數(shù)值分析 課件 ch5-線性方程組的直接解法

線性方程組的直接解法05ChapterCh5線性方程組的直接解法研究數(shù)值解法的必要性

求解線性方程組根據(jù)克萊姆(Gramer)法則方程組的解可表示為兩個(gè)行列式之比

Ch5線性方程組的直接解法

計(jì)算量太大尋找數(shù)值解法有必要5.1Gauss消元法5.1高斯消元法

5.1高斯消元法

消元5.1高斯消元法

回代5.1高斯消元法思路1.消元過程：將一般線性方程組化為上三角矩陣方程組2.回代過程：回代求解

0高斯消元法基本思想5.1高斯消元法消元過程

5.1高斯消元法

5.1高斯消元法

將(1)式化為(2)式的過程稱為消元過程.5.1高斯消元法

回代過程5.1高斯消元法

5.1高斯消元法例5.1.1

解方程組

解：用Gauss消去法計(jì)算：

若將1，2兩行互換

5.1高斯消元法

順序消去法的缺點(diǎn)消元過程中選擇適當(dāng)?shù)闹髟厥鞘直匾腉auss主元素消去法5.2高斯主元素消元法5.2高斯主元素消元法全主元消去法思路

消元5.2高斯主元素消元法

5.2高斯主元素消元法列主元消去法思路

消元5.2高斯主元素消元法

5.2高斯主元素消元法

解：

5.2高斯主元素消元法一些特殊情況,主元就在對角線上,不需選主元.元素滿足如下條件的矩陣

即對角線上每一元素的絕對值均大于同行其他各元素絕對值之和,這樣的矩陣稱為按行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,簡稱嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣.例：

性質(zhì)：嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣必定非奇異.

5.3高斯消元法的變形5.3高斯消元法的變形LU分解

5.3高斯消元法的變形LU分解

5.3高斯消元法的變形LU分解可見,消元過程相當(dāng)于下述矩陣乘法運(yùn)算：

由分塊乘法可得：

直接計(jì)算可得

5.3高斯消元法的變形LU分解

，則

5.3高斯消元法的變形

記為單位下三角陣/*unitarylower-triangularmatrix*/記

U=

5.3高斯消元法的變形LU分解

5.3高斯消元法的變形直接LU分解

根據(jù)矩陣乘法法則,先比較等式兩邊第1行和第1列元素有：

5.3高斯消元法的變形

5.3高斯消元法的變形

5.3高斯消元法的變形

5.3高斯消元法的變形

5.3高斯消元法的變形例5.3.1

解：

由得

得由

得由

由

得得由

得

再由

得5.3高斯消元法的變形

5.3高斯消元法的變形

5.3高斯消元法的變形追趕法

5.3高斯消元法的變形

其中：5.3高斯消元法的變形

上述方法為求解三對角方程組的追趕法，也稱Thomas算法.

5.3高斯消元法的變形例5.3.3

5.3高斯消元法的變形由得

由得

5.3高斯消元法的變形平方根法

記為

5.3高斯消元法的變形

5.4向量和矩陣的范數(shù)5.4向量和矩陣的范數(shù)

向量范數(shù)的性質(zhì)

5.4向量和矩陣的范數(shù)常用范數(shù)

(p-范數(shù))

(無窮范數(shù))

(1-范數(shù))

(2-范數(shù))5.4向量和矩陣的范數(shù)

5.4向量和矩陣的范數(shù)5.4向量和矩陣的范數(shù)矩陣范數(shù)

5.4向量和矩陣的范數(shù)5.4向量和矩陣的范數(shù)常用矩陣范數(shù)

它們滿足如下相容關(guān)系：

5.4向量和矩陣的范數(shù)5.4向量和矩陣的范數(shù)

5.5誤差分析5.5誤差分析例，考查以下三個(gè)方程組及其準(zhǔn)確解其準(zhǔn)確解其準(zhǔn)確解其準(zhǔn)確解可以看到，后兩個(gè)方程組與第一個(gè)方程組相比，系數(shù)矩陣或右端向量僅有0.0005以下的誤差，但準(zhǔn)確解卻相差很大。對這樣的方程組，無論用多么穩(wěn)定的算法求解，一旦計(jì)算中產(chǎn)生誤差就使解面目全非，所以該方程組的性態(tài)很差。5.5誤差分析

5.5誤差分析

絕對誤差放大因子

相對誤差放大因子5.5誤差分析

(只要A充分小，使得

是關(guān)鍵的誤差放大因子，稱為A的條件數(shù)，記為cond(A),越則A越病態(tài)，難得準(zhǔn)確解。大5.5