四川省名校聯(lián)盟2025屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省名校聯(lián)盟2025屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B.2.已知單位向量滿足，則（）A.8 B.3 C. D.【答案】D【解析】由于，故.所以，這就得到，所以.故選：D.3.已知命題：，，命題：，，則（）A.命題與均為真命題 B.命題與均為真命題C.命題與均為真命題 D.命題與均為真命題【答案】B【解析】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以命題為真命題，則為假命題，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以命題為假命題，則為真命題.故選：B.4.已知平行四邊形的頂點(diǎn)，邊所在直線方程是，對(duì)角線的交點(diǎn)為，邊所在直線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知，可設(shè)且，又對(duì)角線的交點(diǎn)為，關(guān)于對(duì)稱，則，由點(diǎn)在直線上，故，所以.故選：A5.設(shè)為兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法一定成立的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若與所成角相等，則【答案】C【解析】對(duì)于A，若，但直線在平面內(nèi)，則條件滿足，但顯然沒(méi)有，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若是一個(gè)長(zhǎng)方體的某一個(gè)頂點(diǎn)引出的三個(gè)側(cè)面，則它們兩兩垂直，此時(shí)并沒(méi)有，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于，且，故，而，所以一定有，故C正確；對(duì)于D，若是內(nèi)的兩條相交直線，則和所成角均為，但相交，從而不平行，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.點(diǎn)在邊長(zhǎng)為的正三角形的外接圓上，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)外接圓圓心為，則，.①一方面，我們有.故一定有②另一方面，當(dāng)時(shí)，有，故在的外接圓上，此時(shí).綜合①②兩個(gè)方面，可知的最大值是.故選：A.7.已知實(shí)數(shù)a滿足，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】由題設(shè)，易知或時(shí)，，時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，且，，由，即，而在R上遞增，在R上遞減，顯然，，故，所以，又趨向時(shí)趨向，趨向時(shí)趨向，綜上，共有3個(gè)零點(diǎn)故選：C8.已知函數(shù)，設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，令，則，由，故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上遞增，，因?yàn)?，且，所以，所以，所?所以即.故選：C二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.為了研究某校高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高是否低于的關(guān)聯(lián)性，研究小組從該校高三學(xué)生中獲取容量為500的有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，由樣本數(shù)據(jù)整理得到如下列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬喝诵詣e身高合計(jì)低于不低于女14060200男120180300合計(jì)260240500附：，其中．α小組成員甲用該列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，小組成員乙將該列聯(lián)表中的所有數(shù)據(jù)都縮小為原來(lái)的后再進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，小組成員甲可以認(rèn)為該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高有關(guān)聯(lián)B.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，小組成員甲不能認(rèn)為該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高有關(guān)聯(lián)C.小組成員甲、乙計(jì)算出的值相同，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，他們得出的結(jié)論也相同D.小組成員甲、乙計(jì)算出的值不同，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，他們得出的結(jié)論也不同【答案】AD【解析】由題設(shè)，零假設(shè)該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高沒(méi)有關(guān)聯(lián)，對(duì)于成員甲有，對(duì)于成員乙有，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，小組成員甲可認(rèn)為該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高有關(guān)聯(lián)；依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，小組成員乙不能認(rèn)為該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高有關(guān)聯(lián)；小組成員甲、乙計(jì)算出的值不同，他們得出的結(jié)論也不同.故選：AD10.已知數(shù)列為無(wú)窮等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，d<0，則，B.若且互不相等，則C.若，，，則D.若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，此時(shí)有，從而.因?yàn)椋?，所以A正確；對(duì)于B，有，同理，所以B正確；對(duì)于C，若，則是無(wú)窮等差數(shù)列，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象恰有5個(gè)交點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形D.當(dāng)時(shí)，記函數(shù)的最小值為，則【答案】ACD【解析】由，而，所以，A對(duì)；令，可得，，若，即，結(jié)合正余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得等式兩側(cè)對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象如下，由圖知，它們的交點(diǎn)為4個(gè)，B錯(cuò)；，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形，C對(duì)；，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)，設(shè)，則，令，所以且，當(dāng)，則，故，得；當(dāng)，則，故，得；所以，即，其中也滿足，所以，D對(duì).故選：ACD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中的橫線上）12.已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】由題意，設(shè)橢圓為且，根據(jù)所過(guò)點(diǎn)易知，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：13.已知棱長(zhǎng)為1的正四面體，分別為的中點(diǎn)，若以的中點(diǎn)為球心的球與該正四面體的棱有公共點(diǎn)，則球半徑的最大值為______．【答案】【解析】由于正四面體總可以由一個(gè)正方體的兩兩不相鄰的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成，故我們可以設(shè)有一個(gè)正方體.該正方體每個(gè)面的對(duì)角線長(zhǎng)都是，所以棱長(zhǎng)為.此時(shí)，注意到是該正方體的一對(duì)對(duì)面的中心，所以的中點(diǎn)一定是正方體的中心.這就說(shuō)明，從而是的外接球球心.從而在球與的棱有公共點(diǎn)的情況下，球最大的情況顯然就是成為外接球的情況，所以半徑的最大值就是.故答案為：.14.整數(shù)的商（其中）稱為有理數(shù)，任一有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以化為整數(shù)的商（其中）的形式，則______（寫成的形式，m與n為互質(zhì)的具體正整數(shù)）；若，，構(gòu)成數(shù)列，令，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則______．【答案】;.【解析】（1）則循環(huán)可以寫成.（2）觀察數(shù)列規(guī)律，可得，，，，，所以，，所以故答案為：；.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c，向量，，且．（1）求角；（2）如圖，的平分線交于，，求的取值范圍．解:（1）由可知，故，且顯然有.故，從而，解得，而，所以.（2）設(shè)，，則，且，故有.但由于AD平分，故有，這里.所以，得，故，從而，.故，.而，故，即.此時(shí).又因?yàn)椋?，所?從而，，b，c相等時(shí)取等號(hào)，最后，對(duì)任意滿足的實(shí)數(shù)，令，，.則此時(shí)a,b,c構(gòu)成一個(gè)滿足條件的，且.綜上，的取值范圍是.16.已知圓，圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓C相切于點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程．解:（1）圓的圓心，半徑為3，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以，解得，所以圓的方程為.（2）若直線斜率不存在，此時(shí)：，，解得，此時(shí)弦長(zhǎng)為，符合題意，若直線直線斜率存在，設(shè)：，因?yàn)橄议L(zhǎng)為，所以圓心到直線的距離，因?yàn)?，所以，解得，所以直線的方程為，即，綜上：直線的方程為或.17.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明：．解:（1）此時(shí)，.故對(duì)有，對(duì)有，從而fx在上遞增，在上遞減.故fx的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）的結(jié)論，可知對(duì)，有；對(duì)，有.設(shè)，則對(duì)有，對(duì)有.故在上遞增，在上遞減，故對(duì)有；對(duì)，有.從而對(duì)均有，即.再設(shè)，則對(duì)有，所以在上單調(diào)遞增，從而對(duì)有，即.這就得到對(duì)，有.而對(duì)，有.對(duì)，有..綜上，有.18.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，且，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，E為中點(diǎn)，作交于F．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q．使得，若存在，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解:（1）由側(cè)面底面，側(cè)面底面，面，又底面是直角梯形，，故，所以面，面，則，由側(cè)面是正三角形，E為中點(diǎn)，則，而且都在面內(nèi)，則面，面，所以面面，而，面面，面，所以平面.（2）依題意，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，，所以，，令是面的一個(gè)法向量，則，令，則，令是面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以平面與平面的夾角的余弦值.（3）由，即，故點(diǎn)在以為直徑的球體與平面的交線上，又，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由（1）（2）知，是面的一個(gè)法向量，所以到面的距離，所以以為直徑的球體與平面不相交，故不存在使.19.定義：如果在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為，那么稱為A，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離；為A，B兩點(diǎn)間的歐幾里得距離．（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值；（3）已知，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，且，點(diǎn)A，B有的最小值為4，求實(shí)數(shù)a的取值．解:（1）令，則，故軌跡如下，當(dāng)時(shí)，軌跡為，當(dāng)時(shí)，軌跡為，當(dāng)時(shí)，軌跡為，當(dāng)時(shí)，軌跡為，所以軌跡的圖形如下，頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且邊長(zhǎng)為的正方形，根據(jù)圖形，則.（2）令，則，即，所以在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上，而，令，同（1）分析軌跡如下，當(dāng)時(shí)，軌跡為，當(dāng)時(shí)，軌跡為，當(dāng)時(shí)，軌跡為，當(dāng)時(shí)，軌跡為，對(duì)于點(diǎn)的曼哈頓距離，的軌跡為正方形，所以，只需研究在上述兩種情況下，軌跡交點(diǎn)到的曼哈頓距離范圍，如下圖示，位于圓的右上方，則只需確定直線與該圓相切時(shí)參數(shù)的范圍，若與相切時(shí)，有，可得，滿足題設(shè)，所以，即最大值為；（3）由題意，令，則，若，則，對(duì)于，定義域?yàn)椋?/p>