2024-2025學(xué)年河北省承德市承德縣高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省承德市承德縣高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．已知全集為實(shí)數(shù)集，若集合，，則（）A．B．C．D．?1,12．已知為虛數(shù)單位，則（

）A． B．1 C． D．3．在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（

）

A． B． C． D．4．已知曲線，在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則a的值為（

）A．1 B． C．3 D．5．已知，則等于（

）A． B． C． D．或6．已知都是正實(shí)數(shù)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知公差不為0的等差數(shù)列中，且，則（

）A．30 B． C． D．408．已知函數(shù).若函數(shù)有8個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A．B．C．D．二、多選題（本大題共3小題，共18分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9．下列命題中是真命題的是（

）A．“”是“”的充分不必要條件B．命題“，都有”的否定是“，使得”C．不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是或D．“”是“”的必要不充分條件10．下列說法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則11．如圖，是邊長為2的正方形，，，，都垂直于底面，且，點(diǎn)在線段上，平面交線段于點(diǎn)，則（

）A．，，，四點(diǎn)不共面B．該幾何體的體積為8C．過四點(diǎn)，，，四點(diǎn)的外接球表面積為D．截面四邊形的周長的最小值為10三、填空題（本大題共3小題，共15分）12．已知函數(shù)的表達(dá)式為，則滿足的實(shí)數(shù)m的最大值為．13．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最小值為.14．如圖，在棱長均相等的正四棱錐P－ABCD中，O為底面正方形的中心，M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點(diǎn)，有下列結(jié)論：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OM⊥PA；④直線PD與直線MN所成角的大小為90°.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．(本題13分)記的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.(1)求B；(2)若，的面積為，求b.16．(本題15分)已知數(shù)列是首項(xiàng)為2，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且是和的等差中項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前2024項(xiàng)和.17．(本題15分)如圖，在直五棱柱中，，，，，，.(1)求證：；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.18．(本題17分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在處的切線平行于軸，求的值；(2)討論的單調(diào)性；(3)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.19．(本題13分)如圖，等腰直角三角形中，，是中點(diǎn)，、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，將沿折起，將點(diǎn)折至點(diǎn)的位置，得到四棱錐.(1)求證：；(2)若，二面角是直二面角，求平面與平面夾角的余弦值；(3)當(dāng)時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)，使得二面角為，且直線與平面所成角為，若存在，求出的長，若不存在，請(qǐng)說明理由.答案：題號(hào)12345678910答案ADBCACCDACDBD題號(hào)11答案BCD1．A【分析】解不等式可得各集合，進(jìn)而可得.【詳解】由已知，，則，故選：A.2．D【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算求解可得.【詳解】.故選：D.3．B【分析】由向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形特征，求出的值即可.【詳解】在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，所以，.故選：B4．C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率，再根據(jù)兩條互相垂直的直線斜率之積等于算出即可.【詳解】，則，則，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，解得.故選：C5．A【分析】方法一：由得，兩邊平方得，與聯(lián)立即可求解；方法二：由得，再根據(jù)可得，在等式兩邊同時(shí)除以“1”即可求解.【詳解】解法一：由得，兩邊平方得，又知，所以可得，即，解得，所以，因此．解法二：由得，又知，所以有，于是左邊作“1”的代換有，從而可得，所以，即，解得，故選:A．6．C【分析】由條件得，通過配湊變形，利用基本不等式求的最小值.【詳解】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以的最小值為.故選：C.7．C【分析】假設(shè)首項(xiàng)和公差，列等式即可求解，再用前n項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】假設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由且得，因?yàn)楣罱猓越獾?，所以，故選：C.8．D【分析】畫出函數(shù)的圖象并利用函數(shù)與方程的思想結(jié)合圖象可知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，再由二次函數(shù)根的分布解不等式可得a的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意對(duì)于函數(shù)可得；當(dāng)時(shí)，令，可得，所以時(shí)，，可得在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；因此在處取得極小值，也是最小值；畫出函數(shù)的圖象如下圖所示：令，可得，若函數(shù)有8個(gè)不同的零點(diǎn)，可知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合圖象可知，所以需滿足，解得故選：D方法點(diǎn)睛：在求解復(fù)合函數(shù)根的個(gè)數(shù)問題時(shí)，經(jīng)常利用函數(shù)與方程的思想畫出函數(shù)圖象并根據(jù)圖象之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來限定參數(shù)所滿足的不等關(guān)系，解不等式即可得出結(jié)論.9．ACD【分析】利用充要條件的定義與全稱命題的否定結(jié)合一元二次不等式和分式不等式的解法逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，“”可以推出“”，而“”不能推出（如），所以“”是“”的充分不必要條件，故A正確；對(duì)于B，命題“，都有”的否定是“，使得”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，不等式成立，即或，即或能推出即或，或不能推出或，所以不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是或，故C正確；對(duì)于D，由成立得不出成立，所以“”是“”的不充分條件，因?yàn)?，所以“”是“”的必要條件，所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：ACD.10．BD【分析】對(duì)A，舉反例判斷即可；對(duì)B，根據(jù)分式的性質(zhì)判斷即可；對(duì)C，舉反例判斷即可；對(duì)D，根據(jù)不等式性質(zhì)判斷即可.【詳解】對(duì)A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若，則，故，故B正確；對(duì)C，若，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，若，則，，即，故D正確.故選：BD11．BCD【分析】對(duì)于A，利用證明四點(diǎn)共面；對(duì)于B，通過補(bǔ)形可知，此幾何體體積是底面邊長為2的正方形，高為4的長方體體積的一半，進(jìn)而求體積；對(duì)于C，過，，，構(gòu)造正方體，則外接球直徑為正方體的體對(duì)角線，進(jìn)而求表面積；對(duì)于D，利用面面平行的性質(zhì)定理證明四邊形為平行四邊形，則周長，進(jìn)而求的最小值即可.【詳解】對(duì)于A，取中點(diǎn)，取靠近的三等分點(diǎn)，易知四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，所以，，則，所以，，，四點(diǎn)共面，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，由對(duì)稱性知，此幾何體體積是底面邊長為2的正方形，高為4的長方體體積的一半，所以，故B正確；對(duì)于C，過四點(diǎn)，，，構(gòu)造正方體，所以，外接球直徑為正方體的體對(duì)角線，所以，則，所以此四點(diǎn)的外接球表面積為，故C正確；對(duì)于D，由題意，平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四邊形為平行四邊形，則周長，沿將相鄰兩四邊形推平，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為5，所以周長的最小值為，故D正確，故選：BCD12．【分析】結(jié)合偶函數(shù)定義可得為偶函數(shù)，再利用指數(shù)函數(shù)對(duì)稱性解出不等式即可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，又定義域?yàn)椋蕿榕己瘮?shù)，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故對(duì)有，即，即有，解得，故m的最大值為.故答案為.13．0【分析】由題意，可推得在區(qū)間上恒成立，可通過求在區(qū)間上的最大值得到實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】由題意，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，因在上為增函數(shù)，故，故得，即實(shí)數(shù)的最小值為0.故0.14．①②③【分析】根據(jù)線面平行的判定可判定①；由面面平行的判定可判斷②；由勾股定理可得PC⊥PA，結(jié)合PC⊥PA可判斷③；通過線面直線所成角的定義及題設(shè)可證得∠PDC即為直線PD與直線CD所成的角，結(jié)合△PDC為等邊三角形可判斷④.【詳解】連接AC，如圖∵O為底面正方形的中心，∴是的中點(diǎn)，又M為側(cè)棱PA的中點(diǎn)，∴PC∥OM，又PC?平面OMN，OM?平面OMN，所以PC∥平面OMN，故結(jié)論①正確；同理PD∥平面OMN，又PCPD＝P，PC，PD平面PCD，所以平面PCD∥平面OMN，故結(jié)論②正確；由于四棱錐的棱長均相等，所以，所以.又∥，所以，故結(jié)論③正確；由于M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點(diǎn)，所以MN∥AB.又四邊形ABCD為正方形，所以AB∥CD，所以MN∥CD，所以直線PD與直線MN所成的角即為直線PD與直線CD所成的角，即∠PDC.又△PDC為等邊三角形，所以，故④錯(cuò)誤.故①②③.15．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，求出；（2）由三角形面積公式得到，結(jié)合，利用余弦定理求出.【詳解】（1）由得，由正弦定理得，所以由余弦定理得，又，所以；（2）因?yàn)?，所?由余弦定理得，所以.16．(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解；（2）利用裂項(xiàng)相消法結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算公式求數(shù)列的前n項(xiàng)和即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則.因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以，即，解得或（舍去）或（舍去）所以.（2）由（1）知，.，故的前2024項(xiàng)和.17．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先根據(jù)條件證明平面，然后即可證明；（2）建立合適空間直角坐標(biāo)系，分別求解出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)法向量夾角的余弦值求解出結(jié)果；（3）根據(jù)空間中點(diǎn)到平面的距離計(jì)算公式直接求解出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)閹缀误w為直五棱柱，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?（2）由直五棱柱的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知平面，因?yàn)?，，所以，故以為原點(diǎn)，分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，，，所以四邊形是矩形，因?yàn)椋?，所以是等腰直角三角形，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，取，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，取，則，所以，所以，所以平面與平面的夾角余弦值為.（3）因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，且，所以點(diǎn)到平面的距離為.18．(1)；(2)答案見解析；(3).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出.（2）利用導(dǎo)數(shù)分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（3）利用零點(diǎn)的意義分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，借助直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)求出范圍.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在處的切線平行于軸，得，則，此時(shí)，，函數(shù)圖象在處的切線為，符合題意，所以.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋桑?）知，，當(dāng)時(shí)，由，得或，由，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得或，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.（3）依題意，，由，得，記，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)恒成立，因此要使有兩個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，必有，即，所以的取值范圍是.19．(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）由折疊可證線面垂直，由線面垂直的性質(zhì)可證明結(jié)論.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，表示各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面法向量，利用公式計(jì)算平面夾角的余弦值.（3）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用“二面角為”表示點(diǎn)坐標(biāo)，根