中考數(shù)學專項復習：勾股定理中的最值問題（解析版）

專題五勾股定理中的最值問題

考點一將軍飲馬問題

【方法點撥】運用“兩定一動”的模型求最值。

I.如圖，河邊有N,8兩個村莊，/村距河邊10根，8村距河邊30加，兩村平行于河邊方向的水平距離為

30m,現(xiàn)要在河邊建一抽水站E,需鋪設管道抽水到工村和3村.

（1）要使鋪設管道的長度最短，請作圖找出水站E的位置（不寫作法）

（2）若鋪設管道每米需要500元，則最低費用為多少？

B

*

A9

【思路點撥】（1）先求出點N關于河流的對稱點,然后連接B,與河流的交點E即為所求作的抽

水站的位置.利用勾股定理求出H8即為鋪設管道的最短距離.

（2）運用費用=米數(shù)X每米的錢數(shù).

【解析】解：（1）如圖所示，抽水站修在點￡處才能使所需的管道最短.

先求出點/關于河流的對稱點H,然后連接HB,與河流的交點E即為所求作的抽水站的位置.

作垂直于河，A'C平行河.

:兩村的水平距離為30米，

：.A'C=30米.

?：A村距河邊10米，B村距河邊30米，

/.5C=10+30=40（米）.

：.A'8=>302+402=50（米）.

（2）最低費用為：50X500=25000（元）.

【點睛】本題主要考查了作圖-應用與設計作圖，解題的關鍵是利用了軸對稱的性質(zhì)求解.

2.如圖，4、8兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側，分別到河的距離為NC=10千米，AD=30千米，且CD=30

千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向/、2兩鎮(zhèn)供水，鋪設水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD

上選擇水廠的位置使鋪設水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少？

【思路點撥】此題的關鍵是確定點河的位置，需要首先作點N的對稱點4,連接點3和點/,交/

于點“，”即所求作的點.根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，知：MA+MB=A'3.根據(jù)勾股定理即可求解.

【解析】解：作/關于CD的對稱點H,連接B與CD,交點CD于M,點〃即為所求作的點，

則可得：DK=A'C=ZC=10千米，

：.BK=BD+DK=40千米，

：.AM+BM^A'B=V302+402=50千米，

總費用為50X3=150萬元.

【點睛】此類題的重點在于能夠確定點”的位置，再運用勾股定理即可求解.

3.如圖，A,8兩個工廠位于一段直線形河的異側，N廠距離河邊NC=5碗，8廠距離河邊經(jīng)

測量CD=8而，現(xiàn)準備在河邊某處（河寬不計）修一個污水處理廠￡.

（1）設ED=x,請用x的代數(shù)式表示NE+2E的長；

（2）為了使兩廠的排污管道最短，污水廠￡的位置應怎樣來確定此時需要管道多長？

（3）通過以上的解答，充分展開聯(lián)想，運用數(shù)形結合思想，請你猜想依E+J（12—x）2+9的最小

值為13.

【思路點撥】⑴;ED=x,ACLCD.BDLCD,故根據(jù)勾股定理可用x表示出NE+8E的長；

(2)根據(jù)兩點之間線段最短可知連接N8與CD的交點就是污水處理廠E的位置.過點B作BFUC于

F,構造出直角三角形，利用勾股定理求出的長；

(3)根據(jù)AE+BE=J(8—.)2+25++1=48=10,可猜想所求代數(shù)式的值為13.

【解析】解：(1)在Rt&4CE和RtA3D￡中，根據(jù)勾股定理可得4E=J(8—久〉+25,BE=y/x2+1,

：.AE+BE=V(8-x)2+25+Vx2+1：

(2)根據(jù)兩點之間線段最短可知連接與CD的交點就是污水處理廠E的位置.

過點8作8尺L4c于尸，則有8/=。=8,BD=CF=\.：.AF^AC+CF=6.

在RtMBF中，8/=7AF2+BF2=V62+82=10,

,此時最少需要管道10km.

(3)根據(jù)以上推理，可作出下圖：

沒ED=x.AC=3,DB=2,CD=\2.當/、E、8共線時求出N8的值即為原式最小值.

當A、E、B共線時序1Z+J(12—<)2+9=7(3+2)2+122=13,即其最小值為13.

【點睛】本題是一道生活聯(lián)系實際的題目，綜合性較強，綜合利用了勾股定理，及用數(shù)形結合的方法求

代數(shù)式的值的方法，有一定的難度.

4.恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世.著名的恩施大峽谷（4）和世界級

自然保護區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側，AB=5Qkm,4、2到直線x的距離分別為10km

和40淅，要在滬渝高速公路旁修建一服務區(qū)尸，向/、2兩景區(qū)運送游客.小民設計了兩種方案，圖

（1）是方案一的示意圖（4P與直線X垂直，垂足為尸），尸到/、5的距離之和Si=P/+P8,圖（2）

是方案二的示意圖（點/關于直線X的對稱點是H,連接交直線X于點尸），P到/、2的距離之和

$2=PA+PB.

（1）求S1、s2,并比較它們的大??；

（2）請你說明S2=P4+PB的值為最??；

（3）擬建的恩施到張家界高速公路y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標系，8到直

線y的距離為30筋Z,請你在X旁和y旁各修建一服務區(qū)尸、Q,使P、A,B、。組成的四邊形的周長最

小.并求出這個最小值.

【思路點撥】（1）根據(jù)勾股定理分別求得&、S2的值，比較即可；

（2）在公路上任找一點Af,連接MZ,MB,MA',由軸對稱知兒:.MB+MA=MB+MA'>A'B,

$2=54為最小；

（3）過/作關于X軸的對稱點4,過2作關于￥軸的對稱點夕，連接48，交X軸于點P,交丫軸于

點0,求出的值即可.

【解析】解：（1）圖（1）中過8作8CLX于C,垂足為C；4DLBC于D,垂足為D,

則8c=40,

又：/P=10,

：.BD=BC-CD=40-10=30.

在中，7。=，502-302=40,

在RtAPSC中,

：.BP=7cp2+BC2=40V2,

Si=40立+10.

圖（2）中，過8作垂足為C,則/'C=50,

XV5C=40,

：.BA'=V402+502=10V41,

由軸對稱知：PA=PA',

：.S2=BA'^10y/4i,

：.Si>S2.

(2)如圖(2),在公路上任找一點“，連接小，MB,MA',由軸對稱知

MB+MA=MB+MA'>A'B,

.?.S2=84為最小.

(3)過N作關于X軸的對稱點4,過8作關于/軸的對稱點夕，

連接4斤，交x軸于點尸，交y軸于點0,則p,。即為所求.

過4、9分別作X軸、y軸的平行線交于點G,

B'G=40+10=50,A'G=30+30+40=100,

A'B'=V1002+502=50V5,

：.AB+AP+BQ+QP=AB+A'P+PQ+B'°=50+50傷，

二所求四邊形的周長為50+50V5.

【點睛】此題考查了線路最短的問題，確定動點為何位置是關鍵，綜合運用勾股定理的知識.

考點二立體圖形中的最短距離問題

【方法點撥】將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，運用“兩點之間線段最短”原理求最值。

1.如圖，一只螞蟻從長寬都是3,高是8的長方體紙箱的/點沿紙箱爬到8點，那么它所行的最短路線的

B.10C.14D.無法確定

【思路點撥】根據(jù)”兩點之間線段最短”，將點/和點3所在的兩個面進行展開，展開為矩形，則為

矩形的對角線，即螞蟻所行的最短路線為/左

【解析】解：將點/和點8所在的兩個面展開，

則矩形的長和寬分別為6和8,

故矩形對角線長AB=夜+82=10,

即螞蟻所行的最短路線長是10.

故選：B.

【點睛】本題的關鍵是將點/和點2所在的面展開，運用勾股定理求出矩形的對角線.

2.有一長、寬、高分別為5cro、4cm、3。"的木箱，在它里面放入一根細木條（木條的粗細、形變忽略不

計）要求木條不能露出木箱.請你算一算，能放入的細木條的最大長度是（）

A.V41cmB.y/34cmC.5V2cmD.5y/3cm

【思路點撥】根據(jù)題意構建直角三角形，直角邊分別為木箱的高、底面的對角線，據(jù)此根據(jù)勾股定理求

出木條的最大長度.

【解析】解：由題意可知尸G=5a?、EF=4cm,CG=3>cm,連接EG、CE,

在直角△EFG中,

EG=y/EF2+FG2=V42+52=V41cw,

在RtZkEGC中，EG-,CG—3cm,

由勾股定理得CE—ylEG2+CG2-J(V41)2+32=V50=5V2cm,

故選：C.

【點睛】本題考查正確運用勾股定理.善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關鍵.

3.如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點8離點C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長方體的表

面從點/爬到點2,需要爬行的最短距離是()

A.5V21B.25C.10V5+5D.35

【思路點撥】要求螞蟻爬行的最短距離，需將長方體的側面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出

結果.

【解析】解：將長方體展開，連接/、B,

根據(jù)兩點之間線段最短，

(1)如圖，80=10+5=15,3=20,

由勾股定理得：AB=7AD2+BD2="52+202=V625=25.

(2)如圖，BC=5,NC=20+10=30,

由勾股定理得，AB=7AC2+BC2=7s2+302==5屈.

55C

（3）只要把長方體的右側表面剪開與上面這個側面所在的平面形成一個長方形，如圖:

..,長方體的寬為10，高為20,點3離點C的距離是5,

BD=CD+BC=20+5=25,AD=IO,

在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：

：.AB=y/BD2+AD2=V102+252=5場；

由于25<5圓<5歷，

故選：B.

----------------------<---------------------

、、

X、

、

、、

、

A

【點睛】本題是一道趣味題，將長方體展開，根據(jù)兩點之間線段最短，運用勾股定理解答即可.

4.如圖，圓柱形容器中，高為1.2加，底面周長為1加，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3加的點8處有一蚊子，此

時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為」2

m（容器厚度忽略不計）.

【思路點撥】將容器側面展開，建立N關于斯的對稱點,根據(jù)兩點之間線段最短可知，8的長度

即為所求.

【解析】解：如圖：

?.?高為1.2加，底面周長為1m,在容器內(nèi)壁離容器底部0.3加的點B處有一蚊子，

此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，

".A'D=0.5m,BD=1.2-0.3+AE=1.2m,

二將容器側面展開，作/關于斯的對稱點,

連接HB,則H8即為最短距離，

A1B=、A'D2+BD2

=V0.52+1.22

=1.3（機）.

故答案為：1.3.

【點睛】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計

算是解題的關鍵.同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力.

5.如圖所示，長方體中ND=2.5,￡>C=1.5,AF=3,若在長方體表面上有一只螞蟻從點/爬到點G處，

則螞蟻爬過的最短路程為5.14.

G

【思路點撥】將長方體盒子按不同方式展開，得到不同的矩形，求出不同矩形的對角線，最短者即為正

確答案.

【解析】解：第一種情況：如圖1，把我們所看到的上面和后面組成一個平面，

G

則這個長方形的長和寬分別是4.5和2.5,

則所走的最短線段/G=J4.52+2.52=5.14；

第二種情況：如圖2,把我們看到的左面與后面組成一個長方形,

則這個長方形的長和寬分別是5.5和1.5,

所以走的最短線段/3=5.52+1.52=5.9；

第三種情況：如圖3,把我們所看到的前面和右面組成一個長方形,

圖3

則這個長方形的長和寬分別是5.5和1.5,

所以走的最短線段AB=15.52+1.52=5.14；

三種情況比較而言，第一種情況最短.

故答案為：5.14.

【點睛】此題考查了平面展開-最短路徑問題，解答時要進行分類討論，利用勾股定理是解題的關鍵.

6.如圖，長方體的底面邊長分別為lew和3c怙高為6cm.如果用一根細線從點/開始經(jīng)過4個側面纏繞

一圈到達點3,那么所用細線最短需要10cm：如果從點/開始經(jīng)過4個側面纏繞〃圈到達點比那

么所用細線最短需要—2V9+16n2cm.

【思路點撥】將長方體展開，根據(jù)兩點之間線段最短，可知所用細線最短長度.

【解析】解：將長方體展開，連接4、B,

根據(jù)兩點之間線段最短，AB=V82+62=10(cm)；

如果從點A開始經(jīng)過4個側面纏繞n圈到達點B,

相當于直角三角形的兩條直角邊分別是8〃和6,

根據(jù)勾股定理可知所用細線最短需要J62+(8九)2=、36+64幾2=2V9+16n2(cm).

故答案為：10；249+16幾2.

AA

【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，是一道趣味題，將長方體展開，根據(jù)兩點之間線段最短,

運用勾股定理解答即可.

7.如圖，有一個圓柱，它的高為13c加，底面周長為10c機,在圓柱的下底面上N點處有一個螞蟻想吃到離

上底面1cm處的B點的食物，需爬行的最短距離為13。〃.

【思路點撥】要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓柱的側面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結

果.

【解析】解：把題中的圓柱沿著/點所在的母線剪開，其展開圖為一個矩形，如圖所示：

由圖根據(jù)勾股定理得：AB=V52+122-13cm,

故需爬行的最短距離為Ucm.

【點睛】圓柱的側面展開為矩形，關鍵是在矩形上找出/和5兩點的位置，“化曲面為平面”，用勾股定

理解決.

8.如圖，圓柱體的高為12cM7,底面周長為10cm,圓柱下底面/點除有一只蜘蛛，它想吃到上底面上與工

點相對的B點處的蒼蠅，需要爬行的最短路徑是13cm.

【思路點撥】要求需要爬行的最短路徑首先要把圓柱的側面積展開，得到一個矩形，然后利用勾股定理

求兩點間的線段即可.

【解析】解：如圖，把圓柱的側面展開，得到如圖所示的圖形，

其中4c=5c%,BC=\2cm,

在RtZX/BC中，AB=V52+122=13cm.

【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，解題的關鍵是理解要求需要爬行的最短路徑首先要把圓

柱的側面積展開，底面周長和高以及所走的路線構成一個直角三角形，然后再求線段的長.

1

9.邊長分別為4c加，3cm兩正方體如圖放置，點P在用為上，且￡/=§電/1，一只螞蟻如果要沿著長方

體的表面從點A爬到點P,需要爬行的最短距離是—相

【思路點撥】求出兩種展開圖尸/的值，比較即可判斷;

【解析】解：如圖，有兩種展開方法：

方法一：PA-V72+42=V65cm,

故需要爬行的最短距離是相a”.

【點睛】本題考查平面展開-最短問題，解題的關鍵是學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}

型.

10.如圖所示是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別等于55c〃z、10c〃?、6cm,/和2是這兩個臺

階的兩個相對的端點，則一只螞蟻從點/出發(fā)經(jīng)過臺階爬到點B的最短路線有多長?

【思路點撥】展開后得到直角三角形/C3,根據(jù)題意求出/C、8C,根據(jù)勾股定理求出即可.

【解析】解：展開后由題意得：ZC=90°,/C=3X10+3X6=48,

5c=55,

由勾股定理得：4B=7AC2+BC2=<482+552=13cm,

答：一只螞蟻從點A出發(fā)經(jīng)過臺階爬到點B的最短路線有13cm.

【點睛】本題主要考查對勾股定理，平面展開-最短路徑問題等知識點的理解和掌握，能理解題意知道

是求出直角三角形/2C的斜邊的長是解此題的關鍵.

11.葛藤是一種刁鉆的植物，它自己腰桿不硬，為了爭奪雨露陽光，常常繞著樹干盤旋而上，它還有一手

絕招，就是它繞樹盤上升的路線，總是沿著最短路線--盤旋前進的.難道植物也懂得數(shù)學嗎？閱讀以

上信息，你能設計一種方法解決下列問題嗎？

(1)如圖，如果樹的周長為3cM從點/繞一圈到8點，葛藤升高4c加，則它爬行路程是多少厘米？

(2)如果樹的周長為8c加，繞一圈爬行10cm,則爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到達樹頂，則

樹干高多少厘米？

DX------------

Q

【思路點撥】(1)(2)立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，利用勾股定理解決問題即可；

【解析】解：(1)如果樹的周長為3cm,繞一圈升高4cm,則葛藤繞樹爬

行的最短路線為：V32+42=5厘米；

(2)如果樹的周長為8CM,繞一圈爬行10cm,則爬行一圈升高

為：“02—82=6厘米.如果爬行10圈到達樹頂，

則樹干高為：10X6=60厘米.

【點睛】本題考查平面展開-最短問題，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中

考?？碱}型.

12.我國古代有這樣一道數(shù)學問題：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達

其頂，問葛藤之長幾何？，題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高

為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點/處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點2處.則問題中葛

藤的最短長度是多少尺？

【思路點撥】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理求解即可.

【解析】解：如圖所示，在如圖所示的直角三角形中，

V5C=20R,NC=5X3=15尺，

.,./8="52+202=25（尺）.

答：葛藤長為25尺.

【點睛】本題考查的是平面展開-最短路徑問題，此類問題應先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后,

再確定兩點之間的最短路徑.一般情況是兩點之間，線段最短.在平面圖形上構造直角三角形解決問

題.

2

13.慶安中學要舉辦第四屆運動會，現(xiàn)需裝飾一根高為9米，底面半徑為一米的圓柱，如圖，點/、2分別

71

是圓柱兩底面圓周上的點，且/、8在同一母線上.用一根彩帶（寬度不計）從點/順著圓柱側面繞3

圈到點2,那么這根彩帶的長度最短是多少？

【思路點撥】求圓柱體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點之間

線段最短解答.

【解析】解：圓柱體的展開圖如圖所示，

用一棉線從N順著圓柱側面繞3圈到B的運動最短路線是：ACfCD-DB,

即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個小長方形，/沿著3個長方形的對角線運動到3

的路線最短，

2

???圓柱底面半徑為一CH2,

71

2

，長方形的寬即是圓柱體的底面周長=211X-=4cm,

7T

又?圓柱高為9cm,

?,?小長方形的一條邊長是3cm,

根據(jù)勾股定理求得4C=CD=DB=5c加，

：.AC+CD+DB=\5cm,

答：這根棉線的長度最短是150加.

【點睛】本題主要考查了圓柱的計算、平面展開-路徑最短問題.圓柱的側面展開圖是一個長方形，此

長方形的寬等于圓柱底面周長，長方形的長等于圓柱的高.解題的關鍵就是把圓柱的側面展開成長方形,

“化曲面為平面”，用勾股定理解決.

考點三其它最值問題

【方法點撥】根據(jù)具體的圖形，采用具體的方法求最值。

1.△N3C中，AB=CB,AC=10,5^^=60,E為AB上一動點、,連結CE,過4作/"LCE于R連結

BF,則BF的最小值是7.

【思路點撥】過8作于。，根據(jù)5力8。=60,計算8。的長，由/4FC=90°,可知尸在以ZC

為直徑的圓上，由三角形三邊關系得：BF+DF>BD,則當下在AD上時，2尸的值最小，求8斤的長即

可.

【解析】解：過8作8OL/C于。，

'：AB=BC,

1

：.AD=CD^^AC=5,

,；SAZBC=60,

11

：.-xACxBD^60,即5x10x80=60,

BD=12,

'JAFLCE,

：.ZAFC=90°,

在以/C為直徑的圓上，

'：BF+DF>BD,且。尸=D尸，

當尸在AD上時，2尸的值最小，

此時3斤=12-5=7,

則8尸的最小值是7,

故答案為：7.

【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)、圓周角定理、三角形面積，確定5尸的最小值時點尸

的位置是關鍵.

2.如圖，已知RtZ\N8C中，ZACB=90°,ZBAC=30°,延長3c至。使連接ND

(1)求證：是等邊三角形；

(2)若￡為線段CD的中點，且/。=4,點尸為線段NC上一動點，連接BP.

1

①求￡P+p尸的最小值；

②求2BP+AP的最小值.

【思路點撥】(1)根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理，可得40=/比只要證明/8=60°即可解決問

題.

(2)①如圖1中，作于尸，EF'于尸',交4c于P'.由/尸/尸=30°,ZPFA=

11

90°,推出尸尸=推出尸E+萬尸/=尸石+尸尸，所以當E、P、尸共線時，即EF'_L48時，PE+PF最

短，最小值為線段EP,求出EF即可解決問題.

②如圖2中，作PF_L4D于尸，EF'于/,交4c于P.由/尸4F=30°,NPFA=90°,推

11

出P尸=5出,推出28尸+/尸=2I.PB+-PA)=2(PB+PF),所以當3、尸、尸共線時，BPBF'時，

PB+PF最短,最小值為線段2尸，求出2尸'即可解決問題.

【解析】(1)證明：：N/CB=90°