上海市2025年1月普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試仿真模擬數(shù)學(xué)試卷02（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市2025年1月普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)仿真模擬卷02一、填空題1．已知集合，則.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，故答案為?．已知i為虛數(shù)單位，計(jì)算：．【答案】【解析】故答案為：3．已知向量，，則在方向上的數(shù)量投影是.【答案】【解析】由向量，，則，，又在方向上的數(shù)量投影為，故答案為：.4．若，則有最大值為．【答案】【解析】因?yàn)椋@然當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以有最大值為.故答案為：.5．表面積為的球的體積為.【答案】【解析】設(shè)球的半徑為，則，可得，故該球的體積為.故答案為：.6．在中，，，，則.【答案】【解析】在中，根據(jù)余弦定理可得：，設(shè)，則，整理可得，解得，故.故答案為：.7．如果100件產(chǎn)品中有3件次品，那么返回抽取的2件產(chǎn)品都是次品的概率是．【答案】【解析】由題意得每一次抽到次品的概率都為，所以返回抽取的2件產(chǎn)品都是次品的概率為.8．若，則．【答案】【解析】.9．上海申花隊(duì)一線隊(duì)員共26名球員，其年齡分布莖葉圖如圖所示：則申花隊(duì)球員年齡的第75百分位數(shù)是.【答案】【解析】，該國家隊(duì)球員年齡的第75百分位數(shù)為第20名球員的年齡為31歲．10．函數(shù)的零點(diǎn)是.【答案】【解析】令，得，即函數(shù)的零點(diǎn)是.11．如圖，正方體中，為的中點(diǎn)，為正方形的中心，則直線與側(cè)面所成角的正切值是.【答案】【解析】如圖所示，連接，在正方體中，可得平面，所以即為與平面所成的角，設(shè)正方體的棱長為，則，在直角中，.12．已知，則的解集為．【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，則是R上的奇函數(shù)，函數(shù)在R上都單調(diào)遞減，則函數(shù)在R上單調(diào)遞減，不等式，因此，即，解得或，所以原不等式的解集為.二、單選題13．若，且滿足，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，，，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵且，∴，C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，D選項(xiàng)正確.故選：C.14．已知、是平面向量的一組基底．則下列各組向量中，不能作為平面向量的一組基的是（

）A．、 B．、 C．、 D．、【答案】D【解析】A選項(xiàng)，、是平面向量的一組基底，故、為不共線的非零向量，設(shè)，故，無解，故、為不共線的非零向量，故可以作為一組基底，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)，解得，無解，故、為不共線的非零向量，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，故，無解，故，為不共線的非零向量，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故、共線，故不能作為基底，D正確.故選：D15．已知為冪函數(shù)，則（

）A． B． C．4 D．【答案】C【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，得，則，．故選：C16．從放有兩個(gè)紅球、一個(gè)白球的袋子中一次任意取出兩個(gè)球，兩個(gè)紅球分別標(biāo)記為、，白球標(biāo)記為，則它的一個(gè)樣本空間可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】從放有兩個(gè)紅球、一個(gè)白球的袋子中一次任意取出兩個(gè)球的所有可能結(jié)果為，所以它的一個(gè)樣本空間為.故選：B.17．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又恒成立，所以在上為減函數(shù)，故B正確；定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得在為增函數(shù)，又，所以在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：B.18．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知，得，得，即方程的根為.故選：A.19．若與互為相反數(shù)，則有（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】與互為相反數(shù)，則，即，則.故選：D.20．下列不等式中，解集為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，令，則，滿足，所以其解集不為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，滿足，所以其解集不為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，滿足，所以其解集不為，故D錯(cuò)誤；對(duì)于C，由得，即，解得，故其解集為，故C正確.故選：C.21．已知、表示兩個(gè)不同的平面，是一條直線且，則是的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由平面與平面垂直的判定定理知，為平面內(nèi)的一條直線，如果，則，故充分性成立；反過來為平面內(nèi)的一條直線，由可能有或或與相交（不垂直）三種情況，故必要性不成立．所以“”是“”的充分非必要條件．故選：A．22．為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓（單位：kPa）的分組區(qū)間為，.將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，，第五組，下圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)是（

）.A．8 B．12 C．16 D．18【答案】B【解析】由直方圖可得第一組與第二組的頻率之和為，第一組和第二組共有20人，所以樣本容量為，所以第三組的人數(shù)為人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組有療效的有12人.故選：B.23．函數(shù)與函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】A選項(xiàng)，由二次函數(shù)圖像可知：，由指數(shù)型函數(shù)圖像可知：，A選項(xiàng)錯(cuò)誤； B選項(xiàng)，由二次函數(shù)圖像可知：，由指數(shù)型函數(shù)圖像可知：，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由二次函數(shù)圖像可知：，由指數(shù)型函數(shù)圖像可知：，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，由二次函數(shù)圖像可知：，由指數(shù)型函數(shù)圖像可知：，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C.24．某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備投入生產(chǎn)，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤（單位：百萬元）與新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間（單位：年，）滿足，當(dāng)新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤最大時(shí)，新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】依題意，設(shè)年平均利潤為，則（），當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)取得最大值且，又，所以當(dāng)時(shí)年平均利潤取得最大值.故選：C25．設(shè)，將函數(shù)的圖像沿軸向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，則（

）A．函數(shù)是偶函數(shù)B．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)D．函數(shù)在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緿【解析】因?yàn)椋瑢⒑瘮?shù)的圖像沿軸向右平移個(gè)單位得到，又，所以為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以函?shù)的圖像不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)在上是嚴(yán)格增減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，所以，則，即函數(shù)在上的值域?yàn)?，故D正確.故選：D26．已知是滿足下列條件的集合：①，；②若，，則；③若且，則.則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（

）（1），（2），（3）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】因?yàn)?，，由②得，即，故，即，由③得，?）正確；，，由②得，故，（2）正確；若，則，若，則，若且，因?yàn)?，，由②得，由③得，，又，由②得，由③得，由②得，?）正確.故選：D三、解答題27．如圖，在四面體中，，是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求二面角的大小.解：（1）在四面體中，由，是的中點(diǎn)，得，而平面，所以平面.（2）由（1）知，是二面角的平面角，在等腰中，，，則，同理，而，因此是正三角形，，所以二面角的大小為.28．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；（2）針對(duì)實(shí)數(shù)a的不同取值，討論函數(shù)f（x）的奇偶性．解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)，則有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇﹣1，1]，由，得，化簡(jiǎn)得，即，則∈[﹣1，1]，所以，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為；（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇﹣