遼寧省沈陽市五校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽市五校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一.選擇題1.已知，均為集合的子集，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，均為集合的子集，，則，，，則.故選：B.2.，則的共軛復(fù)數(shù)等于（）A B. C. D.【答案】D【解析】，故選：D.3.若，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，，得，，相加得，，解得，故選：B.4.的展開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】可知項(xiàng)可由與相加可得，即，故選：A.5.設(shè)，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，.當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號成立，所以的最小值為.故選：D.6.函數(shù)的部分圖象如圖，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】由圖象可得，故，因?yàn)椋驶?，將代入解析式得，即，由圖象可知2為函數(shù)在原點(diǎn)右邊的第一個(gè)最大值點(diǎn)，故，當(dāng)時(shí)，，解得，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，解得，不合要求，舍去，故選：A.7.已知函數(shù)，設(shè)甲：；乙：是奇函數(shù).則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】若是奇函數(shù)，則，故，進(jìn)而可得對定義域內(nèi)的任意恒成立，故，當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，易得,因此是奇函數(shù),故甲是乙的充要條件，故選：C.8.圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究起源于古希臘，阿波羅尼奧斯（前262-前190）的《圓錐曲線論》全書8篇，共487個(gè)命題.16世紀(jì)天文學(xué)和物理學(xué)揭示了圓錐曲線是自然界物體運(yùn)動的普遍性形式.17、18世紀(jì)隨著射影幾何學(xué)和解析幾何學(xué)的創(chuàng)立發(fā)展，18世紀(jì)40年代瑞士數(shù)學(xué)家歐拉給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線的系統(tǒng)闡述.現(xiàn)有圓錐頂點(diǎn)為，底面圓心為，母線與底面直徑的長度相同.點(diǎn)在側(cè)面上，點(diǎn)在底面圓周上，為底面直徑，二面角為.已知平面與圓錐側(cè)面的交線是某橢圓的一部分，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖：（圖一）為空間幾何體的直觀圖，（圖二）為平面截空間幾何體的剖面圖，（圖三）為以橢圓長軸所在直線為軸，長軸中垂線為軸的平面圖形.易得(圖二)中線段的長為橢圓長軸長，不妨設(shè)圓錐底面半徑為2，則由題意可知為正三角形，，，所以，所以，所以，所以所以在（圖三）中，將代入中解得，所以，所以.故選：B.二.選擇題9.是隨機(jī)變量（）A.若，則，B.若，則C.若，則，D.若，則【答案】ABC【解析】因?yàn)?，則,故A正確;因?yàn)?則,故B正確；因?yàn)?則,故C正確；因?yàn)?則,故D錯(cuò)誤.故選：ABC10.已知正方體的棱長為1，則（）A.直線與所成角的正弦值為B.直線與平面所成角的正弦值為C.點(diǎn)到直線的距離為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】BC【解析】由正方體的結(jié)構(gòu)特征及性質(zhì)易得，且，故，顯然直線與所成角的正弦值不為，A錯(cuò)；由正方體的結(jié)構(gòu)特征及性質(zhì)易得，即為等邊三角形，所以點(diǎn)到直線的距離為，C對；同上易得為正四面體，且棱長為，所以點(diǎn)到平面的距離為，D錯(cuò)；直線與平面所成角的正弦值為，B對.故選：BC.11.已知點(diǎn)，在雙曲線：上，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，在雙曲線的同一支上B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，分別在雙曲線的兩支上C.存在點(diǎn)，，使得成立D.存在點(diǎn)，，使得成立【答案】ABC【解析】若直線不存在斜率，設(shè)直線方程為：，代入得：，當(dāng)或時(shí)，是弦的中線，此時(shí)，關(guān)于軸對稱，且在雙曲線的同一支上，；若直線存在斜率，設(shè)直線方程：代入得：，整理得：.因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以：且所以：設(shè)，，則，由，所以：或.故D不成立；又當(dāng)時(shí)，，，兩點(diǎn)分別在雙曲線兩支上；當(dāng)時(shí)，，，兩點(diǎn)在雙曲線的同一支上.故AB成立；當(dāng)時(shí)，，可使命題成立，故C正確.故選：ABC12.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，是的極小值B.當(dāng)時(shí)，是的極大值C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】先證明出以下結(jié)論，在上有，，，令，，則，其中令，則，其中，令，則，其中，令，則在上恒成立，故在單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，故在單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，故，所以在上單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，且，故，同理可證，證畢.A選項(xiàng)，，，，當(dāng)，時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，對任意的，總存在，使得，故當(dāng)時(shí)，是極小值，A正確；B選項(xiàng)，時(shí)，，則，其中，令，則，其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，，，由零點(diǎn)存在性定理可知，存在，，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，且，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以是的極大值，B正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則，顯然在上單調(diào)遞減，其中，，則由零點(diǎn)存在性定理可得，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，，下面證明，由可知，，由可得，所以，由零點(diǎn)存在性定理可得，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時(shí)，，D正確；C選項(xiàng)，令，即，解得，下面證明，即證，由得，，由得，，故，故當(dāng)時(shí)，存在，使得，C錯(cuò)誤.故選：ABD.三、填空題13.已知向量，，且，則________________.【答案】【解析】，.故答案為：.14.已知數(shù)列是首項(xiàng)為25，公差為的等差數(shù)列，則數(shù)列的前30項(xiàng)的和為________________.【答案】458【解析】數(shù)列是首項(xiàng)為25，公差為的等差數(shù)列，則有，數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則且，數(shù)列的前30項(xiàng)的和.故答案為：45815.在正三棱臺中，，，，則該棱臺的體積為________________.【答案】【解析】如圖，分別取和的重心，，連接，，，因?yàn)檎馀_中，，，所以，，，，又因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪危?，且，所以，正三棱臺的體積.故答案為：.16.點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在拋物線上，則線段長度的最小值為_____.【答案】【解析】圓的圓心，，設(shè)，則，故答案為：四.解答題17.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知.（1）求；（2）若，求.解：（1）由題設(shè)及正弦邊角關(guān)系可得：，則，而，且，則.（2）由題設(shè)，且，，所以，則，所以，則，即.18.為了解某藥物在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：隨機(jī)抽取100只小鼠，給服該種藥物，每只小鼠給服的藥物濃度相同、體積相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)藥物的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到如下直方圖：（1）求殘留百分比直方圖中的值；（2）估計(jì)該藥物在小鼠體內(nèi)殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）在體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間的小鼠中任取3只，設(shè)其中體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間的小鼠為只，求的分布列和期望.解：（1）由題知，，解得.（2）由圖知，.（3）體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間內(nèi)的頻率為，位于內(nèi)的頻率為.則百分比位于區(qū)間內(nèi)的小鼠有10只，位于內(nèi)的小鼠有5只，X的所有取值為0,1,2,3，所以，，，，所以，的分布列如下：0123由期望公式得.19.如圖，在平行六面體中，，，，，點(diǎn)為中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，以為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，所以，，，，，所以，，，設(shè)面的法向量為，所以，令，所以，因?yàn)椋辉诿鎯?nèi)，所以平面；（2）解：，所以，設(shè)面的法向量，因?yàn)椋?，令，則，設(shè)面的法向量，因?yàn)椋?，令，所以，所以，所以二面角的正弦值?20.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求證：.（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)也成立.所以的通項(xiàng)公式為：.（2）證明：由（1）得，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，令，則，兩式相減得：，所以，所以，即.21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足.記的軌跡為.（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，在上，且直線不與軸垂直，記，分別為直線，的斜率.（?。τ诮o定的數(shù)值（且），若，證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)；（ⅱ）記（?。┲械亩c(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程.解：（1）因?yàn)?，所以P的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)方程為，則，，，所以，，C的方程為.（2）設(shè)直線MN的方程為：，其中，點(diǎn)M，N滿足，即，滿足，則，且，.（?。┳C明：因?yàn)椋?，得，直線MN的方程為：，所以直線過定點(diǎn).（ⅱ）由，得（其中），所以點(diǎn)Q的軌跡方程為直線（除去點(diǎn)）.22.（1）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，設(shè)是曲線在點(diǎn)處的切線的方程.