直線與圓-2025年高考數(shù)學一輪復習知識清單

專題15直線與圓

（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）

思維構建-耀蓿際紿

知行盤點-置；層訃煤

知識點1直線的方程

1、直線的傾斜角

（1）定義：當直線/與X軸相交時，取X軸作為基準，尤軸正向與直線/向上方向之間所成的角叫做直線/

的傾斜角.當直線/與X軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0.

（2）范圍：直線/傾斜角的取值范圍是［0,無）.

2、直線的斜率

（1）定義：一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母/表示，即％=tana,傾

斜角是齊勺直線沒有斜率.

（2）過兩點的直線的斜率公式：經過兩點尸1（方，M），B（尤2,竺）印抄2）的直線的斜率公式為左='三"

X2—X1

3、直線方程的五種形式

形式幾何條件方程適用范圍

點斜式過一點（沏，yo）,斜率上y—yo=k(x—xo)與x軸不垂直的直線

斜截式縱截距b,斜率左y=kx+b與X軸不垂直的直線

y—y\x-xj與x軸、y軸均不垂直的

兩點式過兩點（xi，%）,（%2，yi）

y2~y\X2—X1直線

不含垂直于坐標軸和過原

截距式橫截距m縱截距6~+^=l

ab點的直線

Ax+By+C=0平面直角坐標系內所有直

一般式

(A2+B2#O)線

【注意】“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正、可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數(shù).

知識點2兩條直線的位置關系

1、兩條直線平行與垂直的判定

（1）兩條直線平行

①對于兩條不重合的直線/l，h，若其斜率分別為由，無，則有/1〃/2=任=比.

②當直線/1，/2不重合且斜率都不存在時，h//h.

（2）兩條直線垂直

①如果兩條直線A，/2的斜率存在，設為內，心，則有/」/2=匕笈2=—L

②當其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為o時，hn2.

2、兩條直線的交點的求法

直線/i：Ai尤+_Biy+G=0,，2：A2x+&y+。2=。(4,Bi，G，A2’&,C2為常數(shù)),

[Aix+8iy+Ci=0,

則/1與/2的交點坐標就是方程組，,',八的解.

[A2x+B2y+C2^0

3、三種距離公式

（1）平面上的兩點P1（X1，Jl）,P2（X2，,2）間的距離公式|P，2|=＞尤2—XJ+R—y/.

特別地，原點。（0,0）與任一點P（x,y）的距離|。尸|=^。+與.

|Aro+8yo+C|

(2)點P(x(),yo)到直線Z：Ax~\~By~\~C=0的距禺d—、4+序

(3)

兩條平行線Ax+By+Ci=0與/U+BJ+C2=0間的距離

4、直線系方程的常見類型

（1）過定點尸（項，W）的直線系方程是：y—刃=人（無一xo）/是參數(shù)，直線系中未包括直線x=xo）,也就是平

常所提到的直線的點斜式方程；

（2）平行于已知直線Ax+2y+C=0的直線系方程是：Ax+By+2=0（4是參數(shù)且后:C）；

（3）垂直于已知直線Ax+8y+C=0的直線系方程是：&一&十九=0（2是參數(shù)）；

(4)過兩條已知直線/i：Aix+2iy+G=0和b：A>+&y+C2=0的交點的直線系方程是:

J

Aix+Biy+Ci+^A2xrB2y+C2)=0(/1eR,但不包括Z2).

知識點3圓的方程

1、圓的定義及方程

定義平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓

標準方程(x—a)2+(廠Z?)2=戶(r>0)圓心：(a,。)半徑：r

圓心:(-S-0

一般方程^+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)

W+廬一

半徑：

7一2

2、點與圓的位置關系

點M(xo，加)，圓的標準方程(x-b)2=3.

理論依據(jù)點到圓心的距離與半徑的大小關系

(xo—a)2+(州—bp三點在圓上

三種情況(xo—a)2+(yo—bp2戶o點在圓外

2

(xo—a)+(yo—/?)20r20點在圓內

3、二元二次方程與圓的關系

不要把形如x2+/+Z)x+￡y+F=0的結構都認為是圓，一定要先判斷D2+￡2-4F的符號，只有大于0時

才表示圓.

若/+>2+。尤+/+尸=0表示圓，則有：

(1)當尸=0時，圓過原點.

(2)當D=0,母0時，圓心在y軸上；當以0,￡=0時，圓心在無軸上.

(3)當D=尸=0,今0時，圓與無軸相切于原點；E=F=0,。加時，圓與y軸相切于原點.

(4)當UMEZMZI歹時，圓與兩坐標軸相切.

知識點4直線與圓、圓與圓的位置關系

1、直線與圓的位置關系

(1)直線與圓位置關系的判斷方法

Z>0o相交

聯(lián)立方程得方程組消去x或y

①代數(shù)法</=0=相切

得一元二次方程，A=lr-Aac

/<0=相離

"d<r=相交

圓心到直線的距離為d

②幾何法<d=rQ相切

相離

（2）圓的切線與切線長

①過圓上一點的圓的切線

過圓/+產=戶上一點M（xo，澗）的切線方程是x^x+yoy—r2-.

過圓（x—a）2+（j—萬產=/2上一點M（xo,yo）的切線方程是（xo—a）（x—a）+So—b）。-6）=戶.

②過圓外一點的圓的切線

過圓外一點M（xo,%）的圓的切線求法：可用點斜式設出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜

率左，從而得切線方程；若求出的上值只有一個，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為x=xo.

③切線長

從圓/+/+m+/+/=0（。2+￡2—4Q0）外一點M（x0,州）引圓的兩條切線，切線長為

yfx^+yo+Dxo+Eyo+F.

兩切點弦長：利用等面積法，切線長。與半徑r的積的2倍等于點M與圓心的距離d與兩切點弦長b

的積，即6=等.

【注意】過一點求圓的切線方程時，要先判斷點與圓的位置關系，以便確定切線的條數(shù).

（3）圓的弦長：直線和圓相交，求被圓截得的弦長通常有兩種方法

①幾何法：因為半弦長全弦心距小半徑廠構成直角三角形，所以由勾股定理得L=2/—肥

②代數(shù)法：若直線與圓有兩交點A（xi，%）,8（X2,刃），

則有=11+R|xi—x2|1+表M-9I.

2、圓與圓的位置關系

（1）圓與圓位置關系的判斷方法（兩圓半徑為八，「2,〃=|。1。2|）

位置關系外離外切相交內切內含

圖示電率

交點個數(shù)01210

d與八,弓的關系d>q+Gd=rx+r2\r\—r^<d<rx-\-r2d=4-』G<d<\rx一目

【注意】涉及兩圓相切時，沒特別說明，務必要分內切和外切兩種情況進行討論.

（2）兩圓公切線的條數(shù)

位置關系外離外切相交內切內含

圖示3

公切線條數(shù)4條3條2條1條無公切線

點突破?看分?伊特

重難點01與直線有關的最值問題

1、定直線的動點到兩定點距離和的最小值，直線將其中一點對稱，使兩點在直線異側，三點共線最短；

2、定直線的動點到兩定點距離差的最大值，直線將其中一點對稱，使兩點在直線同側，三點共線最短.

【典例1］（23-24高三上?山東濟寧?月考）在平面直角坐標系無Oy中，已知點A（0,-2）,點3（1,0）,P為直線

2元-4y+3=0上一動點，則|的最小值是.

【典例2］（23-24高三上.重慶?零診）（多選）已知直線/：x-2y+8=0和三點4（2,0）,8（-2,-4）,C（2,5）,過

點C的直線4與無軸、y軸的正半軸交于M,N兩點.下列結論正確的是（）

A.尸在直線/上，則|PA|+|P@的最小值為40

B.直線/上一點尸（12,10）使||P二一陷|最大

UUUUUUU

C.當|CM|?|CN|最小時的方程是X+y-7=0

UUUUULHX

D.當||?|ON|最小時4的方程是5尤+y-15=0

重難點02與圓有關的最值問題

求解與圓有關的最值問題步驟

第一步定型：根據(jù)題目條件確定最值問題的類型；

第二步作圖：根據(jù)幾何意義，畫出圖形，利用數(shù)形結合思想求解；

第三步求值：根據(jù)圖形，利用相關知識求解.

【典例1］（23-24高三上?北京順義?期中）過直線x+y=4上一動點"，向圓。：爐+「=4引兩條切線，A、

3為切點，則圓。上的動點尸到直線48距離的最大值等于（）

A.1+^/2B.2+72C.y/3+^2D.3+72

【典例2］（23-24高三上?江蘇蘇州?月考）已知點尸Q+l,r）,reR,點。是坐標原點，點。是圓

（x-3）2+（y+1-=4上的動點，則IPQI-1POI的最大值為.

【典例3］（23-24高三上.湖北荊州?月考）已知。。［：公+（〉一2）2=1.002：。-3）2+（k4）2=4,過x軸上一點尸

分別作兩圓的切線，切點分別是M，N,當IPMI+I/WI取到最小值時，點尸坐標為.

重難點03隱圓問題及其應用

1、隱圓問題的幾大類型

(1)類型一：到定點的距離等于定長；

(2)類型二：到兩定點距離的平方和為定值；

(3)類型三：到兩定點的夾角為直角；

(4)類型四：對角互補、數(shù)量積定值；

(5)類型五：阿波羅尼斯圓

2、阿波羅尼斯圓

“阿波羅尼斯圓”的定義：平面內到兩個定點A(-/0),B(a,0)(a>0)的距離之比為正數(shù)；1(2/1)的點的

軌跡是C(套;a,0)為圓心，:為半徑的圓,即為阿波羅尼斯圓.

【典例1](23-24高三下?陜西銅川?模擬預測)已知4(-2,0),3(2,0),^(x-a-1)2+(y-3a+2)2=4±

存在點尸滿足可.而=5，則〃的取值范圍是()

A.[—1,2]B.[—2,1]C.[—2,3]D.[—3,2]

II

【典例2】(23-24高三上?江西宜春?月考)若是平面內不同的兩定點，動點尸滿足南=%(左>0且以1),

則點尸的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故被稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏

圓.已知尸是圓弓：/+/=4上的動點，點。(4,0),0(4,9),則2|尸0—|尸C|的最大值為.

法技巧?逆境學霸

一、直線的傾斜角與斜率范圍的求法

1、求傾斜角的取值范圍的一般步驟

(1)求出斜率左=tana的取值范圍.

(2)利用三角函數(shù)的單調性，借助圖象，確定傾斜角a的取值范圍.求傾斜角時要注意斜率是否存在.

2、斜率取值范圍的2種求法

(1)數(shù)形結合法：作出直線在平面直角坐標系中可能的位置，借助圖形，結合正切函數(shù)的單調性確定;

(2)函數(shù)圖象法：根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可.

【典例1](23-24高三上.云南曲靖.月考)若直線尤+ysina+2=0(crwR)的傾斜角的取值范圍是.

【典例2]（23-24高三上?四川雅安?期中）若直線/：>=近-君經過直線1+]=1在第一象限上的點，則直

線I的傾斜角a的取值范圍是（）

A.（30°,90°）B,[30°,90°）C.（60°,90°）D,[30°,90°]

二、求解直線方程的兩種方法

（1）直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程；

（2）待定系數(shù)法：①設所求直線方程的某種形式；②由條件建立所求參數(shù)的方程（組）；③解這個方程（組）

求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入所設直線方程

【典例1]（23-24高三上.福建福州?月考）已知VABC的頂點A（4,l）,邊AB上的高線CH所在的直線方程為

x+y-l=0,邊AC上的中線3M所在的直線方程為3x-y-l=0.

（1）求點8的坐標；

（2）求直線的方程.

【典例2]（23-24高三上?福建莆田?月考）已知VABC的三個頂點分別為A（-3,0）,B（2,l）,C（-2,3）.

（1）求邊48的垂直平分線的方程；

（2）已知平行四邊形A5C￡>,求點。的坐標.

三、由一般式方程確定兩直線位置關系的方法

h：Aix+3iy+G=0（解+8甚0）,

直線方程

h：A2X+B2y+G=0（A2+咫#0）

/1與/2垂直的充要條件A1A2+B1B2=O

*崎如&。2到

/1與/2平行的充分條件

和a民邦）

與/2相交的充分條件

會=為豈2歷02加）

與/2重合的充分條件

【典例1］（23-24高三上?江西南昌?月考）已知。>0,b>0,直線（a-l）x+y-l=。和x+2勿+1=0垂直,

則2；1的最小值為（）

ab

A.16B.8C.4D.2

【典例2］（23-24高三上?江蘇?月考）已知直線4：辦+y-。=0,￡4x+分-a-2=0，則“q=一2”是％〃/?”的

（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.非充分也非必要

四、兩條直線的交點與距離問題

1、求過兩直線交點的直線方程的方法

求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結合其他條件寫出直線方程，也

可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡化解題過程.

2、點到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件

（1）求點到直線的距離時，應先化直線方程為一般式.

（2）求兩平行線之間的距離時，應先將方程化為一般式且無，y的系數(shù)對應相等.

【典例1】（23-24高三上?河北衡水?月考）已知斜率均為負的直線/：6元+毆=0與直線加:6+2辦+。=0平行,

則兩條直線之間的距離為.

【典例2X23-24高三上?江蘇淮安?月考）已知直線/滿足:原點到它的距離為4,點（3,0）到它的距離為20,

請寫出滿足條件的直線/的一個方程：.

五、對稱問題的求解方法

y—2b—y.

2、線關于點：直線關于點的對稱可轉化為點關于點的對稱問題來解決.

3、點關于線：點A（a,b）關于直線Ac+By+C=0（2#））的對稱點4（加，w）,

4、線關于線：直線關于直線的對稱可轉化為點關于直線的對稱問題來解決.

【典例1］（23-24高三上?重慶九龍坡?月考）已知直線（l+Qx+y-笈-2=0恒過定點尸，則點尸關于直線

x-y-2=o的對稱點的坐標是.

【典例2］（23-24高三上.陜西榆林?模擬預測）已知直線4：3x-4y-4=0關于直線4的對稱直線為y軸,

則4的方程為.

六、求圓的方程的兩種方法

1、幾何法：根據(jù)圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程.

2、待定系數(shù)法：（1）若已知條件與圓心（a,力和半徑，有關，則設圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關于a,

b,廠的方程組，從而求出a,b,廠的值；

（2）若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇設圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于。，E,F的

方程組，進而求出。，E,尸的值.

【典例1］（23-24高三上?陜西榆林?模擬預測）圓心在x軸的正半軸上，半徑為8,且與直線4x-3y=0相切

的圓的方程為.

【典例2X23-24高三上?寧夏銀川?月考）已知4（-1,0）,3（4,0）,。（0,2）,則丫山?。外接圓的方程為

七、求與圓有關的軌跡問題的方法

1、直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；

2、定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程；

3、幾何法：利用圓的幾何性質列方程；

4、代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式

【典例123-24高三上?青海西寧?期中圮知A（-l,0）,B（l,0）,C為平面內的一個動點,且滿足\AC\=y［2\BC\,

則點C的軌跡方程為.

【典例2］（23-24高三上?山東煙臺?月考）已知定點8（3,0）,點A在圓好+產=1上運動，/AOB的平分線

交線段AB于點M,則點M的軌跡方程是.

八、解決有關弦長問題的常用方法及結論

1、幾何法：如圖所示，設直線/被圓C截得的弦為圓的半徑為廠，圓心到直線的距離為d,則有關系

式：\AB\=—d2

2、代數(shù)法：若斜率為左的直線與圓相交于4冽，班），B（XB,ym）兩點,

則|A8|=MI+IA/XA+XJ—4XAXB=+表］邛一沖|（其中存0）.

特別地，當左=0時，\AB\=\XA-XB\;當斜率不存在時，\AB\=\yA-yB\.

【典例1］（23-24高三上?四川成都?期末）寫出經過坐標原點，且被圓C:（x-l）2+（y-2）2=4截得的弦長為

273的直線I的方程.

【典例2X23-24高三上?江蘇鹽城?月考）（多選）若直線/：丁=丘+1與圓C:（x-2Y+y2=9相交于A,8兩點，

則|4卻長度可能等于（）

A.2B.4C.3A/2D.5

九、求過一點（xo,yo）的圓的切線方程的方法

1、幾何法：當斜率存在時，設為左，則切線方程為y—yo=A（無一尤o）,即fct—y+yO—Axo=O.由圓心到直線的

距離等于半徑，即可求出k的值，進而寫出切線方程，當斜率不存在時，要進行驗證；

2、代數(shù)法：當斜率存在時，設為總則切線方程為y—加=網(wǎng)無一均），即/=日一fcvo+比，代入圓的方程，得

到一個關于x的一元二次方程，由/=0,求得入切線方程即可求出，當斜率不存在時，要進行驗證.

【典例1］（23-24高三上.河北邢臺?期末）已知圓。：/+/=4,過退）作圓。的切線/,則直線/的傾

斜角為.

【典例2］（23-24高三上.江蘇南京?月考）從圓尤2一2x+V—2y+1=0外一點尸（3,2）向這個圓作兩條切線，

則兩切線夾角（銳角或直角）的余弦值為（）

A.-B.-C.—D.6

252

十、圓與圓的位置關系問題

可用代數(shù)法與幾何法判斷圓與圓的位置關系：

（1）集合法：通過比較兩圓半徑為小/2與圓心距1=|。1。2|之間的關系判斷；

（2）代數(shù)法：聯(lián)立兩圓的方程，通過確定方程解的個數(shù)來判斷圓與圓的位置關系.

【典例1］（23-24高三下?山東?模擬預測）已知圓M:%2+丁+2ay=0（。＞0）的圓心到直線3x+2y=2的距離

是則圓M與圓N:（x—2）2+（y+2）2=l的位置關系是（）

A.相離B.相交C.內切D.內含

【典例2］（23-24高三上?河北保定?月考）（多選）已知圓G:（x+2y+y2=i,圓c?:J+（y_0）2=9,則下

列結論正確的是（）

A.若G和C之外離，貝！Ia>2石或a<-2后

B.若G和g外切，則a=±2括

C.當a=0時，有且僅有一條直線與C1和G均相切

D.當。=2時，q和C內含

十一、兩圓的公共弦問題

公共弦長的求法

（1）代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長.

（2）幾何法：將兩圓作差可得到公共弦所在直線方程，利用其中一個圓的圓心和半徑，求得該圓心和公共

弦所在直線的距離即弦心距，在弦心距、弦的一半和半徑構成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦

的一半，進而得到公共弦長.

【典例1］（23-24高三上?廣東揭陽?期中）已知圓G：x2+/+2%+2y+l=0,圓C?：x2+y2+4x=0,則

圓與圓C2的公共弦所在直線的方程是（）

A.2x+l=0B.2x-2y-l=0C.2x+2y+l=0D.2x+2y=0

【典例2］（23-24高三下?浙江金華?月考）兩圓一+產=1與尤2+y+2x-2y+l=0的公共弦長為（）

A.—B.J2C.-D.1

22

十二、兩圓的公切線問題

兩圓公切線方程的確定

（1）當公切線的斜率存在時，可設公切線方程為y=+由公切線的意義（兩圓公公的切線）可知，

兩圓心到直線丁=履+6的距離分別等于兩圓的半徑，這樣得到關于左和〃的方程，解這個方程組得到左，

6的值，即可寫出公切線的方程；

（2）當公切線的斜率不存在時，要注意運用數(shù)形結合的方法，觀察并寫出公切線的方程.

22

【典例1】（23-24高三上?山東濟寧?期末）已知圓G：/+,+2工+分-8=0和圓C2:（x-5）+（y-4）=25,

則圓G與圓G的公切線有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【典例2］（23-24高三下.江西?月考）已知圓“：七+0-3）2=1和N:（尤一4）2+丁=16,則圓例與圓N的所

有公切線中斜率的最大值為.

1易混易錯J

易錯點1誤解“截距”和“距離”的關系

點撥：截距是指曲線與坐標軸交點的橫（縱）坐標，它是一個實數(shù)，可為正數(shù)、負數(shù)、零，而距離一定是

非負數(shù)，對此考生應高度重視。

【典例1］（23-24高三上?安徽六安?月考）過點（1,2）且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程

【典例2］（23-24高三下?河南開封?模擬預測）若直線/