直線方程應用（14題型提分練）-2025年高考數學一輪復習知識清單

專題20直線方程應用

更盤點?置擊看考

目錄

題型一：斜率幾何意義............................................................................1

題型二：傾斜角范圍最值.........................................................................4

題型三：函數值域型求傾斜角......................................................................7

題型四：直線方向向量...........................................................................9

題型五：含參直線過定點.........................................................................11

題型六：雙直線含參型定圓.......................................................................14

題型七：截距式應用.............................................................................17

題型八：直線一般式方程理論.....................................................................19

題型九：直線光學性質..........................................................................21

題型十：兩點距離公式應用.......................................................................26

題型十一：平行線應用..........................................................................29

題型十二：對稱：“將軍飲馬”型最值.............................................................32

題型十三：絕對值型............................................................................35

題型十四：對稱：疊紙型........................................................................38

^突圍?檐;住蝗分

題型一：斜率幾何意義

:指I點I迷I津

：斜率型分式幾何意義

■若P1(X1,力)，B(X2,>2)在直線/上，且尤1W尤2,則/的斜率仁三心。

i若滿足

y=f(xj—g(電),則可以構造兩點(xpf(%)),(X”g(xj)型兩點連線斜率，通過數形結合求解

Xl-X2

1?"(-24-25籥三王丘茜技卬|花菠標萬丁兵旅菌嘀箕初菽質據前向而應藐落二起「最后霰藏場而―

魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標系中的"太極圖".圖中曲線為圓或半圓，已知點P(x,y)是陰影部分(包括

邊界)的動點.則上；的最小值為()

x-2

234

A.——B.——C.——D.1

323

【答案】C

【分析】轉化為點尸(羽V)與點(2,0)連線的斜率，然后結合圖像由直線與圓的位置關系求解.

【詳解】記A（2,0）,則左=3）為直線”的斜率，故當直線AP與半圓尤2+（y_iy=i,x>0相切時，斜率左

%—2

最小，設&,：y=Mx-2）,則J*］二］，解得左=一三或左=0（舍去），

即上;的最小值為-上故選：C.

x-23

2.（20-21高一下?遼寧大連?期中）設函數=的最大值為/（。），最小值為根（4）,貝卜）

a+〃cos%+2

A.VaeRfM（a）-m（a）=lB.3?GR,M（a）-m（a）=2

C.VaeR,M（a）+m（a）=2D.36ZGR,M（a）+m（a）=3

【答案】A

（〃+2）

2sinx--------

【分析】設5=-巴F=則可根據------4力：2〈的幾何意義求出"（a），=S）滿足的關系，從

cosx-------

\a）

而可得正確的選項，也可利用輔助角公式求出函數的最值.

【詳解】法1：Q2+QCOSX+2=[〃+^j+2—1^>0,故/(%)的定義域為H,

a?+2.

------Fsinx

當a=0時，此時M（o）=M（a）=l,.當a時,/(%)=a------

Q?+2

—+COSX

a

設+若。>0,貝Ija+Z》2夜，當且僅當a=忘時等號成立，故S4-2四,

a\a）a

若a<0,則（-。）+2220,當且僅當°=一血"時等號成立，故S220,

又------的幾何意義為圓上的動點尸（cosx,sinx）與。（S,S）連線的斜率,

8SX十：

而。（S,S）的軌跡為如圖所示的兩條射線,

對于給定的。（S,S）,M（a）,加（a）分別過Q（S,S）的切線的斜率的較大者、較小者,

設切線斜率為左,則切線的方程為：y=Mx-S）+S,整理得到：kx-y+S-kS^O,

整理得到ST*—2S2&+S2—1=0,故"（4）訊4）=*_=1,故A正確，B錯誤.

9V22

而加⑷+機⑷=手口=2+弄口因S2\8,故2VM(Q)+M(〃)=^—=2+—<3,故CD錯誤.

S—17

故選：A.

n11

法2：設1="+2+"si',貝"yia+2+acosx\=a+2+asmx9整理得到：(j-1)(々2+2)=asinx—aycosx,

/+2+QC0SX

若a=0,y=1,此時Af.若〃w0,則+2)=擊不了Vsin(%-0),

其中s'夕="7:’$缶夕=，因xe凡故|斤sin(尤一業(yè)+小。,

故卜-。(1+2)kM+a2『,整理得到：(/+34+4)V-2(6+2)2,+(/+31+勺w0①,

此時△=4(/+2『-4(/+3a2+4『＞0,故①的解為上＜、＜%，

2

其中H，%為方程(/+3Q2+4)y2—2(/+2)y+(/+3a+4)=0的根，

故=1，故A正確，B錯誤.

21a+212

而同⑷+加(4=%+%=/+3/72+^^—，因為1+二4+3224+3=7,當且僅當°=±應時等

、4+—+3a

a

2

號成立，故2VM(Q)+相(Q)<2d—<3,故排除CD.

綜上，M^a)m^a)=\,故選：A.

3.(2024高二?全國?專題練習)已知函數F(x)=log,(尤+D,且。>6>。>0,貝lj2也,粵,△。的大小

abc

關系是()

〃a)>/S)>"c)B〃c)/他)/⑷

A.----->----->-----D.---->----->-----

abccba

/(*)/(?)/(c)f(a)f(c)f(b)

c.---->----->-----u.---->---->-----

bacacb

【答案】A

【分析】把以處，半，&分別看作函數〃X)=10g2(X+l)圖象上的點與原點確定直線的斜率，結合圖

象即可得答案.

【詳解】由3=二0,得上也的幾何意義是過點(無"(動(中0)和原點(o,o)的直線的斜率，

xx-0x

畫出函數/(x)=log2(x+l)的圖象，如圖,

直線4,4,4的斜率分別為用=也，履=中，匕=以0，而%>公>七,

abc

匚匚2f(a)f(b)/(c),,,,“二曰f(a)f(b)/(<?)

所以乙—，二2,的大小關系是2_上>2_">2_-.故選：A

abcabc

4.(2023?黑龍江哈爾濱?二模)點河(方,以)在函數y=e*的圖象上，當玉40,1),則造可能等于()

A.-1B.-2C.-3D.0

【答案】BC

【分析】根據目標式的幾何意義為y=e"在xe[0,l)部分圖象上的動點與點A(L-1)所成直線的斜率

k,即可求范圍.

【詳解】由號三表示加(冷必)與點41,-1)所成直線的斜率3

又“(占,%)是y=6，在工?0,1)部分圖象上的動點，圖象如下：

如上圖,B(l,e),貝代e(一叫一2］,只有B、C滿足.故選:BC

5.(23-24高二上?安徽馬鞍山?階段練習)已知實數無，y滿足/+/_2苫-2丫+1=0,則上一的取值范圍

X+1

是______

【答案】-1,1

【分析】先分析/+/-2一尹「。和的幾何意義；再利用數形結合思想和直線與圓的位置關系列

出關系式求解即可.

%+y—1x+1+y—2y—2

【詳解】---------=--------------=1-\-------

x+1x+1x+1

X2+y2—2x—2y+1=0的幾何意義為表示以點(1,1)為圓心,1為半徑的圓.

的幾何意義為過點PQ,y)和點。(-1,2)的直線斜率，點P(x,y)為以點(1,1)為圓心，1為半徑的圓周上

任一點.結合圖形可知：當直線P。與圓相切時斜率可以取到最大值和最小值.

左xl—l+k+2|_

設直線尸。的斜率為3則直線方程為:y—2=左(％+1),艮|］履—>+左+2=0.令

商十(-1)2

，，4即言的取值范圍為［q,。］,所以壽=葉子=1+缶的取值范圍為

解得：左=0或左=一§,

-;,1.故答案為：-;,1

題型二：傾斜角范圍最值

指I點I迷I津

斜率與傾斜角關系是正切圖像

由正切圖象可以看出：①當ae[o,m時，斜率上e[0,+8）且隨著a增大而增大；

；②當a=鄂寸，斜率不存在，但直線存在；③當aG便兀）時，斜率正（—8,0）且隨著a增大而增大.

I_________________________________________________________________________________________________________

1.（24-25高二上?安徽滁州?階段練習）過4（1,2根-1）,可3,?。﹥牲c的直線的傾斜角的取值范圍為（）

A.陷B.[J,。]C.臼D.O

【答案】C

【分析】利用斜率的定義與公式得到tan，的范圍，進而得解.

【詳解】設該直線的傾斜角為6,貝|04。<兀，因為4（1,2,篦一1）,fi（3,m2）,所以

121=%=蘇；：+1=（加了，因為帆一，所以（相-1?20,則tan"O,所以。e故選：C.

2.（24-25高二上?重慶?階段練習）設直線/的方程為xcos（9+y-3=0（6?eR）,則直線/的傾斜角。的取

值范圍是（）

[答案]C

【3析】根據直線斜率的取值范圍求傾斜角的范圍.

【詳解】設直線的斜率為％,則發(fā)=-cos6e[-U],

故-lV笈=tanaVl,而1目0,兀），故ae0,-u—I,故選：c.

3.（24-25高二上?河北唐山?階段練習）設直線/的方程為x-ysine+2=0,則直線/的傾斜角a的范圍是（）

r--I「71711r兀3兀1「兀兀）、（/兀3。兀一

A.0,兀B.-C.D.—T

L」[42」[44」|_42J（24」

[答案]c

【彳析】直接利用直線方程的應用求出直線的斜率，進一步求出傾斜角的范圍；

【詳解】直線/的方程為尤-ysind+2=0,設直線的傾斜角為a,當si"=0時，a=-,

2

②當sin。。。時，直線的斜率左=tana=,由于一1Wsin9<0或0<sin。,

sing

所以tana￡（F,-l]"[l,+8）,所以a嗚05手爭,綜上所述：二嗚爭；故選：C.

4.（24-25高二上?河北石家莊?階段練習，多選）下列說法正確的是（）

TTSir\

A.直線xsintz+y+2=0的傾斜角6的取值范圍是0,-u—I

B.函數/(2x-l)的定義域為(-1,2),則函數/(I-x)的定義域為(-2,4)

'2

_x_ax_5(%W1)

C.已知函數/(》)=°在(—,一)上是增函數，則實數。的取值范圍是［-3,1］

一(x>D

lx

12-1

D.若事件A與事件B相互獨立，且P(A)=§,P(B)=-,則P(A2)=3

【答案】ABD

【分析】由直線斜率與傾斜角的關系以及正切函數的值域可得A正確；由抽象函數的定義域關系可得B正

確；由分段函數的單調性結合二次函數和反比例函數可得C錯誤；由對立事件和相互獨立事件的積事件公

式可得D正確；

「Til「3兀、

【詳解】對于A,由題意可得tan。=一since卜1』，所以。e0,-u彳,兀，故A正確；

對于B,因為函數/(2x-l)的定義域為(-1,2),所以所以-3<2x—1<3,

所以—3<1—x<3,解得—2<x<4,故B正確；

對于C,因為〃尤)在(-叫+⑹上是增函數，所以當x=l,-x2-ax-5<^,即心—3,

且xVl時，/(X)要恒增，由二次函數的對稱軸可知NinaW-2,

且尤>1時，/(X)要恒增，由反比例函數的性質可得。<0,

綜上實數。的取值范圍是［-3,-2］,故C錯誤；

2-1

對于D,因為尸(5)=］,所以P(3)=l-P(3)="又事件A與事件3相互獨立，所以

--ill

P(AB)=P(A).P(B)=-x-=-,故D正確；故選：ABD.

22

5.(2024?全國?模擬預測)已知小尸2分別是雙曲線C:與-==1(。>0,6>0)的上、下焦點，過點F?且與y

ab

軸垂直的直線與C的一條漸近線相交于點尸，且尸在第四象限，四邊形尸片。鳥為平行四邊形.若直線。月的

「2冗3Ji

傾斜角ae［三,彳,則C的離心率的取值范圍是.

【答案”岑，如

【分析】由雙曲線和漸近線的性質得到。H，c),再得到斜率的范圍，最后由e=Jl+［，j求出范圍即可.

【詳解】如圖所示，由雙曲線的對稱性可知。也在雙線的漸近線上，且。在第二象

限，由尸工，y軸可知。耳，y軸，設Q(x0,c).又。在漸近線y=x上，所以Q，則

b\aJ

2a因為ae(，所以tanae［一石,-1］,故

tanoc—kqF~~b

題型三：函數值域型求傾斜角

;指I點I迷I津

;斜率與傾斜角的關系，可以通過正切函數來對應

由正切圖象可以看出：①當aG0,習時，斜率/6［。，+■?）且隨著a增大而增大；

；當。=鄂寸，斜率不存在，但直線存在；

；當ad俘兀）時，斜率k（一8,0）且隨著a增大而增大.

L（24-25高二上?浙江?階段練習）已知A（"。），5（0,-1）,直線/：2分-2y-扃-3=0上存在點尸，滿

足|即+|依|=2,貝心的傾斜角的取值范圍是（）

兀2兀［「八兀］「5兀［「兀5兀］「兀兀）（兀5兀

A.；，丁B.0,--,7tC.D.---彳，二

133」L3jL6）［36」|_32八26」

［答案］D

【彳析】找到動直線的定點，由動直線與線段有，結合圖形判斷出傾斜角的范圍.

【詳解】將A（6,。）代入2辦一2、一年一3=0得0=石，將8（0,—1）代入2依一2>—島一3=0得。=-4,

所以A,8不在直線/上，又回|相|=2,|玄+|/狎=2所以點p在線段上，直線的方程為：

故由數形結合可知：左之篇?=6或4W&M=-3故傾斜角aef，故選：D

2.（2024高三?全國?專題練習）將函數、=口^^-6（無€口,3］）的圖象繞坐標原點逆時針旋轉。（夕為銳

角），若所得曲線仍是一個函數的圖象，則夕的最大值為（）

兀萬7171

A.—B.-C.-D.一

6432

【答案】C

【分析】根據二次函數的性質判斷函數/（x）的單調性，求出過點（1,0）切線斜率％,得出切線的傾斜角，即

可求解.______

【詳解】設/。卜丫二口7二-々，根據二次函數的單調性，可得函數在口,2］上為增函數，在⑵引上為減函

yt

數.—f\23一^函數=（xe[l,3D,貝I]函數圖象所在圓心坐標為A（2,-百）,

半徑為2.設過點（1,0）切線斜率為上,則入。一（一6）=-1，解得k=0,

1-23

所以切線的傾斜角為所以要使旋轉后的圖象仍為一個函數的圖象，旋轉6后的切線傾斜角最多為g，

o2

即最大旋轉角為=即。的最大值為J.故選：C.

2633

22

3.（23-24高二上?河北?階段練習）已知片，月分別是雙曲線C:二-3=l（a>0,b>0）的上、下焦點，經過點F?

ab

且與y軸垂直的直線與c的一條漸近線相交于點p,且p在第四象限，四邊形尸耳為平行四邊形，若c的

離心率的取值范圍是，石，則直線OF2的傾斜角a的取值范圍是（）

3兀2兀3兀712兀7171

A.,7tB.C.；D.

T342T4,?

【答案】B

【分析】根據雙曲線的對稱性可得。也在雙曲線的漸近線上，設Q（毛,。），利用漸近線方程可得。

結合雙曲線離心率取值范圍及直線斜率的坐標運算即可得直線的斜率取值范圍，從而得直線傾斜角a的

取值范圍.

【詳解】由雙曲線的對稱性可知。也在雙曲線的漸近線上，且。在第二象限，

一/x上，所

b

B.

B兩點，F

為拋物線C的焦點，若|AF|=3|8/|,則直線/的傾斜角可能為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】BC

【分析】設A,B兩點在拋物線準線上的射影分別為E,r,過2作AE的垂線3C,在三角形A3C中，ZBAC

等于直線A3的傾斜角，由拋物線定義及已知可得結果.

【詳解】如圖：設42兩點在拋物線準線上的射影分別為及尸，過8作AE的垂線BC,在三角形ABC中，

等于直線A8的傾斜角，設怛口=〃，\AF\^3\BF\^3n,根據拋物線的定義得：

\AE\=3n,\BF'\=n,.-.\AC\=2n,在直角三角形ABC中,tanN3AC=-4"=不,."=%=6所以

2n

直線/的傾斜角為g,根據對稱性，直線/的傾斜角為g滿足題意；故答案為：BC.

5.(24-25高二上?湖南長沙?階段練習)直線(4/+3卜-4e+1=0的傾斜角的取值范圍是.

【分析】分a=0,a>0,。<0討論即可.

【詳解】設直線(4/+3卜一4〃+1=0的傾斜角為a,當a=0時，直線為3x+l=0,a=p

當a>0時，tana=k==a+^->2.^-=^/3,當且僅當時取等號，回ae

4a4a\44a|_32)

、匕nn_Lj4a2+33(3、及n：

當a<0H寸，tana=k=------=ci~\=——aH-----W—2Al—二—,

4a4qI-4aJ\4

當且僅當-a時取等號，回綜上可得［尋］.故答案為：信?

-4a<23J|_33」|_33_

fix2-x|+l,x<0

6.(22-23高三下,上海?階段練習)已知曲線C:y=f,點尸，。是曲線C上任意兩個不同點，

［V,v2+l,.r>0

若ZPOQVe,則稱尸，。兩點心有靈犀，若P,Q始終心有靈犀,則0的最小值％的正切值tan%=.

【答案】2

【分析】根據解析式知曲線在x>0、xWO上分別為雙曲線、拋物線的一部分，確定雙曲線部分的漸近線、

拋物線部分的切線，兩線傾斜角的差即為6的最小值為,應用差角正切公式求其正切值.

【詳解】在x>0上，曲線方程為丁-/=1是雙曲線上支的一部分(y>l),

所以該部分漸近線為y=x,

在xW0上，曲線方程為y=/一x+1是拋物線的一部分，

設過原點的直線>=近且左<0與拋物線相切，代入拋物線有x2-(l+k)x+l=0,

所以A=(l+幻2—4=公+2%一3=(%+3)伏-1)=0,故左=一3或左=1(舍)，所以切線為>=-3x,

TT

如下圖示：令丁=%、>=-3x傾斜角分別為名,且兀>夕>萬>。>0,則tana=1,tan/=—3,

ZPOQ<0,要使e最小，只需讓最小值4=B-a所以

tan[3-tana二=2.故答案為：2

tan00=tan(/?-a)=

1+tanptana

題型四：直線方向向量

;指I點I迷I津

與直線1平行的非零向量V都稱為1的方向句量,用它們來表示直線的方向.

斜率為k的直線的方向句量為(l,k)的非零賣教僖.

1?724-25禽三口近旅宙垣林蕨聚iZ媼a'b藐花畫謠贏謫基「善直函詢7；耘而福萬好而

44+瓦4〃一方,則4和4所成的角的余弦值為()

1154

A.0B.—C.—D.一

4175

【答案】C

【分析】設4和4所成的角為0,5,由題意可得8$。=卜05(4。+6),(4。一6)1,借助向量夾角公式計算即可得.

TT

【詳解】設4和，2所成的角為0,-,

__________15________15

―716+0+1-V16-0+1.17'

故選：C.

2.(2024?安徽蕪湖?二模)已知直線/：樂+的+。=0(4+32關0)與曲線卬：y=d-x有三個交點。、及

F,且|DE|=|歷|=2,則以下能作為直線/的方向向量的坐標是().

A.(0,1)B.(1,-1)C.(1,1)D.(1,0)

【答案】C

【分析】由函數、=丁-x的性質可得曲線W的對稱中心(0,0),即得E(0,0),再根據給定長度求出點。的坐

標即得.

【詳解】顯然函數/(x)=V-x的定義域為R,/(-x)=(-x)3-(-x)=-/(x),即函數/(x)是奇函數，

因此曲線W的對稱中心為(0,0),由直線/與曲線W的三個交點D,E,F滿足口同=但尸|=2,得￡(0,0),

設Z)(x,x3—x),則X2+(x3—x)2=4,令x'=/,則有戶—2r+2/—4=0,即(廠+2)(/—2)=0,

解得7=2,即尤=±0,因此點。(0,四)或。(-a,-血)，ED=(6,插)或ED=(-垃，-叵),

選項中只有坐標為CU)的向量與共線，能作為直線/的方向向量的坐標是CM).

故選：C

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵首先是得到曲線對稱中心為(0,0),從而得到E(。,。)，然后再去設點。坐

標，根據|DE|=2,得到高次方程，利用換元法結合因式分解解出O的坐標即可.

3.(23-24高二上?安徽黃山,期中)已知直線/的一個方向向量為直線/的傾斜角為a,則

sin2tz-cos?c-1的值為()

A.-2B.0C.-1D.2

【答案】A

【分析】根據直線方向向量得出直線斜率，再由同角三角函數的基本關系求解.

【詳解】因為直線/的一個方向向量為(T，2),直線/的傾斜角為a,

2

所以tana=——=-2,

r-riu.否2sinacosa-2cos2a-sm2a2tancr-2-tan2a-4-2-4.

所以sin2a—cos2a-1=-----------z----------z--------------=-----------i--------=---------一2，

sin6Z+cosatana+14+1

故選：A

4.（23-24高二上?福建三明?期中）下列說法正確的是（）

A.直線/：%+丁+2=0在y軸上的截距為2

B.直線x+y+l=o的方向向量為（L-1）

C.經過點p（2,l）,且在羽y軸上截距相等的直線方程為x+y-3=0

D.已知直線/過點（2,1）,且與無，y軸正半軸交于點4、8兩點，則VA03面積的最小值為4

【答案】BD

【分析】計算截距為-2,A錯誤，直線x+y+l=0的方向向量為（1,-1）,B正確，y=2x頁滿足條件，C錯

誤，確定上2+上1=1,利用均值不等式計算得到D正確，得到答案.

mn

【詳解】對選項A：x+y+2=0,取x=0得到y(tǒng)=-2,故直線/在y軸上的截距為-2,錯誤；

對選項B：直線x+y+l=0的一個方向向量為（1,-1）,正確；

對選項C：y=2x也滿足過點尸（2,1）,且在x,y軸上截距相等，錯誤；

對選項D：設直線方程為二+2=1,機>0,n>0,且2+L=

mnmn\mn

21

故,當且僅當一=—,即m=4,〃=2時等號成立，

mn

SAOB=^mn>4,正確；

故選：BD.

5.（2023?四川德陽?一模）已知實數成公差非零的等差數列，集合4={伍舊麻+勿+c=0},

P（-3,2）,N（2,3）,"wA,若MP〃（a,b）,則|〃兇的最大值為.

【答案】5拒

【分析】實數a久c成公差非零的等差數列，則直線/：依+勿+。=0過定點Q。,-2）,由必7/（a,b）,M點

在以尸。為直徑的圓上，可求圓外的點到圓上的點的最大距離.

【詳解】4女c成公差三日零的等差數歹U,貝U2b=o+c,動直線/："+勿+c=0變形為a（2x+y）+c（y+2）=0,

f-i-v——0（x—]

令+2=0，解得=-2'動直線/過定點。（.2），直線Z：依+外+。=0的一個法向量為〃=（。,6）,

1y〔y

若MPH（a,%,則MP,直線/,M點在以PQ為直徑的圓上，圓心為PQ中點C（-l,0）,半徑

r=\PC\=,J（-2）2+22=272,|NC|="+32=30,則|MN|的最大值為3&+2拒=5行.

故答案為：5A/2

題型五：含參直線過定點

指I點I迷I津

直線系：

過Aix+8iy+G=0與A2x+B2y+C2=0的交點的直線可設：Aix+Biy+Ci+/(A2x+B2y+C2)=0.

所以，含參直線，可以通過分離構造方程組解出定點

1.(24-25,全國?模擬)以直線/：x+(，"+2)y—3-m=0恒過的定點為圓心，半徑為血的圓的方程為()

A.+y~—2x—2y=2B.x~+y"-2x—2y=1

C.廠+J-2x-2y+1=0D.無?+y?-2x-2y=0

【答案】D

【分析】根據直線過定點可得圓心坐標，再結合半徑可得圓的方程.

【詳解】由x+(m+2)y-3—“2=0,得x+2y-3+(y-l)〃z=0,

jx—］

令y-l=°，貝葉,

［y=l

即直線/恒過定點(1,1),

則圓的方程為(x-+(y-1)?=(忘丫，即/+9一2元-2y=0,

故選：D.

2.(24-25高二上,湖南長沙?階段練習)無論幾為何值，直線(24+3)x+(2+4)y+2(2-1)=0過定點()

A.(—2,2)B.(-2,-2)C.(-1,-1)D.(—1,1)

［答案］A

【分析】先化簡直線分是否有幾兩部分，再求交點得出定點.

【詳解】由（2X+3）x+（X+4）y+2（X-l）=0得：A（2x+y+2）+（3x+4y-2）=0,

,f2x+y+2=0,（x=—2,

由日+4、_2=0『,=2,

回直線（24+3）X+（九+4）〉+2（彳-1）=0恒過定點（—2,2）.

故選：A.

3.(24-25高二上?河北石家莊?階段練習)已知點4(2,-3),3(-5,—2),若直線/：“+y+機-1=0與線段

(含端點)有公共點，則實數機的取值范圍為()

43

A.

354

34

C.

4,3

【答案】D

【分析】求出直線/過的定點，設為P,求出&A，心B，結合圖象，即可確定答案.

［詳解］由/：5+,+加_1=0可得y-l=(-m)(x+l),

即直線/:m+y+機-1=0過定點(-1,1),設為尸，

_14_13

結合A(2,-3),B(-5,-2)，則%=言=%=.=~

2+1J—J+14

直線/:如+丁+機-1=0與線段A3(含端點)有公共點,

貝U—m2—或—m<——,BPm<——或加之一，

4343

故根的范圍為1-雙-'|U

故選：D

4.(24-25高二上?浙江杭州?階段練習)已知圓C:(X+2)2+/=4,直線/:(m+l)x+2y-l+〃z=0(M7eR),

貝U()

A.直線/恒過定點(-M)

B.直線/與圓C有兩個交點

C.當小=1時，圓C上恰有四個點到直線/的距離等于1

D.圓C與圓f+j?一2x+8y+8=0恰有三條公切線

【答案】ABD

【分析】求出直線/過的定點判斷A；判斷定點與圓的位置關系判斷B；求出圓心到直線距離判斷C；判斷

圓與圓的位置關系判斷D.

fx+1=0fx=—1

【詳解】對于A,直線/的方程為(x+l)m+x+2y-l=0,由得，直線/過定點(-U),

[%+2y-l=0[y=i

A正確；

對于B,(-1+2)2+12=2<4,即定點(-M)在圓C內，則直線/與圓C相交且有兩個交點，B正確；

對于C,當%=1時，直線/:x+y=0,圓心。(一2,0)到直線/的距離為』=今9=正，

而圓C半徑為2,因此只有2個點到直線/的距離等于1,C錯誤；

對于D,圓廠+丁-2x+8y+8=0的方程化為(%-1)-+(y+4)2=9,

其圓心為(1,-4),半徑為3,兩圓圓心距為d，=J(l+2)2+(T-0)2=5=3+2,

兩圓外切，因此它們有三條公切線，D正確.

故選：ABD.

5.(23-24高二下?廣東清遠?階段練習)如果直線辰-y-2左=0和曲線「V+4引引=1恰有一個交點，那么

實數左的取值范圍是.

【答案】(-8,—[,+<?]

【分析】作出r的圖象，數形結合分析直線與曲線恰有一個交點時實數左的取值范圍即可.

【詳解】由題意，當y20時，「必+4尸=1為橢圓的上半部分，

當y＜0時，r：Y-4y2=1為雙曲線的下半部分，又/:近-y-2左=0即y=可》一2),過定點(2,0),

故作出考慮臨界條件，當丁=%(了-2)與橢圓上半部分相切時,

二?，整理得(1+4公卜2_16人+16左2-1=0,貝1]A=(16陰2-4(1+43)(16左2-1)=

有0,

由圖象左＜0解得左=-3，當＞=%(x-2)與雙曲線爐-=I的漸近線平行時也為臨界條件,

6

故實數％的取值范圍為,雙-鼻5g，+s].故答案為:

題型六：雙直線含參型定圓

指I點I迷I津

如果兩條直線都有參數，則兩條直線可能存在“動態(tài)”垂直。則直線交點必在定點線段為直徑的圓上。

1.每一條直線都可以通過“直線系”得到直線過定點。

2.兩條動直線如果所含參數字母是一致的，則可以分別求出各自斜率，通過斜率之積是否是7,確定兩條

直線是否互相“動態(tài)垂直”。

3.如果兩條動直線“動態(tài)垂直”，則兩直線交點必在兩條直線所過定點為直徑的圓上。

4.如果兩條動直線交點在對應的兩直線所過定點為直徑的圓上，則可以通過設角，三角代換，進行線段的

最值求解計算

1.(2024?廣東茂名?模擬預測)已知加，neR,蘇+”2*0,記直線依+歿-〃=0與直線盯-〃=0的

交點為尸，點Q是圓C：(x+2y+(y-2)2=4上的一點，若PQ與C相切，則|尸。|的取值范圍是()

A.[2夜，舊]B.[2忘,2夜]

C.[2,V14]D.[2,2A/7]

[答案]C

【彳析】結合己知，求出交點尸的軌跡方程，再結合切線的性質即可求解.

【詳解】

門

1\直線巾+畋一〃=0即直線〃口-1)+四=0,過定點M(l,o),

直線爾即直線g-〃(y+l)=0,過定點N(0,-l),又由斜率關系可得兩直線垂直，所以交點尸的

軌跡是以"N為直徑的圓，即軌跡方程為G：1X