《常微分方程》期末考試試題庫

《常微分方程》期末考試試題目錄TOC\o"1-1"\h\u31705《常微分方程》期末考試題（一） 18122《常微分方程》期末考試題（二） 625653《常微分方程》期末考試題（三） 1314299《常微分方程》期末考試題（四） 181364《常微分方程》期末考試題（五） 24153《常微分方程》期末考試題（六） 3127881《常微分方程》期末考試題庫 36《常微分方程》期末考試題（一）一、填空題（每空2分，共16分）。1、方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是xoy平面．2.方程組的任何一個解的圖象是n+1維空間中的一條積分曲線.3．連續(xù)是保證方程初值唯一的充分條件．4．方程組的奇點的類型是中心5．方程的通解是6．變量可分離方程的積分因子是7．二階線性齊次微分方程的兩個解,成為其基本解組的充要條件是線性無關(guān)8．方程的基本解組是二、選擇題（每小題3分，共15分）。9．一階線性微分方程的積分因子是（A）．（A）（B）（C）（D）10．微分方程是（B）（A）可分離變量方程（B）線性方程（C）全微分方程（D）貝努利方程11．方程x(y2－1)dx+y(x2－1)dy=0的所有常數(shù)解是（C）．(A)(B)(C),(D),12．階線性非齊次微分方程的所有解（D）．（A）構(gòu)成一個線性空間（B）構(gòu)成一個維線性空間（C）構(gòu)成一個維線性空間（D）不能構(gòu)成一個線性空間13．方程（D）奇解．（A）有一個（B）有無數(shù)個（C）只有兩個（D）無三、計算題（每小題8分，共48分）。14．求方程的通解解：令，則，于是，所以原方程的通解為15．求方程的通解解：取則，于是原方程為全微分方程所以原方程的通解為即16．求方程的通解解:令，得到（*），兩端同時關(guān)于求導(dǎo)，整理得，則取,得,代入（*）得解取,得,代入（*）得原方程得通解為17．求方程的通解解對應(yīng)的齊次方程的特征方程為，特征根為，故齊次方程的通解為因為不是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為代入原方程，得即，故原方程的通解為18．求方程的通解解：先求解對應(yīng)的其次方程：，則有，因為數(shù)不是特征根，故原方程具有形如的特解。將上式代入原方程，由于故或比較上述等式兩端的的系數(shù)，可得因此，故所求通解為19．求方程組的實基本解組解：方程組的特征多項式為，其特征根是，那么屬于的特征向量，屬于的特征向量。則方程的基本解組為，其實基本解組為。而因此所求實基本解組為四、應(yīng)用題（每小題11分，共11分）。20．（1）求函數(shù)的拉普拉斯變換（2）求初值問題的解解：（1）（2）設(shè)，是已知初值問題的解。對已知方程兩端同時使用拉普拉斯變換，可分別得到故有使用部分分式法，可得由（1）可知，故所求的初值解為。五、證明題（每小題10分，共10分）。21．證明：對任意及滿足條件的，方程的滿足條件的解在上存在。證：由于在全平面上連續(xù)，所以原方程在全平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延展定理條件．又顯然是方程的兩個特解．現(xiàn)任取，，記為過的解，那么這個解可以唯一地向平面的邊界無限延展，又上不能穿越，下不能穿越，因此它的存在區(qū)間必為．《常微分方程》期末考試題（二）一、填空題(本題共5小題，每小題4分，滿分20分)1、微分方程的階數(shù)是，是否為齊次線性方程.2、當(dāng)滿足時，方程稱為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程。3、若為齊次線性方程的個線性無關(guān)解，則這一齊線性方程的所有解可表為4、方程的常數(shù)解是．5、方程的特解可設(shè)為________________二、單選題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分)1、1.______A.B.C.D.2、的通解為_________（為任意常數(shù)）A.B.C.D.3、.微分方程的公共解為_______A.B.C.D.4、的積分因子為_______A.B.C.D.5、函數(shù)與______．A．均為常正的B．均為定正的C．常正，定正D．定正，常正三、解下列微分方程（本題共5小題，分值:6+6+6+6+12，滿分36分）1、求方程2、求方程的通解3、求方程的通解4、求解方程的通解5、求解方程的一個特解四、（本題10分）試求方程組的解五、證明題（本題共2小題，分值:10+9，滿分19分）1、證明方程解存在唯一性.2、給定方程，其中在上連續(xù)，設(shè)是上述方程的兩個解。證明極限存在。一、填空題(本題共5小題，每小題4分，滿分20分)1、微分方程的階數(shù)是3，是否為齊次線性方程否.2、若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系是________其中C為n*n奇異矩陣__________________。3、初值問題的解滿足積分方程。4、是恰當(dāng)方程,則。5、二維平面自治系統(tǒng)的奇點，當(dāng)參數(shù)滿足條件時，為穩(wěn)定的奇點。二、單選題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分)1、一階線性方程的積分因子是___B___．A．B．C．D．2、方程通過點的解的最大存在區(qū)間是___A___．A.(2，)B.(0，)C.(-)D.(-,3)3、曲線滿足方程____C__．A．B．C．D．4、如果是二階線性方程的解，則下列是的解的是__C____．A．B．C．D．5、函數(shù)與___D___．A．均為常正的B．均為定正的C．常正，定正D．定正，常正三、解下列微分方程（本題共5小題，分值:6+6+6+6+12，滿分36分）4、求方程解：這是n=2時的伯努利不等式，令z=,算得．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分代入原方程得到，這是線性方程，求得它的通解為z=．．２分帶回原來的變量y，得到=或者，這就是原方程的解。此外方程還有解y=0.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分1、解因為，所以原方程是全微分方程取，原方程的通解為即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分2、解：令則原方程消去后，有由此，得所以故原方程的通解為………………１分3、（２xy+解：因為又因為所以方程有積分因子：u(x)=方程兩邊同乘以得：［也即方程的解為．;解：的通解是,設(shè)原方程的特解是,將代入原方程得,所以有,所以原方程的通解是;四、（本題10分）試求方程組的解解：得取得取則基解矩陣因此方程的通解為：……………2分五、證明題（本題共2小題，分值:10+9，滿分19分）1、證明方程解存在唯一性.證明：eq\o\ac(○,1)構(gòu)造等價積分式，兩端求導(dǎo)得原方程，所以構(gòu)造積分式與原問題同解；………………2分eq\o\ac(○,2)進行迭代；……………………2分eq\o\ac(○,3)證明迭代的序列是收斂的由于構(gòu)造的迭代序列收斂于一級數(shù)，及，證明是收斂的；………………2分eq\o\ac(○,4)證明收斂到的級數(shù)極為方程的解給求極限得：，所以是方程的解……2分eq\o\ac(○,5)證明解是唯一的設(shè)均為方程的解，并且兩者不相等，則，；而當(dāng)x=0時，G(0)=0，，與相矛盾，所以解是唯一的.證畢.………………………2分2、個方程構(gòu)成的齊次線性微分方程組一定存在個線性無關(guān)解向量。證明:任取，根據(jù)解的存在唯一性定理，……………2分x=A(t)x分別滿足初值條件………2分的解一定存在.………………2分又因為這n個解的朗斯基行列式，所以一定是線性無關(guān)的，即證的所求?！?分《常微分方程》期末考試題（三）一、填空題（30分）1．稱為一階線性方程，它有積分因子，其通解為_________。2．函數(shù)稱為在矩形域上關(guān)于滿足利普希茲條件，如果_______。3．若為畢卡逼近序列的極限，則有______。4．方程定義在矩形域上，則經(jīng)過點（0，0）的解的存在區(qū)間是_______。5．函數(shù)組的伏朗斯基行列式為_______。6．若為齊線性方程的一個基本解組，為非齊線性方程的一個特解，則非齊線性方程的所有解可表為________。7．若是的基解矩陣，則向量函數(shù)=_______是的滿足初始條件的解；向量函數(shù)=_____是的滿足初始條件的解。8．若矩陣具有個線性無關(guān)的特征向量，它們對應(yīng)的特征值分別為，那么矩陣=______是常系數(shù)線性方程組的一個基解矩陣。9．滿足_______的點，稱為駐定方程組。計算題（60分）10．求方程的通解。11．求方程的通解。12．求初值問題的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計。13．求方程的通解。14．試求方程組的解15．試求線性方程組的奇點，并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性。三．證明題（10分）16．如果是滿足初始條件的解，那么常微分方程期終考試試卷答案一．填空題（30分）1．2．在上連續(xù)，存在，使，對于任意3．4．5．6．7．8．9．二．計算題（60分）10．解：積分因子兩邊同乘以后方程變?yōu)榍‘?dāng)方程：兩邊積分得：得：因此方程的通解為：11．解：令則得：那么因此方程的通解為：12．解：，解的存在區(qū)間為即令又誤差估計為：13．解：是方程的特征值，設(shè)得：則得：因此方程的通解為：14．解：得取得取則基解矩陣因此方程的通解為：15．解：（1，3）是奇點令，那么由可得：因此（1，3）是穩(wěn)定中心三．證明題（10分）16．證明：由定理8可知又因為所以又因為矩陣所以《常微分方程》期末考試題（四）填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)(請在每小題的空格中填上正確答案，錯填、不填均無分).1、方程有積分因子的充要條件為2、連續(xù)是保證對滿足利普希茨條件的充分條件條件．3、函數(shù)組的朗斯基行列式值為．4、若是二階齊次線性微分方程的基本解組，則它們無(有或無)共同零點．5、若矩陣具有個線性無關(guān)的特征向量，它們對應(yīng)的特征值分別為，那么常系數(shù)線性方程組的一個基解矩陣=.二、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分.)(請在每小題的括號中填上正確答案，錯填、不填均無分)1、形如的方程是（D）.A．歐拉方程B．貝塞爾方程C．黎卡爾方程D．伯努力方程2、設(shè)連續(xù)，是在上的兩個線性無關(guān)解，且，則（A）.（A）（B）（C）（D）3、二階非齊次線性微分方程的所有解（C）．（A）構(gòu)成一個2維線性空間（B）構(gòu)成一個3維線性空間（C）不能構(gòu)成一個線性空間（D）構(gòu)成一個無限維線性空間4、如果，都在平面上連續(xù)，而且有界，則方程的任一解的存在區(qū)間（A）．（A）必為（B）必為（C）必為（D）將因解而定5、若是齊次線性方程組的一個基解矩陣，為非奇異常數(shù)矩陣，那么是否還是此方程組的基解矩陣（B）.(A)不是(B)是(C)也許是(D)也許不是計算題(本題共4小題，每小題6分，共24分)(求下列微分方程的通解).；1、解：將方程變?yōu)椋?分）則有（1分）從而得(為任意的常數(shù)）．…………（3分）；解：由于，所以原方程是恰當(dāng)方程．（2分）假設(shè)存在使得它同時滿足方程：和（1分）則有且，所以（2分），即原方程的通解為：（1分）；解：齊次方程的特征方程為齊次方程的通解為………（2分）令，并求其特解如下：由于是單根，故設(shè)特解為代入原方程比較系數(shù)得所以則原方程有特解……（3分）故原方程的通解為……………（1分）；解：令方程的解為，代入原方程有……………（3分）于是（二重）（1分）故原方程的通解為（2分）解答題(本題共2小題，每小題10分，共20分)(寫出解題的詳細步驟).（1）設(shè)函數(shù)連續(xù)且滿足，求.解：兩邊關(guān)于求一階導(dǎo)數(shù)，有…（2分）兩邊關(guān)于再求一階導(dǎo)數(shù)，得…（2分）即而且………………（1分）而方程的解表示為………………（3分）由，可得…（2分）求方程組滿足初始條件的解.解：方程組的特征方程為，所以特征根為（二重）……（2分）對應(yīng)齊次方程組的基解矩陣………………（3分）滿足初始條件的特解……………（2分）……（3分）五、證明題(本大題共2小題，每小題13分，共26分)(寫出解題的詳細步驟，空間不夠請將答案寫在試卷背后).1、假設(shè)是二階齊次線性方程的解，其中在區(qū)間上連續(xù)，試證：（1）是方程的解的充要條件為：；（2）方程的通解可以表示為：，其中為常數(shù),.證：（１）……（6分）（２）因為為方程的解，則由劉維爾公式………（3分）兩邊都乘以則有：，于是：……（4分）設(shè)和是方程的任意兩個解，求證：它們的朗斯基行列式，其中為常數(shù).證明：因為方程的任意兩個解所以，………………（4分）于是構(gòu)成的伏朗斯基行列式………（5分）由于和是方程的解，因此，所以，故（4分）《常微分方程》期末考試題（五）一、填空（每小題3分，共30分）1、形如的方程當(dāng)?shù)耐ń鉃開______________。2、一階方程，若存在可微函數(shù)使_____時，稱為這個方程的積分因子。3、____________________稱為黎卡提方程，若它有一個特解，則經(jīng)過變換____________________，可化為伯努利方程。4、對，存在常數(shù)，使____________________則稱在上關(guān)于滿足李普希茲條件。5、若為畢卡逼近序列的極限，則有_________。6、方程定義在矩形域：，上，則經(jīng)過點解的存在區(qū)間是__________________。7、若是階齊線性方程的個解，為其伏朗基斯行列式，則滿足一階線性方程__________________。8、設(shè)是二階齊線性方程的一個解，則該方程的通解為____________________________________________。9、若為齊線性方程的一個基本解組，為非齊線性方程的一個特解，則非齊線性方程的通解為_____________________________。10、駐定方程組的奇點類型為_________________。二、求下列方程的解（每題8分，共24分）1、2、3、三、計算題（每題8分，共24分）1、求的通解。2、求的特解。3、求的通解。四、求下列方程組的基解矩陣（8分）五、1、若函數(shù)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，試由方程確定此函數(shù)。（8分）2、一質(zhì)量為千克的物體以初速度（秒/米）向前滑動，已知它所受的阻力為牛頓。試問該物體何時才能停下來，此時滑過了多少路程？（6分）參考答案一、1、.2、.3、，.4、.5、，其中，為李普希茲常數(shù)，，.6、.7、.8、.9、.10、穩(wěn)定結(jié)點。二、1、解：方程可化為， ……4分由一階線性方程的求解公式得： ……7分另外，也是方程的解。 ……8分2、解：方程可化為， ……3分即， ……6分故方程的通解為. ……8分（注：用公式或用其它方法均可）3、解：這是型令，則有. ……2分兩邊對求導(dǎo)：.故有或. ……4分由得為方程的特解. ……5分由得. ……6分故含參數(shù)的方程的通解為 ……8分三、1、解：特征方程的根為，. ……4分故方程的通解為.……8分2、解：齊次方程的特征方程的根為 ……2分因為是方程的特征根，故可設(shè)方程的一個特解為 ……5分將代入原方程可得 ……7分故原方程的一個特解為： ……8分3、解：齊次方程的特征方程的特征根為，. ……2分又因為，且或0不是方程的特征根，故可設(shè)方程的一個特解為. ……5分將代入原方程可得：，， ……7分故方程的通解為.……8分四、解：， ……1分由得：，，. ……2分設(shè)對應(yīng)的特征向量為，則由得，.取，得.故原方程組對應(yīng)于的一個特解為……4分同理可得，對應(yīng)的解分別為：，. ……6分又因為， ……7分所以原方程的基解矩陣為. ……8分五、1、解：方程兩邊對求導(dǎo)： ……3分即解之得. ……5分又由，得：，，…7分所以所求的函數(shù)為：. ……8分2、解：設(shè)物體在時刻路程的函數(shù)為，由牛頓第二定律：.即 ……2分或解之得. ……3分又，，所以有. ……4分令得：. ……5分此時.即物體共行了秒，當(dāng)物體停止時共行了米。 ……6分《常微分方程》期末考試題（六）一、填空題1．二階線性齊次微分方程的兩個解為方程的基本解組充分必要條件是．2．方程的基本解組是．3．一個不可延展解的存在在區(qū)間一定是區(qū)間．4．方程的常數(shù)解是．5、若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系是_____________________________。6．若是的基解矩陣，則向量函數(shù)=_______是的滿足初始條件的解；向量函數(shù)=_____是的滿足初始條件的解。二、單項選擇題7．連續(xù)可微是保證方程解存在且唯一的（）條件．（A）必要（B）充分（C）充分必要（D）必要非充分8．二階線性非齊次微分方程的所有解（）．（A）構(gòu)成一個2維線性空間（B）構(gòu)成一個3維線性空間（C）不能構(gòu)成一個線性空間（D）構(gòu)成一個無限維線性空間9．方程過點(0,0)有（B）．(A)無數(shù)個解(B)只有一個解(C)只有兩個解(D)只有三個解三、計算題求下列方程的通解或通積分：10.11.12．13．計算題14．試求方程組的解15.求的通解16．求方程的通解．17．求下列方程組的通解．常微分方程模擬試題參考答案一、填空題（每小題3分，本題共15分）1．線性無關(guān)（或：它們的朗斯基行列式不等于零）2．3.開4.5.6.二、單項選擇題（每小題3分，本題共15分）7．B8．C9．B三、計算題（每小題６分，本題共30分）10.解：11．解：方程兩端同乘以，得令，則，代入上式，得這是一階線形微分方程，對應(yīng)一階線形齊次方程的通解為利用常數(shù)變易法可得到一階線形微分方程的通解為因此原方程通解為12．解：因為，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通積分為計算得13．解：原方程是克萊洛方程，通解為計算題（每小題10分，本題共20分）14.解：得取得取則基解矩陣因此方程的通解為：15.解方程組將變量分離后得兩邊積分得變量還原并整理后得原方程的通解為16．解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根為，，齊次方程的通解為因為是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為代入原方程，比較系數(shù)確定出，，原方程的通解為17．解：齊次方程的特征方程為特征根為求得特征向量為因此齊次方程的通解為令非齊次方程特解為滿足解得積分，得，通解為《常微分方程》期末考試題庫1.求下列方程的通解。.2.求下列方程的通解。.3.求方程通過的第三次近似解.4.求解下列常系數(shù)線性方程。5.求解下列常系數(shù)線性方程。6.試求下列線性方程組的奇點，并通過變換將奇點變?yōu)樵c，進一步判斷奇點的類型及穩(wěn)定性：7.設(shè)為方程（Ａ為常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即，證明其中為某一值8.求方程的通解9.求方程的通解10.求初值問題的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計11.求方程的通解12.試求方程組的解13.試求線性方程組的奇點，并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性14.證明題：如果是滿足初始條件的解，那么15.求下列方程的通解16.求下列方程的通解17.若試求方程組的解并求expAt18.求下列方程的通解19.求方程經(jīng)過（0，0）的第三次近似解20.求的奇點,并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性證明題：階齊線性方程一定存在個線性無關(guān)解22.求解方程：=23.解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=024.討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點（0，0）的一切解25.求解常系數(shù)線性方程：26.試求方程組的一個基解矩陣，并計算27.試討論方程組（1）的奇點類型，其中a,b,c為常數(shù)，且ac0。28.試證：如果滿足初始條件的解，那么29.求解方程30.求解方程31.求解方程32.求方程經(jīng)過（0，0）的第三次近似解.33.試求：的基解矩陣34.試求的奇點類型及穩(wěn)定性.35.一質(zhì)量為m的質(zhì)點作直線運動，從速度等于零的時刻起，有一個和時間成正比（比例系數(shù)為k1）的力作用在它上面，此質(zhì)點又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為k2）。試求此質(zhì)點的速度與時間的關(guān)系。36.求解方程37.求方程經(jīng)過的第三次近似解38.討論方程，的解的存在區(qū)間39.求方程的奇解40.求解方程41.求解方程42.求解方程43.試證:若已知黎卡提方程的一個特解,則可用初等積分法求它的通解試用一階微分方程解的存在唯一性定理證明:一階線性方程,當(dāng),在上連續(xù)時,其解存在唯一45.求解方程46.求解方程47.求解方程48.試求方程組的一個基解矩陣，并計算，其中49.求解方程組的奇點，并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性50.求方程經(jīng)過（0，0）的第二次近似解51.證明:假設(shè)不是矩陣的特征值，試證非齊線性方程組有一解形如其中，是常數(shù)向量。52.求解方程53求解方程54.求解方程55.求解方程56.求解方程57.求解方程58.求解方程59.求方程組的奇點，并判斷奇點的類型和穩(wěn)定性60.求解方程61.求解方程62.求解方程63求方程經(jīng)過（0，0）的第三次近似解64.若試求方程組的解并求expAt65.求的奇點,并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性.66.解方程：；67.解方程：；68.解方程：；69.解方程：；70.解方程：；71.解方程：；72.解方程：；73.解方程：；74.解方程：；75.解方程：；76.解方程：；77.解方程：；78.解方程：；79.解方程：；80.解方程：；81.解方程：；82.解方程：；83.解方程：；84.解方程：；85.解方程：；1.求下列方程的通解。.解：方程可化為令，得由一階線性方程的求解公式，得所以原方程為：＝2.求下列方程的通解。.解：設(shè)，則有，從而，故方程的解為，另外也是方程的解.3.求方程通過的第三次近似解.解：4.求解下列常系數(shù)線性方程。解：對應(yīng)的特征方程為：，.解得所以方程的通解為：5.求解下列常系數(shù)線性方程。解：齊線性方程的特征方程為，解得，故齊線性方程的基本解組為：，因為是特征根，所以原方程有形如，代入原方程得，，所以，所以原方程的通解為6.試求下列線性方程組的奇點，并通過變換將奇點變?yōu)樵c，進一步判斷奇點的類型及穩(wěn)定性：解：解得所以奇點為（經(jīng)變換，方程組化為因為又所以，故奇點為穩(wěn)定焦點，所對應(yīng)的零解為漸近穩(wěn)定的。7.設(shè)為方程（Ａ為常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即，證明其中為某一值證明：為方程的基解矩陣為一非奇異常數(shù)矩陣，所以也是方程的基解矩陣，且也是方程的基解矩陣，.且都滿足初始條件， 所以即命題得證。8.求方程的通解解：積分因子兩邊同乘以后方程變?yōu)榍‘?dāng)方程：兩邊積分得：得：因此方程的通解為：9.求方程的通解解：令則得：那么.因此方程的通解為：10.求初值問題的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計解：，，解的存在區(qū)間為即令又誤差估計為：11.求方程的通解解：.是方程的特征值，設(shè)得：則得：.因此方程的通解為：12.試求方程組的解解：得取得取則基解矩陣因此方程的通解為：13.試求線性方程組的奇點，并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性解：（1，3）是奇點令，那么由可得：因此（1，3）是穩(wěn)定中心14.證明題：如果是滿足初始條件的解，那么證明：由定理8可知又因為所以又因為矩陣所以即命題得證。15.求下列方程的通解解：因為，所以此方程不是恰當(dāng)方程，方程有積分因子，兩邊同乘得所以解為即另外y=0也是解16.求下列方程的通解解：線性方程的特征方程故特征根是特征單根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0所以原方程的解為17.若試求方程組的解并求expAt解：解得此時k=1由公式expAt=得18.求下列方程的通解解：方程可化為令則有（*）（*）兩邊對y求導(dǎo)：即由得即將y代入（*）即方程的含參數(shù)形式的通解為：p為參數(shù)又由得代入（*）得：也是方程的解19.求方程經(jīng)過（0，0）的第三次近似解解：20.求的奇點,并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性解：由解得奇點（3，-2）令X=x-3,Y=y+2則因為=1+10故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）為穩(wěn)定焦點。21.證明題：階齊線性方程一定存在個線性無關(guān)解證明：由解的存在唯一性定理知：n階齊線性方程一定存在滿足如下條件的n解：考慮從而是線性無關(guān)的。22.求解方程：=解：(x-y+1)dx-(x++3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0即d-d(xy)+dx--3dy=0所以23.解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0解：，令z=x+y則所以–z+3ln|z+1|=x+，ln=x+z+.即24.討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點（0，0）的一切解解：設(shè)f(x,y)=,則故在的任何區(qū)域上存在且連續(xù)，因而方程在這樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，顯然，是通過點（0，0）的一個解；又由解得，|y|=所以，通過點（0，0）的一切解為及|y|=25.求解常系數(shù)線性方程：解：(1)齊次方程的通解為x=(2)不是特征根，故取代入方程比較系數(shù)得A=，B=-于是通解為x=+26.試求方程組的一個基解矩陣，并計算解：det()=所以，設(shè)對應(yīng)的特征向量為由取所以，=27.試討論方程組（1）的奇點類型，其中a,b,c為常數(shù)，且ac0。解：因為方程組（1）是二階線性駐定方程組，且滿足條件，故奇點為原點（0，0）又由det(A-E)=得所以，方程組的奇點（0，0）可分為以下類型：a，c為實數(shù)28.試證：如果滿足初始條件的解，那么證明：設(shè)的形式為=（1）（C為待定的常向量）則由初始條件得=又=所以，C==代入（1）得=即命題得證。29.求解方程解：因為又因為所以方程有積分因子：u(x)=方程兩邊同乘以得：［也即方程的解為．30.求解方程解：令，，則即從而又＝故原方程的通解為t為參數(shù)31.求解方程解：齊線性方程的特征方程為故齊線性方程的一個基本解組為，，因為不是特征方程的特征根所以原方有形如＝的特解將＝代入原方程，比較t的同次冪系數(shù)得：故有解之得：，所以原方程的解為：32.求方程經(jīng)過（0，0）的第三次近似解.解：.＝33.試求：的基解矩陣解：記A=,又得，均為單根.設(shè)對應(yīng)的特征向量為，則由得取,同理可得對應(yīng)的特征向量為：則均為方程組的解.令又所以即為所求。34.試求的奇點類型及穩(wěn)定性.解：令，則：.因為，又由得解之得.為兩相異實根，且均為負故奇點為穩(wěn)定結(jié)點，對應(yīng)的零解是漸近穩(wěn)定的。35.一質(zhì)量為m的質(zhì)點作直線運動，從速度等于零的時刻起，有一個和時間成正比（比例系數(shù)為k1）的力作用在它上面，此質(zhì)點又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為k2）。試求此質(zhì)點的速度與時間的關(guān)系。解：由物理知識得：根據(jù)題意：故：.即：(*)式為一階非齊線性方程，根據(jù)其求解公式有.又當(dāng)t=0時，V=0，故c=因此，此質(zhì)點的速度與時間的關(guān)系為：36.求解方程解：，則所以另外也是方程的解37.求方程經(jīng)過的第三次近似解解：..38.討論方程，的解的存在區(qū)間解：兩邊積分所以方程的通解為.故過的解為通過點的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到２，所以解的存在區(qū)間為.39.求方程的奇解解:利用判別曲線得消去得即所以方程的通解為,所以是方程的奇解40.求解方程解:=,=,=,所以方程是恰當(dāng)方程.得.所以故原方程的解為.41.求解方程解:故方程為黎卡提方程.它的一個特解為,令,則方程可化為,.即,故.42.求解方程解:兩邊同除以得..所以,另外也是方程的解.43.試證:若已知黎卡提方程的一個特解,則可用初等積分法求它的通解證明:設(shè)黎卡提方程的一個特解為令,又.由假設(shè)得此方程是一個的伯努利方程,可用初等積分法求解.44.試用一階微分方程解的存在唯一性定理證明:一階線性方程,當(dāng),在上連續(xù)時,其解存在唯一證明:令:,,在上連續(xù),則顯然在上連續(xù),因為為上的連續(xù)函數(shù),故在上也連續(xù)且存在最大植,記為即,.,=因此一階線性方程當(dāng),在上連續(xù)時,其解存在唯一45.求解方程解：所給微分方程可寫成即有.上式兩邊同除以，得由此可得方程的通解為即.46.求解方程解：所給方程是關(guān)于可解的，兩邊對求導(dǎo)，有當(dāng)時，由所給微分方程得；當(dāng)時，得。因此，所給微分方程的通解為，（為參數(shù)）而是奇解。47.求解方程解：特征方程，，故有基本解組，，對于方程，因為不是特征根，故有形如的特解，將其代入，得，解之得，對于方程，因為不是特征根，故有形如的特解，將其代入，得，所以原方程的通解為48.試求方程組的一個基解矩陣，并計算，其中解：，，，均為單根，設(shè)對應(yīng)的特征向量為，則由，得,取，同理可得對應(yīng)的特征向量為，則，，均為方程組的解，令，又，所以即為所求基解矩陣。49.求解方程組的奇點，并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性解：令，得，即奇點為（2，-3）令，代入原方程組得，因為，又由，解得，為兩個相異的實根，所以奇點為不穩(wěn)定鞍點，零解不穩(wěn)定。50.求方程經(jīng)過（0，0）的第二次近似解解：，，。假設(shè)不是矩陣的特征值，試證非齊線性方程組有一解形如其中，是常數(shù)向量。51.證明:假設(shè)不是矩陣的特征值，試證非齊線性方程組有一解形如其中，是常數(shù)向量。證：設(shè)方程有形如的解，則是可以確定出來的。事實上，將代入方程得，因為，所以，（1）又不是矩陣的特征值，.所以存在，于是由（1）得存在。故方程有一解52.求解方程解：..故方程的通解為.53求解方程解：兩邊除以：.變量分離：.兩邊積分：即：.54.求解方程解：令則于是得.即….4分.兩邊積分.于是，通解為.55.求解方程解：..積分：故通解為：.56.求解方程解：齊線性方程的特征方程為，，故通解為.不是特征根，所以方程有形如把代回原方程.于是原方程通解為.57.求解方程解：齊線性方程的特征方程為，解得.于是齊線性方程通解為令為原方程的解，則得，.積分得；故通解為.58.求解方程解：則.從而方程可化為，，.積分得.59.求方程組的奇點，并判斷奇點的類型和穩(wěn)定性解：解方程組，解得所以（1，3）為奇點。令則而，令，得為虛根，且，故奇點為穩(wěn)定中心，零解是穩(wěn)定的。60.求解方程解：因為，所以此方程不是恰當(dāng)方程，方程有積分因子，兩邊同乘得所以解為.即另外y=0也是解.61.求解方程解：方程可化為令則有（*）（*）兩邊對y求導(dǎo)：.即由得即將y代入（*）.即方程的含參數(shù)形式的通解為：p為參數(shù)又由得代入（*）得：也是方程的解62.求解方程解：線性方程的特征方程故特征根.是特征單根，原方程有特解代入原方程A=-B=0.不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0所以原方程的解為.63求方程經(jīng)過（0，0）的第三次近似解解：64.若試求方程組的解并求expAt解：解得.此時k=1由公式expAt=得65.求的奇點,并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性.解：由解得奇點（3，-2）.令X=x-3,Y=y+2則.因為=1+10故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）為穩(wěn)定焦點。66.解方程：解：是原方程的常數(shù)解，（2分）當(dāng)時，原方程可化為：，（2分）積分得原方程的通解為：.（2分）67.解方程：解：由一階線性方程的通解公式（2分）68.解方程：解：由一階線性方程的通解公式（2分）（2分）.（2分）69.解方程：解：由一階線性方程的通解公式（2分）（2分）.（2分）70.解方程：解：原方程可化為：，（2分）即，（2分）原方程的通解為：.（2分