浙江省寧波市2024-2025學年高三年級上冊高考模擬考試數(shù)學試卷（含答案）

啟前

‘寧波市2024學年第一學期高考模擬考試

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高二數(shù)學試卷

本試卷共4頁，19小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫在答題卷上。將條形

碼橫貼在答題卷右上角“貼條形碼區(qū)”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應題目選項的答案標號涂黑；如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內相應位置

上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作

答的答案無效。

4.考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊、不要弄破。

選擇題部分（共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.集合A={-2,O,l},8={y|y=A},則AU8=

A.{-2,0,1}B.{0,1,4}C.{0,1}D.{-2,0,1,4}

2.復數(shù)z滿足z=則同=

z—2

A.1B.2C.y/5D.5

3.向量1石滿足同=歸|=1,a±b,則卜-3閘=

A.6B.小C.歷

4.研究小組為了解高三學生自主復習情況，隨機調查了1000名學生

的每周自主復習時間，按照時長（單位：小時）分成五組：[2,4）,

[4,6）,[6,8）,[8,10）,[10,12）,得到如圖所示的頻率分布直方圖，

則樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)的估計值是

A.7B.7.5

C.7.8D.8

5.圓臺的高為2,體積為14兀，兩底面圓的半徑比為1:2,則母線和軸的夾角的正切值為

A.也

D.有

3

6.已知橢圓C的左、右焦點分別為片過上頂點A作直線A8交橢圓于另一點8.若|A3|=|片3|,

則橢圓C的離心率為

A.|B.：C.—D.縣

3232

7.不等式（爐-奴-1）（尤-6）20對任意x>0恒成立，則4+62的最小值為

A.2直-2B.2C.20D.2&+2

數(shù)學試題第1頁（共4頁）

Isin(27Lv-23)，x<a,

8.設QER,函數(shù)/(x)=?“2式、若/(%)在區(qū)間(。，叱)內恰有6個零點，則〃的取值

[I%—Q—11-3a+o,x>a.

范圍是

A-H]B.(23c.(2胴圜D.詞山

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

9.已知數(shù)列｛%｝,｛〃｝都是正項等比數(shù)列，貝I]

A.數(shù)列｛4+〃｝是等比數(shù)列

B.數(shù)列｛4?4｝是等比數(shù)列

c.數(shù)列旨[是等比數(shù)列

D.數(shù)列伍上｝是等比數(shù)列

10.函數(shù)/'(無)=e*-aln無，則

A./(X)的圖象過定點

B.當a=l時，/(無)在(0,y)上單調遞增

C.當。=1時，/(x)>2恒成立

D.存在。>0,使得/(尤)與*軸相切

11.已知曲線C:，-I)'-7sii?x+7cos2y=6,下列說法正確的是

A.曲線C過原點。

B.曲線c關于y=x對稱

C.曲線C上存在一點P,使得|OP|=1

D.若尸(X,y)為曲線C上一點，則|x|+lyl<3

非選擇題部分(共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)/(x)=3,則「。。即2)=▲.

13.拋物線C：V=4x的焦點為尸，尸為C上一點且|PF|=3,O為坐標原點，則S“P-▲.

14.一個盒子中裝有標號為1,2,3,4,5的五個大小質地完全相同的小球.甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第

一輪，甲先從盒子中不放回地隨機取兩個球，乙接著從盒子中不放回地隨機取一個球，若甲抽取的兩

個小球數(shù)字之和大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲不得分；第二輪，甲、乙從盒子中剩余

的兩個球中依次不放回地隨機取一個球，若甲抽取的小球數(shù)字大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，

否則甲不得分.則在兩輪游戲中甲共獲得2分的概率為▲.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

L71

15.(13分)在三棱錐P-ABC中，側面尸AC是邊長為2的等邊三角形,AB=?，PB=2,ZABC=~.

(1)求證：平面上4C_L平面ABC；P

(2)求平面與平面PAC的夾角的余弦值.

B

數(shù)學試題第2頁(共4頁)

16.（15分）已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且滿足%=24+1（"eN*）.

⑴若％=1,求&｝的前〃項和S,；

513

（2）若數(shù)列電｝滿足丁-1="且數(shù)列｛4。｝的前〃項和（=（3"-4）-2向+8,求數(shù)列他,｝的通項

公式.

17.（15分）已知卜?是雙曲線6：5-/=1（4>0*>0）上一點，E的漸近線方程為丫=±與^.

（1）求E的方程；

（2）直線/過點41,1）,且與E的兩支分別交于P,。兩點.若M圈：0=今誓,求直線/的斜率.

IrQI/u

18.（17分）已矢口函數(shù)/（九）=Jl+Zar?-^sinx.

（1）判斷了（%）的奇偶性；

（2）若a=-；,求證：/（%）<!；

（3）若存在無。€（0,兀），使得對任意尤e（0,尤0）,均有/（無）<1,求正實數(shù)。的取值范圍.

數(shù)學試題第3頁（共4頁）

19.（17分）開啟某款保險柜需輸入四位密碼@為四尤,，其中卬生生為用戶個人設置的三位靜態(tài)密碼（每位

數(shù)字都是。?9中的一個整數(shù)），X,是根據(jù)開啟時收到的動態(tài)校驗鑰匙s（s為1~5中的一個隨機整數(shù)）

計算得到的動態(tài)校驗碼.4的具體計算方式：4是M=q?+%1+4的個位數(shù)字.例如：若靜態(tài)

密碼為而，動態(tài)校驗鑰匙s=2,則M=3x2'+0x2?+1x2=26,從而動態(tài)校驗碼元2=6,進而得到

四位開柜密碼為3016.

（1）若用戶最終得到的四位開柜密碼為麗，求所有可能的動態(tài)校驗鑰匙s；

（2）若三位靜態(tài)密碼為隨機數(shù)且等可能，動態(tài)校驗鑰匙s=5,求動態(tài)校驗碼4的概率分布列；

（3）若三位靜態(tài)密碼為隨機數(shù)且等可能，動態(tài)校驗鑰匙S=?（14區(qū)5,他2的概率為2，其中p,?是互

不相等的正數(shù).記得到的動態(tài)校驗碼4=左（0＜左＜9代eN）的概率為以，試比較Q與2的大小.

數(shù)學試題第4頁（共4頁）

寧波市2024學年第一學期高考模擬考試

高三數(shù)學參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.D2.C3.C4.B5.B6.C7.A8.D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.BC10.ACD11.ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

23

12.213.J214.—

760

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

解：（1）取AC中點O,連OPQB,有OP_LAC.

7T1

因為NA8C=-,所以O2=-AC=1.

22

又OP=#），所以依2=。尸+。笈，所以

因為ACnOB=O，ACu平面ABC,O2u平面ABC,所以QP_L平面ABC.

又因為OPu平面尸AC,所以平面上4C_L平面ABC.---------------------------------------------------------------5分

(2)

法一：以。為原點建立空間直角坐標系如圖，有0（0,0,0）,A（1,0,0）,C（-1,0,0）,2--,^,0，尸（0,0,若），

I22）

可得通=「|,日、

,0=

7

1荏=-|?*y=0,可取加=隔3,1)

設平面PA6的一個法向量為I=（x,y,z）,貝!］，

々?AP=-x+舊z-0

易得平面PAC的一個法向量為n2=（0,1,0）,

々?幾23J13

設平面PAB與平面PAC的夾角為可得cosa=g昌-

/I叫13

故平面PAB與平面R4C的夾角的余弦值為亞.--------------------------------------------

13分

13

法二：過2作2H_LAC于X,過〃作HT_LAP于T,連BT.

因為平面PAC1■平面A3C,平面尸AC口平面ABC=AC,平面ABC,所以即/_L平面尸AC.

數(shù)學答案第1頁（共4頁）

又HT_LAP,可知N37W就是平面與平面PAC的夾角.

由N3AC=工，^BH=ABsinABAC=—,AH=ABcosABAC=-,

622

所以77/=A?sin/PAC=M,可得tanZBTW=膽=2,所以cosZB77/=,

4TH313

故平面PAB與平面尸AC的夾角的余弦值為通.-------------------------------------------13分

16.(15分)

解：(1)由出〃=24+1,得4+(2〃—V)d=2[q+(M—V)d\+1,從而d=a1+1,

2

又4=1,得d=2,所以Sa=〃4+及(幾21)?d=n.----------------------------------

■5分

n=l4,n=l

〃〃，

(2)an-bn==(3—1>2

Tn-Tn_i9n>2~[^n-iy2\n>2

4=-

a,-b.=4%

有:也=20,得

20

b〃2=—

a2

351al

故:=7~T=~y---丁，所以d=〃2_4=3,進而有%=d—l=2,得q=%+(〃_l)d=3〃-1,

42444

因此勿=2".----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15分

17.(15分)

解：(1)由題意，得，-京=L又由漸近線為y=±1x,得:=岑，解得°=2,6=正，

22

所以雙曲線E：土一二=1.--------------------------------------------------------------------------------------------------5分

45

(2)顯然直線/的斜率存在，設直線/：>=依彳-1)+1,尸(項,%),如~%)，

y=k(x-l)+l

聯(lián)立,消去y,得(4左2-5)犬2-8(42-左口+4左2-8左+24=0,

145

上士/a8(廿一Q4左之一8左+24,/日9

由韋達定理，付石+42=---77------=---------------77---------?由A>0,3k+Ik—6<0.

4左一54K-5

2+1)|(%12+1)|%1%-(%1+%2)+

從而IAPI?|AQ|=(4-l)(x2-1)|=(^21|=；),

|尸。|=,1+k2.J(%1_%)2=J]+左2.'(%]+%2』―4%％2

2

_,64(左2一女)2一4(4左2—5)(4左2—89+24)L+^2A/-15/:-10/:+30

一“丁'14左2—5|―14左2—5|，

數(shù)學答案第2頁（共4頁）

19(一+1)

所以lAPITAQI=________回一5|=19M

IPQI4%+.，-15%2110%+3020化簡得5/1+羊=屈,4-15,2-101+30，

+，14公_5|

兩邊平方得7/+4左一11=0,解得左=-亍或左=1,檢驗A>0符合.

又因為直線/與E的兩支分別交于產(chǎn),。兩點，得所以％=1.-------------------]5分

4k—5

18.(17分)

解：(1)"尤)的定義域關于原點對稱，且/(-x)=/(x),所以/(X)為偶函數(shù).-------------------4分

1/---------1

(2)當4=——時，/(%)=41-+—xsinx為偶函數(shù).

22

要證即證A/1-X2K1-,耶譏x,又當一IWxWl時，l—'xsiHX〉。，

22

所以只需證當OKxKl時，I—%?—

即證尤2-％sinx+J/siYxNO,只需證--xsinxNO，即證xNsinx.

^g(x)=x-sinx9有1(x)=l—cosxNO,得g(%)在。1]上單調遞增,從而g(%)之g(。)=0,

所以x-sin120,因止匕xNsinx.---------------------------------------------------------------------------------------------9分

(3)/(%)<1等價于，1+2依2voxsinx+l，又當。<兀<兀時，oxsinx+l>0,

從而，1+2^2<axsinx+1等價于2sinx-2x+依sin?x>0?

令h(x)=2sin%-2x+ovsin2x,有〃'(%)=2cosx-2+asin2x+orsin2x,

F(x)=-2sinx+2asin2x+2(xrcos2x,/z(3)(x)=—2cosx+6acos2x—4oxsin2x.

(注：那)(%)為〃(%)的后階導數(shù))

當臚＞（0）=-2+6。＞0時，即時，存在不€（0,兀），使得對任意xe（0,x0）,/戶（尤）＞0,所以，⑵（此在

（0,無。）遞增.又防⑵（0）=0,所以W）（無）＞0對任意xe（0,x0）恒成立，從而〃'（無）在（0,不）遞增.又“（0）=0,

所以"（x）＞0對任意xe（0,%）恒成立，從而/?（無）在（0,%）遞增，結合*0）=0,得〃⑸X）對任意xw（0,x0）

恒成立，符合題意.

當0＜。＜；時，々⑶（0）=-2+6。＜0,故存在占e（0,兀），使得對任意尤e（0,尤0）,〃⑶（x）＜0,所以力⑵（x）在

（0,尤。）遞減.又丸⑵（0）=0,所以心（x）＜0對任意xe（0,x0）恒成立，從而“⑶在（0,%）遞減.又“（0）=0,

所以/7口）＜。對任意xw（0,無0）恒成立，從而心）在（0,不）遞減，結合6（0）=0,得以力＜0對任意*6（0,超）

恒成立，不符合題意.

當a=g時，川4）（無）=25

inx-16asin2x-8axeos2x/i(5)(x)=2cosx-40acos2x+l6axsin2x,

得臚）（0）=2-y＜0,同理可得不符合題意.

綜上，?＞|,-----------------------------------------------------------------------------17分

19.（17分）

解：（1）由題意，靜態(tài)密碼為赤，動態(tài)校驗碼無,=4.

若s=l,貝。M=2xl3+0xF+2xl=4,得司=4,符合.

若s=2,貝IJM=2X23+0*22+2X2=20,得％=0,不符.

同樣，當s=3,4,5時，分別計算可得忍=0,%=6,%=。，均不符合.

數(shù)學答案第3頁（共4頁）

因此，S只可能為1.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------4分

(2)對于三位靜態(tài)密碼2a3,有"=?1?53+%?52+%-5=5(25卬+5%+%)，可得M的個位數(shù)字只能

是0或5,即天只能是。或5.

又M=125%+25al+5/=10(124+2/)+5(%+%+/)，

可知當％+出+名為奇數(shù)時，毛=5；當4+%+%為偶數(shù)時，%5=。?

下面計算q+%+%為奇數(shù)的花區(qū)的個數(shù)：

①％，出.均為奇數(shù)：5'=125個；

②01M2,色一奇兩偶：C；?5-52=375個；

故共有125+375=500個.

所以P(x5=5)=,進而有P(x5=0)=1-Pa=5)=g,

因此，概率分布列為

05

￡￡

P22

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分

(3)記事件A：得到的動態(tài)校驗碼xs=0,事件2：得到的動態(tài)校驗碼々=1,事件C,：收到的動態(tài)校驗

鑰匙s=i(14zW5,ieN),有A=AQUAQ