山東省聊城市莘縣一中2025屆高三第五次模擬考試數學試卷含解析

山東省聊城市莘縣一中2025屆高三第五次模擬考試數學試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在四邊形中，，，，，，則的長度為（）A． B．C． D．2．如圖，四邊形為正方形，延長至，使得，點在線段上運動.設，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．設為虛數單位，復數，則實數的值是（）A．1 B．-1 C．0 D．24．已知數列的通項公式為，將這個數列中的項擺放成如圖所示的數陣.記為數陣從左至右的列，從上到下的行共個數的和，則數列的前2020項和為（）A． B． C． D．5．為實現(xiàn)國民經濟新“三步走”的發(fā)展戰(zhàn)略目標，國家加大了扶貧攻堅的力度．某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率（脫離貧困的戶數占當年貧困戶總數的比）為．2015年開始，全面實施“精準扶貧”政策后，扶貧效果明顯提高，其中2019年度實施的扶貧項目，各項目參加戶數占比（參加該項目戶數占2019年貧困戶總數的比）及該項目的脫貧率見下表：實施項目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠就業(yè)服務業(yè)參加用戶比脫貧率那么年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍6．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，則|a＋bi|＝()．A． B． C． D．57．對于函數，若滿足，則稱為函數的一對“線性對稱點”．若實數與和與為函數的兩對“線性對稱點”，則的最大值為（）A． B． C． D．8．造紙術、印刷術、指南針、火藥被稱為中國古代四大發(fā)明，此說法最早由英國漢學家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學家所繼承，普遍認為這四種發(fā)明對中國古代的政治，經濟，文化的發(fā)展產生了巨大的推動作用.某小學三年級共有學生500名，隨機抽查100名學生并提問中國古代四大發(fā)明，能說出兩種發(fā)明的有45人，能說出3種及其以上發(fā)明的有32人，據此估計該校三級的500名學生中，對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有（）A．69人 B．84人 C．108人 D．115人9．已知F為拋物線y2＝4x的焦點，過點F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，則||FA|﹣|FB||的值等于（）A． B．8 C． D．410．已知定義在上的奇函數，其導函數為，當時，恒有．則不等式的解集為（）．A． B．C．或 D．或11．已知集合，，若，則（）A． B． C． D．12．閱讀名著，品味人生，是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).學生李華計劃在高一年級每周星期一至星期五的每天閱讀半個小時中國四大名著：《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》及《西游記》，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不同的閱讀計劃共有（）A．120種 B．240種 C．480種 D．600種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知的展開式中第項與第項的二項式系數相等，則__________.14．已知f(x)為偶函數，當x≤0時，f(x)=e-x-1-x，則曲線y=f(x)15．設平面向量與的夾角為，且，，則的取值范圍為______.16．已知函數f(x)＝若關于x的方程f(x)＝kx有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數陣，其中、、、．設，其中，且．定義變換為“對于數陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個數都乘以；若其中沒有且沒有，則這一行中所有數均保持不變”（、、、）．表示“將經過變換得到，再將經過變換得到、，以此類推，最后將經過變換得到”，記數陣中四個數的和為．（1）若，寫出經過變換后得到的數陣；（2）若，，求的值；（3）對任意確定的一個數陣，證明：的所有可能取值的和不超過．18．（12分）設函數（）.（1）討論函數的單調性；（2）若關于x的方程有唯一的實數解，求a的取值范圍.19．（12分）已知橢圓的短軸的兩個端點分別為、，焦距為．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓有兩個不同的交點、，設為直線上一點，且直線、的斜率的積為．證明：點在軸上．20．（12分）在直角坐標系中，已知曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，射線的極坐標方程為，射線的極坐標方程為.（Ⅰ）寫出曲線的極坐標方程，并指出是何種曲線；（Ⅱ）若射線與曲線交于兩點，射線與曲線交于兩點，求面積的取值范圍.21．（12分）已知數列的前項和和通項滿足.（1）求數列的通項公式；（2）已知數列中，，，求數列的前項和.22．（10分）在中，，是邊上一點，且，.（1）求的長；（2）若的面積為14，求的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

設，在中，由余弦定理得，從而求得，再由由正弦定理得，求得，然后在中，用余弦定理求解.【詳解】設，在中，由余弦定理得，則，從而，由正弦定理得，即，從而，在中，由余弦定理得：，則.故選：D【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.2、C【解析】

以為坐標原點，以分別為x軸，y軸建立直角坐標系，利用向量的坐標運算計算即可解決.【詳解】以為坐標原點建立如圖所示的直角坐標系，不妨設正方形的邊長為1，則，，設，則，所以，且，故.故選：C.【點睛】本題考查利用向量的坐標運算求變量的取值范圍，考查學生的基本計算能力，本題的關鍵是建立適當的直角坐標系，是一道基礎題.3、A【解析】

根據復數的乘法運算化簡，由復數的意義即可求得的值.【詳解】復數，由復數乘法運算化簡可得，所以由復數定義可知，解得，故選：A.【點睛】本題考查了復數的乘法運算，復數的意義，屬于基礎題.4、D【解析】

由題意，設每一行的和為，可得，繼而可求解，表示，裂項相消即可求解.【詳解】由題意，設每一行的和為故因此：故故選：D【點睛】本題考查了等差數列型數陣的求和，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.5、B【解析】

設貧困戶總數為，利用表中數據可得脫貧率，進而可求解.【詳解】設貧困戶總數為，脫貧率，所以.故年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的倍.故選：B【點睛】本題考查了概率與統(tǒng)計，考查了學生的數據處理能力，屬于基礎題.6、C【解析】試題分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根據復數相等的充要條件，有a＝－，b＝－1所以|a＋bi|＝，選C考點：復數的代數運算，復數相等的充要條件，復數的模7、D【解析】

根據已知有，可得，只需求出的最小值，根據，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出結論.【詳解】依題意知，與為函數的“線性對稱點”，所以，故（當且僅當時取等號）.又與為函數的“線性對稱點，所以，所以，從而的最大值為.故選:D.【點睛】本題以新定義為背景，考查指數函數的運算和圖像性質、基本不等式，理解新定義含義，正確求出的表達式是解題的關鍵，屬于中檔題.8、D【解析】

先求得名學生中，只能說出一種或一種也說不出的人數，由此利用比例，求得名學生中對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的人數.【詳解】在這100名學生中，只能說出一種或一種也說不出的有人，設對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人，則，解得人.故選：D【點睛】本小題主要考查利用樣本估計總體，屬于基礎題.9、C【解析】

將直線方程代入拋物線方程，根據根與系數的關系和拋物線的定義即可得出的值．【詳解】F（1，0），故直線AB的方程為y＝x﹣1，聯(lián)立方程組，可得x2﹣6x+1＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數的關系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由拋物線的定義可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．故選C．【點睛】本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．10、D【解析】

先通過得到原函數為增函數且為偶函數，再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構造函數，則由題可知，所以在時為增函數；由為奇函數，為奇函數，所以為偶函數；又，即即又為開口向上的偶函數所以，解得或故選：D【點睛】此題考查根據導函數構造原函數，偶函數解不等式等知識點，屬于較難題目.11、A【解析】

由，得，代入集合B即可得.【詳解】，，，即：，故選：A【點睛】本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關系，屬于基礎題.12、B【解析】

首先將五天進行分組，再對名著進行分配，根據分步乘法計數原理求得結果.【詳解】將周一至周五分為組，每組至少天，共有：種分組方法；將四大名著安排到組中，每組種名著，共有：種分配方法；由分步乘法計數原理可得不同的閱讀計劃共有：種本題正確選項：【點睛】本題考查排列組合中的分組分配問題，涉及到分步乘法計數原理的應用，易錯點是忽略分組中涉及到的平均分組問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據的展開式中第項與第項的二項式系數相等，得到，再利用組合數公式求解.【詳解】因為的展開式中第項與第項的二項式系數相等，所以，即，所以，即，解得.故答案為：10【點睛】本題主要考查二項式的系數，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.14、y=2x【解析】試題分析：當x>0時，-x<0，則f(-x)=ex-1+x．又因為f(x)為偶函數，所以f(x)=f(-x)=ex-1+x，所以f'【考點】函數的奇偶性、解析式及導數的幾何意義【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當x>0時，函數y=f(x)，則當x<0時，求函數的解析式”．有如下結論：若函數f(x)為偶函數，則當x<0時，函數的解析式為y=-f(x)；若f(x)為奇函數，則函數的解析式為y=-f(-x)．15、【解析】

根據已知條件計算出，結合得出，利用基本不等式可得出的取值范圍，利用平面向量的數量積公式可求得的取值范圍，進而可得出的取值范圍.【詳解】，，，由得，，由基本不等式可得，，，，，因此，的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍，考查計算能力，屬于中等題.16、【解析】由圖可知，當直線y＝kx在直線OA與x軸(不含它們)之間時，y＝kx與y＝f(x)的圖像有兩個不同交點，即方程有兩個不相同的實根．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）見解析.【解析】

（1）由，能求出經過變換后得到的數陣；（2）由，，求出數陣經過變化后的矩陣，進而可求得的值；（3）分和兩種情況討論，推導出變換后數陣的第一行和第二行的數字之和，由此能證明的所有可能取值的和不超過．【詳解】（1），經過變換后得到的數陣；（2）經變換后得，故；（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共個，經過變換后第一行均變?yōu)?、；含有且不含的子集共個，經過變換后第一行均變?yōu)椤?；同時含有和的子集共個，經過變換后第一行仍為、；不含也不含的子集共個，經過變換后第一行仍為、．所以經過變換后所有的第一行的所有數的和為.若，則的所有非空子集中，含有的子集共個，經過變換后第一行均變?yōu)?、；不含有的子集共個，經過變換后第一行仍為、．所以經過變換后所有的第一行的所有數的和為．同理，經過變換后所有的第二行的所有數的和為．所以的所有可能取值的和為，又因為、、、，所以的所有可能取值的和不超過．【點睛】本題考查數陣變換的求法，考查數陣中四個數的和不超過的證明，考查類比推理、數陣變換等基礎知識，考查運算求解能力，綜合性強，難度大．18、（1）當時，遞增區(qū)間時，無遞減區(qū)間，當時，遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；（2）或.【解析】

（1）求出，對分類討論，先考慮（或）恒成立的范圍，并以此作為的分類標準，若不恒成立，求解，即可得出結論；（2）有解，即，令，轉化求函數只有一個實數解，根據（1）中的結論，即可求解.【詳解】（1），當時，恒成立，當時，，綜上，當時，遞增區(qū)間時，無遞減區(qū)間，當時，遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；（2），令，原方程只有一個解，只需只有一個解，即求只有一個零點時，的取值范圍，由（1）得當時，在單調遞增，且，函數只有一個零點，原方程只有一個解，當時，由（1）得在出取得極小值，也是最小值，當時，，此時函數只有一個零點，原方程只有一個解，當且遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；，當，有兩個零點，即原方程有兩個解，不合題意，所以的取值范圍是或.【點睛】本題考查導數的綜合應用，涉及到單調性、零點、極值最值，考查分類討論和等價轉化思想，屬于中檔題.19、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）由已知條件得出、的值，進而可得出的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設點，可得，且，，求出直線的斜率，進而可求得直線與的方程，將直線直線與的方程聯(lián)立，求出點的坐標，即可證得結論.【詳解】（1）由題設，得，所以，即．故橢圓的方程為；（2）設，則，，．所以直線的斜率為，因為直線、的斜率的積為，所以直線的斜率為．直線的方程為，直線的方程為．聯(lián)立，解得點的縱坐標為．因為點在橢圓上，所以，則，所以點在軸上．【點睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了點在定直線的證明，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.20、（Ⅰ），曲線是以為圓心，為半徑的圓；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由曲線的參數方程能求出曲線的普通方程，由此能求出曲線的極坐標方程．（Ⅱ）令，，則，利用誘導公式及二倍角公式化簡，再由余弦函數的性質求出面積的取值范圍；【詳解】解：（Ⅰ）由（為參數）化為普