蘇教版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修1)3.2.1雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用同步測(cè)試題及答案

第第頁蘇教版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修1)《3.2.1雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用同步測(cè)試題及答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________[分值：100分]單選題每小題5分，共40分；多選題每小題6分，共6分1．與橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(－2，eq\r(10))的雙曲線方程為()A.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(y2,5)－eq\f(x2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,3)＝12．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別稱“勾”“股”“弦”，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是該雙曲線右支上的一點(diǎn)，若PF1，PF2分別是Rt△F1PF2的“勾”“股”，且PF1·PF2＝2ab，則a與b的關(guān)系為()A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＝eq\r(2)bC．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)＝2eq\r(2)b3．已知點(diǎn)M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動(dòng)圓C與直線MN切于點(diǎn)B，過M，N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為()A．x2－eq\f(y2,8)＝1(x<－1) B．x2－eq\f(y2,8)＝1(x>1)C．x2＋eq\f(y2,8)＝1(x>0) D．x2－eq\f(y2,10)＝1(x>1)4．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－eq\r(10)，0)，F(xiàn)2(eq\r(10)，0)，M是此雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，|eq\o(MF1,\s\up6(→))|·|eq\o(MF2,\s\up6(→))|＝2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.eq\f(x2,9)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,7)＝1 D.eq\f(x2,7)－eq\f(y2,3)＝15．已知F是雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則PF＋PA的最小值為()A．5B．6C．8D．96．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(y2,4)－eq\f(x2,45)＝1的下、上焦點(diǎn)，P是該雙曲線上的一點(diǎn)，且3PF1＝5PF2，則△PF1F2的面積等于()A．14eq\r(3)B．7eq\r(15)C．5eq\r(15)D．15eq\r(3)7．(5分)經(jīng)過點(diǎn)P(－3,2eq\r(7))和Q(－6eq\r(2)，－7)，且焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________．8．(5分)已知雙曲線C：eq\f(x2,4)－y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，若△ABF1的周長(zhǎng)為20，則線段AB的長(zhǎng)為________．9．(10分)在周長(zhǎng)為48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝eq\f(3,4)，求以M，N為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P的雙曲線方程．10．(12分)已知雙曲線3x2－y2＝3，直線l過右焦點(diǎn)F2，且傾斜角為45°，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，試問A，B兩點(diǎn)是否位于雙曲線的同一支上？11．設(shè)橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1和雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的公共焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則cos∠F1PF2等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,9)D.eq\f(3,5)12．(多選)已知點(diǎn)P在雙曲線C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，若△PF1F2的面積為20，則下列說法正確的有()A．點(diǎn)P到x軸的距離為eq\f(20,3)B．PF1＋PF2＝eq\f(50,3)C．△PF1F2為鈍角三角形D．∠F1PF2＝eq\f(π,3)13．若雙曲線eq\f(x2,n)－y2＝1(n>1)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足PF1＋PF2＝2eq\r(n＋2)，則△PF1F2的面積為()A．1B.eq\f(1,2)C．2D．414．(5分)從雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的左焦點(diǎn)F引圓x2＋y2＝1的切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于點(diǎn)P，若M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則MO－MT的值是__________．15．(5分)光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點(diǎn)處的切線反射．已知光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出．如圖，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與雙曲線C′：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有公共焦點(diǎn)，現(xiàn)一光線從它們的左焦點(diǎn)出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經(jīng)過2k(k∈N*)次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為______．16．(12分)已知雙曲線E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，并且E經(jīng)過點(diǎn)P(2,3)．(1)求雙曲線E的方程；(4分)(2)過點(diǎn)M(0,1)的直線l與雙曲線E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程．(8分)參考答案1．B[方法一由題意得橢圓的焦點(diǎn)為(0,3)，(0，－3)，所以雙曲線的焦點(diǎn)為(0,3)，(0，－3)，設(shè)雙曲線的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9，,\f(10,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,b2＝4.))所以雙曲線的方程為eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1.方法二設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,16＋λ)＋eq\f(y2,25＋λ)＝1(－25<λ<－16)，又因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)(－2，eq\r(10))，可得eq\f(4,λ＋16)＋eq\f(10,25＋λ)＝1，解得λ＝－7(舍去)或λ＝－20.所以雙曲線的方程為eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1.]2．A[由勾股定理可得PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)，由雙曲線的定義得PF1－PF2＝2a，則(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＝F1Feq\o\al(2,2)，即4a2＋4ab＝4c2，又c2＝a2＋b2，所以a＝b.]3．B[PM－PN＝BM－BN＝2<6＝MN，所以點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(除去點(diǎn)(1,0))，且a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8，所以點(diǎn)P的軌跡方程是x2－eq\f(y2,8)＝1(x>1)．]4．A[由題意得焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∵eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MF1,\s\up6(→))⊥eq\o(MF2,\s\up6(→))，即MF1⊥MF2，∴MFeq\o\al(2,1)＋MFeq\o\al(2,2)＝40.則(MF1－MF2)2＝MFeq\o\al(2,1)－2MF1·MF2＋MFeq\o\al(2,2)＝40－2×2＝36.∴|MF1－MF2|＝6＝2a，即a＝3.∵c＝eq\r(10)，∴b2＝c2－a2＝1.則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,9)－y2＝1.]5．D[對(duì)于雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1，a＝2，b＝2eq\r(3)，c＝4，如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為M，則M(4,0)，由雙曲線的定義可得PF－PM＝4，則PF＝4＋PM，所以PF＋PA＝PM＋PA＋4≥AM＋4＝eq\r(1－42＋4－02)＋4＝9，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立．因此PF＋PA的最小值為9.]6．D[由題意可知F1F2＝2×eq\r(4＋45)＝14，PF1－PF2＝2×2＝eq\f(2,3)PF2?PF1＝10，PF2＝6，在△PF1F2中，由余弦定理可知cos∠F1PF2＝eq\f(102＋62－142,2×10×6)＝－eq\f(1,2)，又0<∠F1PF2<π，所以sin∠F1PF2＝eq\f(\r(3),2)，所以△PF1F2的面積S＝eq\f(1,2)×10×6×eq\f(\r(3),2)＝15eq\r(3).]7.eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1解析設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25)，))故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.8．6解析由題意，得a2＝4，b2＝1，c2＝4＋1＝5，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a＝4，焦距2c＝2eq\r(5).因?yàn)锳，B都在右支上，則AF1＝AF2＋4，BF1＝BF2＋4，所以△ABF1的周長(zhǎng)為AB＋AF1＋BF1＝AB＋AF2＋BF2＋8＝2AB＋8＝20，解得AB＝6.9．解因?yàn)椤鱉PN的周長(zhǎng)為48，且tan∠PMN＝eq\f(3,4)，所以設(shè)PN＝3k，PM＝4k，則MN＝5k.由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.所以PN＝12，PM＝16，MN＝20.以MN所在直線為x軸，以MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由PM－PN＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4.由MN＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，故所求雙曲線方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,96)＝1(x>2)．10．解雙曲線方程可化為x2－eq\f(y2,3)＝1，故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2.∴F2(2,0)，又直線l的傾斜角為45°，∴直線l的斜率k＝tan45°＝1，∴直線l的方程為y＝x－2，代入雙曲線方程，得2x2＋4x－7＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝－eq\f(7,2)<0，∴A，B兩點(diǎn)不位于雙曲線的同一支上．11．B[設(shè)PF1＝d1，PF2＝d2，則d1＋d2＝2eq\r(6)，①|(zhì)d1－d2|＝2eq\r(3)，②①2＋②2，得deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝18.①2－②2，得2d1d2＝6.而c＝2，∴cos∠F1PF2＝eq\f(d\o\al(2,1)＋d\o\al(2,2)－2c2,2d1d2)＝eq\f(1,3).]12．BC[因?yàn)殡p曲線C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，所以c＝eq\r(16＋9)＝5.又因?yàn)椋絜q\f(1,2)·2c|yP|＝eq\f(1,2)·10·|yP|＝20，所以|yP|＝4，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；將|yP|＝4代入C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1得eq\f(x2,16)－eq\f(42,9)＝1，即|xP|＝eq\f(20,3).不妨取P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3)，4))，可知PF2＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3)－5))2＋42)＝eq\f(13,3).由雙曲線定義可知PF1＝PF2＋2a＝eq\f(13,3)＋8＝eq\f(37,3)，所以PF1＋PF2＝eq\f(37,3)＋eq\f(13,3)＝eq\f(50,3)，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3)，4))，在△PF1F2中，PF1＝eq\f(37,3)>2c＝10>PF2＝eq\f(13,3).且cos∠PF2F1＝eq\f(PF\o\al(2,2)＋F1F\o\al(2,2)－PF\o\al(2,1),2PF2·F1F2)＝－eq\f(5,13)<0，則∠PF2F1為鈍角，所以△PF1F2為鈍角三角形，選項(xiàng)C正確；由余弦定理得因?yàn)閏os∠F1PF2＝eq\f(PF\o\al(2,1)＋PF\o\al(2,2)－F1F\o\al(2,2),2PF1·PF2)＝eq\f(319,481)≠eq\f(1,2)，所以∠F1PF2≠eq\f(π,3)，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．]13．A[設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則PF1－PF2＝2eq\r(n)，已知PF1＋PF2＝2eq\r(n＋2)，解得PF1＝eq\r(n＋2)＋eq\r(n)，PF2＝eq\r(n＋2)－eq\r(n)，PF1·PF2＝2.又F1F2＝2eq\r(n＋1)，則PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)，所以△PF1F2為直角三角形，且∠F1PF2＝90°，于是＝eq\f(1,2)PF1·PF2＝eq\f(1,2)×2＝1.]14.eq\r(3)－1解析不妨將點(diǎn)P置于第一象限．設(shè)F1是雙曲線的右焦點(diǎn)，如圖，連接PF1，OT，OM.M，O分別為FP，F(xiàn)F1的中點(diǎn)，故MO＝eq\f(1,2)PF1.又由雙曲線的定義得，PF－PF1＝2a，F(xiàn)T＝eq\r(OF2－OT2)＝b，故MO－MT＝eq\f(1,2)PF1－MF＋FT＝eq\f(1,2)(PF1－PF)＋FT＝b－a＝eq\r(3)－1.15．2k(a－m)解析光線從橢圓的左焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過