1,拋物線y=fx2-I6tc+48fC為常數(shù)，/<0）與x

軸交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.

圖1圖2

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是；

（2）如圖2,點(diǎn)。是拋物線上的一點(diǎn)，且位于第一象限，連接延長(zhǎng)8。交y軸于點(diǎn)E,若NBCE=/BEC.

①求點(diǎn)。的坐標(biāo)（用含/的式子表示）；

②若以點(diǎn)。為圓心，半徑為8作。，試判斷。。與y軸的位置關(guān)系；

（3）若該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（h,—且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式16a+48江嶼恒成立，求ABOC外心廠

33

與內(nèi)心/之間的距離.

17.（2022春?江蘇?九年級(jí)期末）數(shù)學(xué)概念

若點(diǎn)尸在AABC的內(nèi)部，且NAP3、—3PC和NCR4中有兩個(gè)角相等，則稱尸是AABC的“等角點(diǎn)”，特別地，

若這三個(gè)角都相等，則稱尸是AABC的“強(qiáng)等角點(diǎn)”.

理解概念

（1）若點(diǎn)P是AASC的等角點(diǎn)，且ZAPB=100。，則—3尸C的度數(shù)是_。.

（2）已知點(diǎn)。在AABC的外部，且與點(diǎn)A在3c的異側(cè)，并滿足Z8OC+NBAC<180。，作AfiCD的外接圓。，

連接A￡>,交圓0于點(diǎn)尸.當(dāng)AfiCD的邊滿足下面的條件時(shí)，求證：P是AABC的等角點(diǎn).（要求：只選擇其

中一道題進(jìn)行證明?。?/p>

①如圖①，DB=DC

②如圖②，BC=BD

③

深入思考

（3）如圖③，在AABC中，/A、NB、/C均小于120。，用直尺和圓規(guī)作它的強(qiáng)等角點(diǎn)Q.（不寫作法，

保留作圖痕跡）

（4）下列關(guān)于“等角點(diǎn)”、“強(qiáng)等角點(diǎn)”的說(shuō)法：

①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點(diǎn)；

②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點(diǎn)；

③正三角形的中心是它的強(qiáng)等角點(diǎn)；

④若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn)，則該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；

⑤若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn)，則該點(diǎn)是三角形內(nèi)部到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，其中正確的有_.（填序

號(hào)）

18.（2022秋?江蘇南京?九年級(jí)統(tǒng)考期中）解答下列問(wèn)題

（1）【習(xí)題再現(xiàn)】完成原習(xí)題；（教材P74第10題）如圖①，/是AABC的內(nèi)心，回的延長(zhǎng)線交AABC的外

接圓于點(diǎn)。.5。和⑷相等嗎？為什么？

（2）【逆向思考】如圖②，/為AABC內(nèi)一點(diǎn)，4的延長(zhǎng)線交AASC的外接圓于點(diǎn)D若DB=D/=DC,求

證：/為的內(nèi)心.

（3）【遷移運(yùn)用】如圖③，利用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)，作出AABC的內(nèi)心/.（保留作圖痕跡，寫出必要的文字

說(shuō)明.）

20.（2022秋?廣東湛江.九年級(jí)?？计谥校┚C合與探究

拋物線、=加_°（。>0）與X軸交于4B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在2點(diǎn)左邊），與y軸交于C點(diǎn)，己知OC=2Q4.

（1）求A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵求拋物線的解析式；

⑶在拋物線上是否存在一點(diǎn)尸，使△PAC的內(nèi)心在X軸上？若存在，求出尸點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

五、與三角形外接圓有關(guān)的計(jì)算（共4小題）

21.（2022春.全國(guó)?九年級(jí)期末）拋物線>=以2+2元+c與x軸交于A（-1,0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0,

3）,點(diǎn)。（加，3）在拋物線上.

圖1圖2

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,連接BC、8D,點(diǎn)尸在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上，若NPBC=NDBC,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3汝口圖2,點(diǎn)。為第四象限拋物線上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)C、。、。三點(diǎn)作。M,的弦。/〃y軸，求證：點(diǎn)E在

定直線上.

22.（2022秋?江蘇連云港?九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：能完全覆蓋平面圖形的最小的圓稱為該平面圖形的最小

覆蓋圓.

(D如圖①，線段AB=3,則線段A8的最小覆蓋圓的半徑為:

(2)如圖②，Rt^ABC中，ZA=90°,AB=?,AC=3形,請(qǐng)用尺規(guī)作圖，作出Rt^ABC的最小覆蓋圓

(保留作圖痕跡，不寫作法).此最小覆蓋圓的半徑為；

(3)如圖③，矩形ABCD中，AB=3,BC=5,則矩形ABC。的最小覆蓋圓的半徑為；若用兩個(gè)等

圓完全覆蓋該矩形ABCD,那么這兩個(gè)等圓的最小半徑為.

23.(2022秋?新疆烏魯木齊?九年級(jí)?？计谥?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x-3與x軸交于點(diǎn)

A,與y軸交于點(diǎn)C.拋物線y=f+bx+c經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)B(點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)).

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)8坐標(biāo)；

(2)試探究AABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)M是線段8C上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線EF平行y軸交x軸于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)E.求AfiCE面

積的最大值，并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).

24.(2022秋?浙江嘉興?九年級(jí)校聯(lián)考期中)如圖1,已知拋物線>=/+/+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0,它的對(duì)稱軸是

直線x=2,動(dòng)點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)A出發(fā)，在對(duì)稱軸上以每秒1個(gè)單位的速度向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的

時(shí)間為f秒，連接。尸并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)B,連接。4,AB.

⑴求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求f的值；

(3)如圖2,。"為AAOB的外接圓，在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)/也隨之運(yùn)動(dòng)變化，請(qǐng)你探究：在1</45時(shí),

求點(diǎn)/經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)度.

六、三角形內(nèi)切圓與外接圓綜合(共2小題)

25.(2022秋?浙江寧波.九年級(jí)校聯(lián)考期中)若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直且相等，則稱這個(gè)四邊形

為奇妙四邊形.如圖1,四邊形ABCD中，若AC=BD,AC±BD,則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形.根據(jù)

奇妙四邊形對(duì)角線互相垂直的特征可得奇妙四邊形的一個(gè)重要性質(zhì)：奇妙四邊形的面積等于兩條對(duì)角線乘

(2)如圖2,已知。O的內(nèi)接四邊形ABCD是奇妙四邊形，若。。的半徑為6,ZBCD=60°.求奇妙四邊

形ABCD的面積；

(3)如圖3,已知。O的內(nèi)接四邊形ABCD是奇妙四邊形作OMLBC于M.請(qǐng)猜測(cè)OM與AD的數(shù)量關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

26.(2022秋?浙江臺(tái)州?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖1,是。。的直徑，且AB=8,過(guò)點(diǎn)8作。。的切線，C是

切線上一點(diǎn)，連接AC交。。于點(diǎn)。，連接8。，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)R

(2)求證：CB=CF；

(3)若AF=4,求C8的值；

(4)在圖1的基礎(chǔ)上，作NADB的平分線交BE于點(diǎn)/,交。。于點(diǎn)G,連接0/(如圖2)寫出。/的最小

值，并說(shuō)明理由.

專題05直線與圓的位置關(guān)系（壓軸26題6種題型）

一、判斷直線與圓的位置關(guān)系（共4小題）

1.（2022秋?江蘇南通.九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若圖形M與圖形N有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則稱圖形M與圖

形N互為“雙聯(lián)圖形"，即圖形M是圖形N的“雙聯(lián)圖形”，圖形N是圖形M的“雙聯(lián)圖形”.

（1）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xQy中，。。的半徑為2,下列函數(shù)圖象中與。?；椤半p聯(lián)圖形”的是

（只需填寫序號(hào)）；

①直線y=x+i；②雙曲線y=L③拋物線y=/+2x+3.

X

⑵若直線片-工+》與拋物線y=Y+l互為“雙聯(lián)圖形”，且直線y=r+8不是雙曲線y的“雙聯(lián)圖形”，求

X

實(shí)數(shù)b的取值范圍；

⑶如圖2,已知A（-2,0）,8（4,0）,C（l,3）三點(diǎn).若二次函數(shù)y=a（x+l『+3的圖象與互為"雙聯(lián)圖

形”，直接寫出。的取值范圍.

【答案】⑴①

3

（2）b的取值范圍是w<642

1,3

（3）—3<a<——或---<<7<0

825

【分析】（1）根據(jù)圖形M與圖形N是雙聯(lián)圖形的定義可直接判斷即可；

（2）根據(jù)函數(shù)解析式聯(lián)立方程，再根據(jù)“雙聯(lián)圖形”的定義，由一元二次方程的判別式可得結(jié)論；

（3）根據(jù)雙聯(lián)圖形的寶座進(jìn)行判斷即可.

【詳解】（1）選項(xiàng)①的直線>=x+l經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）和（-1,0）

又。。的半徑為2,

,這兩個(gè)圖形有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，

這兩個(gè)圖形是“雙聯(lián)圖形”；

選項(xiàng)②的雙曲線>=」在第一、三象限與圖1中的圖象分別有兩個(gè)公共點(diǎn)，一共有四個(gè)公共點(diǎn)，不符合“雙聯(lián)

X

圖形''的定義，

故這兩個(gè)圖形不是“雙聯(lián)圖形”；

選項(xiàng)③的拋物線y=，+2x+3=(x+l)2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)漸(-1,2),并且開(kāi)口方向向上，與圖1中的圖象沒(méi)有

公共點(diǎn)，

故這兩個(gè)圖形不是“雙聯(lián)圖形”；

選①

故答案為①；

(2)已知直線>=7+。與拋物線y=Y+l有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，

.?.將y=-x+8代入拋物線y=三+1中，得，

x2+x+l—8=0

13

配方得，(%+-)2=^-4

24

???方程有實(shí)數(shù)解，

33

>0即

又直線y=T+b不是雙曲線的“雙聯(lián)圖形”，

X

.,.直線>=-尤+方與雙曲線y」最多有一個(gè)公共點(diǎn)，

X

即當(dāng)x=l時(shí)，y=—%+人<1代入得，—l+Z?<1,即。42,

3

???實(shí)數(shù)6的取值范圍是:<"<2；

(3)?.?O(X+1)2+3是二次函數(shù)，

??aw0

二?二次函數(shù)y=o(x+l)2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,3),且對(duì)稱軸為直線x=-l,

...當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)y=a(x+l『+3的圖象與AABC的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，

,a>0不成立；

當(dāng)“<0時(shí)，二次函數(shù)y=a(x+iy+3的圖象開(kāi)口向下，為使它與AABC互為雙聯(lián)圖形，即有且只有兩個(gè)公共

點(diǎn)，

???①當(dāng)拋物線與AC和AB相交時(shí)，設(shè)直線BC的解析式為產(chǎn)加什小

把。(1,4),5(4,0)代入，得

〔左+》=3，

??.尸，

\k=-l

...y=-x+4,

???拋物線與3C不想交，

a（%+l）2+3=一工+4,即ax2+（2a+1）x+a-1=0無(wú)實(shí)數(shù)本艮，

???（24+1）2-4〃（〃-1）<0,

解得"一，

O

又當(dāng)x=—2時(shí)，要滿足y>0,相當(dāng)于a+3>0,所以〃>—3；

?

..一3Q<Q<一一1;

8

②當(dāng)拋物線與AC和8C相交時(shí)，

3

當(dāng)x=4時(shí)，要滿足y>。，相當(dāng)于25〃+3>0,所以，〃>—，

3

-----<Q<0;

25

13

綜上，〃的取值范圍為：-3<a<--^---<a<0

825

【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，解直角三角形，切線的判定和性質(zhì)，圖形”與

圖形N是和諧圖形的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)尋找特殊點(diǎn)，特殊位置解決問(wèn)題.

2.（2022秋?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1,平面直角坐標(biāo)系中，A、B、。三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（3,0）、

（5,0）、（0,4）.

圖1圖2

⑴用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出過(guò)A、B、C三點(diǎn)的。P,求圓心尸的坐標(biāo)；

（2）如圖2,若過(guò)A、8兩點(diǎn)的。M恰好與直線/：》=一%相切，請(qǐng)直接寫出圓心M的坐標(biāo):

【答案】（1）畫圖見(jiàn)解析，圓心尸的坐標(biāo)為［4,

⑵（4,4一回）或（4,4+回）

【分析】（1）作出A3和AC的垂直平分線，兩條直線的交點(diǎn)即為圓心P,

（2）設(shè)。M與直線/：y=-x相切相切與點(diǎn)N,連接AM,MN,根據(jù)題意表示出MN的表達(dá)式，進(jìn)而得到

點(diǎn)N的坐標(biāo)，最后根據(jù)半徑相等列出方程求解即可.

【詳解】（1）如圖所示.作出和AC的垂直平分線，兩條直線的交點(diǎn)即為圓心H

連接AP,CP,A2的垂直平分線交無(wú)軸于點(diǎn)

VPMLAB,A（3,0）、B（5,0）

AAM=BM,即點(diǎn)”是A2的中點(diǎn)

；.加點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）

..?點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4,

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4,y）

'：PA=PC

???（4一3『+（y-0）2=（4-0）2+（y-4）2,解得y==

o

...圓心尸的坐標(biāo)為14,七］;

（2）如圖所示，設(shè)。M與直線/：y=f相切相切與點(diǎn)N,連接AM,MN,

同（1）可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4,

J設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4,。）

,.?。河與直線/：?二一元相切相切與點(diǎn)N

：.MN10N

???設(shè)所在直線的表達(dá)式為y=x+b

將點(diǎn)M（4,Q）代入得。=4+人，即。=〃一4

二?MN所在直線的表達(dá)式為y=x+a-4

4一〃

x=

y=x+a-42

???聯(lián)立得:，解得v

y=-xa-4

y=

..,.（4-Qa—4

.,.點(diǎn)N的坐標(biāo)為［亍,亍

:點(diǎn)A和點(diǎn)N都在。M上

:.MA=MN

/.（4-3）2+（a-0）2=|^4-）

整理得a2—8a—14=0

解得：〃=4+歷或4—同

圓心M的坐標(biāo)為（4,4-同）或（4,4+同）

故答案為：（4,4-廊）或（4,4+聞）.

【點(diǎn)睛】此題考查了確定要圓的條件，一次函數(shù)和圓綜合題，切線的性質(zhì)和垂徑定理知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).

3.（2022秋.江蘇.九年級(jí)期中）（1）如圖①，AB是。。的直徑，C、D在。O上，且BC=BD,AD=CD.求

證：ZADC=2ZBDC.

（2）如圖②，AB是。O的直徑，點(diǎn)C在。O上.若平面內(nèi)的點(diǎn)D滿足AD=CD,且/ADC=2NBDC.

①利用直尺和圓規(guī)在圖②中作出所有滿足條件的點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）；

②若AB=4,BC長(zhǎng)度為m（0<m<4）,則平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)D的個(gè)數(shù)隨著m的值變化而變化，請(qǐng)直接

寫出滿足條件點(diǎn)D的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)m的取值范圍.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②當(dāng)0<m<生叵時(shí)，點(diǎn)D的個(gè)數(shù)為0,當(dāng)01=拽時(shí)，點(diǎn)D的個(gè)

55

數(shù)為1,當(dāng)拽<m<4時(shí)，點(diǎn)D的個(gè)數(shù)為2

5

【分析】（1）連接AC,根據(jù)垂徑定理得出AB垂直平分CD,再證明△ACD是等邊三角形，就可以求出^ADC

和NBDC的度數(shù)，即可證明結(jié)論；

(2)①以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作。B,OB與AC的垂直平分線的交點(diǎn)為D、D；

②假設(shè)AC的垂直平分線和以BC為半徑的。B只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)就是AB的中點(diǎn)，得到AC=2BC,

利用勾股定理求出m的值，當(dāng)m小于此值時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)，大于此值時(shí)兩個(gè)交點(diǎn).

【詳解】解：(1)如圖，連接AC,

n

VBD=BC,

BC=BD，

VAB是直徑，

AAB垂直平分CD,

AAC=AD,

???CD=AD,

.,.△ACD是等邊三角形，

/.ZADC=60°=ZDAC,

〈AB垂直平分CD,

NBAC=ZBAD=30°=ZBDC,

.\ZADC=2ZBDC；

(2)①如圖，以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作。B,OB與AC的垂直平分線的交點(diǎn)為D、D；

②如圖，當(dāng)。B與AC的垂直平分線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即點(diǎn)D的個(gè)數(shù)為1,

???AC=2BC,

VAB2=AC2+BC2,

16=5m2,

.4A/5

??m=-----,

5

V0<m<4,

.?.當(dāng)0<m<撞時(shí)，點(diǎn)D的個(gè)數(shù)為0；

5

當(dāng)m=上、5時(shí)，點(diǎn)D的個(gè)數(shù)為1；

5

當(dāng)短<m<4時(shí)，點(diǎn)D的個(gè)數(shù)為2.

5

【點(diǎn)睛】本題考查圓，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理，垂徑定理，尺規(guī)作圖的方法，以及直線與圓的位置

關(guān)系.

4.(2022秋?江蘇鹽城?九年級(jí)景山中學(xué)?？计谥?【新知】

19世紀(jì)英國(guó)著名文學(xué)家和歷史學(xué)家卡萊爾給出了一元二次方程￡+法+C=0的幾何解法：如圖1,在平面

直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(O,1)、B(-b,c),以A3為直徑作。尸.若。P交x軸于點(diǎn)M(s0)、N(n,0),貝打仄〃

為方程％2+bx+c=O兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

圖1圖2

⑴【探究】由勾股定理得，AM2=l2+/n2,BM2=c2+(-b-m)2,AB2=^-c^+b2,在及AABM中，

AM2+BM2=AB2，所以1'+〃?2+,2+(_6-/")2=(1-。)2+62.化簡(jiǎn)得：rrr+bm+c^O,同理可得：.所

以加、〃為方程/+6x+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(2)【運(yùn)用】在圖2中的x軸上畫出以方程/-3x-2=0兩根為橫坐標(biāo)的點(diǎn)M、N.

(3)己知點(diǎn)A(O,1)、8(6,9),以A3為直徑作。C.請(qǐng)運(yùn)用以上知識(shí)判斷OC與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(4)【拓展】在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(0,a)、B(b,c),若以A3為直徑的圓與交尤軸有兩個(gè)交點(diǎn)V、

N,則以點(diǎn)V、N的橫坐標(biāo)為根的一元二次方程.

【答案】⑴"+6〃+c=0;

(2)見(jiàn)解析

(3)0。與x軸相切.理由見(jiàn)解析

(4)x2+bx+ac-0

【分析】(1)仿照已知中的推理過(guò)程即可得到/+加+c=0,從而問(wèn)題解決；

(2)以A(0,1)及8(3,-2)兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段AB為直徑畫圓，圓與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的兩個(gè)根，

兩交點(diǎn)”、N即為所畫的點(diǎn)；

(3)由題意得尤2-6尤+9=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，從而可得。。與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即與x軸相切；

(4)仿照(1)的過(guò)程即可求得.

【詳解】(1)解：如圖，連接4V,BN,由勾股定理得，AN2=l2+n2,BN2=c2+(-b-n)2,AB2=(1-c)2+b2,

在RtzXABN中，AN2+BN2=AB2,

所以F+“2+<?+(-匕-n)2=(1-c)2+b2.

化簡(jiǎn)得：〃2+6〃+C=0,

所以〃為方程/+fot+c=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根.

故答案為：n2+bn+c=0-

圖1

(2)解：以40,1)及3(3,-2)兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段為直徑畫圓，圓與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程

召-3彳-2=0的兩個(gè)根，兩交點(diǎn)M、N即為所畫的點(diǎn)，如圖所示；

(3)解：OC與無(wú)軸相切；理由如下：

由題意知，OC與尤軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為于方程/一6彳+9=0的兩個(gè)根，

A=(-6)2-4xlx9=0,

方程/一6元+9=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

對(duì)應(yīng)地，0c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即。C與x軸相切

(4)如圖，由勾股定理得AM?=合+川，BM2^c2+(-b-ni)-,AB2=(a-cf+b2,

在中，AM2+BM2=AB2，

所以a2+//+c2+(~b-m)2=(a-c)2+b2,

化簡(jiǎn)得：m2+bm+ac=O>

同理可得：n2+bn+ac-O-

所以〃人〃為方程》2+云+收=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

故答案為：x2+bx+ac-O-

【點(diǎn)睛】本題是材料問(wèn)題，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念，直線與圓的位置關(guān)系，代數(shù)式的變

形等知識(shí)，關(guān)鍵是讀懂題中材料提供的方法，并能加以靈活運(yùn)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

二、切線性質(zhì)與判定定理綜合(共6小題)

5.(2022秋?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)無(wú)錫市東林中學(xué)?？计谥?如圖，4B是。。的直徑，8是。。的弦，連接AC、

AD,0D,其中，DA平分NCD0,過(guò)點(diǎn)8作班，CD交8的延長(zhǎng)線于E.

⑴求證：BE是。。的切線；

⑵若CD=40,ZAOD:ZACD=6:5,求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵8/-4一2萬(wàn)

【分析】(1)根據(jù)角平分線平分角定義，得到NAOC=NADO,根據(jù)同圓的半徑相等，得到NADO=NQ4。,

推出NADC=Na4D,得到AB||CE,BELCD,得到BELOB,推出仍是。O的切線

(2)過(guò)點(diǎn)。作OH_LCD于”，連接HD,得到/OHD=90。，DH=-CD^2yf2,根據(jù)NOBE=NBEH=90。,

2

推出四邊形O/ffiB是矩形，得至UOB=HE,OH=BE,根據(jù)NA8:NACD=6:5,ZAOD=2ZABD,得

到NAB￡>:NACD=3:5,結(jié)合NABD+/ACD=180°,得到NAB￡>=67.5。，得到？ODB67.5?,推出

NBOD=45。,推出NC?//=45。，ZDOH=45°,推出0H=DH=2應(yīng)，得到8E=20,

OD=\/OH2+DH2=4>得至U=。3=4，推出。E=4-2夜，推出

45nOB2

S陰影—S梯形0DE3一S扇形OB?！狟E(DE+°B)-=8直-4一2兀.

360

【詳解】（1）證明：???D4平分NCDO,

:.ZADC=ZADO

'：OA=OD

：.ZADO=ZOAD

：.ZADC=ZOAD

:,ABIICD

VBE1CD

：.BE1OB

應(yīng)1是OO的切線

(2)過(guò)點(diǎn)。作O"_LCD于"，連接BD,

貝|JNOHD=90。，DH=-CD=-X442=242,

22

NOBE=Z.BEH=90°,

???四邊形O/ffiB是矩形，

OB=HE,OH=BE，

VZAOD:ZACD=6:5,且ZA8=2ZA5D,

ZABD:ZACD=3:5,

VZAB￡>+ZACD=180°,

ZABD=67.5°f

?/OB=OD,

：.ZODB=ZABD=67.5°,

???Z.BOD=180O-ZABD-ZODB=45°,

?.,ABHCD

：.ZODH=/BOD=45°,

???NDOH=90°-ZODH=45°,

OH=DH=2叵,

BE=2近，OD=^OH2+DH-=4，

/.HE=OB=OD=4,

DE=HE-DH=4-2日

影一形ODEB-S扇形80。

=^BE（DE+OB）~457iOB2

360

=；*20＞（4一2忘+4）-45藐4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線，垂徑定理，矩形，圓的切線，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形，梯形，扇

形等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線定義，垂直弦的直徑平分弦，矩形的判定和性質(zhì)，圓的切線的

判定和性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，梯形面積公式，扇形面積公

式.

6.（2022秋?江蘇鹽城?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知AABC中，AB=BC,以A2為直徑的。。交AC于點(diǎn)

D,過(guò)。作DE_LBC,垂足為E,連結(jié)OE,CD=2應(yīng),ZACB=3Q°.

⑵若以A3、OE的長(zhǎng)為方程￡+法+°=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求6的值;

（3）求圖中以線段CD、BC和弧所圍成圖形的面積.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵6=-4-V7

（3）3A/3

【分析】連接QD,BD,可證得。。是三角形ACB中位線，進(jìn)一步得出結(jié)論;

(2)在正三角形BCD中求得BC,在直角三角形。0E中求得0E,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得6的值；

(3)根據(jù)圓周角定理求出=60。，求出ABOD的面積，由(2)求出8。的長(zhǎng)，從而求出ABCD的面積,

再求出扇形的的面積，進(jìn)而求得結(jié)果.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。。，BD,

,：AB是直徑，

：.ZADB=90°

又,：AB=BC,

/.AD^CD,

：.OD//BC

：.OD1DE,

是O。的切線；

(2)解：在小ACDE中CO=2石/ACS=30。，

BC=4,

：.AB=4,

在吊ACDE中，CD=2-B,ZACB=30°,

：.DE=-CD=y[3,

2

在HAODE中，OE=^OEP+DE1=77-

?'b=—4—近;

(3)解：如圖，過(guò)D作D尸_LAB,

'：AB=BC,

/.NACB=NA=30°,

：.DF=-AD=-CD=y/3

22

SGOD=g*OBxDF=gx2x下:=#:

/DOB分別是弧RD所對(duì)的圓周角與圓心角,

，ZDOB=60°,

._60x^x222

s扇形3603

由（2）MDB=-^BC1-CD1=2，

S岫CD=-XCDXBD=1X2A/3X2=2A/3

S=SgcD+SMOD—Ss晶彩=26+超-1兀=30-q兀.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定圓周角定理，扇形面積公式，30。直角三角形性質(zhì)等知

識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握有知識(shí).

7.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）問(wèn)題提出：

蘇科版九年級(jí)（上冊(cè)）教材在探究圓內(nèi)接四邊形對(duì)角的數(shù)量關(guān)系時(shí)提出了兩個(gè)問(wèn)題：

，ZA+ZC=180°,

:四邊形內(nèi)角和等于360。,

（2）請(qǐng)回答問(wèn)題2,并說(shuō)明理由.

深入探究：

如圖3,。。的內(nèi)接四邊形ABCD恰有一個(gè)內(nèi)切圓GV,切點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F、G、H,連接G”，EF.

AA

€Ei

圖3圖4

(1)直接寫出四邊形ABC。邊滿足的數(shù)量關(guān)系_________；

(2)探究所、GH滿足的位置關(guān)系；

(3)如圖4,若NC=90。，BC=3,CD=2,請(qǐng)直接寫出圖中陰影部分的面積.

【答案】問(wèn)題提出：(l)NA=NC=90°,N4BC+N4DC=180。；(2)見(jiàn)解析；深入探究：(1)AD+_BC=AB+a＞；

(2)EFLGH-,(3)6--

25

【分析】問(wèn)題提出：

(1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得NA=NC=90。，再結(jié)合四邊形內(nèi)角和等于360。即可得到答案；

(2)連接。8DO,OB,根據(jù)圓周角定理可得/DCB=』x優(yōu)角,結(jié)合

22

NDOB+優(yōu)角ZDQB=360?？傻肸DAB+ZDCB=180°,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°即可得到答案；

深入探究：

(1)根據(jù)切線定理可得AG=AE,BG=BF,FC=CH,DH=DE,可推算出AD+3C=AS+CD；

(2)連接GRGI,FI,HI,E/,根據(jù)切線的性質(zhì)可得切角為直角，結(jié)合四邊形內(nèi)角和知識(shí)推算出

ZG7F+ZHH=18O°,再根據(jù)圓周角定理得到NGEF=L/G7F,ZEGH=-ZFIH,最終推算出

22

NGME=90°,從而得到答案；

(3)先根據(jù)切線的性質(zhì)證明四邊形AGZE,/C印是正方形，且邊長(zhǎng)為，再證明AB=3C=3,AD=OC=2,

+++

先計(jì)算出s四邊形ABCD=6,再根據(jù)S四邊形ABCD=S^ABI^BCI^ACDZhADI計(jì)算出圓/的半徑，從而計(jì)算出圓/的

面積，最終得到陰影部分的面積=S四邊形ABCD-S3.

【詳解】問(wèn)題提出：

(1):以)是。。的直徑，

，ZA=/C=90°,

ZA+ZC=180°,

:四邊形內(nèi)角和等于360。，

ZABC+ZADC=18O°.

故答案為：NA=NC=90°;ZABC+ZADC=1SO°■

(2)如下圖所示，連接08DO,OB,

/.ZDAB+ZDC3=；ZD0B+gx優(yōu)角ZD0B=:(/￡)02+優(yōu)角ZD03),

?.?ZDO3+優(yōu)角NZXZB=360。，

/.ZDAB+ZDCB^-x360°=l80°,

2

:四邊形內(nèi)角和等于360。，

ZABC+ZADC=180°；

深入探究：

(1)；點(diǎn)E、F、G、H是。/的切點(diǎn)，

AG^AE,BG=BF,FC=CH,DH=DE,

：.AG+BG+DH+HC^AE+BF+DE+FC

：.AD+BC^AB+CD-.

證明:如下圖所示，連接GRGI,FI,HI,EI,設(shè)GH,￡F交于點(diǎn)跖

A

;點(diǎn)、E、F、G、H是。/的切點(diǎn),

:.NIGB=NIFB=ZIHD=ZIED=90。,

：.ZB+ZG/F=360°-(Z/GB+Z/FB)=180°,ZD+ZF/H=360°-(Z/ED+Z//7D)=180°,

???ZB+ZGIF+ZD+ZFIH=360°,

VZB+ZD=180°,

???/GIF+NFIH=180。,

VZGEF=-ZGIF,ZEGH=-ZFIH,

22

???/GEF+/EGH=90。,

：.ZGME=90°,

：.EF1GH；

(3)解：如下圖所示，連接G/,BI,FI,CI,Hl,DI,EI,AI,

設(shè)。/半徑為人

???點(diǎn)石、F、G、”是。/的切點(diǎn)，

???ZIGA=ZIFC=ZIHC=ZIEA=90°,

,/NFCH=90。,

AZA=180°-90°=90°,

???四邊形AG/E,FCHI是正方形,且邊長(zhǎng)為「，

AAB=BG+r,AD=ED+r,

VBG=BF,ED=DH,

:.AB=BF+r=BC=3,AD=DH+r=DC=2,

**,--^BXAD+—BCXDC=6,

?S四邊形3AC0=+SABCI+SACD[+ADi-2+BC+CD+A.D')xz'，

/.^(AB+BC+CD+AD)xr=6,

.6

???陰影部分的面積=5四邊形MS一%,=6-石萬(wàn).

【點(diǎn)睛】本題考查圓、四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓周角定理、切線定理.

8.(2022春.全國(guó)?九年級(jí)期末)如圖，。。是AABC的外接圓，為直徑，弦平分NA4C,過(guò)點(diǎn)。作

射線AC的垂線，垂足為點(diǎn)E為線段上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：皿。是。。的切線；

⑵若48=30。，AB=S,在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在,

說(shuō)明理由；

(3)若點(diǎn)E恰好運(yùn)動(dòng)到/ACB的角平分線上，連接“并延長(zhǎng)，交。。于點(diǎn)憶交A。于點(diǎn)尸，連接AF,CP

=3,EF=4,求的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)存在，EC+EM的最小值為2&?，理由見(jiàn)解析

(3)6

【分析】(1)連接交BC于點(diǎn)、N,通過(guò)證明四邊形CNDM為矩形得出ODLMD,利用切線的判定定

理即可得出結(jié)論.

(2)過(guò)點(diǎn)C作CF」AB,并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)尸，連接交