2024-2025學年湖北省武漢市高三上學期第一次聯(lián)考數學檢測試卷（含答案）

2024-2025學年湖北省武漢市高三上學期第一次聯(lián)考數學檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1．已知集合，，，則（）A． B． C． D．2．已知為虛數單位，若，則（）A． B． C． D．3．已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A． B． C． D．4．已知角，滿足，，則（）A． B． C． D．5．已知函數在區(qū)間上有極值，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．將正奇數按照如圖排列，我們將，，，，……，都稱為“拐角數”，則下面是拐角數的為（）A．55 B．77 C．91 D．1137．已知等腰梯形的上底長為1，腰長為1，若以等腰梯形的上底所在直線為軸，旋轉一周形成一個幾何體，則該幾何體表面積的最大值為（）A． B． C． D．8．已知函數，的定義域均為，是奇函數，且，，則下列結論正確的是（）A．為奇函數 B．為奇函數 C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知正實數滿足，則的可能取值為（）A．8 B．9 C．10 D．1110．已知雙曲線的左、右焦點分別為．過的直線與雙曲線的右支交于兩點．的內心為的內心為，則下列說法正確的有（）A．雙曲線的離心率為2B．直線的斜率的取值范圍為C．的取值范圍為D．11．在正三棱錐中，，，三棱錐的內切球球心為，頂點在底面的射影為，且中點為，則下列說法正確的是（）A．三棱錐的體積為3B．二面角的余弦值為C．球的表面積為D．若在此三棱錐中再放入一個球，使其與三個側面及內切球均相切，則球的半徑為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知點在拋物線上，為拋物線的焦點，直線與準線相交于點，則線段的長度為______．13．已知直線與曲線相切，則實數的值為______．14．某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家．如果天不下雨，那么他不帶雨傘．假設每天上班和下班時下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨立．現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知數列為等比數列，數列滿足，且．（1）求數列的通項公式：（2）數列滿足，記數列的前項和為，求．16．（15分）如圖，在中，角，，所對的邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，，，將沿折成直二面角，求直線與平面所成角的正弦值．17．（15分）為倡導節(jié)能環(huán)保，實現(xiàn)廢舊資源再利用，小明與小亮兩位小朋友打算將自己家中的閑置玩具進行交換，其中小明家有2臺不同的玩具車和2個不同的玩偶，小亮家也有與小明家不同的2臺玩具車和2個玩偶，他們每次等可能的各取一件玩具進行交換。（1）兩人進行一次交換后，求小明仍有2臺玩具車和2個玩偶的概率：（2）兩人進行兩次交換后，記為“小明手中玩偶的個數”，求隨機變量的分布列和數學期望．18．（17分）已知橢圓的離心率為，其左頂點到點的距離為，不過原點的直線與橢圓相交于不同的，兩點，與直線交于點，且，直線與軸，軸分別交于點，．（1）求橢圓的標準方程；（2）當的面積取最大值時，求的面積．19．（17分）2022年7月，在重慶巴蜀中學讀高一的?霄宇，奪得第63屆國際數學奧林匹克（IMO）滿分金牌。同年9月26日，入選2022年阿里巴巴全球數學競賽獲獎名單，同時成為了本屆獲獎者中年齡最小的選手。次年9月16日，他再接再厲，在2023阿里巴巴全球數學競賽中獲金獎．他的事跡激勵著廣大數學愛好者勇攀數學高峰，挖掘數學新質生產力．翔宇中學高二學生小剛結合自己“強基計劃”的升學規(guī)劃，自學了高等數學的羅爾中值定理：如果上的函數滿足條件：①在閉區(qū)間上連續(xù)：②在開區(qū)間可導；③．則至少存在一個，使得．據此定理，請你嘗試解決以下問題：（1）證明方程：在內至少有一個實根，其中，，，；（2）已知函數在區(qū)間內有零點，求的取值范圍．

數學答案及評分標準選擇題：題號1234567891011答案CAADBCADCDABDACD二、填空題：12． 13． 14．三、解答題：15．（13分）解：（1）因為為等比數列，所以，即，化簡得．因為，得．因此，易知為等比數列（2）由（1）知，．，16．（15分）解：（1）∵，∴，化簡得．由余弦定理得，，得；（2）設，，在中，由得，解得．①在中，．②由①、②得，．∴，，從而．∵二面角為直二面角，，平面平面，平面，∴平面建立如圖所示的空間直角坐標系，易知，，，，∴，，．設平面的法向量，則有，即令，解得．∴，故直線與平面所成角的正弦值為．17．（15分）解：（1）若兩人交換的是玩具車，則概率為，若兩人交換的是玩偶，則概率也為，故兩人進行一次交換后，小明仍有2臺玩具車和2個玩偶的概率為．（2）可取的值為、、、、，一次交換后，小明有1個玩偶和3臺玩具車的概率為，有3個玩偶和1臺玩具車的概率也為，經過兩次交換后，，故隨機變量X的分布列為：X01234P∴．18．（17分）解：（1）設橢圓左頂點為，則坐標為．由，解得．因為橢圓的離心率為，得．所以橢圓的標準方程為：；（2）設坐標為，B坐標為，由于和為橢圓上兩點，∴兩式相減，得，整理得．（*）設坐標為，由得為線段的中點，∴，．由在線段所在直線上，且坐標為，則有，即．由（*）得，故．設直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，整理得．由，得且．因為直線與橢圓相交于和兩點，所以，．∴，點到直線的距離為，∴，且．記，．由，及且得即當時，取最大值．此時直線方程為，與坐標軸交點為∴．19．（17分）證明：（1）設，設，∴在上連續(xù)，在上可導．又，由羅爾中值定理知：至少存在一個，使得成立，∴．故方程在內至少有一個實根．（2）∵在區(qū)間內有零點，不妨設該零點為，則，．由于，易知在和上連續(xù)，且在和上可導．又，由羅爾中值定理可得，至少存在一個，使；至少存在一個，使得．∴方程在上至少有兩個不等實根和．設，則．∵，∴．當，即