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文檔簡(jiǎn)介
第二十四章圓(知識(shí)歸納+題型突破)
課標(biāo)要求
基礎(chǔ)知識(shí)歸納
題型一垂徑定理及其應(yīng)用
題型二圓心角、弦、
題型三圓周角定理及其應(yīng)用
第二十四章圓
(知識(shí)歸納+題型突破)
題型五直線與圓的位置關(guān)系
重要題型題型六切線的性質(zhì)和判定
題型七三角形的外心和外接圓
題勤I三角形的內(nèi)心和內(nèi)切圓
題型九正多邊形和圓
題型十扇形面枳和弧長(zhǎng)計(jì)算
題型十一圓錐及其側(cè)面展開(kāi)圉
課標(biāo)要求
1.理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念,了解等圓、等弧的概念;探索并掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.
2.探索并證明垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧.
3.探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系,知道同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓周角相等。了解并證明圓周角定理
及其推論:圓周角等于它所對(duì)弧上的圓心角的一半;直徑所對(duì)的圓周角是直角,90°的圓周角所對(duì)的弦是
直徑;圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).
4.了解三角形的內(nèi)心與外心.
5.了解直線與圓的位置關(guān)系,掌握切線的概念(例75).
6.能用尺規(guī)作圖:過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓;作三角形的外接圓、內(nèi)切圓;作圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六
邊形.
7.*能用尺規(guī)作圖:過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(例76).
8.*探索并證明切線長(zhǎng)定理:過(guò)圓外一點(diǎn)的兩條切線長(zhǎng)相等.
9.會(huì)計(jì)算圓的弧長(zhǎng)、扇形的面積.
10.了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系.
基礎(chǔ)知識(shí)歸納
一、圓的基本性質(zhì)
1.與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)
(1)圓:平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成
的圖形.如圖所示的圓記做。0.
(2)弦與直徑:連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦,過(guò)
圓心的弦叫做直徑,直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦.
(3)?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧,小于半圓的
弧叫做劣弧,大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.
(4)圓心角:頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.
(5)圓周角:頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓還有一個(gè)
交點(diǎn)的角叫做圓周角.
(6)弦心距:圓心到弦的距離.
知識(shí)點(diǎn)二:垂徑定理及其推論
2.垂徑定理及其推論
定理
垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
推論
(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧;
(2)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
延伸
根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性,如圖所示,在以下五條結(jié)論中:
①弧AC=?BC;②弧AD=MBD;③AE=BE;④AB,CD;⑤CD是直徑.
只要滿足其中兩個(gè),另外三個(gè)結(jié)論一定成立,即推二知三
?關(guān)于垂徑定理的計(jì)算常與勾股定理相結(jié)合,解題時(shí)往往需要添加輔助線,一般過(guò)圓心作弦的垂線,構(gòu)造直
角三角形.
3.圓心角、弧、弦的關(guān)系
定理在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦相等.
推論
在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分
別相等.
4.圓周角定理及其推論
(1)定理:一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.
(2)推論:
①在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.直徑所對(duì)的圓周角是直角.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).
二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系
1.點(diǎn)與圓的設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d.
氣點(diǎn)在。。內(nèi);(氣點(diǎn)在。。上;(>管點(diǎn)在。外.
位置關(guān)系(l)d<r2)d=13)d>iO
位置關(guān)系相離相切相交
圖形
2.直線和圓(
的位置關(guān)系
公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)1個(gè)2個(gè)
數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r
(1)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線(定義法).
3.切線的判
(2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.
定
(3)經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
(1)切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).
4.切線的性
(2)切線到圓心的距離等于圓的半徑.
質(zhì)
(3)切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.
(1)定義:從圓外一點(diǎn)作圓的切線,這點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).
5.切線長(zhǎng)(2)切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,兩切線長(zhǎng)相等,圓心與這一點(diǎn)的連線平
分兩條切線的夾角.
圖形相關(guān)概念圓心的確內(nèi)、外心的性質(zhì)
定
△經(jīng)過(guò)三角形各定點(diǎn)的三角形三到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等
6.三角形的圓叫做三角形的外接條垂直平
外接圓圓,外接圓的圓心叫做分線的交
三角形的外心,這個(gè)三點(diǎn)
角形叫做圓的內(nèi)接三
角形
與三角形各邊都相切到三角形到三角形的三條邊的距離相等
的圓叫三角形的內(nèi)切三條角平
7.三角形的圓,內(nèi)切圓的圓心叫做分線的交
內(nèi)切圓三角形的內(nèi)心,這個(gè)三點(diǎn)
角形叫圓的外切三角
形
三、正多邊形和圓
1.正多邊形與圓
(1)正多邊形的有關(guān)概念:邊長(zhǎng)(a)、中心(0)、中心角(NA0B)、半徑(R))、邊心距(r),如圖所示①.
(2)特殊正多邊形中各中心角、長(zhǎng)度比:
中心角=120。中心角=90。中心角=60。,ABOC為等邊△
a:r:R=2:l:2a:r:R=2::2a:r:R=2:2
四、弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算
1..弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算
nnrimr11/
扇形的弧長(zhǎng)1=180;扇形的面積S=360=5'
2.圓錐與側(cè)面展開(kāi)圖
(1)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形,扇形的半徑等于圓錐的母線,扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng).
(2)計(jì)算公式:
圓錐S側(cè)==7trl,S=?rr(1+r)
注:易與勾股定理聯(lián)系,先求母線長(zhǎng),再求面積
重要題型
題型一垂徑定理及其應(yīng)用
【例1】(2023?北京西城?北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)??既?如圖,AB,CD(非直徑)為。。的兩條弦,A3與
交于點(diǎn)M,請(qǐng)從①AB為。。直徑;②M為8中點(diǎn);③B為C。中點(diǎn);中選擇兩個(gè)作為題設(shè),余下的一
個(gè)作為結(jié)論組成一個(gè)真命題,并完成證明.
【答案】見(jiàn)解析
【分析】分三種情況分別進(jìn)行推理論證即可.
【詳解】(1)知①,②推③:如圖,連接。C、OD,
?.?oc=a>,M為。中點(diǎn),
OMLCD,
.:AB為C。中垂線,
;AB為。。直徑,
BC=BD,
所以8為弧C£)中點(diǎn),
(2)知①③推②:如圖,連接OC、OD、BC、BD,
,.,8為CO中點(diǎn),
/.BC=BD,
又丁OC=OD,
.〔OB為8的中垂線,
.1M為8中點(diǎn)
(3)知②③推①:如圖,連接OC、OD、BC、BD,
:8為CZ)中點(diǎn),
?*-BC=BD,
BC=BD,
為CD中點(diǎn),
AB1CD,
為CD中垂線,
即A8為圓。直徑.
【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理及其推論,等腰三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識(shí),
熟練掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【例2】(2023?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖,某隧道的截面是一個(gè)半徑為3.4米的半圓形,一輛寬3.2米的
廂式卡車(chē)(截面是長(zhǎng)方形)恰好能通過(guò)該隧道,則這輛卡車(chē)的高為多少米?
【分析】過(guò)。作于E,根據(jù)垂徑定理求出BE,根據(jù)勾股定理求出OE即可.
【詳解】解:過(guò)。作于E,
貝UNOEB=90。,AB=DC=3.2米,
由垂徑定理得:AE=B£=1x3.2=1.6(米),
在RtABEO中,NBEO=90°,3E=1.6米,OB=3.4米,
由勾股定理得:OE=^OB2-BE1=V3.42-1.62=3(米),
即這輛卡車(chē)的高為3米.
【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
鞏固訓(xùn)練:
1.(2023秋?河北張家口?九年級(jí)統(tǒng)考期末)小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了(如圖),其中四塊碎片如圖
所示,為了配到與原來(lái)大小一樣的圓形鏡子,小明帶到商店去的碎片應(yīng)該是()
A.①B.②C.③D.@
【答案】C
【分析】由三角形有一個(gè)外接圓可得答案.
【詳解】解:???要恢復(fù)圓形鏡子,則碎片中必須有一段完整的弧,才能確定這條弧所在的圓的圓心和半徑,
只有③符合題意,
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)殘弧確定殘弧所在圓的圓心與半徑,理解題意是解本題的關(guān)鍵.
2.(2023秋?河南新鄉(xiāng)?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在。。中,尺規(guī)作圖的部分作法如下:
(1)分別以弦A2的端點(diǎn)為圓心,適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,使兩弧相交于點(diǎn)
(2)作直線交A3于點(diǎn)N.
若OB=5,ON=3,則AB的長(zhǎng)等于()
A.4B.6C.8D.10
【答案】c
【分析】OMLON,則AN=3N,在Rt^OBN中,勾股定理求得N3,進(jìn)而即可求解.
【詳解】解:根據(jù)作圖可得OA/LON,則4V=BN,
在RtZXOBN中,NB=yjOEP-ON-=A/52-32=4
AB=2NB=8,
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線,垂徑定理,勾股定理,熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵.
3.(2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷(A卷))陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng),“老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖
②是從正面看到的一個(gè)“老碗”(圖①)的形狀示意圖.是。。的一部分,。是AB的中點(diǎn),連接0。,
與弦A8交于點(diǎn)C,連接0B.已知AB=24cm,碗深CD=8cm,則。。的半徑為()
.,十0
圖①圖②
A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm
【答案】A
【分析】首先利用垂徑定理的推論得出8,AB,AC=BC=-AB=12cm,再設(shè)。。的半徑Q4為Rem,
2
則OC=(R-8)cm.在R^OAC中根據(jù)勾股定理列出方程R2=122+(尺-8匕求出R即可.
【詳解】解:;A8是。。的一部分,£>是AB的中點(diǎn),A3=24cm,
:.OD±AB,AC=BC=-AB=Ucm.
2
設(shè)O。的半徑04為Rem,則OC-OD-CD=(7?-8)cm.
在RSOAC中,-.-ZOCA=90°,
.-.OA2=AC2+OC2,
R2=122+(R-8)2,
:.R=13,
即的半徑為13cm.
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用,設(shè)。。的半徑。4為Rem,列出關(guān)于R的方程是解題的
關(guān)鍵.
4.(2022秋?山東濟(jì)寧?九年級(jí)濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)??计谀┤鐖D,一個(gè)底部呈球形的燒瓶,球的半徑為5cm,
瓶?jī)?nèi)液體的最大深度CD=1cm.則截面圓中弦A3的長(zhǎng)為()cm
【分析】由垂徑定理和勾股定理分別求出A8的長(zhǎng),即可得出答案.
由題意得:OA=OD=5cm,ODLAB,
AC=BC,
CD=1cm,
:.OC=OD-CD=5—1=4(cm),
在RJACO中,根據(jù)勾股定理得,
AC=A/0A2-0C2=A/52-42=3(cm),
/.AB=2AC=6(cm),
即截面圓中弦A3的長(zhǎng)為6cm,
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了垂經(jīng)定理,勾股定理,解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn).
5.(2023秋?陜西安康?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,8為。。的一條弦,直徑A3,CD于點(diǎn)E,連接OC、BC,
若/OCD=30。,CD=4也,則8c的長(zhǎng)為()
A
A.3B.4C.5D.6
【答案】B
【分析】先由垂徑定理求得CE=2若,再由/。8=30。,得出O£=goc,然后根據(jù)勾股定理求出0C=4,
最后證明△03C是等邊三角形,得出BC=0C=4.
【詳解】解::直徑于點(diǎn)E,
/.ZOEC=90°,CE=-X4A/3=273,
2
NOCD=30。,
.?.NCOE=60。,OE=-OC,
2
由勾股定理,得O(J2=OE2+CE2,即oc2=[:oc]+(2A/3)2,
OC=4,
OC=OB,
△03C是等邊三角形,
BC=OC=4.
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理,勾股定理,直角三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握垂徑定
理、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
6.(2022秋?湖北十堰?九年級(jí)十堰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)??计谥校┤鐖D,當(dāng)寬為3cm的刻度尺的一邊與圓相切時(shí),
另一邊與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處的讀圖如圖所示(單位:cm),那么該圓的半徑為()
o.
力'IB
01區(qū)過(guò)5溺Qo3
c
2525
A.—cmB.——cmC.5cmD.4cm
63
【答案】A
【分析】連接。4,過(guò)點(diǎn)。作ODJ_AB于點(diǎn)£>,由垂徑定理可知,AD=gAB=1(9-1)=4,設(shè)。4=廠,
貝UOD=r-3,在RtAOAD中利用勾股定理求出/■的值即可.
【詳解】解:連接。4,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)
"?OD1.AB,
AD=gAB=~(9—1)=4,
設(shè)OA=r,貝ljOD=r-3,
在RbOAD中,
OA2-ODr^AD1,即/一(r一3)。=4?,
解得r=孑25.
6
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
7.(2023春?廣東廣州?九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,彰顯了我國(guó)古代
勞動(dòng)人民的智慧,如圖1,點(diǎn)M表示筒車(chē)的一個(gè)盛水桶.如圖2,當(dāng)筒車(chē)工作時(shí),盛水桶的運(yùn)行路徑是以
軸心。為圓心.5米為半徑的圓,且圓心在水面上方,若圓被水面截得的弦48長(zhǎng)為8米,則筒車(chē)工作時(shí),
盛水桶在水面以下的最大深度為()
圖1圖2
A.2米3米C.4米D.5米
【答案】A
【分析】作8,48于點(diǎn)C,確定盛水桶在水面以下的最大深度即為。的長(zhǎng)度,進(jìn)而結(jié)合垂徑定理以及
勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.
作鉆于點(diǎn)C,盛水桶在水面以下的最大深度即為8的長(zhǎng)度,
AB=8,
上根據(jù)垂徑定理,AC=BC=4,
":OA=OD=5,
RSAOC中,OC=J0—AC?=3,
/.CD=OD-OC=2,
,盛水桶在水面以下的最大深度為2米,
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用,理解圓的基本性質(zhì),熟練運(yùn)用垂徑定理是解題關(guān)鍵.
8.(2022秋?山東濟(jì)寧?九年級(jí)濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)??计谀┤鐖D,將半徑為rem的。。折疊,弧A3恰好經(jīng)
過(guò)與A3垂直的半徑0C的中點(diǎn)。,已知弦的長(zhǎng)為4vBem,則廠=cm.
c
【答案】8
【分析】延長(zhǎng)CO交A3于E點(diǎn),交。。于點(diǎn)尸,連接。8,由OC與A3垂直,根據(jù)垂徑定理得到£為A8的
中點(diǎn),然后利用。是OC的中點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)即可求出ORCD、DE的長(zhǎng),從而求出OE,然后由05,OE的長(zhǎng),
根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng),進(jìn)而得出半徑的長(zhǎng).
【詳解】解:延長(zhǎng)CO交A3于E點(diǎn),交。。于點(diǎn)E連接QB,
CE1AB,
;.E為AB的中點(diǎn),
,/AB=4V15,
/.BE=gA8=2后,
?.?。是0c的中點(diǎn),OC=r,
CD=OD=—r,OB=r,CF=2OC=2r,
2
根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得:
DE=-DF=-\2r--r\=-r,
22(2J4
311
OE=DE-OD=-r——r=-r,
424
在RtZ\OEB中,根據(jù)勾股定理可得:OB=SE2+BE?即r=j+(2V15)2
Ar=8(負(fù)值舍去)
故答案為:8.
【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理,折疊的性質(zhì)以及勾股定理,在遇到直徑與弦垂直時(shí),常常利用垂徑定理得
出直徑平分弦,進(jìn)而由圓的半徑,弦心距及弦的一半構(gòu)造直角三角形來(lái)解決問(wèn)題,故延長(zhǎng)CO并連接。8作
輔助線是本題的突破點(diǎn).
9.(2023?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖,AB.AC,2C都是。。的弦,OM±AB,ON1AC,垂足分別
為M、N,若MN=1,則BC的長(zhǎng)為.
c
【分析】根據(jù)垂直定理得出AN=C7V,AM=BM,根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出MN,再求出BC
2
即可.
【詳解】解:ONLAC,垂足分別為/、N、過(guò)圓心。,ON過(guò)圓心。,
\AN=CN,AM=BM,
:.MN=-BC,
2
MN=1,
BC=2,
故答案為:2.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線和垂直定理,能根據(jù)垂徑定理求出AN=QV和=B揚(yáng)是解題的關(guān)
鍵.
10.(2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè))如圖所示,小區(qū)內(nèi)有個(gè)圓形花壇。,點(diǎn)C在弦上,AC=11,BC=21,
【答案】20
【分析】通過(guò)作弦心距,構(gòu)造直角三角形,利用垂徑定理和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】解:如圖,連接。4,過(guò)點(diǎn)。作垂足為。,
;AB是弦,OD±AB,AC=11,BC=21,
:.AD=BD=^(AC+BC)=16,
:.CD=AD-AC=5,
OD=yjoc2-CD2=7132-52=12,
二OA=y/OD^+AEr=,12?+16?=20-
故答案為:20.
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的應(yīng)用,掌握垂徑定理和勾股定理是解決問(wèn)題的前提,構(gòu)造直角三角形是正確
解答的關(guān)鍵.
H.(2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè))如圖,在。O中,已知是直徑,尸為A8上一點(diǎn)(戶不與A、3兩點(diǎn)重
合),弦MV過(guò)尸點(diǎn),ZNPB=45°.
(1)若AP=2,BP=6,則初V的長(zhǎng)為_(kāi);
PM2■+-PN2
(2)當(dāng)尸點(diǎn)在A8上運(yùn)動(dòng)時(shí)(保持ZWPB=45。不變),則=.
AB2~
【答案】2/!
【分析】(1)作陽(yáng),朧于得到=由AP=2,BP=6,得到圓的半徑長(zhǎng),由APOH是等
腰直角三角形,得到OH的長(zhǎng),由勾股定理求出NH的長(zhǎng),即可得到的長(zhǎng).
(2)由PM=MH—PH=NH-OH,PN=NH+PH=NH+OH,得到
PM-+PN1={NH-OH)2+(NH+OH)2=2(NH2+OH2),因止匕O"?十=次。=,得到
PM2+PN2=2OA2,即可解決問(wèn)題.
【詳解】解:(1)作彼±MN千H,
N
:.HN=MH,
\AP=2,BP=6,
:.AB=AP+PB=^,
:.ON=4,PO=OA-AP=4-2=2f
?.?ZNPB=45。,
「.△POH是等腰直角三角形,
:.OH=—PO=y[i,
2
NH=y/ON2-OH2=714,
MN=2NH=2A/14.
故答案為:2J值.
(2)由(1)知MH=NH,OH=PH,
:.PM=MH—PH=NH—OH,PN=NH+PH=NH+OH,
PM2+PN2=(NH-OH)2+(NH+OH)2=2(NH2+OH2),
OH2+NH2=ON2=Q42,
PM2+PN~=2OA2,
?/BA2=(204)2=4OA2,
,PM2+PN21
"-AB^―2-
故答案為:g.
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理,勾股定理,完全平方公式,關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形,應(yīng)用垂徑定理,
勾股定理來(lái)解決問(wèn)題.
12.(2022秋.安徽淮南.九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,過(guò)。。內(nèi)的一點(diǎn)尸畫(huà)弦A8,使P是AB中點(diǎn).(保
留作圖痕跡,不寫(xiě)畫(huà)法)
【答案】見(jiàn)解析
【分析】先作過(guò)尸點(diǎn)的半徑,然后過(guò)尸點(diǎn)作。尸的垂線交O。于A、B,則A3滿足條件.
【詳解】解:如圖,42為所作.
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖:解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),結(jié)合幾何圖形的基
本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖,逐步操作.也考查了垂徑定理.
13.(2023秋?河北邢臺(tái)?九年級(jí)校聯(lián)考期末)“筒車(chē)”是一種以水流作動(dòng)力,取水灌田的工具.如圖,“筒車(chē)”
盛水筒的運(yùn)行軌跡是以軸心。為圓心的圓,已知圓心。始終在水面上方.且當(dāng)圓被水面截得的弦為6
米時(shí),水面下盛水筒的最大深度為1米(即水面下方部分圓上一點(diǎn)距離水面的最大距離).
(1)求該圓的半徑;
(2)若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦AB從原來(lái)的6米變?yōu)?米時(shí),則水面下盛水筒的最大深度為多少米?
【答案】⑴5米
⑵2米
【分析】(1)作鉆于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)由垂徑定理可得AE=;A2=3,DE=1,再由勾股定理
即可求出圓的半徑;
(2)當(dāng)AB=8米時(shí),AE=;AB=4米.在Rt^AOE中,由勾股定理可得,AE2+OE2=OA^,則OE=3
米,即可求出DE的長(zhǎng).
【詳解】(1)解:如圖,作于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)D
貝|AE=;A8=3米,OE=1米.
設(shè)圓的半徑為廠米,在RtZXAOE中,AE2+OE2=OA^,
:.32+(r-l)2=r2,
解得r=5,
該圓的半徑為5米;
(2)解:當(dāng)AB=8米時(shí),AE=JA2=4米.
2
在RtAAOE中,AE2+OE2=OA2,
/.42+OE2=52,
:.OE=3米,
Z.DE=5-3=2(米).
答:水面下盛水筒的最大深度為2米.
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理,熟練掌握垂徑定理的定義并運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.
14.(2022秋?山東臨沂?九年級(jí)臨沂第九中學(xué)校考期中)筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,明朝科
學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理,如圖1筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心。為
圓心的圓,如圖2,已知圓心。在水面上方,且。。被水面截得的弦A8為6米,。。半徑長(zhǎng)為4米.若
點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn),求點(diǎn)C到弦A3所在直線的距離.
圖1圖2
【答案】點(diǎn)C到弦A8所在直線的距離為(4-b)米.
【分析】連接OC交4B于。,連接。4,根據(jù)垂徑定理得到=根據(jù)勾股定理求出OD,結(jié)合圖
形計(jì)算,得到答案.
【詳解】解:如圖2,連接OC交A8于。,連接。4,
,?,點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn),
:.OCLAB,43=6米,
AD=^AB=3(:米),
在RtaOAD中,OD=7OA2-AD2=A/42-32=77(米),
.??點(diǎn)C到弦A3所在直線的距離。。=0(7-0。=(4-近)米,
.,.點(diǎn)C到弦A3所在直線的距離為(4-g)米.
【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用,掌握垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解
題的關(guān)鍵.
15.(2022秋.廣東汕頭.九年級(jí)汕頭市龍湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)??计谥校┤鐖D所示,一裝有部分油的圓柱形油罐的橫
油的最大深度為20cm,
(1)用尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡,不用證明),找出圓心。;
(2)求該油罐橫截面的半徑.
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)該油罐橫截面的半徑為50cm.
【分析】(1)在橫截面上取一點(diǎn)C,連接AC,作A3、AC的垂直平分線,它們的交點(diǎn)即為圓心。;
(2)如圖,連接。4,O產(chǎn),AB交A8于E,設(shè)該油罐橫截面的半徑為r,求出OE=(r-20)cm,然后在
氐△OAE中,利用勾股定理構(gòu)建方程,求解即可.
【詳解】(1)解:圓心。的位置如圖所示:
(2)解:如圖,連接Q4,。尸,交A8于E,設(shè)該油罐橫截面的半徑為廠,
*.*AB=80cm,
/.AE=—AB=40cm,
2
由題意得:EF=20cm,
OE=(r-20)cm,
在RtZXOAE中,AE2+OE2=O^,
J4()2+(—20)2=/,
解得:r=50,
即該油罐橫截面的半徑為50cm.
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理,勾股定理,熟知垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧是
解題的關(guān)鍵.
16.(2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè))平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(2,9)、8(2,3)、。(3,2)、。(9,2)在?P上.
⑴在圖中清晰標(biāo)出點(diǎn)P的位置;
(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)是,0P的半徑是
【答案】(1)見(jiàn)解析
⑵(6,6);5
【分析】(1)根據(jù)垂徑定理可知,點(diǎn)尸的坐標(biāo)是弦A3,8的垂直平分線的交點(diǎn);
(2)根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出圓的半徑即可.
【詳解】(1)解::弦的垂直平分線是V=6,弦8的垂直平分線是x=6,
y=6與x=6的交點(diǎn)即為圓心尸,如圖所示:
(2)解:根據(jù)解析(1)可知,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,6),
0P的半徑為:PA=^(6-2)2+(6-9)2=5,
故答案為:(6,6);5.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系,掌握垂徑定理及其推論,是解決本題的關(guān)鍵.
17.(2023?浙江金華?統(tǒng)考中考真題)如圖,點(diǎn)A在第一象限內(nèi),04與x軸相切于點(diǎn)與,軸相交于點(diǎn)
C,D.連接AB,過(guò)點(diǎn)A作A"J_CD于點(diǎn)H.
(1)求證:四邊形ASM為矩形.
(2)已知。4的半徑為4,08=4,求弦C。的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析
⑵6
【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)及有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形判定即可.
(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)、垂徑定理及圓的性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】(1)證明:與x軸相切于點(diǎn)8,
ABlx^.
;AHLCD,HOLOB,
:.ZAHO=ZHOB=NOBA=90°,
.,.四邊形AHC將是矩形.
(2)如圖,連接AC.
四邊形AHO3是矩形,
.-.AH=OB=幣.
在RtzMHC中,CH2=AC1-AH-,
:.CH=&-(療了=3.
???點(diǎn)A為圓心,AH1CD,
:.CD=2CH=6.
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定,垂徑定理,圓的性質(zhì),熟練掌握矩形的判定和垂徑定理是解題的關(guān)鍵.
題型二圓心角、弦、弧
【例3】(2023?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖,點(diǎn)A、B、C、。是。。上的點(diǎn),AD為直徑,AB//OC.
(1)求證:點(diǎn)C平分2£).
(2)利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)做出的中點(diǎn)P(保留作圖痕跡).
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析
【分析】(1)連接OB,因?yàn)锳B〃OC,得到NOOC=NQ4B,ZCOB=ZOBA,又因?yàn)榘霃较嗟?,則
NOAB=NOBA,即可證明點(diǎn)C平分8。;
(2)分別以A、2為圓心,大于為半徑,畫(huà)弧交于一點(diǎn),連接該點(diǎn)與圓心交于一點(diǎn)即為A8的中
點(diǎn)尸.
【詳解】(1)證明:如圖,連接。3,
OC//AB,
:.ZDOC=ZOABf/COB=/OBA,
*/OA=OB,
:.ZOAB=ZOBA,
:.ZDOC=ZCOBf
???點(diǎn)。平分BO;
(2)解:如圖所示:點(diǎn)尸為所求:
DC
B
A
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)以及基本作圖等知識(shí)內(nèi)容,正確掌握基本作圖的方法是解題的關(guān)鍵.
鞏固訓(xùn)練
1.(2022秋?遼寧葫蘆島?九年級(jí)校聯(lián)考期中)下列說(shuō)法正確的是()
A.相等的圓心角所對(duì)的弧相等B.在同圓中,等弧所對(duì)的圓心角相等
C.弦相等,圓心到弦的距離相等D.圓心到弦的距離相等,則弦相等
【答案】B
【分析】圓心角、弧、弦、圓心到弦的距離的關(guān)系的前提“在同圓和等圓中“,據(jù)此逐項(xiàng)判定即可.
【詳解】解:A、在同圓和等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,故此選項(xiàng)不符合題意;
B、在同圓中,等弧所對(duì)的圓心角相等,故此選項(xiàng)符合題意;
C、在同圓和等圓中,弦相等,圓心到弦的距離相等,故此選項(xiàng)不符合題意;
D、在同圓和等圓中,圓心到弦的距離相等,則弦相等,故此選項(xiàng)不符合題意;
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦、圓心到弦的距離的關(guān)系,解題關(guān)鍵是熟練掌握在同圓或等圓中,圓
心角、圓心角所對(duì)弧、圓心角所對(duì)弦、圓心到弦的距離中有一組量相等,則其余各組量也相等.
2.(2023?陜西西安?西安市慶安初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖,是。。的直徑,點(diǎn)C,。在。。上,
AC^AD,NA8=70。,則/BCO的度數(shù)是()
A.30°B.35°C.40°D.55°
【答案】B
【分析】首先由AC=AD,/40。=70??傻?40。=/48=70。,再由=可得出
ZOBC=ZOCB=-ZAOC=35°.
2
【詳解】解::在。。中,AC=AD,ZAOD=JO°
:.ZAOC=ZAOD=70。,
':OB=OC,
:.NOBC=ZOCB=-ZAOC=35°,
2
故選:B.
【點(diǎn)睛】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì),掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)
用是解題的關(guān)鍵.
3.(2023?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖,48是。。的直徑,CD、8E是。。的兩條弦,交A3于點(diǎn)G,
點(diǎn)C是BE的中點(diǎn),點(diǎn)2是CZ)的中點(diǎn),若AB=10,BG=2,則BE的長(zhǎng)為()
A.3B.4C.6D.8
【答案】D
【分析】先根據(jù)垂徑定理的推論得到ABLCD,CD=2CG,再利用勾股定理求出CG=4,進(jìn)而得到
CD=2CG=8,再證明BE=CO,貝lj3E=CD=8.
【詳解】解:如圖所示,連接OC,
:點(diǎn)3是CO的中點(diǎn),AB是。。的直徑,
ABA.CD,BC=BD,
:.CD=2CG,
,?AB=10,
/.OC=OB=-AB=5,
2
*/BG=2,
:.OG=3,
在RtACOG中,由勾股定理得CG=Joe?-心=4,
CD=2CG=8,
,點(diǎn)C是BE的中點(diǎn),
一BC=EC,
??BC=EC=BD,
BE=CD,
:.BE=CD=8,
故選D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的推論,勾股定理,弧與弦之間的關(guān)系,正確作出輔助線構(gòu)造直角三角
形是解題的關(guān)鍵.
4.(2023?河北?統(tǒng)考中考真題)如圖,點(diǎn)心是。。的八等分點(diǎn).若△陽(yáng)3四邊形鳥(niǎo)心《鳥(niǎo)的周長(zhǎng)分別
為a,b,則下列正確的是()
P5
A.a<bB.a=bC.a>bD.a,6大小無(wú)法比較
【答案】A
[分析]連接AEE,依題意得々鳥(niǎo)=巴鳥(niǎo)=鳥(niǎo)舄=[與,鳥(niǎo)[=片鳥(niǎo),/明的周長(zhǎng)為a=P^+PlP1+P3P1,
四邊形ABIA的周長(zhǎng)為6=舄舄+舄累+62+乙2,故6-。=<心+2月一耳A,根據(jù)心鳥(niǎo)的三邊關(guān)系即
可得解.
【詳解】連接耳鳥(niǎo),鳥(niǎo)鳥(niǎo),
尸5
:點(diǎn)4~月是。。的八等分點(diǎn),即邛£=鳥(niǎo)鳥(niǎo)=£尸4=心心=心月=心2=4尸8=44
;.牝=鳥(niǎo)鳥(niǎo)=2=",P,P6=P4P5+P5P6=PR+站=的
??BE=6月
又V“PF3Pl的周長(zhǎng)為。=《月+々片+月片,
四邊形里詛罵的周長(zhǎng)為6=△舄+舄M+4片+鳥(niǎo)片,
?*,b-a=(^3^4+B穌+月,+月舄)一(耳£+44+4,)=(46+片,+6月+6月)一(4月+耳片+月,)
=62+a月-月月
在中有帆+鳥(niǎo)鳥(niǎo)>片鳥(niǎo)
.*.b—a=P[P2+P2P3—PR>0
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查等弧所對(duì)的弦相等,三角形的三邊關(guān)系等知識(shí),利用作差比較法比較周長(zhǎng)大小是解題的
關(guān)鍵.
5.(2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考二模)如圖,AB是。。的直徑BC=CZ)=r)E,若NCOD=35。,則/AOE的
度數(shù)是().
A.35°B.55°C.75°D.95°
【答案】C
【分析】根據(jù)同圓中等弧所對(duì)的圓心角相等得到NDOE=N3OC=NCOD=35。,再根據(jù)平角的定義求出
/AOE的度數(shù)即可.
【詳解】解:??.BC=CD=DE,NCOD=35°,
:.ZDOE=ZBOC=ZCOD=35°,
/AOE=180°-NDOE-ZBOC-ZCOD=75°,
故選C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧與圓心角的關(guān)系,熟知同圓中等弧所對(duì)的圓心角相等是解題的關(guān)鍵.
6.(2020秋?廣東廣州?九年級(jí)廣州市第十三中學(xué)??计谥校┤鐖D,42、C、。是。O上的點(diǎn),如果AB=CD,
ZAOB=70°,那么NCO£>=_.
【答案】70。
【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦三者的關(guān)系可解答.
【詳解】解:???鈿=€?,
Z.COD=ZAOB=1Q°,
故答案為:70°.
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角、弧、弦三者的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中,①圓心角相等,
②所對(duì)的弧相等,③所對(duì)的弦相等,三項(xiàng)“知一推二”,一項(xiàng)相等,其余二項(xiàng)皆相等.
7.(2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè))如圖,AB是。。的直徑,C是54延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)D在。。上,且CD=OE,
8的延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)E.若NC=25。,則NCEO度數(shù)為
【分析】根據(jù)CD=OD求出"OC=NC=25。,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出N£DO=NC+NOOC=50。,
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出ZE=ZEDO=50°.
【詳解】解:連接OD.
VCD=OE,OE=OD,
,CD=OD,
':ZC=25°,
NDOC=NC=25。,
:.Z.EDO=ZC+NDOC=50°,
OD=OE,
ZE=ZEDO=50°.
故答案為:50.
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì),圓的知識(shí),能求出NODE
的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵.
8.(2022?廣東湛江?一模)已知41PE,有一量角器如圖擺放,中心。在P4邊上,為0??潭染€,OB為
180??潭染€,角的另一邊PE與量角器半圓交于C,£>兩點(diǎn),點(diǎn)C,。對(duì)應(yīng)的刻度分別為160。,68°,貝U/4PE
【答案】24
【分析】利用點(diǎn)C,。對(duì)應(yīng)的刻度分別為160。,68°,求出/COD,/COP,再根據(jù)OC=OD求出/OCD,
利用外角的性質(zhì)得至?。軿OCD=ZCOP+ZAPE,從而得解.
【詳解】解:如圖,連接0。,OC,
根據(jù)題意得,ZAOD=68°,NAOC=160。,
Z.COD=ZAOC-ZAOD=92°,NCOP=180°-ZAOC=20°,
OC=OD,
:.ZOCD=ZODC=|x(180°-ZCOD)=1x(180°-92°)=44°,
??Z.OCD=ZCOP+ZAPE,
ZAPE=ZOCD-ZCOP=24°,
故答案為:24.
【點(diǎn)睛】本題考查等邊對(duì)等角,三角形外角的定義與性質(zhì),圓心角等知識(shí),根據(jù)刻度找出相應(yīng)的圓心角并
計(jì)算其他角度是解題的關(guān)鍵.
9.(2023秋?河北邢臺(tái)?九年級(jí)校聯(lián)考期末)如圖,是的直徑,BC=CD,NCOD=50。,求N48的
度數(shù).
【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得.
【詳解】解:在。。中,48是。。的直徑,
:.ZAOB=180°,
又:BC=CD,
:.ZBOC=NCOD=5。。,
ZAOD=180°-50°-50°=80°.
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握同弧所對(duì)的圓心角相等.
10.(2022秋?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)儀征市第三中學(xué)??茧A段練習(xí))如圖,在。。中,弦A3與弦C£>相交于點(diǎn)E,
且AB=CD.求證:CE=BE.
【答案】見(jiàn)解析
【分析】由弧、弦、圓心角的關(guān)系進(jìn)行證明,結(jié)合等角對(duì)等邊,即可得到結(jié)論成立.
【詳解】證明:?.?AB=CD,
AB=CD,
AB-BC=CD-BC,
即AC=BD,
,\ZB=ZC,
BE=CE;
【點(diǎn)睛】本題考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行證明.
11.(2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè))如圖所示,AB.CD是。O的兩條弦,且AC=8D,則A8與8的大小
有什么關(guān)系?為什么?
【分析】連接4。,利用圓心角、弧、弦的關(guān)系解答即可.
【詳解】解:相等.
?*-AC=BD,BC=BC,
AB=CD,
:.AB=CD.
【點(diǎn)睛】此題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系,關(guān)鍵是根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系解答.
12.(2023?湖北武漢???寄M預(yù)測(cè))如圖A3為圓。的直徑,AE為圓。的弦,C為。上一點(diǎn),AC=CE,
CD1AB,垂足為D
c
B
-----------------/E
(1)連接CO,判斷CO與AT?的位置關(guān)系,并證明;
⑵若AE=8,BD=2,求圓。的半徑;
【答案】(DCOLAE,證明見(jiàn)詳解
(2)5
【分析】(1)COVAE,理由如下:延長(zhǎng)CO交AE于點(diǎn)G,連接OE,再根據(jù)圓的基本性質(zhì)及等腰三角形
的性質(zhì)即可;
(2)由(1)中結(jié)論,COLAE,AG=jAE=4,先證明AAGO也ACDO(AAS),再根據(jù)勾股定理即可.
【詳解】(1)解:COVAE,理由如下:
延長(zhǎng)CO交AE于點(diǎn)G,連接。E,
AC=CE,
:.ZAOC=ZCOE,
ZAOG=180°-ZAOC,ZGOE=180°-ZEOC,
ZAOG=ZGOE,
■.■OA^OE,
:.CO±AE-,
(2)解:由(1)中結(jié)論,CO±AE,AG=-AE=4,
2
ZAGO=ZCDO=90°,ZAOG=ZCOD,AO=CO,
△AGO^ACDO(AAS),
AG=CD=4,
設(shè)。。的半徑為r,則。D=r—2,OC=r,
在RtACDO中,CD?+OD2=OC2,即4?+(r-2)2=r2,
解得:廠=5,即。。的半徑為5.
【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)
形結(jié)合的思想解決問(wèn)題,屬于中考常考題型.
題型三圓周角定理及其應(yīng)用
【例4】(1)(2023?江蘇連云港?校聯(lián)考三模)如圖,已知:四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形,4
B、O是小正方形頂點(diǎn),的半徑為1,尸是O。上的點(diǎn),且位于右上方的小正方形內(nèi),則等于()
A.30°B.45°C.60°D.90°
【答案】B
【分析】根據(jù)圓周角定理求解即可.
【詳解】ZAPB=-ZAOB=45°,
2
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理,熟記同圓中一條弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)圓心角的一半是解題的關(guān)鍵.
(2)(2023秋?山西大同?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,為。。的直徑,點(diǎn)在圓上且在直徑的兩側(cè),
若/&1C=25。,則/O的度數(shù)為()
A.40°B.45°C.65°D.75°
【答案】C
【分析】連接BC,由圓周角定理即可求出一。的度數(shù).
【詳解】解:連接BC,
/ACS=90。,
二ZCBA=90°-ZBAC=90°-25°=65°,
ZD=NCBA=65°.
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理,掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.
【例5】(2022秋?山西呂梁?九年級(jí)校考階段練習(xí))如圖,48是。。的直徑,弦CE平分/ACB交。。于點(diǎn)
E.交于點(diǎn)。.連接AE、BE,ZBEC=60°,AC=6.
⑴求四邊形ACBE的面積;
(2)求CE的長(zhǎng).
【答案】⑴36+18由⑵3夜+3面
【分析】(1)四邊形ACBE的面積可以分為兩部分,分別求解兩部分三角形的面積,即可求解;
(2)作根據(jù)直角三角形的性質(zhì),分別求得CF,EF,即可求解.
【詳解】(1)解:是。。的直徑,
二ZACB=ZAEB=90°,
又:弦CE平分NACB,
ZACE=ZBCE=45°,
AE=BE,
AABE是等腰直角三角形,
ZBEC=60°,
:.ZBAC=60°,
:.ZABC=30°,
AB=2AC=12,
由勾股定理得3C=JAB2_3C2=66,
AE2+BE2=AB2,解得AE=aE=60,
S.fir=-ACxBC=18^/3,SARF=-AEXBE=36,
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