內(nèi)蒙古呼和浩特市2025屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古呼和浩特市2025屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的4個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.2.已知命題，；命題，，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題【答案】B【解析】當(dāng)時，，故命題為假命題，命題為真命題；當(dāng)時，，故命題為真命題，命題為假命題；故和都是真命題.故選:B3.已知為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】因為,所以，則.故選：B.4.已知平面向量，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，，，．故選：B5.若是第二象限角，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，得，解得.是第二象限角,終邊取點，則.故選：A.6.已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A. B.3 C.2 D.【答案】C【解析】由題意，設(shè)、、，則，，，則，則.故選：C.7.當(dāng)時，曲線與的交點個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】時，，令，得，此時，令，得，此時，令，得，此時，令，得，此時，時，，函數(shù)的周期，結(jié)合周期，利用五點法作出圖象，由圖知，共有4個交點.故選：.8.已知圓錐頂點為，其三條母線兩兩垂直，且母線長為.則圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長為，所以為圓錐底面圓內(nèi)接正三角形，且邊長，由正弦定理可得底面圓的半徑，圓錐的側(cè)面積為；故選：D二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列選項中正確的是（）A.越大，該物理量在一次測量中在的概率越小B.該物理量在一次測量中小于11的概率小于0.5C.該物理量在一次測量中小于10.98與大于11.02的概率不相等D.該物理量在一次測量中落在與落在的概率不相等【答案】AD【解析】對于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越大，數(shù)據(jù)在均值附近越分散，所以測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越小，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量小于11的概率為0.5，故B錯誤；對于C，因為，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知，該物理量一次測量中小于10.98與大于11.02的概率概率相等，故C錯誤；對于D，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知，該物理量在一次測量中落在與落在的概率不相等，故D正確.故選：AD.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.有三個零點B.是的極大值點C.曲線為軸對稱圖形D.為曲線的對稱中心【答案】BD【解析】對于A，令，解得或，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在處有極大值，為，在處有極小值，為，又，的大致圖象如下所以有兩個零點，故A錯誤；對于B，由A選項可知是的極大值點，故B正確；對于C，由A選項可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以曲線不是軸對稱圖形，故C錯誤；對于D，，所以為曲線的對稱中心，故D正確.故選：BD.11.如圖，曲線過原點，其漸近線方程為，則（）A.曲線關(guān)于直線對稱B.點位于曲線圍成的封閉區(qū)域（陰影部分）外C.若在曲線上，則D.曲線在第一象限內(nèi)的點到兩坐標(biāo)軸距離之積的最大值為【答案】ACD【解析】若把的解析式中的互換，則方程不變，故C的圖象關(guān)于直線對稱，A正確；點在第一象限，且，故點位于曲線C圍成的封閉區(qū)域（陰影部分）內(nèi)，B錯誤；曲線在漸近線的上方，故，即，又當(dāng)在第一象限內(nèi)時，由，得故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故,C正確；因為曲線C在第一象限內(nèi)的點滿足，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故曲線C在第一象限內(nèi)的點到兩坐標(biāo)軸距離之積的最大值為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.用0與1兩個數(shù)字隨機填入如圖所示的3個格子里，每個格子填一個數(shù)字.若從左到右數(shù)，不管數(shù)到哪個格子，總是1的個數(shù)不少于0的個數(shù)，則這樣填法的概率為__________.【答案】【解析】列出樹狀圖基本事件的總數(shù)為8個，滿足條件的基本事件為共3種，所以概率為.13.記的內(nèi)角的對邊分別為.已知，外接圓直徑為4，則邊的長為__________.【答案】【解析】，由正弦定理得，因為，所以，所以，由得，因為，所以，因為，所以，可得，所以，因為外接圓直徑為4，所以由正弦定理得，則邊的長為.14.若是的極小值點，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】x=0是的極小值點，求導(dǎo)得.，因為0是極小值點，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，設(shè)，當(dāng)a≥1時，R上單調(diào)遞增,,滿足在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時，在R上單調(diào)遞減,，在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，0是極大值點，不合題意；當(dāng)0<a<1時，,有兩個根設(shè)在上單調(diào)遞減,,在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，0是極大值點，不合題意；故a≥1.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，，且成等比數(shù)列.（1）求和；（2）若，求數(shù)列的前20項和.解：（1）設(shè)已知數(shù)列的公差為，則，由，得，即，所以或，顯然不為0，所以，所以，.（2）由（1）知，又，，，所以.16.某廠為了考察設(shè)備更新后的產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率，質(zhì)檢部門根據(jù)有放回簡單隨機抽樣得到的樣本測試數(shù)據(jù)，制作了如下列聯(lián)表：產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品更新前2416更新后4812（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析設(shè)備更新后能否提高產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率？（2）如果以這次測試中設(shè)備更新后的優(yōu)質(zhì)品頻率作為更新后產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率.質(zhì)檢部門再次從設(shè)備更新后的生產(chǎn)線中抽出5件產(chǎn)品進行核查，核查方案為：若這5件產(chǎn)品中至少有3件是優(yōu)質(zhì)品，則認為設(shè)備更新成功，提高了優(yōu)質(zhì)率；否則認為設(shè)備更新失敗.①求經(jīng)核查認定設(shè)備更新失敗的概率；②根據(jù)的大小解釋核查方案是否合理.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）零假設(shè)為：設(shè)備更新與產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率獨立，即設(shè)備更新前與更新后的產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率沒有差異.由列聯(lián)表可計算，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們可以推斷不成立，因此可以認為設(shè)備更新后能夠提高產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率.（2）根據(jù)題意，設(shè)備更新后的優(yōu)質(zhì)率為0.8.可以認為從生產(chǎn)線中抽出的5件產(chǎn)品是否優(yōu)質(zhì)是相互獨立的.①設(shè)表示這5件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)，則，可得②實際上設(shè)備更新后提高了優(yōu)質(zhì)率.當(dāng)這5件產(chǎn)品中的優(yōu)質(zhì)品件數(shù)不超過2件時，認為更新失敗，此時作出了錯誤的判斷，由于作出錯誤判斷的概率很小，則核查方案是合理的.17.如圖1，在菱形中，，沿將向上折起得到棱錐.如圖2所示，設(shè)二面角的平面角為.（1）當(dāng)為何值時，三棱錐和四棱錐的體積之比為；（2）當(dāng)時，求平面與平面所成角的正弦值.解：（1）由圖知，，從而，因，故,則,于是，；（2）因為菱形的對角線互相垂直，設(shè)與的交點為，由可知O點為線段EF的中點，在翻折的過程中，始終有，所以二面角的平面角為，以為坐標(biāo)原點，分別為軸?軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，可得，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則令，則，可取因平面,故平面的法向量可取為，由題意可得，因，故.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求在處切線方程；（2）證明：當(dāng)時，.（1）解：當(dāng)時，，且，所以切線方程為，即.（2）證明：由題意知，設(shè)，則，令h'x>0得，令h'故hx在單調(diào)遞減，在0,+∞單調(diào)遞增，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.設(shè)，則，令φ'x>0得，令φ'故φx在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，綜上可得，，等號不能同時成立，所以，.19.設(shè)點從格點出發(fā)，沿格徑以最短的路線運動到點，即每次運動到另一格點時，橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)增加1.設(shè)點經(jīng)過的所有格點中兩坐標(biāo)乘積之和為.（1）當(dāng)時，點沿格徑以最短的路線運動到點的方案有多少種？（2）當(dāng)時，求的最大值；（3）當(dāng)點從格點出發(fā)，沿格徑以最短的路線運動到點且，求的最大值.（參考公式：）解：（1）因從點到點的路線，至少經(jīng)過三個橫格與兩個縱格，只需確定了橫格或縱格，方案即確定，故方案種數(shù)為；（2）方案一：，；方案二：，；方案三：，；方案四：，.所以，的最大值為21.（3）設(shè)P經(jīng)過的點依次為的坐標(biāo)為，則，要使S最大，應(yīng)使盡可能接近.于是猜想：如果使S最大，則對任何，有.以下證明這個猜想.假設(shè)存在，使，不妨設(shè),觀察路徑，發(fā)現(xiàn)一定有一個點，滿足這樣的條