清單01 空間向量的線性運(yùn)算（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 18個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（解析版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講

清單01空間向量的線性運(yùn)算（考點(diǎn)清單）（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】【清單01】幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量【清單02】空間向量的數(shù)乘運(yùn)算1、定義：與平面向量一樣，實(shí)數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．2：數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的范圍的方向的模與向量的方向相同，其方向是任意的與向量的方向相反【清單03】共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使拓展:對(duì)于空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．【清單04】空間向量的數(shù)量積1、定義：已知兩個(gè)非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.【清單05】空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：運(yùn)算坐標(biāo)表示加法減法數(shù)乘數(shù)量積【清單06】空間向量平行與垂直的條件，幾何計(jì)算的坐標(biāo)表示1、兩個(gè)向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）2、向量長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算公式若，則，即3、兩個(gè)向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式設(shè)，則【清單07】空間中直線、平面的平行設(shè)直線,的方向向量分別為，，平面，的法向量分別為，，則線線平行??()線面平行??面面平行??【清單08】空間中直線、平面的垂直設(shè)直線的方向向量為，直線的方向向量為，平面的法向量，平面的法向量為，則線線垂直??線面垂直???面面垂直???【考點(diǎn)題型一】空間向量基本概念【例1】（24-25高二上·山東·階段練習(xí)）給出下列命題：①零向量的方向是任意的；②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；③若空間向量，滿足，則；④空間中任意兩個(gè)單位向量必相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的有關(guān)概念【分析】根據(jù)零向量的定義判斷①，根據(jù)相等向量的定義判斷②③，根據(jù)單位向量定義判斷④.【詳解】零向量是大小為的向量，零向量的方向是任意的，命題①正確；方向相同，大小相等的空間向量相等，它們的起點(diǎn)不一定相同，終點(diǎn)也不一定相同，命題②錯(cuò)誤；若空間向量，滿足，但由于它們的方向不一定相同，故不一定相等，③錯(cuò)誤；空間中任意兩個(gè)單位向量由于它們的方向不一定相同，故它們不一定相等，④錯(cuò)誤；所以正確的命題只有個(gè)；故選：D.【變式1-1】（24-25高二上·遼寧·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．零向量沒(méi)有方向B．在空間中，單位向量唯一C．若兩個(gè)向量不相等，則它們的長(zhǎng)度不相等D．若空間中的四點(diǎn)不共面，則是空間的一組基底【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的有關(guān)概念、判定空間向量共面【分析】根據(jù)零向量、單位向量、相等向量、共面向量的概念及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，零向量有方向，方向是任意的，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在空間中，單位向量模長(zhǎng)為1但方向有無(wú)數(shù)種，故單位向量不唯一，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若兩個(gè)向量不相等，則它們的方向不同或長(zhǎng)度不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若空間中的四點(diǎn)不共面，則向量不共面，故是空間的一組基底，故D正確.故選：D.【變式1-2】（多選）（24-25高二上·陜西渭南·期中）下列命題為真命題的是（）A．若空間向量滿足，則B．在正方體中，必有C．若空間向量滿足，則D．空間中，，則【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的有關(guān)概念【分析】根據(jù)題意，由空間向量的定義以及性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，根據(jù)向量相等的定義知，兩向量相等，不僅模要相等，而且還要方向相同，而A中向量與的方向不一定相同，故A為假命題；對(duì)于B選項(xiàng)，與的方向相同，模也相等，故=，故B為真命題，對(duì)于C選項(xiàng)，向量的相等滿足傳遞性，故C為真命題；對(duì)于D選項(xiàng)，平行向量不一定具有傳遞性，當(dāng)時(shí)，與不一定平行，故D為假命題；故選：BC【考點(diǎn)題型二】空間向量共線判斷核心方法：【例2】（24-25高二上·天津河西·期中）設(shè)空間四點(diǎn)滿足，其中，則（

）A．點(diǎn)一定在直線上 B．點(diǎn)一定不在直線上C．點(diǎn)不一定在直線上 D．以上答案都不對(duì)【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的加減運(yùn)算、空間向量共線的判定【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合空間三點(diǎn)共線的向量表示法求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕?，故，所以，所以，則點(diǎn)一定在直線上，故A正確.故選：A【變式2-1】（24-25高二上·湖南株洲·階段練習(xí)）下列條件中，能說(shuō)明空間中不重合的三點(diǎn)A、B、C共線的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的加減運(yùn)算、空間向量共線的判定【分析】利用空間中不重合的三點(diǎn)共線的條件，逐一考查所給的選項(xiàng)是否正確即可.【詳解】對(duì)于空間中的任意向量，都有，說(shuō)法A錯(cuò)誤；若，則，而，據(jù)此可知，即兩點(diǎn)重合，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，則線段的長(zhǎng)度與線段的長(zhǎng)度相等，不一定有A、B、C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，則A、B、C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D正確；故選：D.【變式2-2】（24-25高二上·河南許昌·階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則下列向量中與向量平行的向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】空間向量共線的判定【分析】利用線線位置關(guān)系可得與向量平行的向量.【詳解】由長(zhǎng)方體，可得，，所以四邊形是平行四邊形，所以，同理可得，又，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以，所以向量平行于，因?yàn)橹本€與直線相交，又，所以向量不平行于，，又直線與相交，所以向量不平行于.故選：B.【考點(diǎn)題型三】由空間向量共線求參數(shù)或值核心方法：①②已知，，【例3】（24-25高二上·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，則（

）A． B． C．8 D．13【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】由空間向量共線求參數(shù)或值【分析】根據(jù)題意可得存在，使得，進(jìn)而列式求解即可.【詳解】因?yàn)?，則存在，使得，即，則，解得，，所以.故選：B.【變式3-1】（23-24高二上·遼寧·期中）設(shè)向量不共面，已知，，若三點(diǎn)共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由空間向量共線求參數(shù)或值【分析】把A、C、D三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為滿足，列方程組，求出即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在唯一的，使得,即，即，解得：.故選：A.【變式3-2】（24-25高二上·四川南充·期中）設(shè)，是空間中兩個(gè)不共線的向量，已知，，，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由空間向量共線求參數(shù)或值【分析】先求出向量，再根據(jù)，，三點(diǎn)共線得出與的關(guān)系，從而求出的值.【詳解】因?yàn)?，已知，，所?因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以與共線，即存在實(shí)數(shù)，使得.已知，，則.根據(jù)向量相等的性質(zhì)，對(duì)于和前面的系數(shù)分別相等，可得.由，解得，又因?yàn)?，所?故答案為：.【考點(diǎn)題型四】判斷空間向量共面核心方法：存在實(shí)數(shù)，使【例4】（23-24高二上·云南）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A．B．C．D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判定空間向量共面【分析】利用共面向量定理分析判斷，其中選項(xiàng)ABD中，一個(gè)向量可以表示為另外兩個(gè)向量的共線向量的和的形式，所以三個(gè)向量共面；只有選項(xiàng)C的向量不可以，即得解.【詳解】因?yàn)樗怨裁?；因?yàn)樗怨裁?；，所以共面；假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足，所以,所以，該方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解.所以不存在實(shí)數(shù)滿足，故不共面．所以選項(xiàng)C符合題意.故選：C【變式4-1】（23-24高二上·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）在下列條件中，一定能使空間中的四點(diǎn)M，A，B，C共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判定空間向量共面、空間共面向量定理的推論及應(yīng)用【分析】根據(jù)共面向量基本定理及其推論判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：，所以A錯(cuò)；B選項(xiàng)：，所以B錯(cuò)；C選項(xiàng)：原式可整理為，所以C正確；D選項(xiàng)：原式可整理為，，故D錯(cuò).故選：C.【變式4-2】（多選）（23-24高二下·江蘇淮安）下列命題中是真命題的為（

）A．若與共面，則存在實(shí)數(shù)，使B．若存在實(shí)數(shù)，使向量，則與共面C．若點(diǎn)四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)，使D．若存在實(shí)數(shù)，使，則點(diǎn)四點(diǎn)共面【答案】BD【知識(shí)點(diǎn)】判定空間向量共面、空間共面向量定理的推論及應(yīng)用【分析】根據(jù)平面向量基本定理以及空間向量基本定理，可知B、D項(xiàng)正確；若共線，則A結(jié)論不恒成立；若三點(diǎn)共線，則C項(xiàng)結(jié)論不恒成立.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，如果共線，則只能表示與共線的向量.若與不共線，則不能表示，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)平面向量基本定理知，若存在實(shí)數(shù)，使向量，則與共面，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，如果三點(diǎn)共線，則不論取何值，只能表示與共線的向量.若點(diǎn)不在所在的直線上，則無(wú)法表示，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)空間向量基本定理，可知若存在實(shí)數(shù)，使，則共面，所以點(diǎn)四點(diǎn)共面，故D項(xiàng)正確.故選：BD.【考點(diǎn)題型五】由空間向量共面求參數(shù)核心方法：存在實(shí)數(shù)，使【例5】（24-25高二上·天津·階段練習(xí)）在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足，若、、、四點(diǎn)共面，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】空間向量共面求參數(shù)【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的共面向量定理的推論列式計(jì)算即得.【詳解】在四面體中，不共面，而則所以故選：D【變式5-1】（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三點(diǎn)不共線，為平面外任意一點(diǎn)．若，且、、、四點(diǎn)共面，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】空間向量共面求參數(shù)【分析】根據(jù)空間共面定理得到若，，，四點(diǎn)共面，則，且，從而得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，，四點(diǎn)共面，則，且，又，即，即，所以，解得.故答案為：【變式5-2】（23-24高二上·上海黃浦·期中）已知四面體，空間的一點(diǎn)滿足，若，，，共面，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】空間向量共面求參數(shù)【分析】由向量的線性運(yùn)算可知，再由共面定理可知，即可得解.【詳解】由，得，即，又，，，四點(diǎn)共面，即，，共面，所以存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使，所以，解得，故答案為：.【考點(diǎn)題型六】用基底表示向量核心方法：空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算【例6】（23-24高二下·重慶合川）如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】空間向量加減運(yùn)算的幾何表示、空間向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何表示、用空間基底表示向量【分析】利用向量運(yùn)算的三角形法則、平行四邊形法則表示出即可.【詳解】=故選：A.【變式6-1】（24-25高二上·山東德州·期中）在四面體中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且，用向量，，表示，則（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】空間向量加減運(yùn)算的幾何表示、空間向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何表示【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，由題意得，.故選：D.【變式6-2】（24-25高二上·廣東茂名·期中）在平行六面體中，，，，是與的交點(diǎn)，以為空間的一個(gè)基底，則直線的一個(gè)方向向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的加減運(yùn)算【分析】由向量的線性運(yùn)算即可得到答案.【詳解】故選：A.【考點(diǎn)題型七】空間向量數(shù)量積運(yùn)算核心方法：①坐標(biāo)運(yùn)算②定義法：【例7】（24-25高二上·貴州黔東南·期中）在正四面體中，為棱的中點(diǎn)，，則（

）A． B．3 C． D．6【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【分析】根據(jù)圖形，由向量的加法和向量的數(shù)量積計(jì)算即可；【詳解】

因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，所以.故選：B.【變式7-1】（24-25高二上·天津·開學(xué)考試）已知點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的底面上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．0 C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，，用坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出，配方后可得其最小值.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得，，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：C.【變式7-2】（24-25高二上·天津?yàn)I海新·期中）若，，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求空間向量的數(shù)量積、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】,則，故答案為：【考點(diǎn)題型八】求空間向量數(shù)量積的最值（范圍）核心方法：①坐標(biāo)法（含自主建系法）②極化恒等式(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于“和對(duì)角線長(zhǎng)”與“差對(duì)角線長(zhǎng)”平方差的eq\f(1,4)，即（如圖）(2)三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差，即（如圖）【例8】（24-25高二上·北京·期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、求空間向量的數(shù)量積【分析】建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量求得數(shù)量積的表達(dá)式，再由二次函數(shù)性質(zhì)得出最小值.【詳解】依題意以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，設(shè)，所以，因此，當(dāng)時(shí)，取得最小值1.故答案為：1【變式8-1】（24-25高二上·貴州六盤水·期中）已知M，E，F(xiàn)均為圓柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，直線EF經(jīng)過(guò)圓柱的中心O，，圓柱的底面圓的半徑為5，則的最大值為.【答案】144【知識(shí)點(diǎn)】圓柱的結(jié)構(gòu)特征辨析、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【分析】分析可知，結(jié)合圓柱的結(jié)合性質(zhì)分析求解即可.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)镺為圓柱的中心，且M，E，F(xiàn)均為圓柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)為底面圓周上時(shí)，等號(hào)成立，且，當(dāng)且僅當(dāng)為過(guò)O且與底面平行的圓周上時(shí)，等號(hào)成立，可得，所以的最大值144.故答案為：144.【變式8-2】（24-25高二上·浙江金華·階段練習(xí)）正方體的棱長(zhǎng)為，是正方體外接球的直徑，為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、求空間向量的數(shù)量積【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可知，，進(jìn)一步只需求出即可得解．【詳解】由題意等于正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，則，當(dāng)點(diǎn)與某個(gè)側(cè)面的中心重合時(shí)，最小，且，當(dāng)點(diǎn)與正方體的頂點(diǎn)重合時(shí)，最大，且，由于點(diǎn)是在正方體表面連續(xù)運(yùn)動(dòng)，所以的取值范圍是，的取值范圍是．故答案為：【考點(diǎn)題型九】求空間向量模核心方法：【例9】（24-25高二上·河北·階段練習(xí)）在正三棱柱中，，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則線段長(zhǎng)度的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求空間中兩點(diǎn)間的距離【分析】根據(jù)正三棱柱建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合線線關(guān)系求線段的表達(dá)式，利用函數(shù)求最值即可.【詳解】因?yàn)檎庵校?，所以為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)槭抢馍弦粍?dòng)點(diǎn)，設(shè)，且，因?yàn)椋?，所以，于是令，所以，，又函?shù)在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即線段長(zhǎng)度的最小值為.故選：D.【變式9-1】（24-25高二上·湖北·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)與滿足，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【分析】以為基底，表示出，利用空間向量的數(shù)量積求模.【詳解】如圖：

以為基底，則，，所以.因?yàn)?所以.所以.故選：D【變式9-2】（24-25高二上·天津北辰·期中）設(shè)，向量，，且，，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】空間向量平行的坐標(biāo)表示、空間向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)空間向量共線與空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，解得，又因?yàn)椤?，所以存在?shí)數(shù)使得，即，解得，所以，所以，故答案為：.【考點(diǎn)題型十】求空間向量模的最值（范圍）核心方法：坐標(biāo)法【例10】（24-25高二上·河北唐山·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，若平面，則線段的長(zhǎng)度的最小值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示、空間向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件利用向量法求出，再由向量模的定義求模表示為的二次函數(shù)求最值.【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，依題意，，，所以因?yàn)槠矫?，平面，則，又，平面，故平面，故平面的法向量可取，因?yàn)槠矫妫?，即則，因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，故答案為：【變式10-1】（23-24高二上·湖北武漢·期中）如圖所示，三棱錐中，平面，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求空間中兩點(diǎn)間的距離、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量建立的函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】三棱錐中，過(guò)作平面，由，知，以為原點(diǎn)，直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由平面，得，則，令，則，設(shè)，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以線段的最小值為.故選：B【變式10-2】（23-24高三上·四川·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，P是底面ABCD內(nèi)的一點(diǎn)（包含邊界），且，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】空間向量垂直的坐標(biāo)表示、空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示【分析】首先利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得點(diǎn)的軌跡方程，再代入兩點(diǎn)間的距離公式，求線段長(zhǎng)度的取值范圍.【詳解】以D為原點(diǎn)，以DA，DC，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)，則，，又，所以，即，則．當(dāng)時(shí)，，設(shè)，所以點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)的軌跡為一條線段AF，所以，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以線段的長(zhǎng)度的取值范圍是．故答案為：【考點(diǎn)題型十一】求空間向量夾角核心方法：夾角公式【例11】（24-25高二上·山東德州·階段練習(xí)）已知空間向量，且，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求空間向量的數(shù)量積、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示、空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，求出n值，再利用夾角公式計(jì)算作答.【詳解】向量，則，由，得，解得，，因此，，，所以與的夾角的余弦值.故選：B【變式11-1】（24-25高二上·湖南株洲·階段練習(xí)）若向量，且，則的值為【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示【分析】利用空間向量的夾角公式即可得出．【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，，又，所以，，解?故答案為：.【考點(diǎn)題型十二】空間向量夾角為銳角（鈍角）核心方法：①為銳角且與不同向共線②為頓角且與不反向共線【例12】（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示【分析】夾角為鈍角只需滿足，排除共線的情況即可.【詳解】因?yàn)橄蛄康膴A角為鈍角，則，解得，當(dāng)共線時(shí)，由，即，解得，所以當(dāng)夾角為鈍角時(shí).故答案為：.【變式12-1】（23-24高二下·上海·期中）已知空間向量與夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間向量平行的坐標(biāo)表示、空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)條件，利用，且不共線，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榭臻g向量與夾角為鈍角，所以，得到，即，由，得到，此時(shí)與共線反向，夾角為，不合題意，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：.【變式12-2】（23-24高二上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）若空間向量與的夾角為銳角，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)關(guān)系求解即得.【詳解】由空間向量與的夾角為銳角，得且與不共線，于是，解得，此時(shí)，而，即與不共線，所以x的取值范圍是.故選：C【考點(diǎn)題型十三】求投影向量核心方法：【例13】（24-25高二上·山東·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示、求投影向量【分析】根據(jù)投影向量的概念以及空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】由題，，所以，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為:.【變式13-1】（24-25高二上·云南臨滄·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，則向量在向量上的投影向量的模為.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【分析】由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出兩個(gè)向量夾角的余弦值，再算出投影向量的模.【詳解】點(diǎn)，故，所以，所以向量在向量上的投影向量的模.故答案為：【變式13-2】（23-24高二上·上?！て谀?，則在方向上的數(shù)量投影為.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量、空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示、空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示【分析】由題意結(jié)合數(shù)量投影的坐標(biāo)運(yùn)算公式求解即可.【詳解】由題意，，所以在方向上的數(shù)量投影為.故答案為：.【考點(diǎn)題型十四】空間向量平行與垂直關(guān)系核心方法：；（均非零向量）【例14-1】（江西省部分高中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期十一月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知，，，設(shè)向量，．(1)設(shè)向量，，求；(2)若，求的值．【答案】(1)3(2)【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示、空間向量平行的坐標(biāo)表示、空間向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】（1）根據(jù)向量平行求出，由向量模的公式計(jì)算得解；（2）由向量的線性運(yùn)算及垂直向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示列方程得解.【詳解】（1）由題意，，，，所以，解得，所以，.（2）因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，解?【例14-2】（24-25高二上·廣西百色·階段練習(xí)）已知，.(1)若，分別求與的值；(2)與垂直，求.【答案】(1)，(2)或【知識(shí)點(diǎn)】空間向量垂直的坐標(biāo)表示、空間向量平行的坐標(biāo)表示【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于、、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)、的值；（2）由題意可得，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值，即可得出向量的坐標(biāo).【詳解】（1）解：因?yàn)?，，且，設(shè)，即，即，解得，故，.（2）解：因?yàn)榕c垂直，則，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此，或.【變式14-1】（24-25高二上·河北·期中）已知，向量，，，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】空間向量平行的坐標(biāo)表示、空間向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)空間向量平行和垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，由，則，解得，由，則，解得，則．故選：A．【變式14-2】（多選）（24-25高二上·湖北·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．若，且，則D．若且，則【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示、空間向量平行的坐標(biāo)表示、空間向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】利用空間向量的坐標(biāo)表示，再結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷得解.【詳解】由，，得，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，，得，解得，C正確；對(duì)于D，由且，得，無(wú)解，D錯(cuò)誤.故選：AC【考點(diǎn)題型十五】用向量證明空間中線面平行核心方法：??【例15】（23-24高二下·甘肅天水）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)4【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明線面平行、空間位置關(guān)系的向量證明【分析】（1）解法一：設(shè)與的交點(diǎn)為，利用三角形的中位線證明，可證得平面.解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法證明線面平行；（2）解法一：求出點(diǎn)到平面的距離，由求解即可.解法二：向量法求點(diǎn)到平面距離，得到棱錐的高，可求體積.【詳解】（1）解法一：證明：連接與交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，連接，又是的中點(diǎn)，則有，平面，平面，所以平面.解法二：，則有，又平面，以為原點(diǎn)，的正方向?yàn)檩S，軸，軸的方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，有，令，則，得，于是，且平面，故平面.（2）解法一：取的中點(diǎn)，連接，直三棱柱中，平面，平面，故，又為的中點(diǎn)，則有且.由，則有，又，平面，所以平面，平面.，.解法二：在（1）的基礎(chǔ)上，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，令則，得，于是點(diǎn)到平面的距離為，于是.【變式15-1】（24-25高二上·陜西西安·期中）如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，.(1)證明：直線平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2).【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明、點(diǎn)到平面距離的向量求法、證明線面平行【分析】（1）根據(jù)題設(shè)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法證明與面的一個(gè)法向量垂直，即可證結(jié)論；（2）根據(jù)（1）所得坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求點(diǎn)面距離.【詳解】（1）由平面，且四邊形為矩形，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則由，得，解得，同理，，顯然面的一個(gè)法向量為，顯然且面，故面（2）設(shè)面的一個(gè)法向量為，且，由，取x=1，則，所以為平面的一個(gè)法向量，又，點(diǎn)到平面的距離為.【變式15-2】（24-25高二上·湖北宜昌·階段練習(xí)）長(zhǎng)方體中，．點(diǎn)為中點(diǎn)．

(1)求證：平面(2)求證：平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、空間位置關(guān)系的向量證明、線面垂直證明線線垂直【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理及判斷定理即可證明；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出及平面的法向量的坐標(biāo)，由，即可證明平面.【詳解】（1）因?yàn)槭情L(zhǎng)方體，所以平面，而平面，所以，又因?yàn)椋詡?cè)面是正方形，因此，因?yàn)槠矫?，所以平面﹔（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，，設(shè)平面的法向量為，則有，解得，因?yàn)?，而平面A1DE，所以有平面.【變式15-3】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在斜三棱柱中，，四邊形為矩形，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？【答案】存在【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用，求得的坐標(biāo)，然后再求出平面的法向量，利用，建立方程，解得，從而得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，又平?平面,所以平面，又平面，所以，因?yàn)椋?，由余弦定理得，即，所以，所以，又因?yàn)槠矫?平面,所以平面，所以以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，則，，設(shè)，所以，，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，要證平面，則，即，解得，所以，所以．故在線段上存在點(diǎn)，使得平面．【考點(diǎn)題型十六】用向量證明空間中面面平行核心方法：??【例16】（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，.求證：平面平面.【答案】證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明【分析】根據(jù)題意，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，由法向量平行，即可證明面面平行；【詳解】以D為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則.取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，則.取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)?，即，所以平面平?【變式16-1】（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，正四棱的底面邊長(zhǎng)1，側(cè)棱長(zhǎng)4，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為．求證：平面平面.

【答案】證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明【分析】以為原點(diǎn)，，，所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證，同理，再結(jié)合面面平行判定定理即可證明結(jié)論.【詳解】以為原點(diǎn)，，，所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

則,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，，，同理，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又平面平面與平面平行．【變式16-2】（24-25高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點(diǎn)．求證：平面平面.【答案】證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法分別證明，，即，，再利用面面平行的判定定理即可得證.【詳解】因?yàn)?，是棱的中點(diǎn)，所以，所以為正三角形.因?yàn)闉榈妊菪?，，所?取的中點(diǎn)，連接，則，所以.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，，，所以，，又不重合，不重合，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面【變?6-3】（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，四邊形為矩形，平面，，，，分別是，，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明【分析】（1）由已知可證得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明；（2）只需證明平面的法向量與平面中的兩個(gè)向量垂直即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危裕詢蓛纱怪?，所以以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)，，.則，因?yàn)?，，分別是，，的中點(diǎn)，所以，，，所以.因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，即.又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）因?yàn)?，所以，所以，又平面，所以平?又因?yàn)?，平面，所以平面平?【考點(diǎn)題型十七】用向量證明空間中線面垂直核心方法：???【例17】（24-25高二上·廣東惠州·期中）直三棱柱中，，，，分別是的中點(diǎn)．

(1)求的值；(2)求證：⊥平面．【答案】(1)(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】空間向量垂直的坐標(biāo)表示、空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示、空間位置關(guān)系的向量證明【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求的值；（2）利用向量法證明線線垂直，可證線面垂直.【詳解】（1）直三棱柱中，平面，又，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

依題意得，，∴，，，，，所以；（2）求得，．∴，，，∴，，∴，，即，又平面，平面，，∴⊥平面．【變式17-1】（24-25高二上·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn).(1)證明：，，，四點(diǎn)共面；(2)若點(diǎn)在棱，且平面，求的長(zhǎng)度.【答案】(1)證明見解析(2)3【知識(shí)點(diǎn)】空間中的點(diǎn)（線）共面問(wèn)題、空間向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】（1）連接，，，先可得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到，結(jié)合即可得到，進(jìn)而求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：連接，，，因?yàn)?，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，所以，，，四點(diǎn)共面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，可得，，，，則，，設(shè)，即，則，由平面，故，即，解得，所以.【變式17-2】（24-25高二上·山東菏澤·開學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，，棱，、分別為、的中點(diǎn).(1)求的模；(2)求證：平面.【答案】(1)(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示、空間位置關(guān)系的向量證明【分析】（1）先建立直角坐標(biāo)系，再求出坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量求出模長(zhǎng)；（2）應(yīng)用向量法得出線線垂直，再根據(jù)線面垂直判定定理證明即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，則.（2）依題意得、、、、，則，，，所以，，則，，即，，又因?yàn)槠矫妫云矫?【變式17-3】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在直四棱柱中，底面為直角梯形，分別為的中點(diǎn)，，用向量法證明：直線平面．

【答案】證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，可得與平面的法向量共線，則得直線平面．【詳解】由題意知，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z則即，令，則，所以，故直線平面．【考點(diǎn)題型十八】證明面面垂直核心方法：???【例18】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，，，為的中點(diǎn)．求證：平面平面.【答案】證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明【分析】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面和平面的法向量，計(jì)算的值，，即可證明平面平面.【詳解】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則A0,0,0，，，，，，.設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n1則，即，不妨令，則，，所以，設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，即，不妨令，則，，所以，因?yàn)?，所以，所以平面平面．【變?8-1】（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)．證明：平面平面．【答案】證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明、求平面的法向量【分析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面與平面的法向量分別為，求出，可得，即可證明.【詳解】如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得平面的一個(gè)法向量．因?yàn)?，所以，所以平面平面．【變?8-2】（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，，是的中點(diǎn)，底面，．證明：平面平面.【答案】證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】證明面面垂直、空間位置關(guān)系的向量證明、求平面的法向量【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量是，結(jié)合得到和共線，所以平面，從而得到面面垂直.【詳解】證明：因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為1的菱形，，所以⊥，如圖以為原點(diǎn)，所在直線為軸，平行于的直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．所以，平面的一個(gè)法向量是，所以和共線，所以平面，又因?yàn)槠矫妫势矫嫫矫妫嵘?xùn)練一、單選題1．（24-25高二上·湖北省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，則等于（）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】空間向量基本定理及其應(yīng)用、用空間基底表示向量【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得.故選：B.2．（24-25高二上·山東泰安·期中）設(shè)，向量，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示、空間向量平行的坐標(biāo)表示、空間向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】由，求出，再求出，再用坐標(biāo)求模即可.【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，則，所以.又因?yàn)?，且，所以，則，所以，所以，所以.故選：A.3．（福建省福州市八縣（市）協(xié)作校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示【分析】?jī)蓚€(gè)向量夾角為鈍角則兩個(gè)向量數(shù)量積為負(fù)數(shù)，但是兩個(gè)向量反向時(shí)夾角為不是鈍角，要排除.【詳解】由題意可知：，∴，又∵時(shí)，即時(shí)，共線，∴，∴.故選：A4．（24-25高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M，N分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何表示【分析】連接，利用空間向量運(yùn)算即可求得正確答案.【詳解】連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，

因?yàn)榈酌鏋橹苯侨切蔚闹崩庵?，所以四邊形為長(zhǎng)方形，又因M，N分別是的中點(diǎn)，所以，則，又因，所以可得，解得，所以.故選：A.5．（云南省長(zhǎng)水教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知空間向量，，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示【分析】由數(shù)量積的定義先求出，再由投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以在上的投影向量?故選：D.6．（湖北省“荊、荊、襄、宜四地七校考試聯(lián)盟”2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）正四面體中，，點(diǎn)滿足，則長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判定空間向量共面、求點(diǎn)面距離【分析】根據(jù)題意，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，得到，結(jié)合空間向量的共面定理，得到四點(diǎn)共面，把到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離的一半，結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得所以，又由，所以四點(diǎn)共面，所以的最小值，即為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，又因?yàn)?，所以三棱錐為正三棱錐，取等邊的中心為，連接，可得平面，所以即為點(diǎn)到平面的距離，在等邊，因?yàn)?，可得，在直角中，可得，即點(diǎn)到平面的距離為，所以的最小值為.故選：C7．（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則的值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求空間向量的數(shù)量積、空間向量基本定理及其應(yīng)用、空間向量的加減運(yùn)算、用空間基底表示向量【分析】由四點(diǎn)共面推得，再以為基底進(jìn)行向量運(yùn)算可得.【詳解】動(dòng)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，且不共線，則存在實(shí)數(shù)，使.即，所以.又，不共面，由空間向量基本定理可知，故，解得.即.因?yàn)樗拿骟w正四面體，且棱長(zhǎng)為.所以，.所以.故選：C.8．（24-25高二上·安徽阜陽(yáng)·期中）已知向量滿足，，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的概念辨析、求空間向量的數(shù)量積【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可求得，根據(jù)投影向量定義直接求解即可.【詳解】，，，，，，，.故選：C.二、多選題9．（24-25高二上·福建廈門·期中）設(shè)是空間的一個(gè)基底，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．，，兩兩共面，但，，不可能共面B．若，，則C．對(duì)空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使D．，，不一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】空間共面向量定理的推論及應(yīng)用、空間向量基底概念及辨析【分析】AC選項(xiàng)，根據(jù)基底的定義可得；B選項(xiàng)，，不一定垂直；D選項(xiàng)，判斷出，，一定不共面，所以一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底.【詳解】A選項(xiàng)，由基底的定義可知，，，不能共面，，，兩兩共面，A正確；B選項(xiàng)，，，但，不一定垂直，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由基底的概念可知，對(duì)空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使，C正確；D選項(xiàng)，設(shè)，故，無(wú)解，故，，一定不共面，所以一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，D錯(cuò)誤.故選：AC10．（24-25高二上·山西·期中）如圖，在正三棱柱中，P為空間內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，則（

）A．若，則點(diǎn)P的軌跡為線段B．若，則點(diǎn)P的軌跡為線段C．存在，，使得平面D．存在，，使得平面【答案】AB【知識(shí)點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用、空間位置關(guān)系的向量證明、判定空間向量共面【分析】由共面向量定理可得點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（含邊界），利用共線向量判斷AB；借助向量數(shù)量積判斷CD.【詳解】在正三棱柱中，由，得點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（含邊界），對(duì)于A，由，得，點(diǎn)的軌跡為線段，A正確；對(duì)于B，由，得，則，即，又，因此點(diǎn)的軌跡為線段，