4.2.1 等差數(shù)列的概念（同步練習(xí)）（含解析）-【一堂好課】2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步名師重點(diǎn)課堂（人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)）

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）A．1 B． C．2 D．2．已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，則它的公差為（

）A．3 B． C．5 D．3．設(shè)是等差數(shù)列，且，，則（

）A． B． C． D．4．“a，b，c成等差數(shù)列”是“”的（

）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知數(shù)列，為等差數(shù)列，且公差分別為，，則數(shù)列的公差為（

）A． B． C． D．二、多選題6．（多選）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（a，b為常數(shù)），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則7．已知方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則的值等于（

）A． B． C． D．8．若是等差數(shù)列，則下列數(shù)列為等差數(shù)列的有（

）A． B． C． D．三、填空題9．韓信是我國(guó)漢代能征善戰(zhàn)、智勇雙全的一員大將．歷史上流傳著一個(gè)關(guān)于他點(diǎn)兵的奇特方法．有一天，韓信問(wèn)有多少士兵在操練，部將回答：三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩四，韓信很快就知道了士兵的人數(shù)．設(shè)有m個(gè)士兵，若，符合條件的m共有___________個(gè)．10．已知數(shù)列{an}中，a3＝2，a1＝1，且數(shù)列是等差數(shù)列，則a11＝____．11．設(shè)等差數(shù)列滿(mǎn)足，，若，則項(xiàng)數(shù)n的最大值是______．四、解答題12．已知為等差數(shù)列，且以，，若在每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，求：(1)原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第幾項(xiàng)？(2)新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第幾項(xiàng)？13．已知數(shù)列中，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且．求證：數(shù)列是等差數(shù)列．14．等差數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，．參考答案：1．C【分析】根據(jù)已知遞推關(guān)系，可以得到，數(shù)列為等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得的值.【詳解】由，得是等差數(shù)列，.故選：C2．D【分析】由求得公差.【詳解】依題意，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，，所以公差為.故選：D3．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知，，成等差數(shù)列，由此可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】解：是等差數(shù)列，，，成等差數(shù)列，，.故選：C.4．C【分析】根據(jù)充要條件及等差數(shù)列的定義判斷即可．【詳解】若“a，b，c成等差數(shù)列”，則“”，即“a，b，c成等差數(shù)列”是“”的充分條件；若“”，則“a，b，c成等差數(shù)列”，即“a，b，c成等差數(shù)列”是“”的必要條件，綜上可得：“a，b，c成等差數(shù)列”是“”的充要條件，故選：C．5．D【分析】利用即可整理求得公差.【詳解】，為等差數(shù)列，為等差，設(shè)其公差為，則.故選：D.6．ABC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)性質(zhì)可判斷是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性即可逐一判斷.【詳解】由,知，故數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為．由等差數(shù)列的單調(diào)性可得，若，則公差，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故A，B一定成立；若，則，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，故C一定成立；當(dāng)時(shí)，不成立，故D不一定成立．故選：ABC．7．BD【分析】設(shè)方程的四根分別為、、、，利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)結(jié)合韋達(dá)定理可求得這四個(gè)數(shù)的值，進(jìn)而可求得、的值，即可得解.【詳解】設(shè)方程的四根分別為、、、，則數(shù)列、、、是首項(xiàng)為的等差數(shù)列，設(shè)其公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，①若、為方程的兩根，則、為方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，可得，，則，，此時(shí)，，則；②若、為的兩根，、為方程的兩根，同理可得，，則.綜上所述，.故選：BD.8．ACD【分析】依據(jù)相鄰倆項(xiàng)的差是否為常數(shù)逐一判斷即可【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，當(dāng)時(shí)，.對(duì)于A，，為常數(shù)，因此是等差數(shù)列；故A正確對(duì)于B，，不為常數(shù)，因此不是等差數(shù)列；故B錯(cuò)誤對(duì)于C，，為常數(shù)，因此是等差數(shù)列；故C正確對(duì)于D，，為常數(shù)，因此是等差數(shù)列.故D正確故選：ACD.9．10【分析】由題意，m除3余2、除5余3、除7余4，可得m最小的項(xiàng)為53，且為公差的等差數(shù)列，即可由求解.【詳解】由“三三數(shù)之，剩二”知，m是等差數(shù)列5，8，11，14，…中的項(xiàng)，其中滿(mǎn)足“五五數(shù)之，剩三”的最小數(shù)是8，故m是等差數(shù)列8，23，38，53，…中的項(xiàng)，其中滿(mǎn)足“七七數(shù)之，剩四”的最小數(shù)是53，故m是等差數(shù)列53，158，263，368，…中的項(xiàng)，可得通項(xiàng)公式，令，解得，且，故符合條件的m共有10個(gè)．故答案為：10.10．﹣4【分析】根據(jù)等差數(shù)列首項(xiàng)和第3項(xiàng)的值得到公差，進(jìn)而得到第11項(xiàng)，從而求解a11的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列{an}中，a3＝2，a1＝1，且數(shù)列是等差數(shù)列，所以數(shù)列的公差d，所以（11﹣1）×（），則a11＝﹣4．故答案為：﹣4．11．8【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)有、，即可判斷數(shù)列的正負(fù)邊界位置，即可得結(jié)果.【詳解】由，而，所以，故等差數(shù)列遞減，所以，對(duì)于等差數(shù)列，要使最大n值為8.故答案為：812．(1)第45項(xiàng)(2)第8項(xiàng)．【分析】(1)設(shè)新數(shù)列為，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出其通項(xiàng)，再確定兩數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系，由原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)求對(duì)應(yīng)的新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)；(2)由(1)的結(jié)論，由新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)求原數(shù)列的項(xiàng)數(shù).（1）設(shè)新數(shù)列為，則，，根據(jù)，有，即，所以，所以．又因?yàn)椋裕丛瓟?shù)列的第n項(xiàng)為新數(shù)列的第項(xiàng)．當(dāng)時(shí)，，故原數(shù)列的第12項(xiàng)為新數(shù)列的第45項(xiàng)．（2）由(1)，令，得，即新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第8項(xiàng)．13．證明見(jiàn)解析【分析】將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程可得，結(jié)合可得結(jié)論.【詳解】點(diǎn)在直線(xiàn)上，，即；又，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.14．(1)；(2)7.【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量運(yùn)算即得；（2）由題可得，進(jìn)而可得數(shù)列的前5項(xiàng)，即