江西省萍鄉(xiāng)市2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

秘密★啟用前萍鄉(xiāng)市2023—2024學年度第一學期期末考試高二數(shù)學本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁．滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡上，考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人的準考證號、姓名是否一致．2．回答選擇題時，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答．若在試題卷上作答，答題無效．3．考試結束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回．第Ⅰ卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.根據(jù)下表數(shù)據(jù)，通過最小二乘法求得關于的線性回歸方程為：，則（）12340.60.81.11.5A.0.2 B.0.25 C.0.3 D.1【答案】B【解析】【分析】先計算樣本中心點，再根據(jù)樣本中心點在回歸直線方程上代入求解即可.【詳解】因為，，所以，解得.故選：B.2.已知，，是空間中兩兩垂直的單位向量，則（）A. B.14 C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積的性質即可求解.【詳解】依題意得，，；所以，故選：A.3.焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則的值為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線標準方程及離心率公式求解.【詳解】因為雙曲線方程為，所以，，，因為離心率為，所以，解得：，所以.故選：C.4.某一地區(qū)患有癌癥的人占0.05，患者對一種試驗反應是陽性的概率為0.9，正常人對這種試驗反應是陽性的概率為0.05.現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應是陽性，則此人是癌癥患者的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】記事件某人是癌癥患者，事件化驗結果呈陽性，利用全概率公式求出的值，再利用條件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】記事件某人是癌癥患者，事件化驗結果呈陽性，由題意可知，，，所以，現(xiàn)在某人的化驗結果呈陽性，則此人是癌癥患者的概率為：.故選：D5.有7種不同的顏色給下圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，且相鄰的兩個格子顏色不能相同，若最多使用3種顏色，則不同的涂色方法種數(shù)為（）A.462 B.630 C.672 D.882【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，按使用顏色的數(shù)目分兩種情況討論，由加法原理計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況討論：若用兩種顏色涂色，有種涂色方法；若用三種顏色涂色，有種涂色方法；所以有種不同的涂色方法.故選：C.6.加斯帕爾·蒙日是18～19世紀法國著名的幾何學家，他在研究時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（如圖）．已知橢圓：，是直線：上一點，過作的兩條切線，切點分別為、，連接（是坐標原點），當為直角時，直線的斜率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊的長方形（即邊長與橢圓的軸平行）求得蒙日圓方程，進而可求得直線：為圓的切線，由，即可得出結果.【詳解】由橢圓：可知：，當如圖長方形的邊與橢圓的軸平行時，長方形的邊長分別為和，其對角線長為，因此蒙日圓半徑為4，圓方程為，當為直角時，可知點當在圓，因為到直線的距離為，所以直線：為圓的切線，因為直線，，所以.故選：D.7.以等腰直角三角形斜邊上的高為折痕，把和折成的二面角.若，，其中，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二面角的平面角的定義得是和折成的二面角的平面角，解三角形求得，由已知得點M在平面內，則的最小值為點D到平面的距離，設點D到平面的距離為h，運用等體積法可求得答案.【詳解】由已知得，所以是和折成的二面角的平面角，所以，又，所以，，所以，因為，其中，所以點M在平面內，則的最小值為點D到平面的距離，設點D到平面的距離為h，因為，，平面，平面，所以平面，所以是點到平面的距離，所以，又中，，所以，所以，則，所以，解得，所以的最小值為，故選：D.8.拋物線：（）的焦點為，準線為，過的直線與相交于，兩點，且滿足，在上的射影為，若的面積為，則的長為（）A. B. C. D.9【答案】B【解析】【分析】設直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，由向量的關系，可得，的橫坐標關系，整理可得直線的斜率，再由的面積為，即，整理可得的值，進而求出弦長的大小.【詳解】由題意設直線的方程，設，設，由，整理可得：，可得，，因為，可得，代入，可得，再代入，可得，即，設在準線上的射影分別為，的面積為，所以，即，所以即，整理可得，所以，所以，解得，即,所以.故選：B二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列命題中正確的是（）A.已知隨機變量，則B.若隨機事件，滿足：，，，則事件與相互獨立C.若事件與相互獨立，且，則D.若殘差平方和越大，則回歸模型對一組數(shù)據(jù)，，…，的擬合效果越好【答案】ABC【解析】【分析】由二項分布的性質可得，從而可求出可判斷A；由獨立事件的定義和條件概率公式可判斷B，C；利用殘差的意義可判斷D.【詳解】對于選項A：因為，則，故A正確；對于選項B：，解得：，所以事件與相互獨立，故B正確；對于選項C：若事件與相互獨立，且，，，所以C正確；對于選項D：殘差平方和越小，則回歸模型對一組數(shù)據(jù)，，…，的擬合效果越好，故D錯誤.故選：ABC.10.曲線：，直線：與：，下列結論錯誤的是（）A.曲線的圖象一定關于對稱 B.當時，與間的距離為C.當時， D.若與曲線有2個交點，則的取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】求解曲線的形狀可判斷A；由求出，再由平行線間的距離可判斷B；由求出或可判斷C；利用直線與曲線的交點個數(shù)可判斷D.【詳解】化簡可得，即，所以曲線：，曲線的圖象關于對稱，故A錯誤；當時，，解得：，所以直線：，與：，即，與間距離為，故B錯誤；當時，，解得：或，故C錯誤；：，恒過，當直線與曲線相切時，切點為，如圖，：的斜率為，當直線與曲線有2個交點，可知，，，所以若與曲線有2個交點，則的取值范圍是，故D正確.故選：ABC.11.如圖，正方體邊長為1，是線段的中點，是線段上的動點，下列結論正確的是（）A.B.三棱錐的體積為定值C.直線與平面所成角的正弦值為D.直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】由空間向量的線性運算可判斷A；利用錐體的體積公式可判斷B；建立空間直角坐標系，利用向量法可判斷C,D.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，連接，因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，，所以點到平面的距離等于點到平面的距離即，，三棱錐的體積為，故B錯誤；對于C，以為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，,，設，則，設平面的法向量為，，，所以，即，令，則，則，，設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為，故C正確；對于D，，設直線與直線所成角為，因為，所以當時，，當時，，故直線與直線所成角余弦值的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.12.雙曲線：的左右焦點分別為，，兩條漸近線分別為，，過坐標原點的直線與的左右兩支分別交于，兩點，為上異于，的動點，下列結論正確的是（）A.若以為直徑圓經(jīng)過，則B.若，則或9C.過點作的垂線，垂足為，若（），則D.設，的斜率分別為，，則的最小值為2【答案】AD【解析】【分析】由雙曲線的方程可知，，的值，逐一分析所給選項，判斷正誤.【詳解】由雙曲線的方程可知，，，由題意可設，，對于A，以為直徑的圓經(jīng)過，連接，，可得四邊形為矩形，設，，可得，即，得，所以，故A正確；對于B，，所以在雙曲線的左支上，則，故B不正確；對于C，由題意可得，設其中一條漸近線的方程為，則直線的方程為，即，代入雙曲線方程可得，化簡得，解得，如圖在之間，所以，，即，所以，故，故C不正確；對于D，聯(lián)立，可得：，由于，，所以，由，當且僅當時取等號，故D正確.故選：AD第Ⅱ卷注意事項：第Ⅱ卷共2頁，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答．若在試題卷上作答，答題無效．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知過點的直線在軸上的截距是其在軸上截距的3倍，則滿足條件的一條直線的方程為______．【答案】（答案不唯一：或）【解析】【分析】分截距是否為0分類討論即可求解.【詳解】由題意若過點的直線在坐標軸上的截距均為0，則顯然滿足題意，即，否則設滿足題意的直線方程為，將代入得，即也滿足題意.故答案為：（答案不唯一：或）.14.將6名學生分配到甲、乙兩個宿舍中，每個宿舍至少安排兩名學生，不同的分配方案有______種．（用數(shù)字作答）【答案】50【解析】【分析】將問題分為甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人兩類，進而結合排列組合知識進行分配即可求得答案.【詳解】由題意知將6名學生分配到甲、乙兩個宿舍中，每個宿舍至少安排2名學生，包括甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人，當甲和乙兩個屋子住4人、2人，共有種，當甲和乙兩個屋子住3人、3人，共有種，根據(jù)分類計數(shù)原理得到共有（種）.故答案為：5015.若隨機變量，且，則展開式中項的系數(shù)是______．【答案】48【解析】【分析】先利用正態(tài)分布的性質可求，再利用二項展開式的通項公式可求的系數(shù).【詳解】根據(jù)正態(tài)曲線的性質可知，，解得，所以，代入可得，的展開式的通項公式為，，令，則，所以，∴的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.16.盒中裝有5個大小、質地相同的小球，其中3個白球和2個黑球．兩位同學先后輪流不放回摸球，每次摸一球，當摸出第二個黑球時結束游戲，或能判斷出第二個黑球被哪位同學摸到時游戲也結束．設游戲結束時兩位同學摸球的總次數(shù)為，則______．【答案】##【解析】【分析】分析出游戲結束時兩位同學摸球的情形，求解即可.【詳解】當時，游戲結束時兩位同學摸球的情況為：白黑黑，黑白黑，白白白，則.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓是的外接圓，圓心為，頂點，，且______.在下列所給的三個條件中，任選一個補充在題中的橫線上，并完成解答.①頂點；②；③.（1）求圓的標準方程；（2）若點為直線：上一動點，過點作圓的切線，切點為，求的最小值.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）選①：設圓的標準方程為，利用弦的垂直平分線過圓心求解圓心坐標，代入兩點距離公式求解半徑即可；選②：由是直角三角形得圓心為斜邊BC中點，半徑為，即可求解圓的方程；選③：由向量相等得圓心為BC中點，為圓的直徑，即可求解圓的方程；（2）先求出圓心到直線的距離，然后根據(jù)切線長公式轉化求解即可.【小問1詳解】若選①：方法一：設圓的標準方程為，圓心為，半徑為，因為圓過點，，所以圓心在直線上，即；因為圓過點，，所以圓心在直線上，即，所以圓的圓心為，半徑，所以圓的標準方程為；若選②：因為，所以是直角三角形，所以的外接圓圓心為斜邊的中點，設圓的標準方程為，圓心為，半徑為，由題知，圓心為，半徑，所以圓的標準方程為；若選③：因為，所以圓心為邊的中點，為圓的直徑，設圓的標準方程為，圓心為，半徑為，由題知，圓心為，半徑，所以圓的標準方程為；【小問2詳解】依題意：，圓心到直線：的距離為，又因為，所以，即，所以的最小值為3.18.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，．（1）證明：；（2）若異面直線與所成角的余弦值為，求平面與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）平面與平面所成角的正弦值為．【解析】【分析】（1）設為的中點，連接，，，則由已知條件可得，，再由線面垂直的判定定理可證得平面，從而可證得；（2）由題意可證得，，兩兩垂直，所以以為坐標原點建立如圖空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：設為的中點，連接，，，∵底面是菱形，，∴為等邊三角形，∴，又∵，∴，∵，、平面，∴平面，∵平面，∴；【小問2詳解】∵，∴為異面直線和所成角或其補角，則，又，由余弦定理得，，解得，∵和都為邊長為2的等邊三角形，且為的中點，∴，在中，，∴，由（1）可知，，，故，，兩兩垂直，∴以為坐標原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量，則，即，令，得，∵，，平面，∴平面，∴平面的法向量，設平面和平面所成角為，則，所以，故平面和平面所成角的正弦值為．19.甲、乙兩所學校高三年級學生分別有1000人和800人，為了解兩所學校全體高三年級學生在該地區(qū)八校聯(lián)考的數(shù)學成績情況，采用分層抽樣方法從兩所學校一共抽取了72名學生的數(shù)學成績，并作出了頻數(shù)分布統(tǒng)計表如下：甲校分組頻數(shù)3148103乙校分組頻數(shù)210221（1）計算，的值；（2）若規(guī)定考試成績在內為尖子，現(xiàn)從兩校的尖子生中隨機抽取4人，求恰有1人來自乙校的概率；（3）若規(guī)定考試成績在內為優(yōu)秀，根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為兩所學校的數(shù)學成績有差異．甲校乙?？傆媰?yōu)秀非優(yōu)秀總計參考公式：，．臨界值表：0.10.050.012.7063.8416.635【答案】（1），：（2）：（3）列聯(lián)表見后；不能認為兩所學校的數(shù)學成績有差異．【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣方法得出甲、乙校各抽多少人，即可得出、；（2）由古典概率公式求解即可；（3）由頻數(shù)分布統(tǒng)計表得出其列聯(lián)表，按公式代入計算得，對照臨界值表可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為兩所學校的數(shù)學成績有差異．【小問1詳解】甲校抽取人，乙校抽取人，故，；【小問2詳解】由表知甲校尖子生5人，乙校尖子生3人，共8人，抽取4人，恰有1人來自乙校的概率；【小問3詳解】列聯(lián)表如下：

甲校乙?？傆媰?yōu)秀15520非優(yōu)秀252752總計403272，故不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為兩所學校的數(shù)學成績有差異．20.在一次智力游戲中，甲、乙兩人輪流答題，每人每次答一題，游戲開始時由甲先答題，約定：先答對題者為游戲獲勝方：當游戲分出勝負或兩人各答錯3次時游戲均結束，兩人各答錯3次視為平局．已知甲每次答對題的概率均為，乙每次答對題的概率均為，且每次答題互不影響．（1）求兩人共答題不超過4次時，甲獲勝的概率；（2）求游戲結束時乙答題次數(shù)的分布列與數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望為．【解析】【分析】（1）利用獨立事件和互斥事件的概率計算公式即可得到答案；（2）首先寫出所有可能的取值，再計算對應的概率，最后根據(jù)數(shù)學期望公式即可得到答案.【小問1詳解】計，分別表示甲、乙在第次答題答對，則，，，記“甲獲勝”為事件，則；【小問2詳解】的所有可能為：0，1，2，3，，，，，綜上所述，的分布列為：0123數(shù)學期望（次）．21.如圖，是邊長為4的正方形，平面，，且．（1）證明：平面；（2）線段上是否存在一點，使得點到平面的距離為？若存在，求線