指數(shù)函數(shù)（解析版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第07講指數(shù)函數(shù)

（12類核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

函數(shù)奇偶性的定義與判斷、判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀、識(shí)別三角函數(shù)的

2023年天津卷，第4題,5分

圖象（含正、弦、正切）根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題靈活，難度有低有高，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，能夠根據(jù)指數(shù)函數(shù)求定義域與值域

2.能掌握指數(shù)函數(shù)的圖像特征

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)利用函數(shù)圖像解決比較大小最值等問(wèn)題

4.會(huì)結(jié)合函數(shù)的奇偶性，解決指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，考查內(nèi)容比較廣泛。

12?考點(diǎn)梳理—

考點(diǎn)一、指數(shù)函數(shù)的解析式

考點(diǎn)二、指示函數(shù)求參問(wèn)題

1.指數(shù)函數(shù)的定義

知識(shí)點(diǎn)一.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)三、指數(shù)函數(shù)的定義域與不等式

2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)四、指數(shù)函數(shù)的值域

考點(diǎn)五、由指數(shù)函數(shù)定義域與值域求參

指數(shù)函數(shù)<

考點(diǎn)六、指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)

考點(diǎn)七、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

1?畫(huà)指數(shù)函數(shù)的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)考點(diǎn)八、指數(shù)函數(shù)的圖像

知識(shí)點(diǎn)二.指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)考點(diǎn)九、指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用

2.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較考點(diǎn)十、指數(shù)函數(shù)比較大小

{考點(diǎn)十一、指數(shù)函數(shù)綜合應(yīng)用

考點(diǎn)十二、指數(shù)函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)j=a'（a>0,aWl）叫做指數(shù)函數(shù),函數(shù)的定義域是R.

2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

X

y=aa>l0<水1

Fjy=cf產(chǎn)優(yōu)\『

一”…折］一半U(xiǎn)i

圖象

0|~~1—“Xo\~~

定義域R

值域(0,+°°)

過(guò)定點(diǎn)（0,1）

性質(zhì)當(dāng)x>0時(shí)，y>l；當(dāng)x<0時(shí)，0<jKl當(dāng)x>0時(shí)，0<J<1；當(dāng)水0時(shí)，y>l

在（一8,十8）上是增函數(shù)在（一8,+8）上是減函數(shù)

注意：形如y=4a，,y=a，+"（4GR,且4W0；a>0且a/1）的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù).

知識(shí)點(diǎn)二.指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)

1.畫(huà)指數(shù)函數(shù)y=a，（a>0,且aWl）的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1,a）,（0,1）,（一1,

2.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較

如圖是指數(shù)函數(shù)（l）y=a",（2）y=6，,（3）y=c",（4）尸"的圖象，底數(shù)a,b,c,，與1之間的大小關(guān)系為

c>力>l>a>6>0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)了=@*9>0,aWl）的圖象越高，

底數(shù)越大.

3.函數(shù)尸a，與y=g『（a>0,且aWl）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

注意解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，若底數(shù)不確定，應(yīng)注意對(duì)a>l及0<a<l進(jìn)行分類討論.

考點(diǎn)一、指數(shù)函數(shù)的解析式

典例引領(lǐng)

1.（2022?北京?高考真題）已知函數(shù)/0）=2，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有（）

A./(—%)+/(%)=0B./(—%)—/(%)=0

C./(-x)+/(%)=1D./(-x)-/(x)=1

【答案】C

【分析】直接代入計(jì)算，注意通分不要計(jì)算錯(cuò)誤.

【詳解】/(r)+f(x)=/+含=總+a=1，故A錯(cuò)誤，C正確；

_-=

f(^)-/W=12-X=17771-不是常數(shù),故BD錯(cuò)誤;

故選：C.

2.(22-23高三上?江蘇常州?階段練習(xí))若p：函數(shù)/(%)=(m2-3m+3)zn*是指數(shù)函數(shù)，q-.m2-3m+2-

0,則q是p的()條件

A.充要條件B.充分不必要

C.必要不充分D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】根據(jù)命題p和指數(shù)函數(shù)的定義列方程解得小，根據(jù)命題q解得小，再根據(jù)必要不充分條件的定義判斷

即可.

【詳解】命題P真，則?。俊?m+3=1,解得m=l或2,又小41,.，.巾=2；q為真，則m=l或2,

，q是P的必要不充分條件.

故選：C.

即0唧(

1.(21-22高三上?廣東江門(mén)?階段練習(xí))若函數(shù)f(x)同時(shí)具有下列性質(zhì):①/(%+久2)=/(%)/。2)；②

當(dāng)x6(0,+8)時(shí)，/(X)>1.請(qǐng)寫(xiě)出/(久)的一個(gè)解析式

【答案】/(%)=2久(答案不唯一)

【分析】由已知確定函數(shù)可為指數(shù)函數(shù)、增函數(shù)，隨機(jī)寫(xiě)出一個(gè)即可.

【詳解】因?yàn)?(勺+犯)=/(久1)/(%2)，故指數(shù)函數(shù)滿足運(yùn)算，又當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，/(x)>1,故指數(shù)函數(shù)

底數(shù)應(yīng)大于1,函數(shù)可為：/(%)=2\

故答案為：f。)=2*

2.(2020高三?全國(guó)?專題練習(xí))函數(shù)y=(2a2-3a+2)/是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是

【答案】g}

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義要滿足條件得到關(guān)于a的取值范圍.

【詳解】解:，.?函數(shù)y=(2a2—3a+2)a”是指數(shù)函數(shù),???2a2—3a+2=1且a>0,aW1,由2a2—3a+2=1

解得0=1或。=5.?.0=/所以@的取值范圍為：{1}.

故答案為：g}.

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.(22-23高三上?黑龍江七臺(tái)河?期中)設(shè)函數(shù)f(x)=°，且/(-2)=3,/(-I)=/(1),則

I乙,KWU

/(X)的解析式為.

【答案】/)=｛二之；°

【分析】根據(jù)八-2)=3,f(—1)=/(1)求出a,b,可得函數(shù)解析式.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)解析式為f(x)則/(1)=21=2,則f(—l)=/(l)=2,

由/(一2)=3J(-1)=2可得，;?:六解得所以/出=「歲:,；。.

I—CL十。一/I。一J.I乙,尤仁U

考點(diǎn)二、指示函數(shù)求參問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.(2023?全國(guó)?高考真題)已知/(%)=若三是偶函數(shù)，貝b=()

A.-2B.—1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)榘司?=若三為偶函數(shù)，則fQ)-f(一乃=亳一苔=?：<：：)>=。，

又因?yàn)楣げ缓銥?,可得e%-e(a-1)x=0,即e%=e(a-1)x,

則》=(a—l)x,即1=a—1,解得a=2.

故選：D.

2.(江西?高考真題)已知函數(shù)￡&)=｛。2孑'；/：'^^口)，若f(f(—l))=l,則a=()

A-JB.|C.1D.2

【答案】A

【分析】先求出/(-1)的值，再求/(/(-1))的值，然后列方程可求得答案

【詳解】解：由題意得〃-1)=2-(T)=2,

所以f(f(一1))=/(2)=a.22=4a=1,解得a=；.

故選：A

【點(diǎn)睛】此題考查分段函數(shù)求值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題

即時(shí)檢測(cè)

1.(2024.黑龍江齊齊哈爾?三模)若/(%)=需sin%為偶函數(shù)，則a=()

A.1B.0C.-1D.2

【答案】A

【分析】由已知/0)為偶函數(shù)，可得f(x)=f(-x),列方程求解即可.

【詳解】由/0)=二：sinx,

得"一%)=?宴$也(一久)，

因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以/(-%)=f(x)，

ol-ae~x./、l-aex.

BnJ-----sin(—x)=----sin%,

l+e-x')1+e%

所以一9三=三［=9與，解得a=l.

1+exl+exl+ex

故選:A.

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)a>0且aH1,若函數(shù)f(%)=(4%-3%)a%是R上的奇函數(shù)，則a=().

A.在B.如C.3D.在

6336

【答案】D

【分析】根據(jù)〃-1)=一/(1)求出a,然后代入驗(yàn)證即可.

【詳解】由于函數(shù)f(x)=(*-3，)〃是R上的奇函數(shù)，

故/(T)=一/'⑴，則一看=—a,BPa2=2.

因?yàn)閍>0,所以a=立.

6

當(dāng)a=?時(shí)，f(x)=(4,一3，)(彳了，

則/⑺+/(-%)=(4-3，)+(4--3-)t

=*3,)(穿+=(2<=…3工)悍)1一(2.

=^?3,(5)-(2V3)X=(2—?3—+*-2--3^)=0

符合函數(shù)/(%)是R上的奇函數(shù)

故選：D.

3.(2024?貴州畢節(jié)?三模)已知函數(shù)/(X)=言是奇函數(shù)，若"2023)>f(2024),則實(shí)數(shù)a的值為

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即函數(shù)的單調(diào)性解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/'(%)=晶是奇函數(shù),

e-x-al-aex_ex-ci_a-ex

所以/(一汽)=xxx

e~x+al+ae~⑺——e+a-e+a"

解得Q=±1，

ex-a2a

又fix)1

ex+aex+a

所以當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)為減函數(shù),

因?yàn)?'(2023)>/(2024),

所以a<0,故a=-1.

故選：B

4.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))己知f(x)=)彳；2：；比0'是定義在R上的偶函數(shù)，則小一n=

\NNfX<U

()

A.-4B.0C.2D.4

【答案】A

【分析】利用偶函數(shù)和0處函數(shù)值列方程求解即可.

【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以〃1)=/(—1),即2巾+]=-3,

又/(0)=21+0-21-0=0,所以/(0)=m+n=0,

聯(lián)立,6+2—123,解得巾=-2,n=2,

Im+n=0

經(jīng)檢驗(yàn)，m=-2,九=2滿足要求，

故TH—n=—4.

故選：A.

考點(diǎn)三、指數(shù)函數(shù)的定義域與不等式

典例引領(lǐng)

1.(2022高三?全國(guó)?專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(久)=7^萬(wàn)，則函數(shù)f(J)的定義域?yàn)?)

A.[2,+8)B.[4,+8)C.(—8,2]D.(-8,4]

【答案】D

【分析】求出八》)的定義域后可求f◎的定義域，

【詳解】因?yàn)閒(x)=，4一2%,所以4一2尢20,故％W2,

故/(%)的定義域?yàn)?-8,2],

令|<2,則xW4,故f仔)的定義域?yàn)?一8,4].

故選：D.

2.(23-24高三下?北京?階段練習(xí))函數(shù)/(%)=/+—8的定義域?yàn)?)

A.(-oo,-5)U(-5,-3)B.(-oo,-3)C.(-oo,-5)U(-5,-3]D.(-oo,-3]

【答案】C

r2%+iowo

【分析】令[gy_82o，運(yùn)算求解即可得函數(shù)八%)的定義域―

(2久+10W0

【詳解】令_8>0，解得X--3且x*-5,

所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?—8,—5)U(-5,-3].

故選：C.

即反隹測(cè)

1.(21-22高三上?內(nèi)蒙古烏海?階段練習(xí))已知函數(shù)/(久)的定義域?yàn)椴?,2],則函數(shù)9(久)=/(2乂)+6萬(wàn)

的定義域?yàn)?/p>

【答案】[-1,0]

【分析】根據(jù)具體函數(shù)和抽象函數(shù)的定義域求法，即可求解.

【詳解】由條件可知，函數(shù)的定義域需滿足｛了5?^"/)2,解得：-1WXW0,

所以函數(shù)g(x)的定義域是[-1,0].

故答案為：[-1,0]

2.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))設(shè)函數(shù)f⑺=P~X,弋，則滿足f(久+1)<f(2x)的x的取值范圍是

(J.)XU,

()

A.(-OO.-1]B.(0,+8)C.(—1,0)D.(―oo,0)

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的大小關(guān)系可以直接根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求解，亦可畫(huà)出分段函數(shù)的圖像，利用數(shù)

形結(jié)合求解.

【詳解】(分類討論法)根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，當(dāng)XW0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減;

而當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=l(為常數(shù))，

,x+1<0,

成產(chǎn)+1>0,

故分以下兩種情況：,2xW。，收2x<0.

.%+1>2x,

解得X<-1或-1<%<0,

綜上可得x<0.

(數(shù)形結(jié)合法)作出f(x)的圖像，如圖:

結(jié)合圖像可知“X+1)</(2x)Q｛久?j或2x<x+1<0,

解得一1<%<0或x<-1,

綜上可得x<0.

故選：D

2x

3.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(久)=3A2_3-,則滿足f(x)+/(8-3x)>。的x的取值范圍是

()

A.(—8,4)B.(—co,2)C.(2,+8)D.(—2,2)

【答案】B

【分析】設(shè)g(x)=3X-3-x,即可判斷g(x)為奇函數(shù)，又f(x)=g(x-2),可得f(x)圖象的對(duì)稱中心為(2,0),

則/O)+/(4—x)=0,再判斷f(%)的單調(diào)性,不等式f(x)+/(8—3x)>0,即八8—3約>f(4—x),結(jié)

合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.

【詳解】設(shè)g(X)=3%-3~x,xER,則g(-x)=3T-3X=—g(x),所以g(x)為奇函數(shù).

X/(x)=3X~Z—32T_3X-2_3-0-2)_g又_2),

則/(乃的圖象是由g(x)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，

所以“X)圖象的對(duì)稱中心為(2,0),所以/(X)+/(4一x)=0.

因?yàn)閥=3、在R上單調(diào)遞增，y=3一在R上單調(diào)遞減，

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，則/(%)在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)?'(x)+f(8-3%)>0=/(x)+/(4-x),

所以/'(8-3x)>“4一乂)，所以8—3%>4—解得x<2,

故滿足〃久)+f(8-3%)>0的x的取值范圍為(一8,2).

故選：B

4.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知/(久)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿足f(l)=2,且對(duì)任意0<<x2,

都有f(xi)-f(x2)>一］,則不等式“2*-1)<4-2工的解集為()

%1—%2

A.(—8,0)B.(0,+oo)C.(—8,1)D.(0,1)

【答案】C

【分析】首先由""1)一"")>一1得出/(%1)+。Vf(%2)+%2,設(shè)9(%)=/(%)+%，得出9(%)在［0,+8)上單

調(diào)遞增，根據(jù)g(x)的奇偶性得出g(x)為R上的增函數(shù)，由不等式“2,-1)<4-2,得。(2工-1)<g(l),求

解即可.

【詳解】由對(duì)任意0W與<%2,都有>—1,可得f(X］)+Xi</(七)+乂2，

xl-x2

令g(%)=/(%)+%，則函數(shù)g(%)=/(%)+%在［0,+8)上單調(diào)遞增,

又汽eR,g(-%)=-g(%)，所以g(x)為R上的奇函數(shù)，

所以9(%)在R上是增函數(shù).

不等式“2%-1)<4-2x,且f(1)=2,得/(2%-1)+(2X-1)<3=f(l)+1,

所以9(2工-1)<9(1),

所以差-1<1,即力<1,

故選：C.

考點(diǎn)四、指數(shù)函數(shù)的值域

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三下?浙江麗水?開(kāi)學(xué)考試)函數(shù)/(x)=1-3尢的值域是()

A.(-oo,l)B.(-co,1]C.[0,1)D.[0,1]

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得1-3工<1,即可得到f(x)的值域.

【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得3%>0,所以1一3/<1,即/(x)的值域是(—8,1).

故選：A.

2.(2024?上海楊浦?二模)若函數(shù)g(x)=廣"為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/㈤，比e(0,+8)的值域

為.

【答案】(0,1)

【分析】由奇函數(shù)定義可得y=/(%)解析式，即可求得值域.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，一萬(wàn)<0,因?yàn)間(x)為奇函數(shù)，貝!|g(-x)=-g(x)=2-x-1=0-1,所以g(x)=

所以/(x)=l—?尸，xe(0,+8)時(shí)/(x)值域?yàn)?0,1).

故答案為：(0,1).

??即時(shí)檢測(cè)

1.(23-24高三下?北京?開(kāi)學(xué)考試)函數(shù)/(久)=fx+1-x>0的值域?yàn)開(kāi)________.

12X-1,%<0

【答案】(―l,0]U(l,+8)

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】當(dāng)%>0時(shí)，/0)=(+1>1,

當(dāng)x<。時(shí)，則-1<2,一1W2°—1,即-1<2X-1<0,

綜上f(x)的值域?yàn)?—1,0]U(1,+8),

故答案為：(―+8).

2.(2024?貴州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=2--+2丫+3,則"%)的最大值是_.

【答案】16

【分析】求出t=-%2+2%+3的范圍，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.

2

【詳解】由/'(x)=2--+2X+3,而i=_x2+2x+3=—(x—I)+4<4,

因?yàn)閥=2t單調(diào)遞增，所以y=2tW23則f(x)的最大值是16.

故答案為：16

3.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(%)=?[^X~，x<0的值域?yàn)?/p>

llog2(x+2),%>0—

【答案】(0,肝((+8)

【分析】分別計(jì)算出分段函數(shù)每段函數(shù)取值范圍后取并集即可得.

【詳解】當(dāng)xW0時(shí)，0</(%)=4X~2<4~1=I，

當(dāng)久>0時(shí)，/(x)=log2(x+2)>1,

所以“X)的值域?yàn)?0曰U(1,+8).

故答案為：(0*]u(l,+8).

4.(23-24高三上?重慶沙坪壩?階段練習(xí))函數(shù)y=(|)的值域?yàn)?單調(diào)遞增

區(qū)間為.

【答案】[1,3](開(kāi)閉均可)

【分析】先求出函數(shù)的定義域，進(jìn)而求出，-/+2%+3的范圍,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域即可求出函數(shù)的值

域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可.

【詳解】令一/+2%+3>0,解得一1<x<3,

V—X2+2X+3

?的定義域?yàn)閇-1,3],

貝1」一%2+2%+3=—(％—1)2+4W[0,4],

所以+2%+3G[0,2],

/1、V—x2+2x+3J-i

所以G)山斗

7—妤+2%+3J-i

?的值域?yàn)槠?1];

令t=A/—/+2%+3,%E[—1,3],

令〃=一/+2%+3,其在[一1,1)上是增函數(shù)，在[1,3]上是減函數(shù)，

而函數(shù)力=向在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

所以函數(shù)￡=—2+2%+3在[-1,1)上是增函數(shù),在口3]上是減函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)y=是減函數(shù)，

所以函數(shù)y=g)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,3].

故答案為：，4[1,3](開(kāi)閉均可).

考點(diǎn)五、由指數(shù)函數(shù)定義域與值域求參

典例引領(lǐng)

1.(2022?海南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(%)=-a的定義域?yàn)椋?,+oo),則<1=.

【答案】4

【分析】由已知可得不等式2,-a20的解集為［2,+8),可知x=2為方程2工-。=0的根，即可求得實(shí)數(shù)a

的值.

【詳解】由題意可知，不等式度―a20的解集為［2,+8),則22—a=0,解得a=4,

當(dāng)a=4時(shí)，由2才一420,可得2久24=22,解得x22,合乎題意.

故答案為：4.

2.(2023?上海浦東新?模擬預(yù)測(cè))設(shè)/⑺=不匕+1).若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?一8,1)u(1,+8),

則關(guān)于x的不等式產(chǎn)>f(a)的解集為—.

【答案】［L+8)

【分析】由函數(shù)f(x)的定義域可求得實(shí)數(shù)a的值，可得出函數(shù)/(%)的解析式，求出f(a)的值，然后利用指數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性可解不等式a，2f(a),即可得其解集.

【詳解】若aWO,對(duì)任意的xeR,2x-a>0,則函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,不合乎題意，

所以，a>0,由2%—aK0可得x力log2。，

因?yàn)楹瘮?shù)y=fO)的定義域?yàn)閧x|x片1},所以，log2a=1,解得a=2,

所以，/(乃="(七+￡)，則f(a)=f⑵=2(/+鄉(xiāng)=2,

由謨>/(a)可得2,>2,解得x>1.

因此，不等式爐2/(a)的解集為［1,+8).

故答案為：［1,+8).

??即時(shí)啊

1.(2022高三?全國(guó)?專題練習(xí))函數(shù)f(x)=久(六+q)定義域?yàn)?-8,1)u(1,+8),則滿足不等

式ax》f(a)的實(shí)數(shù)x的集合為.

【答案】{x|xel}

【分析】由題意可得a=2,/(%)+f(a)=f@)=2,由axNf(a),結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可

求X

【詳解】解：由函數(shù)/(%)=+定義域?yàn)?-8,1)U(1,+8),可知a=2

；?"")=”(途+》,/砌=/(2)=2

由ax》f(a)可得，2x22

故答案為：{x|x》l}

2.(23-24高三上?河南駐馬店?期末)若函數(shù)/0)=/號(hào)有最小值，則根的取值范圍是.

【答案】［-5,+8)

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式分類討論，分別計(jì)算可得；

【詳解】函數(shù)y=2X+TH在(0,+8)上的值域?yàn)?m+1,4-co),

y=x2+4%在(—8,0］上的值域?yàn)椋邸?,+8),

則m+1>—4,即m>—5,

所以血的取值范圍是［-5,+oo).

故答案為：［—5,+8).

3.(2024?四川成都?二模)已知函數(shù)/(%)=2*2-%+1的值域?yàn)镸.若(1,+8)UM,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是()

A.(―8用B.［o,1］C,u［i,+oo)D,［i,+co)

【答案】B

【分析】

對(duì)實(shí)數(shù)a分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的值域可得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，/O)=2T+ie(0,+8),符合題意；

當(dāng)。W0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)f(%)=的值域?yàn)镸滿足(1,+8)CM,

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即二次函數(shù)y=a/一汽+1的最小值小于或等于零；

若a>0時(shí)，依題意有y=ax2—%+1的最小值^^<0,即0Va4%

若a〈0時(shí)，不符合題意；

綜上:o<a<i,

故選：B.

考點(diǎn)六、指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三上?黑龍江齊齊哈爾?階段練習(xí))已知函數(shù)y=2謨-2一3">0且a*1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)

P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【答案】(2,-1)

【分析】根據(jù)a。=1得出指數(shù)型函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn).

【詳解】令久-2=0,得x=2,則y=2屋一3=-1.

所以函數(shù)y=2爐一2一3(。>0且。41)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P(2,-l).

故答案為：(2,-1).

2.(23-24高三上?福建莆田?階段練習(xí))函數(shù)y=+2(a>0且a豐1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(k,6),若加+

ri=b—k且m>0,?2>0,則2+工的最小值為()

mn

95

A.9B.8C.-D.-

22

【答案】B

【分析】先求出函數(shù)過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用基本不等式求最值.

【詳解】函數(shù)y=+2(a>0且QW1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(1,3),所以m+九=3-1=2,

2(2+1)=(m+n)(2+工)=10+里+依210+2校=16,

\mnJ\mnJmn

???2(-+>16,8,

\mnJmn

當(dāng)且僅當(dāng)空=',即九=工,巾=三等號(hào)成立，

mn22

所以2+工的最小值為8.

mn

故選：B.

即時(shí)投丈

1.(23-24高三上?陜西西安?階段練習(xí))已知函數(shù)/O)=a，-+2(a>。且a豐1)的圖像過(guò)定點(diǎn)P,且

角a的始邊與x軸的正半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)P,則巴管;:應(yīng)中。)等于()

sin(-n-a)

2233

A.--B.-C.-D.--

3322

【答案】A

【分析】先化簡(jiǎn)所要求的式子，又由于f(2)=a2-2+2=a°+2=l+2=3,所以/(乃=〃-+2過(guò)定點(diǎn)

P(2,3),進(jìn)一步結(jié)合題意可以求出與a有關(guān)的三角函數(shù)值，最終代入求值即可.

[詳解]cos(等-a”n映+a)=cos[工-(a+釧sin14"(a+到=cos[-(a+到sin(*)

sin2(3-n-a)[-sin(a+JI)]2sin2(n+a)

又因?yàn)閏os1—(a+；)]=cos(a+；)=—sina,sin(?+：)=coscr,sin2(兀+a)=sin2a,

故原式二一sin：c°sa=一；；又/(%)=。%-2+2過(guò)定點(diǎn)P(2,3),所以tana="代入原式得原式二一;=-f.

sinzatana2tana3

故選：A.

2.(21-22高三上?上海奉賢?階段練習(xí))已知/(%)=ax-2+2(a>0,aW1)過(guò)定點(diǎn)P,且P點(diǎn)在直線+

ny=l(m>0,n>0)_b,則'+：的最小值=.

【答案】8+4V3/4V3+8

【分析】先求出定點(diǎn)，代入直線方程，最后利用基本不等式求解.

【詳解】/(%)=ax~2+2(a>0,aW1)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2,3),代入直線得2血+3n=1,

工+2=（工+9（2巾+3n）=8+m+%28+2戶.%=8+4百,

mn\mnJmnmn

當(dāng)且僅當(dāng)m=%時(shí)等號(hào)成立

mn

故答案為：8+4V3

故答案為：5.

考點(diǎn)七、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

典例引領(lǐng)

1.2023?北京?高考真題)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=-InxB./(x)=表

C./(X)=-iD.f(x)=3吐」

【答案】C

【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC,舉反例排除D即可.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閥=In久在(0,+8)上單調(diào)遞增，y=-%在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以"%)=-Inx在(0,+8)上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閥=2、在(0,+8)上單調(diào)遞增，y=(在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以"%)=/在(0,+8)上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閥=：在(0,+8)上單調(diào)遞減，y=-%在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(x)=在(0,+8)上單調(diào)遞增，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)?G)=3li-1l=35=V3,/(I)=311Tl=3。=1,/(2)=312Tl=3,

顯然f(x)=3吐11在(0,+8)上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.(2023?全國(guó)?高考真題)設(shè)函數(shù)=2我”。)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，貝必的取值范圍是(

A.(—8,—2]B.[—2,0)

C.(0,2]D.[2,+00)

【答案】D

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.

【詳解】函數(shù)y=2》在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)f(x)=2，(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

2

則有函數(shù)丫=雙X-。)=(%—乎-一在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，因此解得a22,

24Z

所以a的取值范圍是[2,+8).

故選：D

即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?河南信陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))下列函數(shù)中，在其定義域上單調(diào)遞減的是()

A./(%)=InxB./(久)=—tannC./(%)=x3D./(%)=|e~x\

【答案】D

【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=In久在其定義域(0,+8)上單調(diào)遞增，A選項(xiàng)不滿足條件；

f[x)=-tann=0為常函數(shù)，在其定義域上沒(méi)有單調(diào)性，B選項(xiàng)不滿足條件；

/(X)=/在其定義域(-8,+8)上單調(diào)遞增，C選項(xiàng)不滿足條件；

/(乃=怕-"=。在其定義域(-8,+8)上單調(diào)遞減，D選項(xiàng)滿足條件.

故選：D.

2.(2024?山西呂梁?二模)已知函數(shù)y=/(4%—/)在區(qū)間Q2)上單調(diào)遞減，則函數(shù)/(久)的解析式可以為

()

A.—4x—x2B.=2⑶

C./(x)=—sinxD./(x)=x

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分析可知f(x)在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】因?yàn)閠=4x—/開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為t=2,

可知內(nèi)層函數(shù)t=4久-/在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x=1,t=3；當(dāng)x=2,t=4；

可知t=4x-x2e(3,4),

又因?yàn)楹瘮?shù)y=/(4x-產(chǎn))在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，

所以/(t)在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減,即/(乃在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減.

對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=4%-/在區(qū)間⑶4)上單調(diào)遞減，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閤6(3,4),則/(x)=2⑶=2乂在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閤6(3,4)U(1,”)，則/0)=-$行%在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閒(x)=x在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

(x-a)(x+2)

?在區(qū)間(一1,2)上單調(diào)遞增，貝帽的取值

范圍是()

A.[0,6]B.[-2,0]C.[6,+00)D.(-oo,0]

【答案】C

【分析】令g(x)=(x-a)(x+2),結(jié)合指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知只需g(x)在區(qū)間(-1,2)上單調(diào)遞減,

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式，解得即可.

【詳解】令9(K)—(%—cz)(x4-2)=x2+(2—a)x—2a,

因?yàn)閥=在定義域R上單調(diào)遞減，

要使函數(shù)/(X)=在區(qū)間(-1,2)上單調(diào)遞增，

則9(比)=X2+(2-a)x-2a在區(qū)間(—1,2)上單調(diào)遞減，

所以瞪22,解得a26,

所以a的取值范圍為[6,+00).

故選：C

4.(2024?廣東廣州?三模)函數(shù)/(X)=[2產(chǎn)?、其中a>0且a力1,若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，

則a的一個(gè)可能取值為一.

【答案】4(答案不唯一)

【分析】根據(jù)題意，f(x)在R上單調(diào)遞增，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性列式求解.

【詳解】因?yàn)閍>0且a力1,若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)可知：/(x)在R上單調(diào)遞增，

a>1

^<2,解得

zu4

a2<4a+5

故答案為：4(答案不唯一).

考點(diǎn)八、指數(shù)函數(shù)的圖像

典例引領(lǐng)

1.(2020?山東?高考真題)已知函數(shù)y=/(%)是偶函數(shù)，當(dāng)％E(0,+8)時(shí)，y=ax(0<a<1),則該函

數(shù)在(-8,0)上的圖像大致是()

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的知識(shí)確定正確選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)x6(0,+8)時(shí)，y-ax(0<a<1),所以/'(x)在(0,+8)上遞減，

/(X)是偶函數(shù)，所以/'(x)在(一8,0)上遞增.

注意到<1°=1,

所以B選項(xiàng)符合.

故選：B

【變式8-112.(2023?天津?高考真題)已知函數(shù)/(外的部分圖象如下圖所示，則f(x)的解析式可能為

()

*X2+2?x2+l

【答案】D

【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在(0,+8)上的函

數(shù)符號(hào)排除選項(xiàng)，即得答案.

【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其為偶函數(shù)，且/(-2)=/(2)<0,

由泮驍=一等且定義域?yàn)镽,即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；

(-x)z+lx2+l

當(dāng)x>0時(shí)5：；；)>。5仁；)>0，即A、C中(0,+8)上函數(shù)值為正，排除；

故選：D

即時(shí)投測(cè)I

1.（?四川?高考真題）函數(shù)y=+1的圖象關(guān)于直線y=久對(duì)稱的圖象大致是（)

【分析】作出函數(shù)y=住+1的圖象，再結(jié)合對(duì)稱性可得合適的選項(xiàng).

【詳解】函數(shù)y=（J*+1的圖象可視為將函數(shù)y=G）”的圖象向上平移1個(gè)單位,

所以，函數(shù)y=+1的圖象如下圖所示：

所以，函數(shù)y=Q）X+1的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的函數(shù)的圖象如A選項(xiàng)中的圖象.

故選：A.

2.（2024?河北保定-二模）函數(shù)f（%）=三三8s2%的部分圖象大致為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷即可.

【詳解】設(shè)g(x)=F，則。(一x)=W=-g(x)，

所以g0)為奇函數(shù),

設(shè)九(%)=cos2x,可知h(%)為偶函數(shù),

所以/(>)=Hcos2x為奇函數(shù)，則B,C錯(cuò)誤,

1+e"

易知f(0)=0,所以A正確，D錯(cuò)誤.

故選：A.

3.(2024?天津?二模)已知函數(shù)y=f(久)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能為().

A?小)=堯R-=SC-nX)=V=D.f(x)=總

【答案】D

【分析】根據(jù)"0)=0排除A,根據(jù)定義域排除B,根據(jù)奇偶性排除C,進(jìn)而可得答案.

【詳解】對(duì)于A,/(%)=鐺在x=。處無(wú)意義,故A錯(cuò)誤；

ex-l

對(duì)于B：/(X)=3藍(lán)的定義域?yàn)镽,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：/(x)=啟三的定義域?yàn)閃±1),

且/(—%)=建窯=谷=〃為，則f(久)為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

■yXJJ.vX-J.

對(duì)于D,/(%)=萬(wàn)條滿足圖中要求，故D正確.

故選：D.

考點(diǎn)九、指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用

典例啊

1.（2024?廣東茂名?模擬預(yù)測(cè)）自“ChatGPT”橫空出世，全球科技企業(yè)掀起一場(chǎng)研發(fā)AI大模型的熱潮，

隨著AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大規(guī)模應(yīng)用成為可能，尤其在圖文創(chuàng)意、虛擬數(shù)字人以及工業(yè)軟

件領(lǐng)域已出現(xiàn)較為成熟的落地應(yīng)用.Sigmoid函數(shù)和Tanh函數(shù)是研究人工智能被廣泛使用的2種用作神經(jīng)網(wǎng)

絡(luò)的激活函數(shù)，Tanh函數(shù)的解析式為tanhx=言］，經(jīng)過(guò)某次測(cè)試得知tanhx。=￡則當(dāng)把變量減半時(shí)，

tanh—=（）

2

A.|B.3C.1D.1或3

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，由tanh&=|得至！|M。=2求解.

【詳解】解：???tanhx=gW=|,

e%o+e一%o5

xx

...e2x0=4,e°=2,e°=—2（舍）.

Xp_X0

.".ttaannhn殛—-ev2-er2j7—_

2e竽n+e-竽*v。+1

tanh-=

23

故選:A

2.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有

關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)到20?79mg的駕駛員即為酒后駕車，80111g及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)

某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含

量會(huì)以每小時(shí)30%的速度減少，那么他至少經(jīng)過(guò)幾個(gè)小時(shí)才能駕駛？（）（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

lg3x0.48,lg7x0.85)

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)x個(gè)小時(shí)才能駕駛，貝10.6x100x（1-30%尸<20,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算

計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)x個(gè)小時(shí)才能駕駛，貝依.6x100x（1-30%/<20即0.7,<

由于y=。./在定義域上單調(diào)遞減，"log0,7|=篇=鼾=^=黑=32

他至少經(jīng)過(guò)4小時(shí)才能駕駛.

故選：D.

即時(shí)

1.（2024?四川德陽(yáng)?三模）如今我國(guó)物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合.已知

某類果蔬的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x（單位：。C）滿足函數(shù)關(guān)系.y=eax+b（a,b.為常數(shù)），若

該果蔬在7℃的保鮮時(shí)間為288小時(shí)，在21℃的保鮮時(shí)間為32小時(shí)，且該果蔬所需物流時(shí)間為4天，則

物流過(guò)程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度（假設(shè)物流過(guò)程中恒溫）最高不能超過(guò)（）

A.14℃B.15℃C.13℃D.16℃

【答案】A

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型建立方程組，再列出不等式即可求解.

【詳解】依題意，卜2誓,則/a=I,即e7a=I,顯然a<0,

"=3293

21a+b21a+fi14a+b

設(shè)物流過(guò)程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度為t℃,于是eat+b296=3?e=e-7a.e=e,

解得at+b214a+b,因此tW14,

所以物流過(guò)程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度最高不能超過(guò)14℃.

故選：A

2.（2024?江蘇?一模）德國(guó)天文學(xué)家約翰尼斯?