云南省大理白族自治州2025屆高三上學(xué)期第一次復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省大理白族自治州2025屆高三上學(xué)期第一次復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題共58分）一?單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，，故.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的對應(yīng)點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，故，其對應(yīng)的點為，該點在第四象限，故選：D.3.在△ABC中，D是BC上一點，滿足，M是AD的中點，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】由題可知，，,所以有，所以，得.故選：C4.下圖是我國年純電動汽車銷量統(tǒng)計情況，則下列說法錯誤的是（）A.我國純電動汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長趨勢B.這六年銷量的第60百分位數(shù)為536.5萬輛C.2020年銷量高于這六年銷量的平均值D.這六年增長率最大的為2019年至2020年【答案】C【解析】對于A，從條形圖中看出，純電動汽車銷量逐年遞增，故A正確；對于B，因為，將所有汽車銷量數(shù)據(jù)從小到大排序，所以銷量的第60百分位數(shù)為第4個數(shù)據(jù)，即536.5，故B正確；對于C，這六年銷量的平均數(shù)為，故C錯誤；對于D，因為2019年至2020年的增長率為，超過其他年份的增長率，故D正確.故選：C．5.已知等比數(shù)列中，，，則（）A.26 B.32 C.512 D.1024【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，，由，則，得，解得，所以.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于，可得：，即，又由于，.故選：B.7.拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，則的最小值為（）A.5 B.9 C.8 D.10【答案】B【解析】由拋物線焦點弦性質(zhì)可得，則，所以，令，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以的最小值為9.故選：B.8.一個三角形紙板的三個頂點為，以邊上的高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將三角形紙板旋轉(zhuǎn)，則紙板掃過的空間所形成的幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，而為三角形內(nèi)角，故，故，故，故，故幾何體的體積為故選：A.二?多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.點是圖象的一個對稱中心【答案】ABD【解析】因為，選項A，的最小正周期，故A正確；選項B，由，知，所以，所以的最大值為，而得，故B正確；選項C，由得，所以在上單調(diào)遞增，故C錯誤；選項D，令，則，所以圖象的對稱中心為，所以點是圖象的一個對稱中心，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.有最大值B.當(dāng)時，的圖象在點處的切線方程是C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.關(guān)于的方程有兩個不等實根，則的取值范圍是【答案】BD【解析】因為，選項A，當(dāng)時，f'x<0，當(dāng)時，f所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以有最小值，無最大值，故A錯誤；選項B，當(dāng)時，，所以的圖象在點處的切線方程是，故B正確；選項C，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯誤；選項D，方程，即，令，而，當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時gx<0，且，如圖，的范圍是，故D正確.故選：BD11.法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為圓，過上的動點作的兩條互相垂直的切線，分別與交于兩點，直線交于兩點，則（）A.橢圓的蒙日圓方程為B.面積的最大值為7C.的最小值為D.若動點在上，將直線的斜率分別記為，則【答案】ABC【解析】依題意，可設(shè)圓C方程為，過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點2,0作軸的垂線，則這兩條垂線的交點在圓C上，所以，即，所以橢圓的蒙日圓方程為，故A正確；因為點都在圓上，且，所以為圓的直徑，所以面積的最大值為，故B正確；由于為圓的直徑，過坐標(biāo)原點，即過坐標(biāo)原點，所以，故C正確；由直線經(jīng)過坐標(biāo)原點，易得點關(guān)于原點對稱，設(shè)，則，又，所以，所以，故D錯誤.故選：.第II卷（非選擇題共92分）三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.在的展開式中，含的項的系數(shù)是__________.【答案】7【解析】在展開式的通項為，當(dāng)時，，所以含的項的系數(shù)是7.13.已知數(shù)列滿足，則__________.【答案】【解析】方法一：由題意知，，則，，因此數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，所以.方法二：把看作，則，因此數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，所以.14.設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)的圖象都有對稱中心，其中滿足.已知函數(shù)，當(dāng)函數(shù)圖象的對稱中心為時，__________，當(dāng)函數(shù)圖象的對稱中心為時，__________.【答案】【解析】因為，且圖象的對稱中心為，所以，解得，而，解得；因為函數(shù)圖象的對稱中心為，即，所以，同理設(shè)①②由①+②得，所以.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.在中，角的對邊分別為.已知，且.（1）求角和；（2）若的面積為，求.解：（1）由正弦定理得，，整理可得，.由余弦定理得，.又，則.由正弦定理得，，即.（2）方法一：由可知，.,,,解得.方法二：由可知，.由得，，，解得,16.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)棱底面，.點是棱的中點，點為棱上的一點，且.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：在中，，即，又，則有，即，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，因為平面，所以平面平面（2）解：由（1）可知，，，，故以D為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意得，，，，，，設(shè)點，由，，三點共線，則有，又，，，解得，，，故，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，，，由，得，即，取平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，，所以，，，故，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，證明：；（2）若函數(shù)有極小值，且的極小值小于，求的取值范圍.（1）證明：要證，只需證當(dāng)時，則，其中，可得，令得，，列表如下：1遞減極小值遞增所以，函數(shù)在處取得即小值，亦即最小值，即，所以，.（2）解：因為，其中，則，當(dāng)時，，，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，可得，列表如下：遞減極小值遞增所以，，由題意可得，即.令，其中，且.不等式即為，.，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，.所以，函數(shù)在單調(diào)遞增，又，則.因此，實數(shù)的取值范圍是.18.已知橢圓的兩個焦點為，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知為坐標(biāo)原點，斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點，且弦的中點為，直線的斜率為，求；（3）直線與橢圓有兩個不同的交點，橢圓在點處的切線分別為與交于點，點在直線上.請你判斷直線是否經(jīng)過定點，并說明理由.解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）方法一：點差法：設(shè)，則①，又在橢圓上，則，，兩式相減得：，即：②，由①②得，.而.方法二：橢圓方程代換：設(shè)，直線，①，②，又，即③，由①②③得，；方法三：聯(lián)立方程：設(shè)，直線，①，聯(lián)立方程得，，②，由①②得，，則.又，.（3）設(shè)，先求橢圓在點處的切線的方程.方法一：根據(jù)判別式求解橢圓在點處的切線，設(shè)，聯(lián)立方程得，，，，，.，即.同理可得，.，可得T點的橫坐標(biāo)，即，又，可得，，由題意可知直線的斜率不為0，設(shè).，整理得，，即.又，則.，即直線恒過定點1,0.方法二：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：.當(dāng)點在時，.，則切線斜率，，即.當(dāng)點在時，同理可得.，同理可得，.，可得T點的橫坐標(biāo)，即，又，可得，，由題意可知直線的斜率不為0，設(shè).，整理得，，即.又，則.，即直線恒過定點1,0.19.今年立秋以后，我國西南地區(qū)持續(xù)性高溫登上熱搜，引發(fā)關(guān)注討論?根據(jù)專家推測，主要是由于大陸高壓和西太平洋副熱帶高壓呈現(xiàn)非常強大，在高壓的控制下，西南地區(qū)上空晴朗少云，在太陽輻射增溫和氣流下沉增溫的共同作用下，兩個地區(qū)的氣溫出現(xiàn)了直接攀升的狀態(tài).西南地區(qū)某城市一室內(nèi)游泳館，為給顧客更好的體驗，推出了和兩個套餐服務(wù)，顧客可自由選擇和兩個套餐之一；該游泳館在App平臺上推出了優(yōu)惠券活動，下表是App平臺統(tǒng)計某周內(nèi)周一至周五銷售優(yōu)惠券情況.星期12345銷售量（張）218224230232236經(jīng)計算可得：.（1）已知關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程；（2）若購買優(yōu)惠券的顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，并且套餐包含兩張優(yōu)惠券，套餐包含一張優(yōu)惠券，記App平臺累計銷售優(yōu)惠券為張