湖南省瀏陽一中等湘東五校中學2025屆高考數(shù)學一模試卷含解析_第1頁
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湖南省瀏陽一中等湘東五校中學2025屆高考數(shù)學一模試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列{an}滿足a1=3,且aA.22n-1+1 B.22n-1-12.若的展開式中二項式系數(shù)和為256,則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為()A.85 B.84 C.57 D.563.設函數(shù)的定義域為,命題:,的否定是()A., B.,C., D.,4.某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示,下列說法中錯誤的是().A.收入最高值與收入最低值的比是B.結余最高的月份是月份C.與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D.前個月的平均收入為萬元5.設函數(shù)滿足,則的圖像可能是A. B.C. D.6.已知是過拋物線焦點的弦,是原點,則()A.-2 B.-4 C.3 D.-37.已知函數(shù)的定義域為,且,當時,.若,則函數(shù)在上的最大值為()A.4 B.6 C.3 D.88.雙曲線的一條漸近線方程為,那么它的離心率為()A. B. C. D.9.已知命題若,則,則下列說法正確的是()A.命題是真命題B.命題的逆命題是真命題C.命題的否命題是“若,則”D.命題的逆否命題是“若,則”10.如圖,正方體中,,,,分別為棱、、、的中點,則下列各直線中,不與平面平行的是()A.直線 B.直線 C.直線 D.直線11.若x,y滿足約束條件且的最大值為,則a的取值范圍是()A. B. C. D.12.雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)在的零點個數(shù)為________.14.已知一組數(shù)據(jù),1,0,,的方差為10,則________15.設為拋物線的焦點,為上互相不重合的三點,且、、成等差數(shù)列,若線段的垂直平分線與軸交于,則的坐標為_______.16.設等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差________,通項公式________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)的圖象向左平移后與函數(shù)圖象重合.(1)求和的值;(2)若函數(shù),求的單調(diào)遞增區(qū)間及圖象的對稱軸方程.18.(12分)已知各項均不相等的等差數(shù)列的前項和為,且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.19.(12分)如圖,⊙的直徑的延長線與弦的延長線相交于點,為⊙上一點,,交于點.求證:~.20.(12分)在中,角的對邊分別為,若.(1)求角的大小;(2)若,為外一點,,求四邊形面積的最大值.21.(12分)在平面直角坐標系中,點,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的直角坐標方程;(2)若直線與曲線相交于不同的兩點是線段的中點,當時,求的值.22.(10分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標系.已知點的直角坐標為,過的直線與曲線相交于,兩點.(1)若的斜率為2,求的極坐標方程和曲線的普通方程;(2)求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析:因為an+1=4an+3,所以an+1+1=4(an+1),即an+1+1an+1考點:數(shù)列的通項公式.2、A【解析】

先求,再確定展開式中的有理項,最后求系數(shù)之和.【詳解】解:的展開式中二項式系數(shù)和為256故,要求展開式中的有理項,則則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為:故選:A【點睛】考查二項式的二項式系數(shù)及展開式中有理項系數(shù)的確定,基礎題.3、D【解析】

根據(jù)命題的否定的定義,全稱命題的否定是特稱命題求解.【詳解】因為:,是全稱命題,所以其否定是特稱命題,即,.故選:D【點睛】本題主要考查命題的否定,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎題.4、D【解析】由圖可知,收入最高值為萬元,收入最低值為萬元,其比是,故項正確;結余最高為月份,為,故項正確;至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同,故項正確;前個月的平均收入為萬元,故項錯誤.綜上,故選.5、B【解析】根據(jù)題意,確定函數(shù)的性質(zhì),再判斷哪一個圖像具有這些性質(zhì).由得是偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關于軸對稱,可知B,D符合;由得是周期為2的周期函數(shù),選項D的圖像的最小正周期是4,不符合,選項B的圖像的最小正周期是2,符合,故選B.6、D【解析】

設,,設:,聯(lián)立方程得到,計算得到答案.【詳解】設,,故.易知直線斜率不為,設:,聯(lián)立方程,得到,故,故.故選:.【點睛】本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積,設直線為可以簡化運算,是解題的關鍵.7、A【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關系及指數(shù)冪運算,可得;利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性,由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域為,且,則;任取,且,則,故,令,,則,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,令,,故,故函數(shù)在上的最大值為4.故選:A.【點睛】本題考查了指數(shù)冪的運算及化簡,利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性,賦值法在抽象函數(shù)求值中的應用,屬于中檔題.8、D【解析】

根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為,列出方程,求出的值即可.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為,可得,∴,∴雙曲線的離心率.故選:D.【點睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法,屬于基礎題.9、B【解析】

解不等式,可判斷A選項的正誤;寫出原命題的逆命題并判斷其真假,可判斷B選項的正誤;利用原命題與否命題、逆否命題的關系可判斷C、D選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】解不等式,解得,則命題為假命題,A選項錯誤;命題的逆命題是“若,則”,該命題為真命題,B選項正確;命題的否命題是“若,則”,C選項錯誤;命題的逆否命題是“若,則”,D選項錯誤.故選:B.【點睛】本題考查四種命題的關系,考查推理能力,屬于基礎題.10、C【解析】

充分利用正方體的幾何特征,利用線面平行的判定定理,根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù),判斷B的正誤.根據(jù)與相交,判斷C的正誤.根據(jù),判斷D的正誤.【詳解】在正方體中,因為,所以平面,故A正確.因為,所以,所以平面故B正確.因為,所以平面,故D正確.因為與相交,所以與平面相交,故C錯誤.故選:C【點睛】本題主要考查正方體的幾何特征,線面平行的判定定理,還考查了推理論證的能力,屬中檔題.11、A【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標函數(shù)的最值,判斷a的范圍即可.【詳解】作出約束條件表示的可行域,如圖所示.因為的最大值為,所以在點處取得最大值,則,即.故選:A【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用z的幾何意義,通過數(shù)形結合是解決本題的關鍵.12、C【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知,雙曲線的漸近線方程是.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意雙曲線的簡單性質(zhì)的合理運用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

求出的范圍,再由函數(shù)值為零,得到的取值可得零點個數(shù).【詳解】詳解:由題可知,或解得,或故有3個零點.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點,屬于基礎題.14、7或【解析】

依據(jù)方差公式列出方程,解出即可.【詳解】,1,0,,的平均數(shù)為,所以解得或.【點睛】本題主要考查方差公式的應用.15、或【解析】

設出三點的坐標,結合等差數(shù)列的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、拋物線的定義進行求解即可.【詳解】拋物線的準線方程為:,設,由拋物線的定義可知:,,,因為、、成等差數(shù)列,所以有,所以,因為線段的垂直平分線與軸交于,所以,因此有,化簡整理得:或.若,由可知;,這與已知矛盾,故舍去;若,所以有,因此.故答案為:或【點睛】本題考查了拋物線的定義的應用,考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了數(shù)學運算能力.16、2【解析】

直接利用等差數(shù)列公式計算得到答案.【詳解】,,解得,,故.故答案為:2;.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的基本計算,意在考查學生的計算能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2),,.【解析】

(1)直接利用同角三角函數(shù)關系式的變換的應用求出結果.(2)首先把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù),進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用求出結果.【詳解】(1)由題意得,,(2)由,解得,所以對稱軸為,.由,解得,所以單調(diào)遞增區(qū)間為.,【點睛】本題考查的知識要點:三角函數(shù)關系式的恒等變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用,主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎題型.18、(1);(2).【解析】試題分析:(1)設公差為,列出關于的方程組,求解的值,即可得到數(shù)列的通項公式;(2)由(1)可得,即可利用裂項相消求解數(shù)列的和.試題解析:(1)設公差為.由已知得,解得或(舍去),所以,故.(2),考點:等差數(shù)列的通項公式;數(shù)列的求和.19、證明見解析【解析】

根據(jù)相似三角形的判定定理,已知兩個三角形有公共角,題中未給出線段比例關系,故可根據(jù)判定定理一需找到另外一組相等角,結合平面幾何的知識證得即可.【詳解】證明:∵,所以,又因為,所以.在與中,,,故~.【點睛】本題考查平面幾何中同弧所對的圓心角與圓周角的關系、相似三角形的判定定理;考查邏輯推理能力和數(shù)形結合思想;分析圖形,找出角與角之間的關系是證明本題的關鍵;屬于基礎題.20、(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)正弦定理化簡等式可得,即;(2)根據(jù)題意,利用余弦定理可得,再表示出,表示出四邊形,進而可得最值.【詳解】(1),由正弦定理得:在中,,則,即,,即.(2)在中,又,則為等邊三角形,又,-當時,四邊形的面積取最大值,最大值為.【點睛】本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面積公式的應用,屬于基礎題.21、(1);(2).【解析】

(1)在已知極坐標方程兩邊同時乘以ρ后,利用ρcosθ=x,ρsinθ=y(tǒng),ρ2=x2+y2可得曲線C的直角坐標方程;(2)聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與x2=4y由韋達定理以及參數(shù)的幾何意義和弦長公式可得弦長與已知弦長相等可解得.【詳解】解:(1)在ρ+ρcos2θ=8sinθ中兩邊同時乘以ρ得ρ2+ρ2(cos2θ﹣sin2θ)=8ρsinθ,∴x2+y2+x2﹣y2=8y,即x2=4y,所以曲線C的直角坐標方程為:x2=4y.(2)聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與x2=4y得:(cosα)2t2﹣4(sinα)t+4=0,設A,B兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2,由△=16sin2α﹣16cos2α>0,得sinα>,t1+t2=,由|PM|=,所以20sin2α+9sinα﹣20=0,解得sinα=或sinα=﹣(舍去),所以sinα=.【點睛】本題考查了簡單曲線的極坐標方程,屬中檔題.22、(1):,:;(2)【解析】

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