分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

(1)探究一：分類加法計(jì)數(shù)原理：計(jì)數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過列舉一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)是計(jì)數(shù)的基本方法，但當(dāng)問題中的數(shù)量很大時(shí)，列舉的方法效率不高，能否設(shè)計(jì)巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？下面先分析一個(gè)簡單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計(jì)數(shù)方法.思考1：用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè)，所以總共可以編出26+10=36種不同的號(hào)碼.探究：你能說一說這個(gè)問題的特征嗎?首先，這里要完成的事情是“給一個(gè)座位編號(hào)”；其次是“或”字的出現(xiàn):一個(gè)座位編號(hào)用一個(gè)英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示.因?yàn)橛⑽淖帜概c阿拉伯?dāng)?shù)字互不相同，所以用英文字母編出的號(hào)碼與用阿拉伯?dāng)?shù)字編出的號(hào)碼也互不相同.這兩類號(hào)碼數(shù)相加就得到號(hào)碼的總數(shù).上述計(jì)數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：(1)確定分類標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問題條件分為字母號(hào)碼和數(shù)字號(hào)碼兩類；(2)分別計(jì)算各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)；

(3)各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)相加，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).我們把這種計(jì)數(shù)方法稱為分類加法計(jì)數(shù)原理.完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m+n種不同的方法.歸納總結(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理兩類不同方案中的方法互不相同例1：在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，如下表.如果這名同學(xué)只能只能選一專業(yè)，那么他共有多少種選擇？A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)例題課本P3解：這名同學(xué)可以選擇A，B兩所大學(xué)中的一所.在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法.因?yàn)闆]有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為分析：要完成的事情是“選一個(gè)專業(yè)”.因?yàn)檫@名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個(gè)專業(yè)，又因?yàn)檫@兩所大學(xué)沒有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，所以符合分類加法計(jì)數(shù)原理的條件.1.一項(xiàng)工作可以用2種方法完成，有5人只會(huì)用第1種方法完成，另有4人只會(huì)用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項(xiàng)工作，不同選法的種數(shù)是________.

9課本P5練習(xí)解：

從中選出1人來完成這項(xiàng)工作，有兩類方案：第1類方案是從只會(huì)用第1種方法的5人中選出1人，有5種方法；第2類方案是從只會(huì)用第2種方法的4人中選出1人，有4種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為

N＝5＋4＝9.

2.在例1中，如果數(shù)學(xué)也是A大學(xué)的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，那么A大學(xué)共有6個(gè)專業(yè)可以選擇，B大學(xué)共有4個(gè)專業(yè)可以選擇，應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理，得到這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為6+4=10.這種算法有什么問題？A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)數(shù)學(xué)解：這種算法有問題，因?yàn)閱栴}強(qiáng)調(diào)的是這名同學(xué)的專業(yè)選擇，故并不需要考慮學(xué)校的差異，所以這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)應(yīng)當(dāng)為課本P5特別地，如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，

??????在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1+m2+

???+mn種不同的方法.探究：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可知完成這件事共有N＝m1+m2+m3種不同的方法.各類不同方案中的方法互不相同如果完成一件事有n類不同方案，在每一類方案中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢?正確理解分類加法計(jì)數(shù)原理：①分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，②完成一件事要分為若干類，③各類的方法相互獨(dú)立，④各類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，⑤用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事.

思考2：用前6個(gè)大寫英文字母和1~9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1,A2,???,A9,B1,B2,???的方式給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼?這里要完成的事情仍然是“給一個(gè)座位編號(hào)”，但與前一問題的要求不同．在這個(gè)問題中，號(hào)碼必須由一個(gè)英文字母和一個(gè)作為下標(biāo)的阿拉伯?dāng)?shù)字組成，即得到一個(gè)號(hào)碼要經(jīng)過先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這樣的兩個(gè)步驟．探究二：分步乘法計(jì)數(shù)原理：

思考2：用前6個(gè)大寫英文字母和1~9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1,A2,???,A9,B1,B2,???的方式給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼?你能用樹狀圖列出所有可能的號(hào)碼嗎？解：方法一：解決計(jì)數(shù)問題可以用“樹狀圖”列舉出來字母數(shù)字得到的號(hào)碼A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9

思考2：用前6個(gè)大寫英文字母和1~9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1,A2,???,A9,B1,B2,???的方式給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼?解：方法二：由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們互不相同，因此共有6×9＝54

種不同的號(hào)碼．探究：你能說一說這個(gè)問題的特征嗎?上述問題要完成的一件事情仍然是“給一個(gè)座位編號(hào)”，其中最重要的特征是“和”字的出現(xiàn)：一個(gè)座位編號(hào)由一個(gè)英文字母和一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字構(gòu)成．因此得到一個(gè)座位號(hào)要經(jīng)過先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這兩個(gè)步驟，每一個(gè)英文字母與不同的數(shù)字組成的號(hào)碼是互不相同的．

上述計(jì)數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）由問題條件中的“和”，可確定完成編號(hào)要分兩步；（2）分別計(jì)算各步號(hào)碼的個(gè)數(shù)；（3）將各步號(hào)碼的個(gè)數(shù)相乘，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).我們把上述這種計(jì)數(shù)方法稱為分步乘法計(jì)數(shù)原理.做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有

N＝m×n種不同的方法.分類步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事需要兩個(gè)步驟，歸納總結(jié)注意：無論第1步采用哪種方法，與之對(duì)應(yīng)的第2步都有相同的方法數(shù).例2：某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法?解：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選法；第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同選法的種數(shù)為

N＝30×24=720.例題分析：要完成的一件事是“選男生和女生各1名”，可分兩步：第一步,選男生；第二步,選女生.課本P4從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同路線的條數(shù)是_________.練習(xí)A村B村C村北南中北南解:從A村經(jīng)B村去C村有2步：第一步：從A村到B村有3種方法；第二步：從B村到C村有2種方法；所以，從A村到C村有3×2=6種方法.6課本P5特別地，如果完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，

??????做第n步方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×

???×mn種不同的方法.探究：如果完成一件事需要三個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知完成這件事共有N＝m1×m2×m3種不同的方法.每一步中的方法互不相同如果完成一件事需要n個(gè)步驟，做每一步都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢?正確理解分步乘法計(jì)數(shù)原理：①分步計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，②完成一件事要分為若干步，③各個(gè)步驟相互依存，④完成任何其中的一步都不能完成該件事，⑤只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事.例3：書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架上任取1本書，有多少種不同取法?(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法?分析：(1)要完成的一件事是“從書架上取1本書”，可以分從第1層、第2層和第3層中取三類方案.例題解：(1)從書架上任取1本書，有三類方案：第1類方案是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2類方案是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方案是從第3層取1本體育書，有3種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為

N＝4＋3＋2＝9.

課本P5例3：書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法?分析：

要完成的一件事是“從書架的第1層、第2層和第3層各取1本書”，可以分為三個(gè)步驟完成.例題解：

從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，可以分三個(gè)步驟完成：第1步，從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2步，從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3步，從第3層取1本體育書，有3種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為

N＝4×3×2=24.

課本P5用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題的一般思維過程：明確要完成一件什么事如何完成這件事（是“分類”還是“分步”）利用加法原理進(jìn)行計(jì)數(shù)求每“類”中不同方法的種數(shù)求每“步”中不同方法的種數(shù)利用乘法原理進(jìn)行計(jì)數(shù)反思?xì)w納1.書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法?

(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書和語文書各1本，有多少種不同的取法?課本P6練習(xí)解：(1)從書架上任取1本書，有兩類方案：第1類方案是從第上層取1本數(shù)學(xué)書，有6種方法；第2類方案是從第下層取1本語文書，有5種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為

N＝6＋5＝11.

1.書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書.

(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書和語文書各1本，有多少種不同的取法?課本P6解：

從書架的上層、下層各取1本書，可以分兩個(gè)步驟完成：第1步，從上層取1本數(shù)學(xué)書，有6種方法；第2步，從下層取1本語文書，有5種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為

N＝6×5=30.

2.現(xiàn)有高一年級(jí)的學(xué)生3名，高二年級(jí)的學(xué)生5名，高三年級(jí)的學(xué)生4名.

(1)從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中任選1人參加接待外賓的活動(dòng)，有多少種不同的選法?

(2)從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中各選1人參加接待外賓的活動(dòng)，有多少種不同的選法?課本P6解：(1)從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中任選1人參加接待外賓的活動(dòng)，有三類方案：第1類方案是從高一年級(jí)的學(xué)生中選1人，有3種方法；第2類方案是從高二年級(jí)的學(xué)生中選1人，有5種方法；第3類方案是從高三年級(jí)的學(xué)生中選1人，有4種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同選法的種數(shù)為

N＝6＋5＝11.

2.現(xiàn)有高一年級(jí)的學(xué)生3名，高二年級(jí)的學(xué)生5名，高三年級(jí)的學(xué)生4名.(2)從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中各選1人參加接待外賓的活動(dòng)，有多少種不同的選法?課本P6解：從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中各選1人參加接待外賓的活動(dòng)，可以分三個(gè)步驟完成：第1步，從高一年級(jí)的學(xué)生中選1人，有3種方法；第2步，從高二年級(jí)的學(xué)生中選1人，有5種方法；第3步，從高三年級(jí)的學(xué)生中選1人，有4種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同選法的種數(shù)為

N＝3×5×4=60.

隨堂檢測(cè)1.某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中1本，則購買方式共有（

）A.3種B.6種C.7種D.9種解析：分3類：買1本書，買2本書和買3本書.各類的購買方式依次有3種、3種和1種，故購買方式共有3＋3＋1＝7(種).3.從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有（

）A.30個(gè) B.42個(gè)

C.36個(gè) D.35個(gè)解析要完成這件事可分兩步，第一步確定b(b≠0)，有6種方法，第二步確定a，有7種方法，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×7＝42(個(gè))虛數(shù).4.已知兩條異面直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為（

）A.40 B.16

C.13 D.10解析分兩類情況討論：第一類，直線a分別與直線b上的8個(gè)點(diǎn)可以確定8個(gè)不同的平面；第二類，直線b分別與直線a上的5個(gè)點(diǎn)可以確定5個(gè)不同的平面.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13(個(gè))不同的平面.5.王華同學(xué)有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀.(1)若他從這些參考書中帶1本去圖書館，則有多少種不同的帶法？(2)若帶外語、數(shù)學(xué)、物理參考書各1本，則有多少種不同的帶法？解：(1)完成的事情