復(fù)變函數(shù)解析函數(shù)零點的孤立性及唯一性定理

章解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法

節(jié)復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)節(jié)冪級數(shù)節(jié)解析函數(shù)的泰勒(Taylor)展式節(jié)零點的孤立性與唯一性原理2021/6/271第一節(jié)復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)１復(fù)數(shù)項級數(shù)定義4.1對于復(fù)數(shù)項的無窮級數(shù)

命（部分和）。若

則稱復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂于

否則稱級數(shù)發(fā)散。2021/6/272定理4.1設(shè)，則復(fù)數(shù)級（4.1）收斂于實數(shù)及分別收斂于的充要條件為2021/6/273例求證級數(shù)在時收斂于，而當(dāng)時發(fā)散。證明：1）用極限定義易證，當(dāng)時，因而由極限的性質(zhì)得到2021/6/274因此按定義4.1得2）當(dāng)時，顯然有，因而故級數(shù)發(fā)散。2021/6/2753）當(dāng)時，顯然有因此級數(shù)也發(fā)散。2021/6/2764）當(dāng)，而時，設(shè)，則因為，所以它對任何固定的都無極限由此可見，復(fù)數(shù)當(dāng)時無極限，亦即無極限，因此級數(shù)發(fā)散。2021/6/277

例4.1

考察級數(shù)的斂散性。解因發(fā)散，收斂，我們?nèi)詳喽ㄔ墧?shù)發(fā)散。故雖2021/6/278例討論級數(shù)的斂散性解：而2021/6/279收斂，級數(shù)同時收斂或同時發(fā)散。當(dāng)時，級數(shù)收斂。當(dāng)時，由知，發(fā)散2021/6/2710定理4.2柯西收斂原理（復(fù)數(shù)項級數(shù)）級數(shù)收斂必要與充分條件是：任給可以找到一個正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N，p=1,2,3,…時2021/6/2711定理4.3復(fù)級數(shù)（4.1）收斂的一個充分條件為級數(shù)收斂2021/6/2712定義4.2若級數(shù)收斂，則原級數(shù)稱為絕對收斂；非絕對收斂的收斂級數(shù)，稱為條件收斂。2021/6/2713（１）一個絕對收斂的復(fù)級數(shù)的各項可以任意重排次序，而不致改變其絕對收斂性，亦不致改變其和。（2）兩個絕對收斂的復(fù)級數(shù)可按對角線方法得出乘積級數(shù)。定理4.42021/6/2714例判斷下列級數(shù)的斂散性分析：考查正項級數(shù)的斂散性。解（1），則由正項級數(shù)的比值判別法知道，原級數(shù)絕對收斂。2021/6/2715（2）因故原級數(shù)發(fā)散2021/6/2716練習(xí)：證明級數(shù)收斂，但不絕對收斂2021/6/27172.一致收斂的復(fù)函數(shù)項級數(shù)定義4.3設(shè)復(fù)變函數(shù)項級數(shù)在點集上存在一個函數(shù)，對于上的每一個點，級數(shù)（4.2）均收斂于，

則稱為級數(shù)（4.2）的和函數(shù)，記為2021/6/2718

定義4.4對于級數(shù)（4.2），如果對任意給定的，存在正整數(shù)當(dāng)時，對一切的均有則稱級數(shù)（4.2）在上一致收斂于2021/6/2719與定理4.2類似地我們有定理4.5級數(shù)在上一致收斂的充要條件是：，當(dāng)使時，對任一及均有2021/6/2720定義4.4‘在點集合E上不一致收斂于某個對任何整整數(shù)總有某個使定理4.5’在點集E上不一致收斂某個對任何正整數(shù)N，整數(shù)總有某個及某個正整數(shù)，有2021/6/2721定理（優(yōu)級數(shù)準(zhǔn)則）若存在正數(shù)列而且正項級數(shù)收斂，則復(fù)函數(shù)項級數(shù)在集上絕對收斂且一致收斂。使對一切,有2021/6/2722例求級數(shù)的和函數(shù)分析：求部分和；分別就取極限解：2021/6/2723所以2021/6/2724例證明級數(shù)時一致收斂當(dāng)當(dāng)時發(fā)散。證明：1）當(dāng)時，由于，而正項級數(shù)收斂，故由優(yōu)級數(shù)準(zhǔn)則知所給級數(shù)在時絕對且一致收斂。2021/6/27252）當(dāng)時，，所以絕對收斂。又由于故發(fā)散，從而所給級數(shù)在時發(fā)散。2021/6/27263）當(dāng)時，，所以收斂。發(fā)散。后者是因為從而所給級數(shù)在時發(fā)散。2021/6/2727級數(shù)在閉圓上一致收斂。因有收斂的優(yōu)級數(shù)2021/6/2728思考題：證明在內(nèi)不一致收斂。2021/6/2729定理4.6設(shè)復(fù)平面點集E表示區(qū)域、閉區(qū)域或簡單曲線在E上一致收斂于f(z)，那么f(z)在E上連續(xù)。定理4.7設(shè)在簡單曲線C上{fn(n)}(n=1,2,…)或序列{fn(n)}在C上一致收斂于f(z)或或連續(xù)，并且級數(shù)。設(shè)在集E上{fn(z)}(n=1,2,…)連續(xù)，并且級數(shù)，那么2021/6/2730注解：注解1、在研究復(fù)變函數(shù)項級數(shù)和序列的逐項求導(dǎo)的問題時，我們一般考慮解析函數(shù)項級數(shù)和序列；注解2、我們主要用莫勒拉定理及柯西公式來研究和函數(shù)與極限函數(shù)的解析性及其導(dǎo)數(shù)。2021/6/2731內(nèi)閉一致收斂：設(shè)函數(shù)序列在復(fù)平面C上的區(qū)域D內(nèi)解析，如果級數(shù)序列{fn(n)}在D內(nèi)任一有界閉區(qū)域（或在一個緊集）上一致收斂于f(z)或，那么我們說此級數(shù)或序列在D中內(nèi)閉（或內(nèi)緊）一致收斂于f(z)或。2021/6/2732定理4.8級數(shù)（4.2）在圓內(nèi)閉一致收斂的充要條件是：對任意正數(shù)，只要級數(shù)（4.2）在閉圓上一致收斂。2021/6/2733定理4.9設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析,級數(shù)在內(nèi)中閉一致收斂于函數(shù)，則在內(nèi)解析,，且在內(nèi)成立證明：，取，使得。在內(nèi)任作一條簡單閉曲線，根據(jù)定理柯西定理推得2021/6/2734因而由莫勒拉定理知在內(nèi)解析,再由的任意性即得在內(nèi)解析。在上一致收斂于

其次，設(shè)的邊界,由已知條件得在上一致收斂于，從而,根據(jù)定理4.7，我們有即于是定理結(jié)論成立.2021/6/2735例證明級數(shù)在內(nèi)閉一致收斂。證明當(dāng)時，而正項級數(shù)收斂，即原級數(shù)有收斂的優(yōu)級數(shù)，故由優(yōu)級數(shù)準(zhǔn)則，原級數(shù)2021/6/2736在較小同心閉圓上絕對且一致收斂。由定理4.8原級數(shù)在內(nèi)內(nèi)閉一致收斂。2021/6/2737定義形如的級數(shù)稱為冪級數(shù),其中是復(fù)變量,是復(fù)常數(shù).特別地,當(dāng)，級數(shù)就變?yōu)椤?冪級數(shù)冪級數(shù)在復(fù)變函數(shù)論中有著特殊重要意義,它不僅是研究解析函數(shù)的工具,而且在實際計算中也很重要。2021/6/2738

定理4.10:(阿貝爾第一定理)

如果冪級數(shù)(4.3)在z1(

z0)收斂,則它在圓K：|z-z0|<|z1-z0|內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂.2021/6/2739證明設(shè)z是所述圓K內(nèi)的任意點，因為因此存在著有限常數(shù)M,使得這樣一來，即有收斂，它的各項必然有界注意有，故級數(shù)2021/6/2740為收斂的等比級數(shù)，因而在圓K內(nèi)收斂其次，對K內(nèi)任一閉圓上的一切點來說，有故在上有收斂的優(yōu)級數(shù)因而它在上絕對且一致收斂。再由定理4.8，此級數(shù)在圓K內(nèi)絕對球內(nèi)閉一致收斂。2021/6/2741定理4.12:如果下列條件之一成立（1）(達(dá)朗貝爾法則)（2）(柯西法則)（3）(柯西-阿達(dá)馬公式)則當(dāng)0<l<+

時,冪級數(shù)(4.3)的收斂半徑為當(dāng)l=0時,R=+

;當(dāng)l=+

時,R=0.2021/6/2742注意：由數(shù)學(xué)分析知識即知，對冪級數(shù)（4.3）有（2）若存在，則存在，且等于。又從存在顯然包含存在，且等于，反之則不然，即存在，未必存在。因此，由上極限2021/6/2743而得到收斂半徑的結(jié)論最強例4.2試求下列各冪級數(shù)的收斂半徑解（2）（1）（3）（4）2021/6/2744解因（2）故2021/6/2745解因故（3）2021/6/2746解當(dāng)ｎ是平方數(shù)時，（4）其他情形，因此相應(yīng)有于是數(shù)列的聚點是0和1，從而2021/6/2747

冪級數(shù)(4.3)的和是在收斂圓盤內(nèi)有定義的一個函數(shù),稱之為和函數(shù).可以證明冪級數(shù)和函數(shù)的解析性.定理4.13:設(shè)冪級數(shù)(4.3)的收斂半徑為R,則在|z-z0|<R

內(nèi),它內(nèi)閉一致收斂,它的和函數(shù)（4.5）解析,并且可逐項求導(dǎo).2021/6/2748證明:事實上,對,則在上由定理

的收斂半徑為1知級數(shù)在上絕對收斂，從而根據(jù)判別法知

在一致收斂，故在中內(nèi)閉一致收斂,在的和函數(shù)解析，且成立，由的任意性即知定理成立.但冪級數(shù)在其收斂圓上可能收斂,也可能發(fā)散.如例2級數(shù)2021/6/2749由于在收斂圓上,此級數(shù)一般不趨于0,因而在上級數(shù)處處發(fā)散,但其和函數(shù)卻除處處解析.例3級數(shù)的收斂半徑為1在收斂圓上，，而級數(shù)收斂,故此級數(shù)在收斂圓上也處處收斂.2021/6/2750例證明在內(nèi)解析，并求證明因為所給冪級數(shù)的收斂半徑，故由定理4.13（1）、（2），在內(nèi)解析，且在內(nèi)其收斂半徑仍為2021/6/2751例求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂圓及和函數(shù)解：1）因為，所以收斂半徑收斂圓為2）因為于是，以此為公式就有2021/6/27522021/6/27533.泰勒(Taylor)展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達(dá)?(或者說,一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)?解析函數(shù)在解析點能否用冪級數(shù)表示？）由§4.2冪級數(shù)的性質(zhì)知:一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級數(shù)表示。2021/6/2754定理4.14（泰勒定理）設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，只要圓含于，則在內(nèi)能展成冪級數(shù)其中2021/6/2755證證明的關(guān)鍵是利用柯西積分公式及如下熟知的公式2021/6/2756Dk分析：代入(1)得2021/6/2757Dkz2021/6/2758---(*)得證！2021/6/2759證明(不講)2021/6/2760(不講)2021/6/2761證明(不講)2021/6/2762結(jié)論解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級數(shù)。利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級數(shù)，這樣的展開式是否唯一？事實上，設(shè)f(z)用另外的方法展開為冪級數(shù):2021/6/2763由此我們就可推出:推論冪級數(shù)是它的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)的泰勒展式.即2021/6/2764定理4.15:函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析

它在z0

的某一鄰域內(nèi)有冪級數(shù)展式(4.8).

定義4.6:f(z)在U

內(nèi)冪級數(shù)展式(4.8)稱為f(z)在

z=z0

或在U

內(nèi)的泰勒展式,

n

為泰勒系數(shù),(4.8)右邊級數(shù)為泰勒級數(shù)

.2021/6/2765注解1、在定理4.14中，f(z)在U內(nèi)的冪級數(shù)展式我們稱為它在U內(nèi)的泰勒展式。注解2、我們得到一個函數(shù)解析的另外一個刻畫。注解3、泰勒展式中的系數(shù)與z0有關(guān)。2021/6/2766定理4.16如果冪級數(shù)的收斂半徑2．冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況，且則在收斂圓周上至少有一奇點。即不可能有這樣的函數(shù)存在，它在內(nèi)與恒等，而在上處處解析。

其中2021/6/2767

2021/6/2768例如的收斂半徑為1在圓周上級數(shù)收斂的，所以原級數(shù)在圓周是處處絕對收斂的，從而在閉圓絕對且一致收斂。當(dāng)z沿實軸從單位圓內(nèi)趨于1時，趨于，所以是的有一個奇點。2021/6/2769關(guān)于冪級數(shù)的四則運算

冪級數(shù)在它的收斂圓內(nèi)絕對收斂。因此兩個冪級數(shù)在收斂半徑較小的那個圓域內(nèi)，不但可以作加法、減法還可以作乘法。至于除法，我們將通過乘法及待定系數(shù)法萊解決。2021/6/2770由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是Talor級數(shù)，因而是唯一的。---直接法---間接法代公式由展開式的唯一性，運用級數(shù)的代數(shù)運算、分析運算和已知函數(shù)的展開式來展開函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法：2021/6/2771二．求泰勒展式的方法1．求Taylor系數(shù)如求在z=0的展開式2021/6/27722.利用級數(shù)的運算如如在展開2021/6/27733．逐項微分法如：4.逐項積分法如求在的展開式。（主支）（其中取K=0分支，即分支）2021/6/2774又一般地，5．級數(shù)代入級數(shù)法如2021/6/27752021/6/2776總結(jié)：掌握一些主要的泰勒展示，并能作為公式來用2021/6/27772021/6/2778第四節(jié)

零點的孤立性與唯一性原理2021/6/2779定義4.7設(shè)在解析區(qū)域一點的值為零，則稱為解析函數(shù)的零點

2021/6/2780稱為的級零點，若2021/6/2781注意：定義4.7中，1）a為解析函數(shù)f(z)的零點f(z)在點a解析，且2）a為解析函數(shù)f(z)的m階零點（m≥1）整數(shù)f(z)在點a解析，但。這是多項式重根概念的推廣。2021/6/2782定理4.17不恒為零的解析函以為級零點的充要條件為：其中在點的的鄰域內(nèi)解析，且2021/6/2783證必要性由假設(shè)，只要令即可。充分性是明顯的。2021/6/2784例4.15考察函數(shù)在原點的性質(zhì)。2021/6/2785為的三級零點解：顯然在解析，且由所有2021/6/2786例指出函數(shù)的零點的級。分析如用定義4.7，由于要求高階導(dǎo)數(shù)，計算較繁，故直接用泰勒展示于定理4.17，就簡單多了。解：2021/6/2787其中在z平面C上解析，且，所以為的6級零點2021/6/2788

定理4.18如在內(nèi)的解析函數(shù)不恒為零，為其零點，則必有的一個鄰域，使得在其中無異于的零點。（簡單說來就是：不恒為零的解析函數(shù)的零點必是孤立的。）2021/6/2789推論4.19設(shè)（1）函數(shù)在鄰域內(nèi)解析；（2）在K內(nèi)有的一列零點收斂于，則在K內(nèi)必恒為零。2021/6/2790定理4.20（唯一性定理）設(shè)（1）函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)解析；（2）內(nèi)又有一個收斂于的點列，在其上和則

和在內(nèi)恒等。相等。2021/6/2791證明：假定定理的結(jié)論不成立。即在D內(nèi)，解析函數(shù)F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。顯然設(shè)z0是點列{zk}在D內(nèi)有極限點。由于F(z)在z0連續(xù)，可見唯一的零點，與解析函數(shù)零點的孤立性矛盾。在一般情形下，可用下述所謂圓鏈法來證明?？墒沁@時找不到z0的一個鄰域，在其中z0是F(z)2021/6/2792設(shè)是D內(nèi)任意固定的點（如圖）。在D內(nèi)可以作一折線L連接及以表L與D的邊界г間的最短距離在L上依次取一串點使相鄰兩點間的距離小于定數(shù)。顯然，由推論4.19，在圓內(nèi)。在圓又重復(fù)應(yīng)用推論4.19，即知在內(nèi)。這樣繼續(xù)下去，直到最后一個含有的圓為止，在該圓內(nèi)2021/6/2793，特別說來，。因為是D內(nèi)任意的點，故證明了在D內(nèi)推論4.21設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)在D內(nèi)的某一子區(qū)域（或一小段?。┥舷嗟?，則它們必在區(qū)域D內(nèi)恒等。推理4.22一切在實軸上成立的恒等式，在z平面上也成立，只要這個恒等式的等號兩邊在z平面上都是解析的。2021/6/2794例4.17設(shè)（1）在區(qū)域內(nèi)解析；（2）在內(nèi)，試證：在內(nèi)或

2021/6/2795證若有使因在點連續(xù)，故存在鄰域在內(nèi)恒不為零。而由題設(shè)