浙江省寧波市諾丁漢大學(xué)附中2025屆高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

浙江省寧波市諾丁漢大學(xué)附中2025屆高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,則的大小關(guān)系為A. B. C. D.2.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛馬羊,要求賠償五斗糧,三畜戶主愿賠償,牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半,羊吃了馬的一半.”請問各畜賠多少?它的大意是放牧人放牧?xí)r粗心大意,牛、馬、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食(1斗=10升),三畜的主人同意賠償,但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是馬的一半.問羊、馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食?()A. B. C. D.3.?dāng)?shù)列滿足:,,,為其前n項和,則()A.0 B.1 C.3 D.44.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A. B.4C. D.55.已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面積是()A. B.2C. D.6.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.已知函數(shù),,的零點分別為,,,則()A. B.C. D.8.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點,過B,C分別作AC,AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.B.C.D.9.設(shè),且,則()A. B. C. D.10.已知函數(shù),,其中為自然對數(shù)的底數(shù),若存在實數(shù),使成立,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.11.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.12.設(shè),滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)為橢圓在第一象限上的點,則的最小值為________.14.已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,橢圓的焦距為2c,過C外一點P(c,2c)作線段PF1,PF2分別交橢圓C于點A、B,若|PA|=|AF1|,則_____.15.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若,則數(shù)列的公比是.16.某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況,采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中,抽取人進行問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為,那么高三被抽取的人數(shù)為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)第十四屆全國冬季運動會召開期間,某校舉行了“冰上運動知識競賽”,為了解本次競賽成績情況,從中隨機抽取部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù),滿分100分)進行統(tǒng)計,請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),解答下列問題:(1)求、、的值及隨機抽取一考生其成績不低于70分的概率;(2)若從成績較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識”志愿活動,并指定2名負(fù)責(zé)人,求從第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的概率.組號分組頻數(shù)頻率第1組150.15第2組350.35第3組b0.20第4組20第5組100.1合計1.0018.(12分)若函數(shù)為奇函數(shù),且時有極小值.(1)求實數(shù)的值與實數(shù)的取值范圍;(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左頂點為,右焦點為,為橢圓上兩點,圓.(1)若軸,且滿足直線與圓相切,求圓的方程;(2)若圓的半徑為,點滿足,求直線被圓截得弦長的最大值.20.(12分)甲、乙、丙三名射擊運動員射中目標(biāo)的概率分別為,三人各射擊一次,擊中目標(biāo)的次數(shù)記為.(1)求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)在概率(=0,1,2,3)中,若的值最大,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以為極點,軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中,曲線:.(1)當(dāng)時,求與的交點的極坐標(biāo);(2)直線與曲線交于,兩點,線段中點為,求的值.22.(10分)已知動圓Q經(jīng)過定點,且與定直線相切(其中a為常數(shù),且).記動圓圓心Q的軌跡為曲線C.(1)求C的方程,并說明C是什么曲線?(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為,過點P作曲線C的切線,切點為A,若過點P的直線m與曲線C交于M,N兩點,則是否存在直線m,使得?若存在,求出直線m斜率的取值范圍;若不存在,請說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

分析:由題意結(jié)合對數(shù)的性質(zhì),對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解:由題意可知:,即,,即,,即,綜上可得:.本題選擇D選項.點睛:對于指數(shù)冪的大小的比較,我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,但很多時候,因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同,不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較.這就必須掌握一些特殊方法.在進行指數(shù)冪的大小比較時,若底數(shù)不同,則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù),然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷.對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較,利用圖象法求解,既快捷,又準(zhǔn)確.2、D【解析】

設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出答案.【詳解】設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.【點睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)文化,考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了學(xué)生的運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

用去換中的n,得,相加即可找到數(shù)列的周期,再利用計算.【詳解】由已知,①,所以②,①+②,得,從而,數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列,且前6項分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故選:D.【點睛】本題考查周期數(shù)列的應(yīng)用,在求時,先算出一個周期的和即,再將表示成即可,本題是一道中檔題.4、B【解析】

還原幾何體的直觀圖,可將此三棱錐放入長方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖,三棱錐的直觀圖為,體積.故選:B.【點睛】本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計算能力,屬于中檔題.5、A【解析】

先根據(jù)已知求出原△ABC的高為AO=,再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO=,∴S△ABC=×BC×OA=×2×=,故答案為A【點睛】本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計算,意在考察學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.6、B【解析】

求出復(fù)數(shù),得出其對應(yīng)點的坐標(biāo),確定所在象限.【詳解】由題意,對應(yīng)點坐標(biāo)為,在第二象限.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,考查復(fù)數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

轉(zhuǎn)化函數(shù),,的零點為與,,的交點,數(shù)形結(jié)合,即得解.【詳解】函數(shù),,的零點,即為與,,的交點,作出與,,的圖象,如圖所示,可知故選:C【點睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合的能力,屬于中檔題.8、A【解析】

由題意,根據(jù)雙曲線的對稱性知在軸上,設(shè),則由得:,因為到直線的距離小于,所以,即,所以雙曲線漸近線斜率,故選A.9、C【解析】

將等式變形后,利用二次根式的性質(zhì)判斷出,即可求出的范圍.【詳解】即故選:C【點睛】此題考查解三角函數(shù)方程,恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解,屬于簡單題目.10、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是減函數(shù),(﹣1,+∞)上是增函數(shù),故當(dāng)x=﹣1時,y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1時,等號成立);故f(x)﹣g(x)≥3(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柾瑫r成立時,等號成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故選:A.11、C【解析】

結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長,由此求得邊上的高.【詳解】過作,交的延長線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.12、D【解析】

作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,通過平移即可求z的最大值.【詳解】作出不等式組的可行域,如圖陰影部分,作直線:在可行域內(nèi)平移當(dāng)過點時,取得最大值.由得:,故選:D【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用橢圓的參數(shù)方程,將所求代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題,利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性質(zhì),以及求導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性和極值,即可得到所求最小值.【詳解】解:設(shè)點,,其中,,由,,,可設(shè),導(dǎo)數(shù)為,由,可得,可得或,由,,可得,即,可得,由可得函數(shù)遞減;由,可得函數(shù)遞增,可得時,函數(shù)取得最小值,且為,則的最小值為1.故答案為:1.【點睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用,利用三角函數(shù)的恒等變換和導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的方法,考查化簡變形能力和運算能力,屬于難題.14、【解析】

根據(jù)條件可得判斷OA∥PF2,且|PF2|=2|OA|,從而得到點A為橢圓上頂點,則有b=c,解出B的坐標(biāo)即可得到比值.【詳解】因為|PA|=|AF1|,所以點A是線段PF1的中點,又因為點O為線段F1F2的中點,所以O(shè)A∥PF2,且|PF2|=2|OA|,因為點P(c,2c),所以PF2⊥x軸,則|PF2|=2c,所以O(shè)A⊥x軸,則點A為橢圓上頂點,所以|OA|=b,則2b=2c,所以b=c,ac,設(shè)B(c,m)(m>0),則,解得mc,所以|BF2|c,則.故答案為:2.【點睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì),考查直線位置關(guān)系的判斷,方程思想,屬于中檔題.15、.【解析】

當(dāng)q=1時,.當(dāng)時,,所以.16、【解析】由分層抽樣的知識可得,即,所以高三被抽取的人數(shù)為,應(yīng)填答案.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),,,;(2)【解析】

(1)根據(jù)第1組的頻數(shù)和頻率求出,根據(jù)頻數(shù)、頻率、的關(guān)系分別求出,進而求出不低于70分的概率;(2)由(1)得,根據(jù)分層抽樣原則,分別從抽出2人,2人,1人,并按照所在組對抽出的5人編號,列出所有2名負(fù)責(zé)人的抽取方法,得出第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的抽法數(shù),由古典概型概率公式,即可求解.【詳解】(1),,,由頻率分布表可得成績不低于70分的概率約為:(2)因為第3、4、5組共有50名學(xué)生,所以利用分層抽樣在50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生,每組分別為:第3組:人,第4組:人,第5組:人,所以第3、4、5組分別抽取2人,2人,1人設(shè)第3組的3位同學(xué)為、,第4組的2位同學(xué)為、,第5組的1位同學(xué)為,則從五位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有10種可能抽法如下:,,,,,,,,,,其中第4組的2位同學(xué)、至少有一位同學(xué)是負(fù)責(zé)人有7種抽法,故所求的概率為.【點睛】本題考查補全頻率分布表、古典概型的概率,屬于基礎(chǔ)題.18、(1),;(2)【解析】

(1)由奇函數(shù)可知在定義域上恒成立,由此建立方程,即可求出實數(shù)的值;對函數(shù)進行求導(dǎo),,通過導(dǎo)數(shù)求出,若,則恒成立不符合題意,當(dāng),可證明,此時時有極小值.(2)可知,進而得到,令,通過導(dǎo)數(shù)可知在上為單調(diào)減函數(shù),由可得,從而可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)由函數(shù)為奇函數(shù),得在定義域上恒成立,所以,化簡可得,所以.則,令,則.故當(dāng)時,;當(dāng)時,,故在上遞減,在上遞增,若,則恒成立,單調(diào)遞增,無極值點;所以,解得,取,則又函數(shù)的圖象在區(qū)間上連續(xù)不間斷,故由函數(shù)零點存在性定理知在區(qū)間上,存在為函數(shù)的零點,為極小值,所以,的取值范圍是.(2)由滿足,代入,消去可得.構(gòu)造函數(shù),所以,當(dāng)時,,即恒成立,故在上為單調(diào)減函數(shù),其中.則可轉(zhuǎn)化為,故,由,設(shè),可得當(dāng)時,則在上遞增,故.綜上,的取值范圍是.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,考查了奇函數(shù)的定義,考查了轉(zhuǎn)化的思想.對于恒成立的問題,常轉(zhuǎn)化為求的最小值,使;對于恒成立的問題,常轉(zhuǎn)化為求的最大值,使.19、(1)(2)【解析】試題分析:(1)確定圓的方程,就是確定半徑的值,因為直線與圓相切,所以先確定直線方程,即確定點坐標(biāo):因為軸,所以,根據(jù)對稱性,可取,則直線的方程為,根據(jù)圓心到切線距離等于半徑得(2)根據(jù)垂徑定理,求直線被圓截得弦長的最大值,就是求圓心到直線的距離的最小值.設(shè)直線的方程為,則圓心到直線的距離,利用得,化簡得,利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結(jié)合韋達(dá)定理得,因此,當(dāng)時,取最小值,取最大值為.試題解析:解:(1)因為橢圓的方程為,所以,.因為軸,所以,而直線與圓相切,根據(jù)對稱性,可取,則直線的方程為,即.由圓與直線相切,得,所以圓的方程為.(2)易知,圓的方程為.①當(dāng)軸時,,所以,此時得直線被圓截得的弦長為.②當(dāng)與軸不垂直時,設(shè)直線的方程為,,首先由,得,即,所以(*).聯(lián)立,消去,得,將代入(*)式,得.由于圓心到直線的距離為,所以直線被圓截得的弦長為,故當(dāng)時,有最大值為.綜上,因為,所以直線被圓截得的弦長的最大值為.考點:直線與圓位置關(guān)系20、(1),ξ的分布列為ξ

0

1

2

3

P

(1-a)2

(1-a2)

(2a-a2)

(2)【解析】(1)P(ξ)是“ξ個人命中,3-ξ個人未命中”的概率.其中ξ的可能取值為0、1、2、3.P(ξ=0)=(1-a)2=(1-a)2;P(ξ=1)=·(1-a)2+a(1-a)=(1-a2);P(ξ=2)=·a(1-a)+a2=(2a-a2);P(ξ=3)=·a2=.所以ξ的分布列為ξ

0

1

2

3

P

(1-a)2

(1-a2)

(2a-a2)

ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)=0×(1-a)2+1×(1-a2)+

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