2024屆新疆烏魯木齊地區(qū)高考數(shù)學(xué)必刷試卷含解析

2024屆新疆烏魯木齊地區(qū)高考數(shù)學(xué)必刷試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將木試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（3d）（2__Ly展開式中X?的系數(shù)為（）

x

A.-1280B.4864C.-4864D.1280

2.已知數(shù)列｛%｝對任意的有，*=%-正"討成立，若。=1'則即）等于（）

3.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝

才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”意思為有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛,

每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)目的地，請問第二天比第四天多走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

4.如圖，平面四邊形4C8。中，ABLBC,AB±DA,AB=AD=\,BC=B現(xiàn)將△A5D沿48翻折，使

點(diǎn)。移動至點(diǎn)P,且則三棱錐尸―A8C的外接球的表面積為（）

A.8〃B.67rC.4乃D.-------乃

5.馬林?梅森是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物，梅森在歐幾里得、費(fèi)

馬等人研究的基礎(chǔ)上對4?1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作，人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如2P?1

（其中7是素數(shù)）的素數(shù)，稱為梅森素數(shù),若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是（）

PT

S=2T|

/^s7

A.3B.4C.5D.6

6.已知平面向量4，力滿足a=(l,-2),Z?=(-3j),且a_L(a+Z?|,則卜卜()

A.3B.VlOC.2、/iD.5

7.如圖，平面。與平面夕相交于BC,48ua,CDu。，點(diǎn)AeBC,點(diǎn)D史BC,則下列敘述錯誤的是()

A.直線A。與BC異面

B.過AD只有唯一平面與8C平行

C.過點(diǎn)。只能作唯一平面與8C垂直

I).過AD一定能作一平面與3。垂直

8.已知集合A={X|X2-2X-15>0},3={x|0<x<7},則(6M)U8等于()

A.[-5,7)B.[-3,7)C.(-3,7)D.(-5,7)

9.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()

A.48+120B.60+12&C.72+120D.84

10.已知awR,bsR,則“直線ar+2y-1=0與直線（a+l）x-2a）：+l=0垂直”是“〃=3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.設(shè)小，〃均為非零的平面向量，則“存在負(fù)數(shù)4,使得加=力?”是“〃??〃<（）”的

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

12.設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，且公差不為零，其前〃項(xiàng)和為貝心X/〃EN"Se>5」是“｛4｝為遞增數(shù)列''的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D,既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知"，居為橢圓C:工+匕=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)?在橢圓。上移動時，△P4居的內(nèi)心/的軌跡方程為

43

14.已知“是拋物線丁二2大上一點(diǎn)，N是圓/+（）,—2尸=1關(guān)于直線X-），=0對稱的曲線C上任意一點(diǎn)，則|M?V|

的最小值為.

2[

15.若關(guān)于1的不等式在匕,口）上恒成立，則己的最大值為________-

14-lnx2m

16.已知數(shù)列｛qj遞增的等比數(shù)列，若%+%=12,〃4=27,貝[4=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在三棱柱ABC-44G中，已知四邊形4AG。為矩形，AA=6,AB=AC=4f

NB4C=N3M=60。，NAAC的角平分線A。交CG于。.

(1)求證:平面/MO_L平面A4CC；

(2)求二面角A-4G的余弦值.

18.(12分)2019年是中華人民共和國成立70周年.為了讓人民了解建國70周年的風(fēng)雨歷程，某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)

選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：［20,30),［30,40)，…，［70,80］,并繪制了如圖所示的

頻率分布直方圖.

(1)現(xiàn)從年齡在［20,30),130,40),［40,50)內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)

行座談，用X表示年齡在［30,40))內(nèi)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查，其中有k名市民的年齡在［30,50)

的概率為P(X=Q(k=0,L2,,、20).當(dāng)P(X=Q最大時，求女的值.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=sinx+y與sin(x+馬+sin(x+&),xeR.

23

(I)求/(2019m的值；

(II)若/(a)=l,且0<。<乃，求cosa的值.

20.(12分)已知點(diǎn)網(wǎng)1,2)到拋物線C：)J=lpx(p>0)準(zhǔn)線的距離為1.

(I)求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

<n)設(shè)點(diǎn)〃關(guān)于原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)為點(diǎn)。，過點(diǎn)。作不經(jīng)過點(diǎn)。的直線與C交于兩點(diǎn)A,從直線E4,PB,分別交

x軸于朋，N兩點(diǎn)，求|例尸曰的值.

21.（12分）如圖，已知橢圓二亍+二：=八二為其右焦點(diǎn)，直線C2=ZZ-二1二與橢圓交于二（二O二（口二;）

兩點(diǎn)，點(diǎn)二,二在I：上，且滿足二二=二二|,二二1|二二二二二二|二二〉（點(diǎn)二二二;從上到下依次排列）

⑺試用二表示二二：

（〃）證明：原點(diǎn)一到直線/的距離為定值.

22.（10分）已知函數(shù)/（好=］編？+（1-￡R.

（1）討論/（力的單調(diào)性；

(2)若aw(-oo,l),設(shè)g(x)=xe*-j-lnx+a,證明:%s(O,2],3x2G(0,-K?),使/(為)一屋電)>2-ln2.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的公式得到具體為：（3d）^27|--|+X4《26（-：）化簡求值即可.

\X）

【詳解】

根據(jù)二項(xiàng)式的展開式得到可以第一個括號里出3/項(xiàng)，第二個括號里出L項(xiàng)，或者第一個括號里出第二個括號里

x

出r，具體為:(3丁)奴卜/一丁

x

化簡得到.1280x2

故得到答案為：A.

【點(diǎn)睛】

求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：

⑴求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出笫〃+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出，值即可.

⑵已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第廠+1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出廠值，最后求出

其參數(shù).

2、B

【解析】

觀察已知條件,對，「高+1進(jìn)行化簡,運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)法求出結(jié)果.

【詳解】

%--1二+1，則q+i1.11所以有。2一4印一(；一女，

已知——+1=-(-----

4+i7/(77+I)

4。-4=1弋-》兩邊同時相加得4。-4=9-(1-/又因?yàn)閝=l,所以40=1+9-(1-加4?

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了求數(shù)列某一項(xiàng)的值，運(yùn)用了累加法和裂項(xiàng)法，遇到形如「二時就可以采用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，需要掌握

n(n+1)

數(shù)列中的方法，并能熟練運(yùn)用對應(yīng)方法求解.

3、B

【解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為;的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為由,計(jì)算4=192,代入得到答案.

【詳解】

由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為;的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為《，

"目iCY

則1」=378，解得q=192,從而可得凡=192X士=96,%=192X-=24,故%—%=96-24=72.

12

1--

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考杳了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

4、C

【解析】

由題意可得卜4_1面48。，可知Q4_LBC,因?yàn)锳B_L8C,則"CJ■面Q44,于是BC_L相.由此推出三棱錐

P—A8C外接球球心是PC的中點(diǎn)，進(jìn)而算出CP=2,外接球半徑為1,得出結(jié)果.

【詳解】

解：由ZM_LA8,翻折后得到B4_L45,又處_LAC,

則抬_1_面48。，可知R4_LBC.

又因?yàn)?5_L8C,則4。_1_面如，于是BC上PB,

因此三棱錐P-ABC外接球球心是PC的中點(diǎn).

計(jì)算可知CQ=2,則外接球半徑為L從而外接球表面積為44.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查簡單的幾何體、球的表面積等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識,

屬于中檔題.

5、C

【解析】

模擬程序的運(yùn)行即可求出答案.

【詳解】

解：模擬程序的運(yùn)行，可得：

〃=1,

5=1,輸出5的值為1,

滿足條件匚7,執(zhí)行循環(huán)體，p=3,5=7,輸出S的值為7,

滿足條件"7,執(zhí)行循環(huán)體，p=5,5=31,輸出5的值為31,

滿足條件作7,執(zhí)行循環(huán)體，〃=7,5=127,輸出S的值為127,

滿足條件匯7,執(zhí)行循環(huán)體，p=9,5=511,輸出S的值為511,

此時，不滿足條件PW7,退出循環(huán)，結(jié)束，

故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

先求出〃+〃，再利用。?(〃+8)=0求出，，再求吐

【詳解】

解：a+b=(1,-2)+(-3")=(-2/-2)

由〃_L(a+〃)，所以〃?(〃+/?)=()

1x(—2)+(—2)x(—2)=0,

t=\t〃=b=V10

故選：B

【點(diǎn)睛】

考查向量的數(shù)量積及向量模的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的關(guān)系，對選項(xiàng)中的命題判斷.

【詳解】

A.假設(shè)直線與8C共面，貝！JA,D,BfC共面，貝UAHCO共面，與ABua,COuQ矛盾，故正確.

B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過A3只有唯一平面與3c平行，故正確.

C.根據(jù)過一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直知，故正確.

D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過4。不一定能作一平面與垂直，故錯誤.

故選：D

【點(diǎn)晴】

本題主要考查異面直線的定義，性質(zhì)以及線面關(guān)系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.

8、B

【解析】

解不等式確定集合A,然后由補(bǔ)集、并集定義求解.

【詳解】

由題意4=-2x-15>0}={工|工<一3或%>5},

/.={/|-3W},

(dfiA){JB={x\-3<x<7}.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考有集合的綜合運(yùn)算，以及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題型.

9、B

【解析】

畫出幾何體的直觀圖，計(jì)算表面積得到答案.

【詳解】

該幾何體的直觀圖如圖所示：

故S=2X6+2X6+(2+4)X2X2+4X6+6X2&=64+12V?.

2

BC

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

10、B

【解析】

由兩直線垂直求得則。=0或。=3,再根據(jù)充要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】

由題意，“直線or+2y-1=0與直線m+l）x-2c“+l=0垂直”

貝!）〃（。+1）+2*（-2。）=0,解得。=0或。=3,

所以“直線依+2y-l=0與直線（。+1比-2卬，+1=0垂直”是“4=3”的必要不充分條件，故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系，及必要不充分條件的判定，其中解答中利用兩直線的位置關(guān)系求得a的值，同時

熟記充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

11、B

【解析】

根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析、判斷后可得結(jié)論.

【詳解】

因?yàn)椤?2〃均為非零的平面向量，存在負(fù)數(shù)4,使得加=為2,

所以向量〃7,，共線且方向相反，

所以相?〃<（）,即充分性成立；

反之，當(dāng)向量團(tuán)，〃的夾角為鈍角時，滿足但此時〃2,〃不共線且反向，所以必要性不成立.

所以“存在負(fù)數(shù)4,使得m=而”是“，小〃<0”的充分不必要條件.

故選B.

【點(diǎn)睛】

判斷P是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p,定義法

是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確.

12、A

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

｛可｝是等差數(shù)列，且公差d不為零，其前〃項(xiàng)和為S”，

充分性：vsn+l>S?,則。用>0對任意的〃EN'恒成立，則%>0，

?：d^0,若1<0,則數(shù)列｛q｝為單調(diào)遞減數(shù)列，則必存在ZcN”,使得當(dāng)時，。向<0,則S〃+1<S“，不合

乎題意；

若1>0,由%>0且數(shù)列｛〃〃｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則對任意的〃eN*，。e>0,合乎題意.

所以，S“+I>S””="｛qJ為遞增數(shù)列。

必要性：設(shè)q=〃-1。，當(dāng)〃48時，4川=〃-9<0,此時，S^cS”，但數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列.

所以，“MzwN",S向>S."中"｛q｝為遞增數(shù)列”.

因此，“寸〃cN"5川>3，，是“｛q｝為遞增數(shù)列”的充分而不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、丁+3），2=1（丁工0）

【解析】

考查更為一般的問題：設(shè)尸為橢圓C:1一提=1（〃>0/>0）上的動點(diǎn)，片，工為橢圓的兩個焦點(diǎn)，/為△尸尸1尸2的

內(nèi)心，求點(diǎn)/的軌跡方程.

2

解法一：如圖，設(shè)內(nèi)切圓/與尸|尸2的切點(diǎn)為"，半徑為「，且尸i"=y，F(xiàn)iH=zfPFi=x+yfPF2=x+zfc=&+b，則

y+z=2c

2x+y+z=2。

IH

直線IFx與IF1的斜率之積：kIFik

叫.F}HF2H~yz

而根據(jù)海倫公式，有^PFiF?的面積為(x+y+z)r=Qxyz(x+y+z)

x

因此有%

x+y+za+c

再根據(jù)橢圓的斜率積定義，可得/點(diǎn)的軌跡是以QB為長軸,

離心率e滿足片的橢圓，

a+c

22

其標(biāo)準(zhǔn)方程為7+/2=1(>工°).

—■C

a+c

解法二：令P(acos6,bsin6),則sin!9Ho.三角形尸入入的面積：

S=^-2c-|Z?sin4=g(2c+2a>廠，

其中「為內(nèi)切圓的半徑，解得一絲應(yīng)必二|乃|.

4+C

另一方面，由內(nèi)切圓的性質(zhì)及焦半徑公式得：

(c-x/)~(x/+c)=|PF}|-1PF-,I=(6/-CCOS0-(674-ccos

從而有x,=ccose.消去〃得到點(diǎn)/的軌跡方程為：

「+-----=1("0)

c-佇￡1人

a+c

本題中：。=2,。=1,代入上式可得軌跡方程為：x2+3y=l()^0).

14、V3-1

【解析】

由題意求出圓的對稱圓的圓心坐標(biāo)，求出對稱圓的圓坐標(biāo)到拋物線上的點(diǎn)的距離的最小值，減去半徑即可得到|MV|的

最小值.

【詳解】

假設(shè)圓心(0,2)關(guān)于直線x—)，=。對稱的點(diǎn)為(毛,先),

2kZ^=_i

八°,解方程組可得xo=2

則有

%)'。+2=0%=0

,22

所以曲線C的方程為（x—2『+），2=1,圓心為c（2,o）,

設(shè)M（冗,y）（x>0）,則|MC『=（x—2『十/，

又=2x,所以|MC「=（x—2）2+）/=--2尤+4=（冗一1『+3,

.?.|MC|2.=3,BPlMCl.=x/3,所以|MN|.二6-1,

IInunIIminIInun

故答案為：>/3-h

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)動點(diǎn)距離的最小值問題，涉及到的知識點(diǎn)有點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值為到

圓心的距離減半徑，屬于中檔題目.

1

15、-

e

【解析】

』￡在心內(nèi)）上的最小值，利

分類討論，機(jī)<0時不合題意；6>0時求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得到/(%)=

l+lnx2

用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最小值一"2化簡得mNe",構(gòu)造己放縮函數(shù)對自變量〃再研究，可解,

em

【詳解】

ni

令/")=，!—；當(dāng)m<0時，f(\)=m<0<2e-t不合題意;

1+Inx

/w.r(21nx+l)

當(dāng)〃?>0時,廣（工）=

(1+lnx)2

令八x）<0,得0<x</或―—多

所以/（-V）在區(qū)間（0,?"）和（］,「）上單調(diào)遞減.

因?yàn)?b，且/*）在區(qū)間+8）上單調(diào)遞增,

所以/（X）在r_處取極小值即最小值為

人_&ee

若VxeJ,/(x)>2eH-',則上之241即〃注e〃.

-e

nnn

當(dāng)〃40時，一40,當(dāng)〃>0時，則一《二.

mme

設(shè)g(〃)=:(〃>。)，則，(〃)=二^.

當(dāng)0<〃<1時，g'(〃)>0；當(dāng)〃>1時，g'(〃)<0,

所以g(〃)在(0,1)上單調(diào)遞增；在(1,+)。)上單調(diào)遞減,

所以g(〃)Wg(l),即二所以巴的最大值為L

eeme

故答案為：-

e

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式恒成立問題.

不等式恒成立問題的求解思路：已知不等式/*,/尸0(/1為實(shí)參數(shù))對任意的工￡少恒成立，求參數(shù)丸的取值范圍.利

用導(dǎo)數(shù)解決此類問題可以運(yùn)用分離參數(shù)法；如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是

二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(a>0,/<0或〃<0,1>0)求解.

16、3小

【解析】

aia4=a2a3=27,建立。為方程組，且生</，求出生，生，進(jìn)而求出｛〃〃｝的公比，即可求出結(jié)論.

【詳解】

數(shù)列｛〃”｝遞增的等比數(shù)列，...%>生，

。2+=12。，二3

，解得~n

a}a4=02a§=27[4=9

所以｛〃”｝的公比為3,%=

故答案為：31.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見解析；(2)

17

【解析】

(1)過點(diǎn)。作OE//AC交AA于E,連接CE,BE,設(shè)AQ「CE=O,連接B。，由角平分線的性質(zhì)，正方形的性

質(zhì)，三角形的全等，證得CEJLBO,CEA.AD,由線面垂直的判斷定理證得CE_L平面B4。，再由面面垂直的判

斷得證.

(2)平面幾何知識和線面的關(guān)系可證得30_L平面AAGC,建立空間直角坐標(biāo)系O-^z,求得兩個平面的法向量,

根據(jù)二面角的向量計(jì)算公式可求得其值.

【詳解】

(1)如圖，過點(diǎn)。作。后〃AC交AA于E,連接CEBE,設(shè)=連接80,fAC_LA4,,.?.力石_L4石，

又4。為NRAC的角平分線，，四邊形AEDC為正方形，.?.CE_LA。，

又「AC=AE,ZBAC=NBAE,BA=BA,「.ABAC=AE4E,:.BC=BE,又?.。為CE的中點(diǎn)，:.CE±BO

又.ARAOu平面840,40-30=0,/.CE，平面840,

又；CEu平面AAGC，/?平面BADJ_平面AACC，

(2)在AA8C中，AB=AC=4tN4AC=60。，.，.BC=4,在RtABOC中，?.C0='CE=2&,.?.B0=2X/5,

2

222

又AB=4,AO=^AD=242tBO+AO=AB,：.BO±AD,

又BO上CE,AD0CE=O.ARCEu平面人人℃,.?.30J_平面A40C,

故建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-Ayz,則A(2,—2,0),4(2,4,0),C,(-2,4,0),

四(0,6,2及)，.?<4=(2,2,2近)，苑=(-4,6,0),冰=(4,0,0),

一\inLCBIM+6X=。

設(shè)平面44G的一個法向量為加=(%yZ]"則彳'■]rr八，

令內(nèi)二6,得〃7=(6,4,-5近)，

設(shè)平面A4G的一個法向量為n=(x2,y2,z2),則〃f,

HJLC]A[

4x,=0—

?■?K「sB，令為二血‘得"=(。，倉T)

2X2+2y2+2\J2Z2-0

m?n9-s/23\/1~7

Acos＜九〃.麗=TioCT"〒，由圖示可知二面角A_4G_A是銳角,

故二面角A-4G-A的余弦值為士叵.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間的面面垂直關(guān)系的證明，二面角的計(jì)算，在證明垂直關(guān)系時，注意運(yùn)用平面幾何中的等腰三角形的“三線

合一”，勾股定理、菱形的對角線互相垂直，屬于基礎(chǔ)題.

3

18、(1)分布列見解析，研=:

4

(1)7

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖及抽取總?cè)藬?shù)，結(jié)合各組頻率值即可求得各組抽取的人數(shù)；X的可能取值為0,1,1,由離

散型隨機(jī)變量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由數(shù)學(xué)期望公式即可求得其數(shù)學(xué)期望.

(D先求得年齡在［30,50)內(nèi)的頻率，視為概率.結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì)，表示出P(X=Q=C；o(0.35/(1-0.35)25-\

P(X=k)

令"而FT化簡后可證明其單調(diào)性及取得最大值時女的值.

【詳解】

(1)按分層抽樣的方法拉取的8人中,

0.005

年齡在［20,30)的人數(shù)為x8=1人,

0.005+0.010+0.025

0.010

年齡在［30,40)內(nèi)的人數(shù)為x8=2人.

0.005+0.010+0.025

0.025

年齡在［40,50)內(nèi)的人數(shù)為x8=5人.

0.005+0.010+0.025

所以X的可能取值為0,1,L

3

C6C2°_5

所以&X=0)=

21

尸(X=l)二號cc)15

28

ClC23

P(X=2)=^^=—

C；28

所以X的分市列為

X011

5153

P

142828

51533

fX=0x—+lx—+2x—=-.

1428284

(1)設(shè)在抽取的10名市民中，年齡在［30,50)內(nèi)的人數(shù)為x,X服從二項(xiàng)分布.由頻率分布直方圖可知，年齡在

[30,50)內(nèi)的頻率為(0.010+0.025)x10=0.35,

所以X~8(20,0,35),

所以P(X=A)=C：o(0.35)氣1—0.35)21伙=0.1.2,.20).

講仁P(X=Q二或(0.35)“1-OB9。"=“21-Q

P(X=k-\)C%(0.35產(chǎn)(1—0.35產(chǎn)人13k)

若/>1,貝U女V735,P(X=k-T)〈P(X=k)：

若1<1,則％>735,P(X=k-l)>P(X=k).

所以當(dāng)Z=7時，P(X=k)最大,即當(dāng)P(X=Z)最大時，k=7.

【點(diǎn)睛】

本題考差了離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

19、(I)-巫;(II)6-2近

2-6-

【解析】

(I)直接代入再由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；

(H)先得到sin(a+?)=：,再根據(jù)cosa=cos+利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得.

【詳解】

解：(I)/(2019^)=sin20197r+＞/3sin2019^+-Lsin2019^+-

＜2JV3

sin0-Gsin--sin—

(II)因?yàn)閒(x)=sinx+y/3sin(A：+7)+sin(A：+—),xeR

23

]J3兀

所以/(A)=sinx+V3cosx+—sinx+cosx=3sin(x+—),

由/(0)=1得0由(0+2)=:＜；,

又因?yàn)?＜。＜"，故所以cos(a+±)=—2叵，

2333

業(yè)—石-20

T=-6-

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬于中檔題.

20、(1)。的方程為丁=4%,焦點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(1,0)；(II)1

【解析】

(I)根據(jù)拋物線定義求出P，即可求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(II)設(shè)點(diǎn)4x0)乃(工必),由己知得Q(-l,-1),由題意直線A3斜率存在且不為0,設(shè)直線A8的方程為產(chǎn)總+1)-1(時0),

與拋物線聯(lián)立可得卬心+4A?8=0,利用韋達(dá)定理以及弦長公式，轉(zhuǎn)化求解幽川?|NP|的值.

【詳解】

'B

(I)由已知得1+^=2,所以p=l.

所以拋物線C的方程為J/=4x,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)；

(〃)設(shè)點(diǎn)由已知得6(-1,-1)，

由題意直線AB斜率存在且不為0.

設(shè)直線AB的方程為產(chǎn)A(x+1)T(后0).

y~=4x.

由「」1Xc得外2-4)，+以一8=0,

y=k(x+1)-2

448

則nIy+%=RM=4_「

kk

因?yàn)辄c(diǎn)A.B在拋物線C上，所以y：二4A,y1=4x2,

kPA=^=^^=^—_y2-2_4

%TA_I=-?

因?yàn)檩S，

所以畫.四.四=^」（y+2）3+a

1111l^xl|^||%?心|4

,88.

小通+2（%+%）+4|"工+工+4「2,

44

所以|MF|?IN產(chǎn)|的值為1.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與拋物線中的定值問題，常用韋達(dá)定理設(shè)而不求來求解，本題解題關(guān)鍵是找

出弦長與斜率之間的關(guān)系進(jìn)行求解，屬于中等題.

21、⑺匚口|=2-（〃）證明見解析

【解析】

⑺直接利用兩點(diǎn)間距離公式化簡得到答案.

（ID設(shè)DfflalW，□[％山）,聯(lián)立方程得到匚.?二=薩二二”告，二十二二聿，代入化簡得到

二二=匚：+J,計(jì)算得到證明.

【詳解】

⑺橢圓二,+::；=.,故二卜區(qū)內(nèi)

卬口|一、二:-S-二:一、二汨=,河-2°4+，=2-?口＞

（〃股二二二二4二.二〕，則將二二二二-二代入三十二；二二得到：

（仁；+。二;+8二二二+＜?T=a故二—