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安徽省泗縣雙語中學(xué)2025屆高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,設(shè),則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為()A.2020 B.20l9 C.2018 D.20172.《易經(jīng)》包含著很多哲理,在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用,《易經(jīng)》的博大精深,對(duì)今天的幾何學(xué)和其它學(xué)科仍有深刻的影響.下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田,圖中正八邊形代表八卦,中間的圓代表陰陽太極圖,八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.已知正八邊形的邊長(zhǎng)為,陰陽太極圖的半徑為,則每塊八卦田的面積約為()A. B.C. D.3.在中,角、、的對(duì)邊分別為、、,若,,,則()A. B. C. D.4.已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn),則函數(shù)圖象以點(diǎn)為對(duì)稱中心的充要條件是()A. B.C. D.5.若,則“”是“的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為90”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知雙曲線:的焦距為,焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.7.已知函數(shù)滿足當(dāng)時(shí),,且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),且).若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)恰好有3對(duì),則的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知函數(shù),,若,對(duì)任意恒有,在區(qū)間上有且只有一個(gè)使,則的最大值為()A. B. C. D.9.等比數(shù)列若則()A.±6 B.6 C.-6 D.10.已知半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱,若圓柱的高為2,則球的體積與圓柱的體積的比為()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù),則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限12.已知無窮等比數(shù)列的公比為2,且,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),則函數(shù)的極大值為___________.14.甲、乙兩人同時(shí)參加公務(wù)員考試,甲筆試、面試通過的概率分別為和;乙筆試、面試通過的概率分別為和.若筆試面試都通過才被錄取,且甲、乙錄取與否相互獨(dú)立,則該次考試只有一人被錄取的概率是__________.15.有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球,從中隨機(jī)取出4個(gè),則取出球的編號(hào)互不相同的概率為_______________.16.袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球,從中一次隨機(jī)摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿足,,其中,,,.⑴若,,(),求證:數(shù)列是等比數(shù)列;⑵若數(shù)列是等比數(shù)列,求,的值;⑶若,且,求證:數(shù)列是等差數(shù)列.18.(12分)設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率是,動(dòng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng)軸時(shí),.(1)求橢圓的方程;(2)延長(zhǎng)分別交橢圓于點(diǎn)(不重合).設(shè),求的最小值.19.(12分)已知拋物線的準(zhǔn)線過橢圓C:(a>b>0)的左焦點(diǎn)F,且點(diǎn)F到直線l:(c為橢圓焦距的一半)的距離為4.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)F做直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),P是AB的中點(diǎn),線段AB的中垂線交直線l于點(diǎn)Q.若,求直線AB的方程.20.(12分)已知矩陣不存在逆矩陣,且非零特低值對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量,求的值.21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時(shí),若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求證:.22.(10分)語音交互是人工智能的方向之一,現(xiàn)在市場(chǎng)上流行多種可實(shí)現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學(xué)”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱,它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度,從某地區(qū)隨機(jī)抽取了100名購買“小愛同學(xué)”和100名購買“天貓精靈”的人,具體數(shù)據(jù)如下:“小愛同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計(jì)男4560105女554095合計(jì)100100200(1)若該地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”,有12000人購買了“天貓精靈”,試估計(jì)該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多少人?(2)根據(jù)列聯(lián)表,能否有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)?附:0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)題意計(jì)算,,,計(jì)算,,,得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,故,,,,故,當(dāng)時(shí),,,,,當(dāng)時(shí),,故前項(xiàng)和最大.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.2、B【解析】
由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個(gè)三角形的面積,再計(jì)算出圓面積的,兩面積作差即可求解.【詳解】由圖,正八邊形分割成個(gè)等腰三角形,頂角為,設(shè)三角形的腰為,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面積為:,所以每塊八卦田的面積約為:.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式,需熟記定理與面積公式,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得,可得出,然后利用余弦定理求出的值,最后利用正弦定理可求出的值.【詳解】,即,即,,,得,,.由余弦定理得,由正弦定理,因此,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中角的正弦值的計(jì)算,考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.4、A【解析】
由題可得出的坐標(biāo)為,再利用點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì),即可求出和.【詳解】根據(jù)題意,,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,又,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題和函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
求得的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為,令時(shí),可得項(xiàng)的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結(jié)果.【詳解】若則二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為,令,即,則項(xiàng)的系數(shù)為,充分性成立;當(dāng)?shù)恼归_式中項(xiàng)的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識(shí),考查考生的分析問題的能力和計(jì)算能力,難度較易.6、A【解析】
利用雙曲線:的焦點(diǎn)到漸近線的距離為,求出,的關(guān)系式,然后求解雙曲線的漸近線方程.【詳解】雙曲線:的焦點(diǎn)到漸近線的距離為,可得:,可得,,則的漸近線方程為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,構(gòu)建出的關(guān)系是解題的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.7、C【解析】
先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象,分類利用圖像列出有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿足的條件,解之即可.【詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象,如圖所示,當(dāng)時(shí),對(duì)稱后的圖象不可能與在的圖象有3個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),要使函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后的圖象與所作的圖象有3個(gè)交點(diǎn),則,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.8、C【解析】
根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組,求得的表達(dá)式(用表示),根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值,求得的取值范圍,求得對(duì)應(yīng)的取值范圍,由為整數(shù)對(duì)的取值進(jìn)行驗(yàn)證,由此求得的最大值.【詳解】由題意知,則其中,.又在上有且只有一個(gè)最大值,所以,得,即,所以,又,因此.①當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;②當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;③當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),成立;綜上所得的最大值為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值,考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.9、B【解析】
根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)代入可得解,由等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)確定值即可.【詳解】由等比數(shù)列中等比中項(xiàng)性質(zhì)可知,,所以,而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,注意項(xiàng)的符號(hào)特征,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
分別求出球和圓柱的體積,然后可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為,則,所以圓柱的體積.又球的體積,所以球的體積與圓柱的體積的比,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的體積求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).11、A【解析】
利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn),由此求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】依題意,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第一象限.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)所在象限,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
依據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式,先求出首項(xiàng),再求出,利用無窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果?!驹斀狻恳?yàn)闊o窮等比數(shù)列的公比為2,則無窮等比數(shù)列的公比為。由有,,解得,所以,,故選A?!军c(diǎn)睛】本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),通過賦值,求得,再對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析,求得極大值.【詳解】,故解得,,令,解得函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,故的極大值為故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極值的求解,難點(diǎn)是要通過賦值,求出未知量.14、【解析】
分別求得甲、乙被錄取的概率,根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】甲被錄取的概率;乙被錄取的概率;只有一人被錄取的概率.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件概率的求解問題,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】試題分析:從編號(hào)分別為1,1,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球,從中隨機(jī)取出4個(gè),有種不同的結(jié)果,由于是隨機(jī)取出的,所以每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的;設(shè)事件為“取出球的編號(hào)互不相同”,則事件包含了個(gè)基本事件,所以.考點(diǎn):1.計(jì)數(shù)原理;1.古典概型.16、【解析】試題分析:根據(jù)題意,記白球?yàn)锳,紅球?yàn)锽,黃球?yàn)?,則一次取出2只球,基本事件為、、、、、共6種,其中2只球的顏色不同的是、、、、共5種;所以所求的概率是.考點(diǎn):古典概型概率三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)(3)見解析【解析】試題分析:(1)(),所以,故數(shù)列是等比數(shù)列;(2)利用特殊值法,得,故;(3)得,所以,得,可證數(shù)列是等差數(shù)列.試題解析:(1)證明:若,則當(dāng)(),所以,即,所以,又由,,得,,即,所以,故數(shù)列是等比數(shù)列.(2)若是等比數(shù)列,設(shè)其公比為(),當(dāng)時(shí),,即,得,①當(dāng)時(shí),,即,得,②當(dāng)時(shí),,即,得,③②①,得,③②,得,解得.代入①式,得.此時(shí)(),所以,是公比為1的等比數(shù)列,故.(3)證明:若,由,得,又,解得.由,,,,代入得,所以,,成等差數(shù)列,由,得,兩式相減得:即所以相減得:所以所以,因?yàn)?,所以,即?shù)列是等差數(shù)列.18、(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)題意直接計(jì)算得到,,得到橢圓方程.(2)不妨設(shè),且,設(shè),代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得到,故,得到答案.【詳解】(1),所以,,化簡(jiǎn)得,所以,,所以方程為;(2)由題意得,不在軸上,不妨設(shè),且,設(shè),所以由,得,所以,由,得,代入,化簡(jiǎn)得:,由于,所以,同理可得,所以,所以當(dāng)時(shí),最小為【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程,橢圓中的向量運(yùn)算和最值,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19、(1);(2)或.【解析】
(1)由拋物線的準(zhǔn)線方程求出的值,確定左焦點(diǎn)坐標(biāo),再由點(diǎn)F到直線l:的距離為4,求出即可;(2)設(shè)直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系和弦長(zhǎng)公式,以及兩直線垂直的條件和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,即可得到所求直線的方程.【詳解】(1)拋物線的準(zhǔn)線方程為,,直線,點(diǎn)F到直線l的距離為,,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)依題意斜率不為0,又過點(diǎn),設(shè)方程為,聯(lián)立,消去得,,,設(shè),,,,線段AB的中垂線交直線l于點(diǎn)Q,所以橫坐標(biāo)為3,,,,平方整理得,解得或(舍去),,所求的直線方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系,要熟練應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系、相交弦長(zhǎng)公式,合理運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式,考查計(jì)算求解能力,屬于中檔題.20、【解析】
由不存在逆矩陣,可得,再利用特征多項(xiàng)式求出特征值3,0,,利用矩陣乘法運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椴淮嬖谀婢仃嚕?,所?矩陣的特征多項(xiàng)式為,令,則或,所以,即,所以,所以【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的乘法及特征值、特征向量有關(guān)的問題,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道容易題.21、(1);(2)當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù);當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù);(3)證明見解析.【解析】
(1)當(dāng)時(shí),,求得其導(dǎo)函數(shù),,可求得函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)由已知得,得出導(dǎo)函數(shù),并得出導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間,可得出函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時(shí),,,由(2)得的單調(diào)區(qū)間,以當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,不妨設(shè),且有,,構(gòu)造函數(shù),分析其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性,得出其最值,所證的不等式可得證.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,所以,,所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為,即;
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