中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：勾股定理中的最值問題（解析版）

專題五勾股定理中的最值問題

考點(diǎn)一將軍飲馬問題

【方法點(diǎn)撥】運(yùn)用“兩定一動(dòng)”的模型求最值。

I.如圖，河邊有N,8兩個(gè)村莊，/村距河邊10根，8村距河邊30加，兩村平行于河邊方向的水平距離為

30m,現(xiàn)要在河邊建一抽水站E,需鋪設(shè)管道抽水到工村和3村.

（1）要使鋪設(shè)管道的長度最短，請作圖找出水站E的位置（不寫作法）

（2）若鋪設(shè)管道每米需要500元，則最低費(fèi)用為多少？

B

*

A9

【思路點(diǎn)撥】（1）先求出點(diǎn)N關(guān)于河流的對稱點(diǎn),然后連接B,與河流的交點(diǎn)E即為所求作的抽

水站的位置.利用勾股定理求出H8即為鋪設(shè)管道的最短距離.

（2）運(yùn)用費(fèi)用=米數(shù)X每米的錢數(shù).

【解析】解：（1）如圖所示，抽水站修在點(diǎn)￡處才能使所需的管道最短.

先求出點(diǎn)/關(guān)于河流的對稱點(diǎn)H,然后連接HB,與河流的交點(diǎn)E即為所求作的抽水站的位置.

作垂直于河，A'C平行河.

:兩村的水平距離為30米，

：.A'C=30米.

?：A村距河邊10米，B村距河邊30米，

/.5C=10+30=40（米）.

：.A'8=>302+402=50（米）.

（2）最低費(fèi)用為：50X500=25000（元）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是利用了軸對稱的性質(zhì)求解.

2.如圖，4、8兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為NC=10千米，AD=30千米，且CD=30

千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向/、2兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬，請你在河流CD

上選擇水廠的位置使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？

【思路點(diǎn)撥】此題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)河的位置，需要首先作點(diǎn)N的對稱點(diǎn)4,連接點(diǎn)3和點(diǎn)/,交/

于點(diǎn)“，”即所求作的點(diǎn).根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，知：MA+MB=A'3.根據(jù)勾股定理即可求解.

【解析】解：作/關(guān)于CD的對稱點(diǎn)H,連接B與CD,交點(diǎn)CD于M,點(diǎn)〃即為所求作的點(diǎn)，

則可得：DK=A'C=ZC=10千米，

：.BK=BD+DK=40千米，

：.AM+BM^A'B=V302+402=50千米，

總費(fèi)用為50X3=150萬元.

【點(diǎn)睛】此類題的重點(diǎn)在于能夠確定點(diǎn)”的位置，再運(yùn)用勾股定理即可求解.

3.如圖，A,8兩個(gè)工廠位于一段直線形河的異側(cè)，N廠距離河邊NC=5碗，8廠距離河邊經(jīng)

測量CD=8而，現(xiàn)準(zhǔn)備在河邊某處（河寬不計(jì)）修一個(gè)污水處理廠￡.

（1）設(shè)ED=x,請用x的代數(shù)式表示NE+2E的長；

（2）為了使兩廠的排污管道最短，污水廠￡的位置應(yīng)怎樣來確定此時(shí)需要管道多長？

（3）通過以上的解答，充分展開聯(lián)想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，請你猜想依E+J（12—x）2+9的最小

值為13.

【思路點(diǎn)撥】⑴;ED=x,ACLCD.BDLCD,故根據(jù)勾股定理可用x表示出NE+8E的長；

(2)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知連接N8與CD的交點(diǎn)就是污水處理廠E的位置.過點(diǎn)B作BFUC于

F,構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求出的長；

(3)根據(jù)AE+BE=J(8—.)2+25++1=48=10,可猜想所求代數(shù)式的值為13.

【解析】解：(1)在Rt&4CE和RtA3D￡中，根據(jù)勾股定理可得4E=J(8—久〉+25,BE=y/x2+1,

：.AE+BE=V(8-x)2+25+Vx2+1：

(2)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知連接與CD的交點(diǎn)就是污水處理廠E的位置.

過點(diǎn)8作8尺L4c于尸，則有8/=。=8,BD=CF=\.：.AF^AC+CF=6.

在RtMBF中，8/=7AF2+BF2=V62+82=10,

,此時(shí)最少需要管道10km.

(3)根據(jù)以上推理，可作出下圖：

沒ED=x.AC=3,DB=2,CD=\2.當(dāng)/、E、8共線時(shí)求出N8的值即為原式最小值.

當(dāng)A、E、B共線時(shí)序1Z+J(12—<)2+9=7(3+2)2+122=13,即其最小值為13.

【點(diǎn)睛】本題是一道生活聯(lián)系實(shí)際的題目，綜合性較強(qiáng)，綜合利用了勾股定理，及用數(shù)形結(jié)合的方法求

代數(shù)式的值的方法，有一定的難度.

4.恩施州自然風(fēng)光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世.著名的恩施大峽谷（4）和世界級

自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側(cè)，AB=5Qkm,4、2到直線x的距離分別為10km

和40淅，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)尸，向/、2兩景區(qū)運(yùn)送游客.小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖

（1）是方案一的示意圖（4P與直線X垂直，垂足為尸），尸到/、5的距離之和Si=P/+P8,圖（2）

是方案二的示意圖（點(diǎn)/關(guān)于直線X的對稱點(diǎn)是H,連接交直線X于點(diǎn)尸），P到/、2的距離之和

$2=PA+PB.

（1）求S1、s2,并比較它們的大??；

（2）請你說明S2=P4+PB的值為最??；

（3）擬建的恩施到張家界高速公路y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，8到直

線y的距離為30筋Z,請你在X旁和y旁各修建一服務(wù)區(qū)尸、Q,使P、A,B、。組成的四邊形的周長最

小.并求出這個(gè)最小值.

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)勾股定理分別求得&、S2的值，比較即可；

（2）在公路上任找一點(diǎn)Af,連接MZ,MB,MA',由軸對稱知兒:.MB+MA=MB+MA'>A'B,

$2=54為最?。?/p>

（3）過/作關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)4,過2作關(guān)于￥軸的對稱點(diǎn)夕，連接48，交X軸于點(diǎn)P,交丫軸于

點(diǎn)0,求出的值即可.

【解析】解：（1）圖（1）中過8作8CLX于C,垂足為C；4DLBC于D,垂足為D,

則8c=40,

又：/P=10,

：.BD=BC-CD=40-10=30.

在中，7。=，502-302=40,

在RtAPSC中,

：.BP=7cp2+BC2=40V2,

Si=40立+10.

圖（2）中，過8作垂足為C,則/'C=50,

XV5C=40,

：.BA'=V402+502=10V41,

由軸對稱知：PA=PA',

：.S2=BA'^10y/4i,

：.Si>S2.

(2)如圖(2),在公路上任找一點(diǎn)“，連接小，MB,MA',由軸對稱知

MB+MA=MB+MA'>A'B,

.?.S2=84為最小.

(3)過N作關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)4,過8作關(guān)于/軸的對稱點(diǎn)夕，

連接4斤，交x軸于點(diǎn)尸，交y軸于點(diǎn)0,則p,。即為所求.

過4、9分別作X軸、y軸的平行線交于點(diǎn)G,

B'G=40+10=50,A'G=30+30+40=100,

A'B'=V1002+502=50V5,

：.AB+AP+BQ+QP=AB+A'P+PQ+B'°=50+50傷，

二所求四邊形的周長為50+50V5.

【點(diǎn)睛】此題考查了線路最短的問題，確定動(dòng)點(diǎn)為何位置是關(guān)鍵，綜合運(yùn)用勾股定理的知識(shí).

考點(diǎn)二立體圖形中的最短距離問題

【方法點(diǎn)撥】將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”原理求最值。

1.如圖，一只螞蟻從長寬都是3,高是8的長方體紙箱的/點(diǎn)沿紙箱爬到8點(diǎn)，那么它所行的最短路線的

B.10C.14D.無法確定

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)”兩點(diǎn)之間線段最短”，將點(diǎn)/和點(diǎn)3所在的兩個(gè)面進(jìn)行展開，展開為矩形，則為

矩形的對角線，即螞蟻所行的最短路線為/左

【解析】解：將點(diǎn)/和點(diǎn)8所在的兩個(gè)面展開，

則矩形的長和寬分別為6和8,

故矩形對角線長AB=夜+82=10,

即螞蟻所行的最短路線長是10.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是將點(diǎn)/和點(diǎn)2所在的面展開，運(yùn)用勾股定理求出矩形的對角線.

2.有一長、寬、高分別為5cro、4cm、3。"的木箱，在它里面放入一根細(xì)木條（木條的粗細(xì)、形變忽略不

計(jì)）要求木條不能露出木箱.請你算一算，能放入的細(xì)木條的最大長度是（）

A.V41cmB.y/34cmC.5V2cmD.5y/3cm

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形，直角邊分別為木箱的高、底面的對角線，據(jù)此根據(jù)勾股定理求

出木條的最大長度.

【解析】解：由題意可知尸G=5a?、EF=4cm,CG=3>cm,連接EG、CE,

在直角△EFG中,

EG=y/EF2+FG2=V42+52=V41cw,

在RtZkEGC中，EG-,CG—3cm,

由勾股定理得CE—ylEG2+CG2-J(V41)2+32=V50=5V2cm,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理.善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

3.如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點(diǎn)8離點(diǎn)C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長方體的表

面從點(diǎn)/爬到點(diǎn)2,需要爬行的最短距離是()

A.5V21B.25C.10V5+5D.35

【思路點(diǎn)撥】要求螞蟻爬行的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出

結(jié)果.

【解析】解：將長方體展開，連接/、B,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，

(1)如圖，80=10+5=15,3=20,

由勾股定理得：AB=7AD2+BD2="52+202=V625=25.

(2)如圖，BC=5,NC=20+10=30,

由勾股定理得，AB=7AC2+BC2=7s2+302==5屈.

55C

（3）只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如圖:

..,長方體的寬為10，高為20,點(diǎn)3離點(diǎn)C的距離是5,

BD=CD+BC=20+5=25,AD=IO,

在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：

：.AB=y/BD2+AD2=V102+252=5場；

由于25<5圓<5歷，

故選：B.

----------------------<---------------------

、、

X、

、

、、

、

A

【點(diǎn)睛】本題是一道趣味題，將長方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答即可.

4.如圖，圓柱形容器中，高為1.2加，底面周長為1加，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3加的點(diǎn)8處有一蚊子，此

時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為」2

m（容器厚度忽略不計(jì)）.

【思路點(diǎn)撥】將容器側(cè)面展開，建立N關(guān)于斯的對稱點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，8的長度

即為所求.

【解析】解：如圖：

?.?高為1.2加，底面周長為1m,在容器內(nèi)壁離容器底部0.3加的點(diǎn)B處有一蚊子，

此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點(diǎn)A處，

".A'D=0.5m,BD=1.2-0.3+AE=1.2m,

二將容器側(cè)面展開，作/關(guān)于斯的對稱點(diǎn),

連接HB,則H8即為最短距離，

A1B=、A'D2+BD2

=V0.52+1.22

=1.3（機(jī)）.

故答案為：1.3.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)

算是解題的關(guān)鍵.同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力.

5.如圖所示，長方體中ND=2.5,￡>C=1.5,AF=3,若在長方體表面上有一只螞蟻從點(diǎn)/爬到點(diǎn)G處，

則螞蟻爬過的最短路程為5.14.

G

【思路點(diǎn)撥】將長方體盒子按不同方式展開，得到不同的矩形，求出不同矩形的對角線，最短者即為正

確答案.

【解析】解：第一種情況：如圖1，把我們所看到的上面和后面組成一個(gè)平面，

G

則這個(gè)長方形的長和寬分別是4.5和2.5,

則所走的最短線段/G=J4.52+2.52=5.14；

第二種情況：如圖2,把我們看到的左面與后面組成一個(gè)長方形,

則這個(gè)長方形的長和寬分別是5.5和1.5,

所以走的最短線段/3=5.52+1.52=5.9；

第三種情況：如圖3,把我們所看到的前面和右面組成一個(gè)長方形,

圖3

則這個(gè)長方形的長和寬分別是5.5和1.5,

所以走的最短線段AB=15.52+1.52=5.14；

三種情況比較而言，第一種情況最短.

故答案為：5.14.

【點(diǎn)睛】此題考查了平面展開-最短路徑問題，解答時(shí)要進(jìn)行分類討論，利用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，長方體的底面邊長分別為lew和3c怙高為6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn)/開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞

一圈到達(dá)點(diǎn)3,那么所用細(xì)線最短需要10cm：如果從點(diǎn)/開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞〃圈到達(dá)點(diǎn)比那

么所用細(xì)線最短需要—2V9+16n2cm.

【思路點(diǎn)撥】將長方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知所用細(xì)線最短長度.

【解析】解：將長方體展開，連接4、B,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB=V82+62=10(cm)；

如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B,

相當(dāng)于直角三角形的兩條直角邊分別是8〃和6,

根據(jù)勾股定理可知所用細(xì)線最短需要J62+(8九)2=、36+64幾2=2V9+16n2(cm).

故答案為：10；249+16幾2.

AA

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，是一道趣味題，將長方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,

運(yùn)用勾股定理解答即可.

7.如圖，有一個(gè)圓柱，它的高為13c加，底面周長為10c機(jī),在圓柱的下底面上N點(diǎn)處有一個(gè)螞蟻想吃到離

上底面1cm處的B點(diǎn)的食物，需爬行的最短距離為13。〃.

【思路點(diǎn)撥】要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)

果.

【解析】解：把題中的圓柱沿著/點(diǎn)所在的母線剪開，其展開圖為一個(gè)矩形，如圖所示：

由圖根據(jù)勾股定理得：AB=V52+122-13cm,

故需爬行的最短距離為Ucm.

【點(diǎn)睛】圓柱的側(cè)面展開為矩形，關(guān)鍵是在矩形上找出/和5兩點(diǎn)的位置，“化曲面為平面”，用勾股定

理解決.

8.如圖，圓柱體的高為12cM7,底面周長為10cm,圓柱下底面/點(diǎn)除有一只蜘蛛，它想吃到上底面上與工

點(diǎn)相對的B點(diǎn)處的蒼蠅，需要爬行的最短路徑是13cm.

【思路點(diǎn)撥】要求需要爬行的最短路徑首先要把圓柱的側(cè)面積展開，得到一個(gè)矩形，然后利用勾股定理

求兩點(diǎn)間的線段即可.

【解析】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到如圖所示的圖形，

其中4c=5c%,BC=\2cm,

在RtZX/BC中，AB=V52+122=13cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是理解要求需要爬行的最短路徑首先要把圓

柱的側(cè)面積展開，底面周長和高以及所走的路線構(gòu)成一個(gè)直角三角形，然后再求線段的長.

1

9.邊長分別為4c加，3cm兩正方體如圖放置，點(diǎn)P在用為上，且￡/=§電/1，一只螞蟻如果要沿著長方

體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P,需要爬行的最短距離是—相

【思路點(diǎn)撥】求出兩種展開圖尸/的值，比較即可判斷;

【解析】解：如圖，有兩種展開方法：

方法一：PA-V72+42=V65cm,

故需要爬行的最短距離是相a”.

【點(diǎn)睛】本題考查平面展開-最短問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題

型.

10.如圖所示是一個(gè)三級臺(tái)階，它的每一級的長、寬、高分別等于55c〃z、10c〃?、6cm,/和2是這兩個(gè)臺(tái)

階的兩個(gè)相對的端點(diǎn)，則一只螞蟻從點(diǎn)/出發(fā)經(jīng)過臺(tái)階爬到點(diǎn)B的最短路線有多長?

【思路點(diǎn)撥】展開后得到直角三角形/C3,根據(jù)題意求出/C、8C,根據(jù)勾股定理求出即可.

【解析】解：展開后由題意得：ZC=90°,/C=3X10+3X6=48,

5c=55,

由勾股定理得：4B=7AC2+BC2=<482+552=13cm,

答：一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過臺(tái)階爬到點(diǎn)B的最短路線有13cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查對勾股定理，平面展開-最短路徑問題等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能理解題意知道

是求出直角三角形/2C的斜邊的長是解此題的關(guān)鍵.

11.葛藤是一種刁鉆的植物，它自己腰桿不硬，為了爭奪雨露陽光，常常繞著樹干盤旋而上，它還有一手

絕招，就是它繞樹盤上升的路線，總是沿著最短路線--盤旋前進(jìn)的.難道植物也懂得數(shù)學(xué)嗎？閱讀以

上信息，你能設(shè)計(jì)一種方法解決下列問題嗎？

(1)如圖，如果樹的周長為3cM從點(diǎn)/繞一圈到8點(diǎn)，葛藤升高4c加，則它爬行路程是多少厘米？

(2)如果樹的周長為8c加，繞一圈爬行10cm,則爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到達(dá)樹頂，則

樹干高多少厘米？

DX------------

Q

【思路點(diǎn)撥】(1)(2)立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，利用勾股定理解決問題即可；

【解析】解：(1)如果樹的周長為3cm,繞一圈升高4cm,則葛藤繞樹爬

行的最短路線為：V32+42=5厘米；

(2)如果樹的周長為8CM,繞一圈爬行10cm,則爬行一圈升高

為：“02—82=6厘米.如果爬行10圈到達(dá)樹頂，

則樹干高為：10X6=60厘米.

【點(diǎn)睛】本題考查平面展開-最短問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中

考?？碱}型.

12.我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)

其頂，問葛藤之長幾何？，題意是：如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高

為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點(diǎn)/處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)2處.則問題中葛

藤的最短長度是多少尺？

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理求解即可.

【解析】解：如圖所示，在如圖所示的直角三角形中，

V5C=20R,NC=5X3=15尺，

.,./8="52+202=25（尺）.

答：葛藤長為25尺.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開-最短路徑問題，此類問題應(yīng)先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后,

再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑.一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短.在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問

題.

2

13.慶安中學(xué)要舉辦第四屆運(yùn)動(dòng)會(huì)，現(xiàn)需裝飾一根高為9米，底面半徑為一米的圓柱，如圖，點(diǎn)/、2分別

71

是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且/、8在同一母線上.用一根彩帶（寬度不計(jì)）從點(diǎn)/順著圓柱側(cè)面繞3

圈到點(diǎn)2,那么這根彩帶的長度最短是多少？

【思路點(diǎn)撥】求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點(diǎn)之間

線段最短解答.

【解析】解：圓柱體的展開圖如圖所示，

用一棉線從N順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動(dòng)最短路線是：ACfCD-DB,

即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個(gè)小長方形，/沿著3個(gè)長方形的對角線運(yùn)動(dòng)到3

的路線最短，

2

???圓柱底面半徑為一CH2,

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2

，長方形的寬即是圓柱體的底面周長=211X-=4cm,

7T

又?圓柱高為9cm,

?,?小長方形的一條邊長是3cm,

根據(jù)勾股定理求得4C=CD=DB=5c加，

：.AC+CD+DB=\5cm,

答：這根棉線的長度最短是150加.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的計(jì)算、平面展開-路徑最短問題.圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長方形，此

長方形的寬等于圓柱底面周長，長方形的長等于圓柱的高.解題的關(guān)鍵就是把圓柱的側(cè)面展開成長方形,

“化曲面為平面”，用勾股定理解決.

考點(diǎn)三其它最值問題

【方法點(diǎn)撥】根據(jù)具體的圖形，采用具體的方法求最值。

1.△N3C中，AB=CB,AC=10,5^^=60,E為AB上一動(dòng)點(diǎn)、,連結(jié)CE,過4作/"LCE于R連結(jié)

BF,則BF的最小值是7.

【思路點(diǎn)撥】過8作于。，根據(jù)5力8。=60,計(jì)算8。的長，由/4FC=90°,可知尸在以ZC

為直徑的圓上，由三角形三邊關(guān)系得：BF+DF>BD,則當(dāng)下在AD上時(shí)，2尸的值最小，求8斤的長即

可.

【解析】解：過8作8OL/C于。，

'：AB=BC,

1

：.AD=CD^^AC=5,

,；SAZBC=60,

11

：.-xACxBD^60,即5x10x80=60,

BD=12,

'JAFLCE,

：.ZAFC=90°,

在以/C為直徑的圓上，

'：BF+DF>BD,且。尸=D尸，

當(dāng)尸在AD上時(shí)，2尸的值最小，

此時(shí)3斤=12-5=7,

則8尸的最小值是7,

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)、圓周角定理、三角形面積，確定5尸的最小值時(shí)點(diǎn)尸

的位置是關(guān)鍵.

2.如圖，已知RtZ\N8C中，ZACB=90°,ZBAC=30°,延長3c至。使連接ND

(1)求證：是等邊三角形；

(2)若￡為線段CD的中點(diǎn)，且/。=4,點(diǎn)尸為線段NC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP.

1

①求￡P(guān)+p尸的最小值；

②求2BP+AP的最小值.

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理，可得40=/比只要證明/8=60°即可解決問

題.

(2)①如圖1中，作于尸，EF'于尸',交4c于P'.由/尸/尸=30°,ZPFA=

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90°,推出尸尸=推出尸E+萬尸/=尸石+尸尸，所以當(dāng)E、P、尸共線時(shí)，即EF'_L48時(shí)，PE+PF最

短，最小值為線段EP,求出EF即可解決問題.

②如圖2中，作PF_L4D于尸，EF'于/,交4c于P.由/尸4F=30°,NPFA=90°,推

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出P尸=5出,推出28尸+/尸=2I.PB+-PA)=2(PB+PF),所以當(dāng)3、尸、尸共線時(shí)，BPBF'時(shí)，

PB+PF最短,最小值為線段2尸，求出2尸'即可解決問題.

【解析】(1)證明：：N/CB=90°