專題07 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 15個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（原卷版）-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教A版必修一）

清單07指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】整數(shù)指數(shù)冪1、正整數(shù)指數(shù)冪的定義：，其中，2、正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則：①（）②（，，）③（）④（）⑤（）【清單02】根式1、次根式定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.特別的：①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).這時(shí)，的次方根用符號(hào)表示.②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).這時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號(hào)表示，叫做的次算術(shù)根；負(fù)的次方根用符號(hào)表示.正的次方根與負(fù)的次方根可以合并寫成().③負(fù)數(shù)沒有偶次方根；④的任何次方根都是，記作2、根式：式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．在根式符號(hào)中，注意：①，②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)任意都有意義③當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，只有當(dāng)時(shí)才有意義.3、與的區(qū)別：①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，（）②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，（）③當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，且，④為偶數(shù)時(shí)，且，【清單03】分式指數(shù)冪1、正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是（，，）于是，在條件，，下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.2、正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定，（，，）.3、的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.【清單04】有理數(shù)指數(shù)冪①（，）②（，）③（，）知識(shí)點(diǎn)05：無理數(shù)指數(shù)冪①（，）②（，）③（，）【清單05】指數(shù)函數(shù)的概念1、一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，底數(shù)是一個(gè)大于0且不等于1的常量，定義域是.2、學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的定義，注意一下幾點(diǎn)（1）定義域?yàn)椋海?）規(guī)定是因?yàn)椋孩偃?，則（恒等于1）沒有研究?jī)r(jià)值；②若，則時(shí)，（恒等于0），而當(dāng)時(shí)，無意義；③若，則中為偶數(shù)，為奇數(shù)時(shí)，無意義.④只有當(dāng)或時(shí)，即，可以是任意實(shí)數(shù).（3）函數(shù)解析式形式要求：指數(shù)函數(shù)只是一個(gè)新式定義，判斷一個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵有三點(diǎn)：①的系數(shù)必須為1；②底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)，不能是自變量；③指數(shù)處只有一個(gè)自變量，而不是含自變量的多項(xiàng)式.【清單06】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表：底數(shù)圖象性質(zhì)定義域值域定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)函數(shù)值的變化情況當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱性函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱2、指數(shù)函數(shù)的底數(shù)對(duì)圖象的影響函數(shù)的圖象如圖所示：觀察圖象，我們有如下結(jié)論：2.1.底數(shù)與1的大小關(guān)系決定了指數(shù)函數(shù)圖象的“升”與“降”.（1）當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象是“上升”的，且當(dāng)時(shí)，底數(shù)的值越大，函數(shù)的圖象越“陡”，說明其函數(shù)值增長(zhǎng)的越快.（2）當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象是“下降”的，且當(dāng)時(shí)，底數(shù)的值越小，函數(shù)的圖象越“陡”，說明其函數(shù)值減小的越快.2.2.底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低：不論是還是，底數(shù)越大，在第一象限內(nèi)的函數(shù)圖象越“靠上”.在同一平面直角坐標(biāo)系中，底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低；在軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即“底數(shù)大圖象高”；在軸左側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由小變大，即“底數(shù)大圖象低”；【清單07】指數(shù)函數(shù)的定義域與值域1、定義域：（1）指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋?）的定義域與函數(shù)的定義域相同（3）的定義域與函數(shù)的定義域不一定相同.2、值域（1）指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)椋?）求形如的函數(shù)的值域，先求的值域，然后結(jié)合得性質(zhì)確定的值域（3）求形如的值域，轉(zhuǎn)化為先求的值域，再將的取值范圍代入函數(shù)中.【清單08】指數(shù)函數(shù)的圖象變換已知函數(shù)1、平移變換①②③④2、對(duì)稱變換①②③3、翻折變換①（去掉軸左側(cè)圖象，保留軸右側(cè)圖象；將軸右側(cè)圖象翻折到軸左側(cè)）②（保留軸上方的圖象，將軸下方的圖象翻折到軸上方）【考點(diǎn)題型一】根式的化簡(jiǎn)求值核心方法：①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，（）②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，（）③當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，且，④為偶數(shù)時(shí)，且，【例1】（24-25高一上·上海浦東新·期中）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn).【變式1-1】（24-25高一上·江蘇徐州·期中）已知，則（

）A．－1 B．1 C． D．【變式1-2】（多選）（24-25高一上·浙江·期中）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型二】分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值核心方法：根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪定義①（，，）②（，，）【例2】（24-25高一上·天津·期中）計(jì)算下列各式：(1)（其中a>0，結(jié)果化為冪的形式）；(2)(3)【變式2-1】（24-25高一上·廣東深圳·期中）計(jì)算：.【變式2-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）計(jì)算:.【考點(diǎn)題型三】條件求值核心方法：完全平方公式；立方公式【例3】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，那么等于.【變式3-1】（24-25高一上·寧夏吳忠·期中）（1）已知，求下列各式的值：①；②.【變式3-2】（24-25高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，求下列各式的值：①；②.【考點(diǎn)題型四】指數(shù)冪的綜合運(yùn)算【例4】（23-24高一上·天津南開·期中）計(jì)算：(1)；(2)．【變式4-1】（23-24高一上·山西太原·期中）計(jì)算下列各式的值(1)；(2)．【變式4-2（23-24高一上·山東泰安·期中）（1）計(jì)算：；（2）已知，求的值.【考點(diǎn)題型五】指數(shù)函數(shù)的定義與求值（參數(shù)）【例5】（24-25高一上·河北張家口·階段練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值為（

）A．3 B．2 C． D．【變式5-1】（24-25高一上·云南紅河·階段練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)，則的值為.【變式5-2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是【考點(diǎn)題型六】指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)核心方法：【例6】（24-25高三上·河北·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象恒過的定點(diǎn)為．【變式6-1】（24-25高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A．4 B．1 C．2 D．【變式6-2】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是.【考點(diǎn)題型七】指數(shù)（型）函數(shù)圖象的識(shí)別【例7】（24-25高一上·北京·期中）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【變式7-1】（24-25高一上·江蘇無錫·期中）函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．【變式7-2】（24-25高三上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【變式7-3】（多選）（24-25高一上·廣東·期中）函數(shù)且的圖象可能為（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型八】畫指數(shù)（型）函數(shù)圖象核心方法：根據(jù)函數(shù)圖象變換方法【例8】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）作出函數(shù)的圖象.【變式8-1】（24-25高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）已知直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【變式8-2】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知的圖象，指出下列函數(shù)的圖象是由的圖象通過怎樣的變換得到的.(1)；(2)；(3)；(4).【考點(diǎn)題型九】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小核心方法：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【例9】（多選）（24-25高一上·河南洛陽·期中）下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【變式9-1】（浙江省臺(tái)州市山海協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知，，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【變式9-2】（24-25高一上·天津南開·期中）若，則（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型十】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式核心方法：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【例10】（23-24高一上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的值域；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式10-1】（23-24高一上·廣東深圳·期中）設(shè)函數(shù)（，且）是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且的圖象過點(diǎn)．(1)求t和a的值；(2)若，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；【變式10-2】（23-24高一上·福建廈門·期中）已知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求的值，并判斷的單調(diào)性（注：無需證明的單調(diào)性）；(2)若，求的取值范圍．【變式10-3】（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期末）已知是定義在上的奇函數(shù)(1)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【考點(diǎn)題型十一】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性核心方法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則【例11】（24-25高三上·四川廣安·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是【變式11-1】（多選）（24-25高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．定義域?yàn)镽B．值域?yàn)镃．在上單調(diào)遞增D．在上單調(diào)遞減【變式11-2】（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型十二】與指數(shù)函數(shù)（指數(shù)型復(fù)合函數(shù)）有關(guān)的值域核心方法：換元法【例12】（24-25高一上·廣東廣州·期中）已知函數(shù)，函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最小值；(2)若對(duì)，都存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式12-1】（23-24高一上·廣東深圳·期末）已知定義在上的函數(shù)()(1)若，求函數(shù)在上的最大值；(2)若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式12-2】（23-24高一下·遼寧撫順·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有最小值3，求的值.【考點(diǎn)題型十三】可化為一元二次函數(shù)型指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域問題核心方法：換元法【例13】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)記的最小值為，求的解析式.【變式13-1】（23-24高一上·吉林長(zhǎng)春·期中）已知函數(shù)，且，．(1)求a，b的值，并寫出的解析式；(2)設(shè)，求在的最大值和最小值．【變式13-2】（24-25高一上·青海海東·階段練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)（且）的圖象過點(diǎn)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在上的值域和單調(diào)區(qū)間．【考點(diǎn)題型十四】與指數(shù)函數(shù)的相關(guān)的綜合問題（單調(diào)性，奇偶性，解不等式，求值域，恒成立等問題）核心方法：【例14】（24-25高一上·湖南·期中）已知定義在上的奇函數(shù)，偶函數(shù)，.(1)求的值；(2)判斷hx的奇偶性，判斷并用定義法證明h(3)已知對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式14-1】（24-25高一上·河南南陽·期中）已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，函數(shù).(1)求的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；(3)若不等式對(duì)恒成立，求t的取值范圍.【變式14-2】（24-25高一上·貴州黔西·期中）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求的值；(2)證明：在上為減函數(shù)；(3)若對(duì)于任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【變式14-3】（24-25高一上·天津津南·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性，并用定義法證明；(3)若不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【考點(diǎn)題型十五】指數(shù)函數(shù)中新定義問題【例15】（24-25高一上·上海徐匯·期中）對(duì)于函數(shù)，若其定義域內(nèi)存在非零實(shí)數(shù)滿足，則稱為“偽奇函數(shù)”．若其定義域內(nèi)存在非零實(shí)數(shù)滿足，則稱為“偽偶函數(shù)”(1)已知函數(shù)，判斷是否為“偽奇函數(shù)”；是否為“偽偶函數(shù)”，并說明理由；(2)若冪函數(shù)使得在上是“偽奇函數(shù)”，是“偽偶函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若整數(shù)使得是定義在上的“偽奇函數(shù)”，求m的取值集合．【變式15-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）對(duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù)f(x)，若.(1)已知試寫出、的表達(dá)式;(2)設(shè)且函數(shù)如果與恰好為同一函數(shù)，求a的取值范圍；(3)若存在最小正整數(shù)k，使得對(duì)任意的成立，則稱函數(shù)為上的"k階收縮函數(shù)"，已知，函數(shù)是上的“3階收縮函數(shù)”，求b的取值范圍.【變式15-2】（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·期中）對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)c，使得對(duì)任意，都有，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“卷函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為上的“卷函數(shù)”？并說明理由：(2)設(shè)是（1）中的“卷函數(shù)”，若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(3)若函數(shù)是區(qū)間上的“卷函數(shù)”，求的值.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高一上·寧夏銀川·期中）設(shè)指數(shù)函數(shù)且，則“”是“是增函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（24-25高一上·廣東清遠(yuǎn)·期中）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·黑龍江·期中）已知函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·廣東·期中）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·廣東·期中）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．6．（24-25高一上·湖南·期中）已知定義在R上的奇函數(shù)是常數(shù)，存在實(shí)數(shù)使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù)，則滿足不等式的的范圍是（

）A． B．C． D．8．（24-25高一上·福建福州·期中）設(shè)函數(shù)和，若兩函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性相同，則把區(qū)間叫做的“穩(wěn)定區(qū)間”，已知區(qū)間為函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．B． C． D．二、多選題9．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）設(shè)，，且，則下列關(guān)系式中一定不成立的是（

）A． B．C． D．10．（23-24高一下·遼寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．若是偶函數(shù)，則B．無論取何值，都不可能是奇函數(shù)C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．的最大值小于1三、填空題11．（24-25高一上·天津津南·期中）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為