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文檔簡介
2025屆遼寧省重點協(xié)作校高三一診考試數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在直三棱柱中,己知,,,則異面直線與所成的角為()A. B. C. D.2.已知復數(shù),(為虛數(shù)單位),若為純虛數(shù),則()A. B.2 C. D.3.若的展開式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.254.設(shè)復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則在復平面內(nèi)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的()A.2 B.3 C. D.6.如圖,在中,點,分別為,的中點,若,,且滿足,則等于()A.2 B. C. D.7.下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是()A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)8.如圖,某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的,則該幾何體的體積為()A. B. C.6 D.與點O的位置有關(guān)9.已知函數(shù),,其中為自然對數(shù)的底數(shù),若存在實數(shù),使成立,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.10.設(shè),則()A. B. C. D.11.已知復數(shù)滿足,則()A. B. C. D.12.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),且當時,函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),則,,的大小關(guān)系是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.執(zhí)行如圖所示的偽代碼,若輸出的y的值為13,則輸入的x的值是_______.14.下圖是一個算法的流程圖,則輸出的x的值為_______.15.若在上單調(diào)遞減,則的取值范圍是_______16.設(shè)為偶函數(shù),且當時,;當時,.關(guān)于函數(shù)的零點,有下列三個命題:①當時,存在實數(shù)m,使函數(shù)恰有5個不同的零點;②若,函數(shù)的零點不超過4個,則;③對,,函數(shù)恰有4個不同的零點,且這4個零點可以組成等差數(shù)列.其中,正確命題的序號是_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列,其前項和為,若對于任意,,且,都有.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列(2)若數(shù)列滿足,且等差數(shù)列的公差為,存在正整數(shù),使得,求的最小值.18.(12分)已知在多面體中,平面平面,且四邊形為正方形,且//,,,點,分別是,的中點.(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19.(12分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足bcosA﹣asinB=1.(1)求A;(2)已知a=2,B=,求△ABC的面積.20.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為.(1)求曲線C的極坐標方程和直線l的直角坐標方程;(2)若射線與曲線C交于點A(不同于極點O),與直線l交于點B,求的最大值.21.(12分)如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點E,F(xiàn)(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求證:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.22.(10分)已知,(其中).(1)求;(2)求證:當時,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
由條件可看出,則為異面直線與所成的角,可證得三角形中,,解得從而得出異面直線與所成的角.【詳解】連接,,如圖:又,則為異面直線與所成的角.因為且三棱柱為直三棱柱,∴∴面,∴,又,,∴,∴,解得.故選C【點睛】考查直三棱柱的定義,線面垂直的性質(zhì),考查了異面直線所成角的概念及求法,考查了邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
把代入,利用復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡,由實部為0且虛部不為0求解即可.【詳解】∵,∴,∵為純虛數(shù),∴,解得.故選C.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的除法運算,考查復數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.3、C【解析】
通過二項式展開式的通項分析得到,即得解.【詳解】由已知得,故當時,,于是有,則.故選:C【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項和系數(shù)問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.4、A【解析】
由復數(shù)的除法運算可整理得到,由此得到對應的點的坐標,從而確定所處象限.【詳解】由得:,對應的點的坐標為,位于第一象限.故選:.【點睛】本題考查復數(shù)對應的點所在象限的求解,涉及到復數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
運行程序,依次進行循環(huán),結(jié)合判斷框,可得輸出值.【詳解】起始階段有,,第一次循環(huán)后,,第二次循環(huán)后,,第三次循環(huán)后,,第四次循環(huán)后,,所有后面的循環(huán)具有周期性,周期為3,當時,再次循環(huán)輸出的,,此時,循環(huán)結(jié)束,輸出,故選:B【點睛】本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識,經(jīng)過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題型.6、D【解析】
選取為基底,其他向量都用基底表示后進行運算.【詳解】由題意是的重心,,∴,,∴,故選:D.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積,解題關(guān)鍵是選取兩個不共線向量作為基底,其他向量都用基底表示參與運算,這樣做目標明確,易于操作.7、C【解析】
利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成2kπ+(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有答案C正確.故答案為C【點睛】(1)本題主要考查終邊相同的角的公式,意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.8、B【解析】
根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示,幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積,即可求出結(jié)論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體,是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構(gòu)成的,正方體的體積為8,四棱錐的底面是邊長為2的正方形,頂點O在平面上,高為2,所以四棱錐的體積為,所以該幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖求幾何體的體積,還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是減函數(shù),(﹣1,+∞)上是增函數(shù),故當x=﹣1時,y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(當且僅當ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1時,等號成立);故f(x)﹣g(x)≥3(當且僅當?shù)忍柾瑫r成立時,等號成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故選:A.10、D【解析】
結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點睛】本題考查了幾個數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應用,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
由復數(shù)的運算法則計算.【詳解】因為,所以故選:A.【點睛】本題考查復數(shù)的運算.屬于簡單題.12、D【解析】
利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,再根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性可得正確的選項.【詳解】因為,,故.又,故.因為當時,函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),所以.因為為偶函數(shù),故,所以.故選:D.【點睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應用,比較大小時注意選擇合適的中間數(shù)來傳遞不等關(guān)系,本題屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、8【解析】
根據(jù)偽代碼逆向運算求得結(jié)果.【詳解】輸入,若,則,不合題意若,則,滿足題意本題正確結(jié)果:【點睛】本題考查算法中的語言,屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】
利用流程圖,逐次進行運算,直到退出循環(huán),得到輸出值.【詳解】第一次:x=4,y=11,第二次:x=5,y=32,第三次:x=1,y=14,此時14>10×1+3,輸出x,故輸出x的值為1.故答案為:.【點睛】本題主要考查程序框圖的識別,“還原現(xiàn)場”是求解這類問題的良方,側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).15、【解析】
由題意可得導數(shù)在恒成立,解出即可.【詳解】解:由題意,,當時,顯然,符合題意;當時,在恒成立,∴,∴,故答案為:.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.16、①②③【解析】
根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象,利用圖象對各個選項進行判斷即可.【詳解】解:當時又因為為偶函數(shù)可畫出的圖象,如下所示:可知當時有5個不同的零點;故①正確;若,函數(shù)的零點不超過4個,即,與的交點不超過4個,時恒成立又當時,在上恒成立在上恒成立由于偶函數(shù)的圖象,如下所示:直線與圖象的公共點不超過個,則,故②正確;對,偶函數(shù)的圖象,如下所示:,使得直線與恰有4個不同的交點點,且相鄰點之間的距離相等,故③正確.故答案為:①②③【點睛】本題考查函數(shù)方程思想,數(shù)形結(jié)合思想,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)用數(shù)學歸納法證明即可;(2)根據(jù)條件可得,然后將用,,表示出來,根據(jù)是一個整數(shù),可得結(jié)果.【詳解】解:(1)令,,則即∴,∴成等差數(shù)列,下面用數(shù)學歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列,假設(shè)成等差數(shù)列,其中,公差為,令,,∴,∴,即,∴成等差數(shù)列,∴數(shù)列是等差數(shù)列;(2),,若存在正整數(shù),使得是整數(shù),則,設(shè),,∴是一個整數(shù),∴,從而又當時,有,綜上,的最小值為.【點睛】本題主要考查由遞推關(guān)系得通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì),關(guān)鍵是利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列,屬于難題.18、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)構(gòu)造直線所在平面,由面面平行推證線面平行;(2)以為坐標原點,建立空間直角坐標系,分別求出兩個平面的法向量,再由法向量之間的夾角,求得二面角的余弦值.【詳解】(1)過點交于點,連接,如下圖所示:因為平面平面,且交線為,又四邊形為正方形,故可得,故可得平面,又平面,故可得.在三角形中,因為為中點,,故可得//,為中點;又因為四邊形為等腰梯形,是的中點,故可得//;又,且平面,平面,故面面,又因為平面,故面.即證.(2)連接,,作交于點,由(1)可知平面,又因為//,故可得平面,則;又因為//,,故可得即,,兩兩垂直,則分別以,,為,,軸建立空間直角坐標系,則,,,,,,設(shè)面的法向量為,則,,則,可取,設(shè)平面的法向量為,則,,則,可取,可知平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查由面面平行推證線面平行,涉及用向量法求二面角的大小,屬綜合基礎(chǔ)題.19、(1);(2).【解析】
(1)由正弦定理化簡已知等式可得sinBcosA﹣sinAsinB=1,結(jié)合sinB>1,可求tanA=,結(jié)合范圍A∈(1,π),可得A的值;(2)由已知可求C=,可求b的值,根據(jù)三角形的面積公式即可計算得解.【詳解】(1)∵bcosA﹣asinB=1.∴由正弦定理可得:sinBcosA﹣sinAsinB=1,∵sinB>1,∴cosA=sinA,∴tanA=,∵A∈(1,π),∴A=;(2)∵a=2,B=,A=,∴C=,根據(jù)正弦定理得到∴b=6,∴S△ABC=ab==6.【點睛】本題主要考查了正弦定理,三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.20、(1):,直線:;(2).【解析】
(1)由消參法把參數(shù)方程化為普通方程,再由公式進行直角坐標方程與極坐標方程的互化;(2)由極徑的定義可直接把代入曲線和直線的極坐標方程,求出極徑,把比值化為的三角函數(shù),從而可得最大值、【詳解】(1)消去參數(shù)可得曲線的普通方程是,即,代入得,即,∴曲線的極坐標方程是;由,化為直角坐標方程為.(2)設(shè),則,,,當時,取得最大值為.【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化,考查極坐標方程與直角坐標方程的互化,掌握公式可輕松自如進行極坐標方程與直角坐標方程的互化.21、(1)見解析(2)見解析【解析】試題分析:(1)先由平面幾何知識證明,再由線面平行判定定理得結(jié)論;(2)先由面面垂直性質(zhì)定理得平面,則,再由AB⊥AD及線面垂直判定定理得AD⊥平面ABC,即可得AD⊥AC.試題解析:證明:(1)在平面內(nèi),因為AB⊥AD,,所以.又因為平面ABC,平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因為平面
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