福建省福州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為.故選：D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命題“，”為全稱量詞命題，該命題的否定為“，”.故選：C.3.在下列區(qū)間中，方程的實數(shù)解所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意函數(shù)單調(diào)遞增，且，由零點存在定理可知方程的實數(shù)解所在的區(qū)間只能為.故選：C.4.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，對于，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上所述，，因此，.故選：B.5.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時或；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意.故選：B.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.8.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放.已知過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：）與時間（單位：h）的關(guān)系為（且，且），其圖象如下，則污染物減少至少需要的時間約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.23小時 B.25小時 C.42小時 D.44小時【答案】D【解析】由題意時，，時，，解得，令，解得，對比選項可知污染物減少至少需要的時間約為44小時.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A選項，因為，由不等式的性質(zhì)可得，A對；對于B選項，當(dāng)時，，B錯；對于C選項，因為，取，，則，C錯；對于D選項，因為函數(shù)為上的增函數(shù)，且，則，D對.故選：AD.10.已知函數(shù)的部分圖象如下所示，則（）A.B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對稱D.將的圖象向左平移個單位長度后所得的圖象關(guān)于原點對稱【答案】ACD【解析】由圖知，五點法作圖中的第二個點為，第五個點為，所以，且，解得，得到，所以選項A正確；對于選項B，當(dāng)時，，因為，由的圖像與性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以選項B錯誤；對于選項C，當(dāng)時，，由的圖像與性質(zhì)知選項C正確；對于選項D，將的圖象向左平移個單位長度后得：，又，即為奇函數(shù)，所以選項D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域為，、都有，且，則（）A. B.C.是增函數(shù) D.是偶函數(shù)【答案】BC【解析】令，得，則，令，則，①令，則，即，②聯(lián)立①②可得，則，，A錯B對；函數(shù)為增函數(shù)，且為非奇非偶函數(shù)，C對D錯.故選：BC.12.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有3個實數(shù)解，則（）AB.C.D.關(guān)于的方程恰有3個實數(shù)解【答案】ABD【解析】如圖，依題意作出函數(shù)的圖象，對于A項，作出關(guān)于軸對稱的函數(shù)的圖象，與直線交于點，則，不難看出點在點的右側(cè)，則，故，A項正確；對于B項，因當(dāng)時，的圖象關(guān)于直線對稱，故點與點關(guān)于直線對稱，則，由可得：，即，則得，故B項正確；對于C項，當(dāng)時，由解得：，由解得：，此時，故C項錯誤；對于D項，依題意，，在上單調(diào)遞增，故，于是由圖知，函數(shù)與的圖象恰有三個交點，即關(guān)于的方程恰有3個實數(shù)解，故D項正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過定點，則的坐標是____________.【答案】【解析】對于函數(shù)（且），令，可得，且，故點.故答案為：.14.已知扇形的弧長是，面積是，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為__________.【答案】2【解析】由題意設(shè)扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)、半徑、弧長以及面積分別為，則，解得.故答案為：2.15.已知函數(shù)不恒為0，且同時具備下列三個性質(zhì)：①；②是偶函數(shù)；③，，.寫出一個函數(shù)__________________.【答案】（答案不唯一，如，（且）等均可）【解析】注意到對數(shù)函數(shù)（且），滿足，且，即滿足①③，若要滿足②函數(shù)是偶函數(shù)；則只需取，在這里可取.故答案為：（答案不唯一，如，（且）等均可）.16.用表示函數(shù)在閉區(qū)間上最大值，已知.（1）若，則的取值范圍是_____________________.（2）若，則的取值范圍是_____________________.【答案】【解析】（1）若時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，則，則，解得，因為，解得，若，當(dāng)時，，則，不合乎題意，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.（2）當(dāng)時，則，則，，由可得，整理可得，因為，則，矛盾；當(dāng)時，則，則，，由可得，無解；當(dāng)時，，則，若，則，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，由可得，可得，解得；若，則，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，由可得，可得，可得，解得；若，則，由，可得，矛盾，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范圍.解：（1），因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為7.（2）由（1）知函數(shù)的最小值為7，因為恒成立，所以，解得，所以的取值范圍是.18.已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點.（1）求，，的值；（2）將的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)，此時終邊所對應(yīng)的角為，求的值.解：（1）因為角的終邊經(jīng)過點，所以，則，，.（2）法一，因為，由（1）知，所以，所以.法二，，，所以，，所以.19.已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）根據(jù)題意可得，，即，因為，所以，所以，即，所以，由，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）因為，所以，所以當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，.20.已知是自然對數(shù)底數(shù)，.（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；（2）解不等式.解：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，，且，則，因為，，且，所以，所以，，，故，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）函數(shù)的定義域為，且，所以是偶函數(shù)，又由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，兩邊平方可得，解得或，故不等式的解集為或.21.已知函數(shù)為奇函數(shù)，.（1）求實數(shù)的值；（2），，使得，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為是奇函數(shù)，所以，即，整理得，所以，解得，當(dāng)時，，舍去，當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，符合題意，所以.（2）設(shè)，根據(jù)題意可得，，由（1）知，當(dāng)時，，故，，設(shè)，函數(shù)，，①當(dāng)時，，可得，符合題意；②當(dāng)時，，圖象的對稱軸為，（i）當(dāng)時，對稱軸，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，由，得，即，所以；（ii）當(dāng)時，若，即時，，由，得，所以；若，即時，，由，得，所以；綜上所述，的取值范圍是.22.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖，假定在水流量穩(wěn)定的情況下，一個半徑為的筒車開啟后按逆時針方向做勻速圓周運動，每分鐘轉(zhuǎn)1圈、筒車的軸心距離水面的高度為.設(shè)筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水面下則為負數(shù)）.若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，則與時間（單位：s）之間的關(guān)系為.（1）求，，，的值；（2）若盛水筒在不同時刻，距離水面的高度相等，求的最小值；（3）若筒車上均勻分布了12個盛水筒，在筒車運行一周的過程中，求相鄰兩個盛水筒距離水面的高度差的最大值.解：（1）如圖，設(shè)筒車與水面的交點為，，連接，過點作于點，過點分別作于點，于點，則，，因為筒車轉(zhuǎn)一周需要1分鐘